Zestaw 1 - Wydział Chemii UJ

Zadania z fizyki dla I roku chemii
Zestaw 1
1. W celu sprawdzenia tempomatu samochodowego (urządzenia zapewniającego jazdę ze
stałą prędkością), kierowca jadący prostym odcinkiem autostrady mierzy czas upływający
pomiędzy mijaniem kolejnych słupków kilometrowych, na których podana jest odległość w
kilometrach od początku drogi. Kierowca uzyskał następujące wyniki (x – oznaczenie słupka,
t - czas): x=10 km dla t=0 s; x=11 km dla t=30 s; x=12 km dla t=60 s; x=13 km dla t=90 s.
a) narysować wykres funkcji x(t);
b) obliczyć prędkość samochodu dla poszczególnych odcinków kilometrowych i całego
odcinka pomiarowego;
c) jaki jest związek między nachyleniem wykresu a szybkością jazdy?
2. Ciało spadające swobodnie przebywa w czasie t drogę s=(1/2)gt2.
a) Obliczyć średnią prędkość ciała między chwilą to a t1>to (t1 = to + Δt).
b) Jaką wartość przyjmie wyrażenie na prędkość średnią dla Δt zbliżającego się do zera? Ta
wartość to prędkość chwilowa v(to).
3. Rozważmy parabolę będącą wykresem funkcji y=ax2 (a>0) oraz dwa punkty tej paraboli:
M(xo,yo) oraz M1(xo+Δx, yo+Δy).
a) Obliczyć współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia) siecznej MM1.
b) Określić wartość otrzymanego wyrażenia na współczynnik kierunkowy dla dowolnie
małego przyrostu argumentu Δx≈0, a tym samym znaleźć współczynnik kierunkowy stycznej
do paraboli w punkcie xo.
4. Ilorazem różnicowym funkcji y=f (x) nazywamy wyrażenie:
Δy f (x + Δx)− f ( x)
=
Δx
Δx
Jest to miara średniej szybkości zmian funkcji w przedziale (x, x + Δx). Jeśli uda nam się
określić wartość tego wyrażenia dla wartości przyrostu argumentu dowolnie bliskiej zeru
(Δx≈0), to tym samym znajdziemy „chwilową” szybkość zmian funkcji w danym punkcie.
Taką (chwilową) szybkość zmian funkcji nazywamy pochodną funkcji w tym punkcie i
oznaczamy dodając do symbolu funkcji znak prim: f '(x).
Dla następujących funkcji proszę utworzyć ich ilorazy różnicowe w dowolnym punkcie
należącym do dziedziny i spróbować określić wartości tych ilorazów dla Δx≈0:
a) y=c (dowolna stała)
b) y=kx (k jest stałą)
c) y=x3
d) y=√x
Uwaga:
Jeżeli każdemu punktowi x należącemu do dziedziny funkcji y=f(x) przypiszemy wartość jej
pochodnej w tym punkcie, otrzymamy nową funkcję nazywaną funkcją pochodną, lub w
skrócie pochodną funkcji f, którą oznaczamy y=f’(x).
5. Pochodna funkcji ma naturalną interpretację geometryczną (por. zadanie 3): jest ona równa
współczynnikowi kierunkowemu (tangensowi kąta nachylenia) stycznej do wykresu funkcji w
danym punkcie.
Proszę narysować – jeden pod drugim w tej samej skali - wykresy funkcji sinus i cosinus
argumentu w mierze łukowej (radianach).
a) Określić jakościowo związek współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu sinusa i
wartości funkcji cosinus dla tego samego kąta.
b) Powtórzyć ten eksperyment dla stycznej do wykresu cosinusa. Jak jej współczynnik
kierunkowy wiąże się z wartością sinusa?
6. W praktyce pochodne obliczamy korzystając z licznych reguł rachunkowych.
a) [cf(x)]’=cf’(x), gdzie c jest stałą
b) [f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x) – pochodna sumy funkcji
c) [f(x)·g(x)]=f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x) – pochodna iloczynu
d) [f(x(t))]’=f’(x(t)) ·x’(t) – pochodna funkcji złożonej.
Proszę zastosować powyżse reguły do funkcji liniowych i przekonać się, że są dla nich
spełnione.
Korzystając z tych reguł i wyników zadań 2-4 obliczyć pochodną funkcji y = ax 2 +bx +c
oraz funkcji y = √ 5x
7. Samolot leci z południa na północ z szybkością 650 km/h. Wiatr wieje dokładnie w
kierunku północno-wschodnim z szybkością 80 km/h i znosi samolot w kierunku wschodnim.
Znaleźć szybkość i kurs samolotu.
8. Dwie cząstki poruszają się w kierunkach wzajemnie prostopadłych. Pierwsza z nich
porusza się z prędkością v 1=2 cm/ s w dodatnim kierunku osi X, a w chwili t=0 znajdowała
się w punkcie o współrzędnych x 1 = -3 cm, y 1 =0. Druga cząstka porusza się z
prędkością v 2=3 cm/s w dodatnim kierunku osi Y, a w chwili t=0 znajdowała się w
punkcie o współrzędnych x 2=0 , y 2=−3 cm .
a) Znaleźć wektor r⃗2−r⃗1 określający położenie cząstki drugiej względem pierwszej w
funkcji czasu.
b) Obliczyć długość tego wektora, ∣r⃗2− r⃗1∣ = d(t), czyli odległość cząstek w danej chwili.
Dla jakiej wartości zmiennej t odległość ta będzie minimalna? Wskazówka: jakie jest w tym
punkcie położenie stycznej do wykresu funkcji d(t)?
c) Jakie są w tym momencie wartości współrzędnych obu cząstek?