Zasady dynamiki Newtona. WPROWADZENIE DO MECHANIKI

Zasady dynamiki Newtona.
Jeżeli na ciało nie działają siły, lub działające siły równoważą się, to ciało jest
w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym.
I.
Jeżeli siły się nie równoważą, to ciało porusza się z przyspieszeniem 𝑎⃗ =
II.
𝑃
⃗⃗⃗
𝑚
.
Siły są zawsze wzajemne (zasada akcji i reakcji) .
III.
WPROWADZENIE DO MECHANIKI PŁYNÓW
Mechanika to dział fizyki zajmujący się badaniem ruchów ciał materialnych oraz
badaniem wzajemnych oddziaływań.
W zależności od rodzaju obiektu badanego wyróżniamy:




mechanikę punktów materialnych
mechanikę układów punktów materialnych
mechanikę ciała sztywnego
mechanikę ośrodków ciągłych w obrębie której występuje mechanika płynów.
Klasyczna mechanika oparta jest na trzech zasadach dynamiki sformułowanych przez
Isaaca Newtona.
Płyn (fluid) to substancja która nie ma w danych warunkach określonego kształtu, a
przyjmuje kształt naczynia, czyli ciało o module sprężystości postaciowej równej 0.
Zaliczamy ciecze i gazy.
Ciecz (liquid) to płyn o małym współczynniku ściśliwości, który zachowując objętość
nie zachowuje kształtu.
Gaz (gas) to płyn, który nie ma kształtu, objętości i swobodnej powierzchni,
rozprzestrzenia się dążąc do zajęcia jak największej objętości
Mechanika płynów zajmuje się badaniem ruchu cieczy i gazów i odgrywa bardzo
ważną rolę w technice, Jej zastosowanie można podzielić na:
1. Przepływy swobodne - opływ ciał, na przykład różnego rodzaju pojazdów,
samolotów, budynków. Przedmiotem zainteresowania są pola prędkości,
ciśnienia, gęstości i temperatury zarówno w pobliżu ciała opływanego, jak i w
dużej odległości od niego. Na podstawie znajomości wspomnianych pól
możemy wyznaczyć siły działające na opływane ciało.
JB semestr II 2013/2014
2. Przepływy ograniczone- przepływ przez rurociągi, kanały i urządzenia. W tym
przypadku interesujemy się przepływami wewnętrznymi, na przykład w
kolanach lub kanałach dyszowych turbin. Szczególne znaczenie w tej grupie
zastosowań mają wpływy tarcia na wielkość strat ciśnienia.
3. W wielu zagadnieniach technicznych spotyka się kombinacje powyższych grup,
na przykład w maszynach przepływowych, w inżynierii chemicznej, budowie
samolotów, pojazdów szynowych, meteorologii, czy też aerodynamice
budynków.
4. Przepływ ciśnieniowy - w rurach, wywołany gradientem ciśnień.
5. Przepływ swobodny - w korytach rzek, rury kanalizacyjne (gdy jest
powierzchnia swobodna) .
Czasoprzestrzeń (x, y, z, t) – w niej analizujemy różne przypadki.
Równania mechaniki płynów
Równania fizyczne
Równania
zachowania
Płyn
Równanie ciągłości (zachowania masy)
Równanie równowagi sił (zasada
impulsu)
Równanie energii (np. I zasada
termodynamiki, równanie
przewodnictwa ciepła)
Równanie stanu ujmujące związek
pomiędzy p, ρ, T
Liczba
równań
Rodzaj
równania
1
3
Skalarne
Wektorowe
1
Skalarne
1
Skalarne
Musimy więc rozwiązać 6 równań, a nie jak w mechanice ciała stałego 3. Rozwiązanie
analityczne pełnego układu równań nie jest możliwe ze względu na wysoki rząd
pochodnych, nieliniowość i często skomplikowaną geometrię obszaru.
Podstawowe działy mechaniki płynów
Wielkość
p
ρ
V=(u, v, w)
Przykłady:
Hydrostatyka
X
Ciecze w stanie
spoczynku w
naczyniu
JB semestr II 2013/2014
Aerostatyka
X
X
atmosfera w
stanie
spoczynku
Hydrodynamika
X
X
poruszające się
ciecze
Aerodynamika
X
X
X
poruszający się
gaz
PODSTAWOWE POJĘCIA
Pojęcie płynu
Pojęcie płynu obejmuje dwa stany skupienia: ciecze i gazy.
Opory - napotykane przy bardzo powolnym ruchu ciał stałych w ośrodku płynnym,
lub samego płynu, rosną wydatnie ze wzrostem prędkości względnej ciała stałego oraz
otaczającego płynu i znikają wraz z ustaniem ruchu.
Właściwość cieczy polegającej na stawianiu przez nią oporu wobec odkształceń
postaci nazywamy lepkością.
Ze wzrostem lepkości cieczy coraz bardziej upodabnia się ona do ciała stałego,
niemożliwe jest jednak ustalenie wyraźnej granicy między cieczą bardzo lepką ciałem
stałym; niektóre bowiem ciała zachowują się przy bardzo szybkim odkształceniu
postaci podobnie jak ciała stałe, a przy powolnym odkształceniu – jak ciecze. Tak
zachowuje się ogrzewane szkło, a w temperaturze otoczenia asfalt. Asfalt wypływa z
przewróconej beczki w zależności od temperatury, przez kilka dni lub tygodni; wylany
zaś tworzy płaski placek, mimo że znajduje się nadal w stanie płynięcia. Uderzając
młotkiem w asfalt, powodujemy jego rozpryskiwanie, podobnie jak uderzając w szkło.
Pozwala to przyjąć, że opór przeciw odkształceniom postaci jest równy zeru. W ten
sposób dochodzimy do definicji cieczy: cieczami nazywamy ciała, które znajdując się
w stanie równowagi, stawiają próbom odkształcenia postaciowego opór równy zero
(Prandtl).
Gęstość płynu (density)
Załóżmy ciągły rozkład płynu w przestrzeni. Rozkład ten można scharakteryzować za
pomocą jednej skalarnej wielkości fizycznej pola skalarowego zmieniającej się w
przestrzeni i czasie. Wielkość tę będziemy nazywać gęstością płynu i oznaczymy
przez ρ. Przez gęstość płynu w punkcie P rozumiemy stosunek masy m do
dostatecznie małej objętości V, w której jest zawarta ta masa i punkt P
𝜌 (𝑃 ) =
𝑚
𝑉
Wyrażenie to jest poprawne dla płynów jednorodnych. W formie ogólnej:
𝑚
, 𝑃 ∈ 𝑉.
𝑉→0 𝑉
𝜌(𝑃) = lim
JB semestr II 2013/2014
Ciężar właściwy (specific weight)
𝛾 = 𝜌 ∙ 𝑔.
Objętość właściwa (specific volume)
1
𝜈= .
𝜌
Płyny ściśliwe i nieściśliwe (compressible and incompressible fluids). Ciecze
traktujemy jako nieściśliwe (z wyjątkiem uderzeń hydraulicznych). Gazy przy dużych
prędkościach nie mogą być traktowane jako nieściśliwe.
Ściśliwość cieczy
Zmiana gęstości cieczy może być wywołana bądź zmianą ciśnienia (sił
powierzchniowych), bądź też zmianą temperatury.
Zmiana objętości ∆V cieczy wywołana zmianą ciśnienia ∆p przy stałej temperaturze:
1 ∆𝑉
1 𝑉1 − 𝑉2 𝑚2
[ ]
𝜉=− ∙
=− ∙
𝑉1 ∆𝑝
𝑉1 𝑝1 − 𝑝2 𝑁
nazywamy współczynnikiem ściśliwości i wyraża on względne zmniejszenie objętości
wywołane wzrostem ciśnienia; stanowi początkowemu odpowiada indeks 1, a stanowi
końcowemu – indeks 2.
Rozszerzalność cieplna
𝑑𝑉
= 𝛼𝑡 𝑑𝑇
𝑉
gdzie
𝛼𝑡 =
1 𝑉2 − 𝑉1
𝑉1 𝑡2 − 𝑡1
Jest współczynnikiem rozszerzalności cieplnej, np. przy 1bar od 10 do 15 °C dla wody
1
wynosi on 1,2 ∙ 10−4 [ ]
°C
JB semestr II 2013/2014
Moduł odkształcenia postaciowego
∆l
l
= tgα
Na podstawie prawa Hooke`a: τ
𝑡𝑔𝛼 = 𝛼 −
𝛼3
2
+
𝛼5
5
+⋯
α
τ
Oznaczamy literą G stosunek = const. możemy napisać
α
𝐺=
τ
α
τ = Gα
a stąd
Stała G nazywa się modułem sprężystości postaciowej;
Dla cieczy nielepkiej G = 0
Moduł ośrodka ciągłego
Podstawowym uproszczeniem jest pominięcie cząsteczkowej struktury płynu, co
pozwala traktować płyn jako ośrodek ciągły. Przyjęcie założenia ciągłości pozwala na
użycie stosunkowo prostego aparatu matematycznego do badania własności ruchu
płynów.
Kryterium dopuszczalności stosowania założenia ciągłości ośrodka jest spełnienie
nierówności
K < 0,1
Gdzie K – l/L – liczba Knudsena, l – średnia droga swobodna cząsteczek, L – wymiar
liniowy ciała.
Jeżeli średnica pojazdu kosmicznego wynosi 5 m, to nierówność K < 0,1 będzie
zachowana, gdy średnia droga swobodna wyniesie
𝑙
𝐿
< 0,1
𝑙 < 0,1 ∙ 5𝑚 = 0,5𝑚
Co odpowiada położeniu w atmosferze ziemskiej ok. 110 km
JB semestr II 2013/2014
Średnia swobodna droga cząsteczki gazu w atmosferze ziemskiej w funkcji wysokości
nad poziomem morza:
Wzniesienie nad poziomem morza
[km]
1,216
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
Średnia swobodna droga cząsteczek
[m]
8,6 ∙ 10−8
2,1 ∙ 10−7
9,7 ∙ 10−7
4,8 ∙ 10−6
2,2 ∙ 10−5
7,8 ∙ 10−5
2,6 ∙ 10−4
9,3 ∙ 10−4
4,3 ∙ 10−3
2,1 ∙ 10−2
9,5 ∙ 10−2
3,8 ∙ 10−1
1,3 ∙ 100
3,7 ∙ 100
8,7 ∙ 100
1,8 ∙ 101
3,6 ∙ 101
6,1 ∙ 101
1,0 ∙ 102
Lepkość
Jest to zdolność płynu do stawiania oporu przy przesuwaniu się cząstek względem
siebie. Powstające siły statyczne powodują pojawienie się naprężeń.
JB semestr II 2013/2014
𝜏=
𝐹
𝑑𝑢
=𝜇
(∗)
𝐴
𝑑𝑛
Zgodnie z III Zasadą Dynamiki Newtona dolna hamuje górną z tą samą siłą F (siła
tarcia) np. woda w 15 °C wynosi 1,307 ∙ 10−3 [𝑃𝑎 ∙ 𝑠] = 𝜇.
Współczynnik lepkości kinematycznej:
𝜈=
𝜇
𝜌
Lepkość dla gazów rośnie a dla cieczy maleje wraz ze wzrostem temperatury.
Płyn niespełniający równania (*) nazywany jest płynem nienewtonowskim.
Pseudoplastyczne np. żelatyna, gliceryna, krew, ciekły cement.
Dylatantne stężony roztwór cukru w wodzie, woda z zawiesinami np. skrobi.
JB semestr II 2013/2014