Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 5 (4-9.11.2009)
Gry matematyczne
1. Na stole leżą trzy stosiki zapałek, w jednym 13, w drugim 15, a w trzecim
17 zapałek. W każdym ruchu gracz wybiera jeden stosik i dzieli go na dwa
mniejsze. Przegrywa ten, kto już nie jest w stanie wykonać żadnego ruchu.
Dla którego z graczy istnieje strategia zapewniająca wygraną?
Rozwiązanie tego zadania jest na liście rozwiązań zadań grupy zaawansowanej.
2. Dwóch graczy na przemian układa na okrągłym stole monety 1-złotowe –
na wolnym w danej chwili miejscu, bez możliwości przesuwania wcześniej
położonych monet. Przegra gracz, który z braku wolnego miejsca na stole nie
może położyć kolejnej monety. Jak powinien postępować pierwszy z graczy,
aby zapewnić sobie wygraną?
Rozwiązanie. Opiszemy strategię wygrywającą dla pierwszego gracza. W pierwszym ruchu musi on położyć monetę dokładnie na środku stołu (czyli tak, żeby
środek monety leżał na środku stołu). Następnie po każdym ruchu drugiego
gracza musi kłaść swoją monetę na miejscu symetrycznym do położonej przez
przeciwnika względem środka stołu. Jest oczywiste, że taki ruch jest możliwy,
skoro był możliwy ruch przeciwnika. Pierwszy z graczy zawsze będzie więc
miał gdzie położyć monetę w swoim ruchu. Jednak widać, że gra musi się
kiedyś skończyć, bo na stole zmieści się tylko skończona liczba monet. Zatem
drugi z graczy musi przegrać.
3. Dany jest 2010-kąt foremny. Gracze na zmianę rysują jego przekątne w taki
sposób, aby nowa przekątna nie miała punktów wspólnych z dotychczas narysowanymi. Jak powinien postępować pierwszy z graczy, aby zapewnić sobie
wygraną?
1
Rozwiązanie. Strategia wygrywająca oparta jest na symetrii. Pierwszy gracz
rysuje przekątną łączącą dwa przeciwległe wierzchołki, prostą ją zawierającą oznaczmy przez k. Gdy drugi gracz narysuje jakąkolwiek dopuszczalną
przekątną, to pierwszy gracz rysuje przekątną symetryczną względem prostej
k. Układ narysowanych przekątnych po obu ruchach pozostaje symetryczny
względem prostej k, więc pierwszy gracz zawsze może odpowiedzieć na ruch
drugiego gracza. Gra kończy się, gdy drugi gracz nie ma możliwości narysowania dopuszczalnej przekątnej.
4. Mamy dwie gromadki: 20 i 21 cukierków. W jednym ruchu gracz zabiera z
jednej gromadki dowolną liczbę cukierków. Wygrywa ten, kto zabierze ostatnie cukierki. Dla którego z graczy istnieje strategia wygrywająca i jaka to
strategia?
Rozwiązanie. Strategia wygrywająca istnieje dla pierwszego gracza. Pierwszy
gracz bierze 1 cukierek z większej gromadki, zostają dwie po 20 cukierków. W
kolejnych ruchach, gdy drugi gracz weźmie k cukierków z jednej gromadki, to
pierwszy gracz bierze k cukierków z drugiej gromadki, i w obu gromadkach
jest po tyle samo cukierków. W ten sposób pierwszy gracz zawsze może odpowiedzieć na ruch drugiego gracza. Gra kończy się, gdy drugi gracz zabierze
wszystkie cukierki z jednej gromadki, a pierwszy gracz adekwatnie odpowie
na jego ruch i wygra.
5. Na tablicy napisano liczby: 1, 2, 3, . . . , 2010. Dwaj uczniowie na zmianę ścierają
po jednej liczbie tak długo, aż zostaną dwie liczby. Jeśli suma tych liczb dzieli
się przez 3, to wygrywa pierwszy uczeń (rozpoczynający), a jeśli nie dzieli się,
to wygrywa drugi. Dla którego z uczniów istnieje strategia wygrywająca i jaka
to strategia?
Rozwiązanie. Drugi gracz ma strategię wygrywającą opartą na symetrii. Jeśli
pierwszy gracz zetrze liczbę k, to drugi gracz ściera liczbę 2011 − k. Pary k i
2011−k są symetryczne względem ”środka” (1005 12 ). Po ostatnim ruchu drugiego gracza pozostanie niezmazana para symetryczna k i 2011 − k, której suma
2011 nie dzieli się przez 3, co da wygraną drugiemu graczowi.
6. Dwaj gracze startują od liczby 0, dodając na przemian do otrzymanej liczby
1 lub 2. Wygrywa ten, kto pierwszy otrzyma 20. Dla którego z graczy istnieje
strategia wygrywająca i jaka to strategia?
Rozwiązanie. Zauważmy, że gracz, który otrzyma liczbę 17, zapewnia sobie
wygraną:
– jeśli przeciwnik doda 1, to on dodaje 2 i otrzymuje 20,
– jeśli przeciwnik doda 2, to on dodaje 1 i też otrzymuje 20.
Aby zapewnić sobie możliwość otrzymania liczby 17, w poprzednim ruchu powinien otrzymać 14 i postąpić jak wyżej. Liczbami otrzymanymi we wcześniejszych ruchach powinny być kolejno: 11, 8, 5, 2. Zatem pierwszy gracz ma
strategię wygrywającą i w pierwszym ruchu powinien do 0 dodać 2, a dalej
postępować w opisany wyżej sposób.
2