M3. BADANIE DRGAŃ STRUNY Cel Wymagania Literatura Opis

M3. BADANIE DRGAŃ STRUNY Cel Wymagania Literatura Opis

M3. BADANIE DRGAŃ STRUNY
tekst opracowała: Bożena Janowska-Dmoch i Jadwiga Szydłowska
Drgania struny występują wtedy, gdy powstaje w niej fala stojąca jako rezultat interferencji
poprzecznych fal przeciwbieżnych. Z praw dynamiki wynika, że po każdym odkształceniu
poprzecznym struny, np. szarpnięciu, będzie się w niej rozchodziła fala opisana
podstawowym równaniem fali poprzecznej
2 y 1 2 y

0
x 2  2 t 2
gdzie  jest prędkością z jaką rozchodzi się zaburzenie wzdłuż struny.
Cel
Celem pomiarów jest wyznaczenie częstości drgań własnych struny w zależności od siły
napinającej oraz znalezienie gęstości materiału struny.
Wymagania
Zasady dynamiki Newtona, definicja fali, rodzaje fal, parametry opisujące falę: prędkość,
częstość długość fali, liczba falowa, amplituda, faza. Równanie fali w postaci różniczkowej i
jego rozwiązania. Interferencja fal, fala stojąca w strunie (warunki brzegowe), węzły i
strzałki, częstości drgań własnych struny. Zjawisko rezonansu.
Literatura
R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, tom I, PWN
F.S. Crawford, Fale, Kurs berkelejowski tom III, PWN
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom II, PWN
A. Piekara, Elektryczność i magnetyzm , PWN
Opis przyrządu
Podstawa, na której jest rozpięta stalowa struna, jest zamocowana pionowo do ściany
pracowni. Górny koniec struny jest trwale unieruchomiony. Jej drugi koniec jest połączony z
prętem, na który mogą być nakładane obciążniki o znanej masie, co powodować będzie zmiany
napięcia struny. Ponad prętem umieszczona jest śruba aretująca, której dokręcenie ustala
długość struny. Obciążniki nakładamy przy odkręconej śrubie aretującej, a pomiary
prowadzimy przy strunie zaaretowanej. Przy aretowaniu należy uważać, aby struna znalazła się
dokładnie pod śrubą, bo tylko wtedy zostanie właściwie unieruchomiona.
Wychylenia struny wywołuje elektromagnes, umieszczony w górnej części podstawy struny,
zasilany sinusoidalnym sygnałem z generatora. Częstotliwość sygnału może być, w szerokim
zakresie, regulowana w sposób ciągły. Sygnał z generatora jest jednocześnie kierowany do
wzmacniacza odchylania pionowego (osi Y) oscyloskopu i do częstościomierza.
Do detekcji drgań struny zastosowano przetwornik elektromagnetyczny dostosowany do pracy
z częstotliwościami akustycznymi. Składa się on z magnesu trwałego i osadzonych w pobliżu
2
jego biegunów dwóch cewek z cienkiego drutu. Wprawiona w drgania struna zmienia swą
odległość od biegunów magnesu, powodując zmiany strumienia magnetycznego w układzie i
indukowanie się sił elektromotorycznych w uzwojeniach cewek. Sygnały z przetwornika są
podawane do wzmacniacza odchylania poziomego (osi X) oscyloskopu.
Wyprowadzenie wzoru
Struną nazywamy sprężystą nić, naprężoną i zamocowaną sztywno na obu końcach. Niech w
stanie równowagi położenie struny pokrywa się z osią x wybranego układu współrzędnych.
Rozważmy mały fragment, o długości x, struny wychylonej z położenia równowagi. Na jego


końce działają, siły F1 i F2 pochodzące od sąsiednich elementów struny (III prawo


dynamiki). Moduły tych siły są sobie równe, tzn. F1  F2  F . Oznaczmy przez 1 i 2 kąty
 
pomiędzy F1 i F2 a osią x.
y

F2
x
1
2
1 
F1
1
x1
x2
x

Wypadkowa działających sił nada elementowi x przyspieszenie a :
 
 F1  F2
1
F cos  2  F cos 1 ; F sin  2  F sin 1 
a

m
m
gdzie m jest masą fragmentu struny. Gdy wychylenie struny jest bardzo małe, to kąty 1 i 2
są też małe, a wtedy słuszne jest przybliżenie cos 1  cos  2  1 , a także sin 1  tg1 oraz
sin  2  tg 2 . Przyspieszenie elementu x zapiszemy
 2 x 2 y
a 2 , 2
 t t

F
0 , tg 2  tg1 .

 m
()
Uwaga: Używamy pochodnych cząstkowych, ponieważ wychylenie elementu x zależy
zarówno od miejsca na strunie x, jak i od czasu t.
Stwierdzamy, że wychylony z położenia równowagi element x uzyskuje przyspieszenie
tylko wzdłuż osi y. Tangensy kątów 1 i 2 w punktach x1 i x2 są z definicji równe nachyleniu
y
y
krzywej w tych punktach, a nachylenie krzywej określają pochodne
i
x x  x2
x x  x1
(graficzna interpretacja pochodnej), czyli
3
tg1 
y
x
, oraz
tg 2 
x  x1
y
x

x  x2
y
x
.
x  x1  x
Ponieważ x jest bardzo małe, więc w granicy x –>0:
tg 2  tg1
1  y

x
x  x
x  x1  x
y

x
 2 y

 x 2 ,
x  x1 
co jest definicją drugiej pochodnej. Czyli:
2 y
tg 2  tg1  2 x
x
Po wstawieniu do równania oznaczonego () i przekształceniach będziemy mieli równanie:
 2 y Fx  2 y

czyli
m x 2
t 2
 2 y m  2 y


0
x 2 Fx t 2
Jednocześnie:
m  S
 S  r 2
x  S
gdzie S jest powierzchnią przekroju poprzecznego struny, r jej promieniem, a  jej gęstością.
A więc:
 2 y r 2  2 y

 2 0
F
x 2
t
Jest to podstawowe równanie falowe, gdzie prędkość fali  
()
F
.
 r 2
Jednym z rozwiązań tego równania jest wyrażenie:
y  A sin kx   t  .
Opisuje ono falę o amplitudzie A, częstości  i liczbie falowej k rozchodzącą się w dodatnim
kierunku osi x. W miejscu zamocowania fala ulega odbiciu zaczyna poruszać się w kierunku
przeciwnym (ujemnej części osi x). Postać tej fali, która jest również rozwiązaniem równania
z dwoma gwiazdkami, jest:
y  A sin kx   t  .
W strunie są więc jednocześnie dwie fale biegnące w przeciwnych kierunkach. Wynikiem
nałożenia się tych dwóch fal (interferencji) jest fala stojąca o równaniu
4
y  y1  y2  A sinkx   t   A sinkx   t   2 A sin kx cos  t .
Opis fali zawiera cześć zależną od czasu i część przestrzenną zależną od współrzędnej x. Przy
dostatecznie dużych wychyleniach struny można zaobserwować kształt sinkx. Fala musi
znikać w miejscach zamocowania, czyli spełniać następujące warunki brzegowe: y = 0 dla x
= 0 oraz dla x = l takiego, aby sinkl = 0, czyli kl = n, gdzie n  N . Daje to warunek na
długość fali stojącej  jaka może powstać w strunie:
kl 
2
n
l  n

n 
2l
.
n
Są to tylko takie fale, których długości są:  = 2l, lub  = l, , lub  = 2l/3, lub  = l,/2 itd.
Odpowiadają one częstościom n spełniającym zależność: v = nn, gdzie v jest prędkością
fali. A więc można zapisać:
νn 

n
n
 

2l 2l
F
.
r 2
Wzór ten opisuje częstotliwości drgań własnych struny, czyli jej harmoniki. Gdy n = 1
1
częstość ν 1  
nazywamy częstością podstawową lub pierwszą harmoniczną. Gdy n = 2
2l
1
3
częstość ν 2   nazywamy drugą harmoniczną, gdy n = 3 częstość ν 3  
nazywamy
l
2l
trzecią harmoniczną itd. Wynika z niego, że każda z harmonik zależy liniowo od pierwiastka
z siły naciągu. Do sprawdzenia tej zależności potrzeba znaleźć częstotliwości drgań własnych
struny dla różnych naciągów, natomiast by wyznaczyć gęstość materiału, z którego jest
wykonana struna, musimy dodatkowo zmierzyć długość struny i promień przekroju
poprzecznego.
Wykonanie ćwiczenia
Wyniki wszystkich pomiarów muszą być zapisane w sprawozdaniu, opatrzone odpowiednimi
jednostkami i podpisane przez asystenta.
1. Pomiar promienia struny
Mierzymy kilkakrotnie średnicę struny w różnych miejscach na jej obwodzie.
Propozycja zapisu wyników:
d1 = ......
d = ......
d2 = ...... itd.
gdzie d jest błędem systematycznym wynikającym z dokładności przyrządu.
2. Pomiar długości struny
Mierzymy miarką zwojową długość struny pomiędzy miejscami zamocowania.
Propozycja zapisu wyników:
l1 = ......
l = ......
5
l2 = ...... itd.
gdzie l jest błędem systematycznym wynikającym z dokładności przyrządu.
3. Pomiary częstotliwości drgań własnych
a) Sprawdzamy wstępne ustawienia przyrządów: generator - zakres częstotliwości
akustycznych 20 – 2000 Hz, napięcie sygnału wyjściowego U = 7,75 V, dzielnik napięcia
- N = 500, częstościomierz na zakresie 1 s.
b) Na odaretowaną strunę zakładamy ciężarki o znanej masie i śrubę aretującą dokręcamy
tak, by docisnęła ten fragment struny do obudowy. Masa samego pręta jest równa
mp = 0,145 kg. Początkowa masa pręta i ciężarków powinna wynosić powyżej 1,5 kg.
c) Po włączeniu przyrządów bardzo powoli zwiększamy gałką generatora częstotliwość od
najmniejszych możliwych. Szukamy częstości rezonansowej obserwując, kiedy struna
zacznie drgać. Przy tej operacji wzmocnienie sygnału generatora powinno być duże. Dla
najniższej częstości rezonansowej amplituda drgań powinna mieć maksimum w środku
struny i nie powinno być widoczne drganie przy końcach struny. Jest to pierwsze drganie
harmoniczne
d) Jednocześnie na ekranie oscyloskopu obserwujemy obraz utworzony przez plamkę, która
może być wychylona sygnałem z generatora (w kierunku pionowym) i sygnałem z
przetwornika drgań (w kierunku poziomym). Przy częstotliwość różnej od częstotliwości
własnej struny ekranie oscyloskopu widać linię pionową, natomiast, gdy częstotliwość
generatora zbliża się do częstotliwości własnej struny, sygnał z przetwornika rośnie, a na
ekranie obserwujemy elipsę lub inną krzywą. Przy zbyt silnym wzmocnieniu sygnału
struna może uderzać o obudowę, i obraz na ekranie będzie poszarpany. Należy wówczas
zmniejszyć wzmocnienie generatora. Gdy składowa pozioma krzywej na ekranie
oscyloskopu uzyskuje największą wartość, struna jest w rezonansie z sygnałem
generatora i jest to częstość rezonansowa. Pomiary powtarzamy kilkakrotnie. Uwaga:
Może się również zdarzyć, że na ekranie pojawia się elipsa w miejscu, gdzie nie ma
rezonansu. Dlatego dobrze jest stwierdzić czy struna drga.
e) Dla tego samego naciągu struny znajdujemy kolejne (drugie, trzecie, czwarte itd.) drganie
harmoniczne. Będą one odpowiadały zwielokrotnionej częstotliwości drgania
podstawowego. Drgająca struna będzie miała nieruchome (jeden, dwa, trzy itd.) węzły
widoczne w środku struny. Każdy pomiar powtarzamy kilkakrotnie. Uwaga: gdy
miniemy już częstotliwość rezonansową dotykamy lekko palcem struny, by przyspieszyć
stłumienie drgań.
f) Na odaretowaną strunę zakładamy kolejne ciężarki (siedem różnych obciążeń struny), i
po zaaretowaniu znajdujemy kolejne częstości własne (harmoniki).
Propozycja zapisu wyników:
m
[jednostka]
1
 = ......
2
3
Do tabeli wpisujemy błędy systematyczne wynikające z dokładności przyrządów
pomiarowych.
6
Opracowanie wyników
a) Obliczamy wartości średnie długości struny i jej promienia. Błędy obliczamy
uwzględniając niepewność losową i systematyczną.
b) Dla każdej masy obciążników m obliczamy odpowiadającą jej siłę naciągu F i
pierwiastek z tej siły F . Błąd  F liczymy metodą propagacji niepewności
pomiarowych.
c) Na papierze milimetrowym sporządzamy wykres, na którym dla każdej wartości
pierwiastka z siły naciągu zaznaczamy częstotliwości harmoniczne. Zaznaczamy
również przedziały błędów ν oraz  F . (Wykres można sporządzić wykorzystując
programy komputerowe).
d) Metodą najmniejszych kwadratów (regresji liniowej) wyznaczamy dla każdej
harmonicznej współczynnik A nachylenia prostej najlepiej dopasowanej do punktów
pomiarowych przy założeniu B=0. Nanosimy te proste na wykres. Wyznaczamy również
błędy A.
e) Korzystając z wyznaczonych współczynników A obliczamy gęstość materiału struny.
Błąd  obliczamy metodą propagacji niepewności pomiarowych.
 
 
We wnioskach spróbujmy ocenić
 czy wyniki pomiarów potwierdzają liniową zależność częstotliwości własnych
struny od pierwiastka z siły naciągu;
 jaka jest korelacja między punktami pomiarowymi a narysowanymi prostymi;
 dla której harmoniki ta korelacja jest najlepsza.
 czy obliczone wartości gęstości materiału struny pokrywają się w granicach
błędów doświadczalnych z wartością literaturową przyjmując, że struna jest
wykonana z żelaza.