Jak obliczać niepewności i zaokrąglać wyniki
Transkrypt
Jak obliczać niepewności i zaokrąglać wyniki
Jak wyznaczać niepewności pomiarowe i zaokrąglać wyniki? UWAGA: większość z poniższych zasad ma charakter ogólny, ale niektóre są tylko konwencją obowiązującą na moich zajęciach - wymagania innych prowadzących mogą się różnić od tych przedstawionych przeze mnie. W Laboratorium Podstaw Fizyki stosujemy uproszczony schemat wyznaczania niepewności oraz zaokrąglania wyników. Jest on streszczony w dokumencie ”Uwagi dotyczące obliczania niepewności pomiarowych” na stronie LPF. Może on nie być do końca zgodny z informacjami podanymi na kursie metrologii (jeśli takowy Państwo mieli), ani też ze starszymi materiałami na stronie LPF – do których jednak warto zajrzeć w celu poszerzenia swojej wiedzy. 1 Niepewności pomiarów bezpośrednich W LPF stosujemy dwie metody wyznaczania niepewności pomiarów bezpośrednich: statystyczną, obliczaną na podstawie wielokrotnych pomiarów (typ A) oraz szacowaną, określaną na podstawie przyrządu pomiarowego (typ B). Niepewność typu A obliczamy, kiedy wykonujemy wiele pomiarów, a jako wynik przyjmujemy średnią z nich. Jest ona równa odchyleniu standardowemu średniej sP s n 2 (x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + ... + (xn − x̄)2 i=1 (xi − x̄ ) = , (1) uA (x) = n(n − 1) n(n − 1) gdzie xi to wynik pomiaru nr i, x̄ to średnia ze wszystkich pomiarów, a n to liczba pomiarów. UWAGA: Istnieją dwa wzory na odchylenie standardowe: odchylenie standardowe dla pojedynczego pomiaru rP =1n (xi −x̄2 ) i i odchylenie standardowe średniej (wzór (1) powyżej). Oba są poprawne, ale ich znaczenie jest (n−1) inne: pierwszy pozwala policzyć niepewność każdego z pojedynczych pomiarów w serii, a drugi niepewność średniej. Średnia jest wyznaczona dokładniej niż pojedynczy pomiar (dlatego wykonujemy serię pomiarów – każdy kolejny pomiar zwiększa dokładność wyznaczenia średniej). UWAGA#2: Jeśli wykonujemy wiele pomiarów tej samej wielkości, ale przy każdym z nich zmieniamy jakieś parametry układu, nie liczymy średniej i nie wyznaczamy niepewności za pomocą odchylenia standardowego. Na przykład jeśli wyznaczamy opór opornika za pomocą regresji liniowej, wykonujemy serię pomiarów napięcia i natężenia, ale każdego z nich dokonujemy dla innej wartości napięcia na zasilaczu. Wtedy różnice między pomiarami nie są tylko efektem niedokładności pomiaru, ale też (i przede wszystkim!) naszego celowego działania. Obliczanie średniej i odchylenia standardowego nie ma wtedy sensu. Niepewność typu B możemy określić także dla pojedynczego pomiaru, o ile znamy parametry przyrządu pomiarowego, lub możemy w inny sposób oszacować przedział wartości, jakie może przyjmować wynik. Niepewność ta wynosi r ∆p x 2 ∆e x 2 + + ..., (2) uB (x) = 3 3 gdzie ∆x to połowa szerokości przedziału, w jakim może znajdować się zmierzona wartość. Indeksy odpowiadają poszczególnym źródłom niepewności, np. ∆p x - dla niepewności wzorcowania, ∆e x - dla niepewności eksperymentatora itd. W praktyce będziemy się stykać prawie wyłącznie z niepewnością wzorcowania, więc, o ile nie powiem inaczej, można używać wzoru ∆p x uB (x) = √ . (3) 3 ∆p x wyznaczamy na różne sposoby w zależności od typu przyrządu pomiarowego: • Dla prostych przyrządów posiadających podziałkę (np. linijki, suwmiarki, kątomierze itd.) przyjmujemy ∆p x równe najmniejszej działce przyrządu. • Dla analogowych mierników elektrycznych przyjmujemy ∆p x = C · Z, gdzie C to klasa przyrządu (zazwyczaj wyrażona w procentach), a Z to zakres pomiarowy. 1 • Dla cyfrowych mierników elektrycznych przyjmujemy ∆p x = a%rdg + b · dgt gdzie a i b są współczynnikami podanymi przez producenta, rdg to wartość zmierzona, a dgt to najmniej znacząca cyfra (tzn zapisujemy wynik z taką dokładnością jak na wyświetlaczu i na ostatniej pozycji wstawiamy 1, a na pozostałych 0). Np. jeśli zmierzyliśmy napięcie 2.34 V , to dgt jest równe 0.01 V . Jeśli nasz wzór na niepewność ma postać 1.2%rdg + 3dgt, to niepewność wynosi 0.012 · 2.34 V + 3 · 0.01 V ). Wartości a i b dla mierników używanych w LPF są podane na stronie Laboratorium. Podobnie jak niepewność typu A, niepewność typu B również jest równa odchyleniu standardowemu. Nie używamy jednak wzoru na odchylenie standardowe. Zamiast tego wychodzimy z założenia że wynik pomiaru mógłby przyjąć dowolną wartość z przedziału x−∆x , x+∆x z równym prawdopdobieństwem, i korzystamy z faktu √x 1 . że dla takiego rozkładu prawdopdobieństwa odchylenie standardowe jest równe ∆ 3 Niepewność całkowitą obliczamy, jeśli potrafimy obliczyć oba typy niepewności (tzn wykonujemy wiele pomiarów przyrządem o znanej dokładności). Wynosi ona q u(x) = u2A (x) + u2B (x) (4) 2 Niepewności pomiarów złożonych W przypadku pomiarów złożonych (tzn. wtedy kiedy wyznaczamy jakąś wielkość na podstawie innych wielkości), stosujemy następującą metodę: jeśli wyznaczaną wielkością jest y = f (x1 , x2 , x3 , ...) (tzn. obliczamy y na podstawie wielkości x1 , x2 , x3 , ... których wartości i ich niepewności znamy), to jej niepewność wynosi r ∂y ∂y ∂y u(x1 ))2 + ( u(x2 ))2 + ( u(x3 ))2 + ... (5) uC (y) = ( ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂y to pochodna cząstkowa y po xi , czyli pochodna obliczona w taki sposób, że wszystkie zmienne w gdzie ∂x i wyrażeniu na y z wyjątkiem xi są traktowane jak stałe. Na przykład obliczając opór ze wzoru R= U I mamy ∂R 1 = , ∂U I r więc niepewność oporu wynosi ∂R U = − 2, ∂I I u2 (U ) U 2 u2 (I) + I2 I4 UWAGA: Dawniej w LPF stosowano również metodę różniczki zupełnej, która jest przybliżeniem powyższej metody. W metodzie różniczki zupełnej niepewność y wynosi. uC (R) = ∂y ∂y ∂y u(x1 ) + u(x2 ) + u(x3 ) + ... (6) ∂x1 ∂x2 ∂x3 Zgodnie z nowymi zaleceniami metody różniczki zupełnej NIE STOSUJEMY na LPF. Proszę o zwrócenie na to uwagi przy korzystaniu ze starszych materiałów lub materiałów spoza LPF. uC (y) = 3 Niepewność standardowa i rozszerzona Powyższe niepewności to tzw. niepewności standardowe, tzn. wyznaczone na podstawie odchylenia standardowego. Każdej z nich odpowiada pewien tzw. poziom ufności, tzn. pewne prawdopdobieństwo, że prawdziwa wartość mierzonej wielkości znajduje się w przedziale [x − u(x), x + u(x)], gdzie x to wynik pomiaru. Na przykład dla niepewności typu A (i przy pewnych założeniach na temat rozkładu prawdopodobieństwa) wynosi ono ok. 68%. Jeśli chcemy aby to prawdopodobieństwo było większe (a tym samym wynik oszacowany ostrożniej), musimy rozszerzyć przedział, mnożąc niepewność przez tzw. współczynnik rozszerzenia k U (x) = ku(x) W LPF dla uproszczenia zawsze stosujemy współczynnik rozszerzenia równy 2. Na naszych zajęciach zazwyczaj będziemy używali tylko niepewności standardowej. Proszę o podawanie jej w sprawozdaniach, chyba że w instrukcji znajdzie się wyraźne polecenie użycia niepewności rozszerzonej (bądź ja dam takie polecenie na zajęciach). 1 Tak naprawdę odchylenia standardowe używane przy obliczaniu niepewności typu A i B to matematycznie dwa różne obiekty. Przy wyznaczaniu uB (x) używamy tzw. odchylenia standardowego zmiennej losowej, a przy obliczaniu uA (x) tzw. odchylenia standardowego z próby. Pominąłem to rozróżnienie dla uproszczenia. 2 4 Zaokrąglanie niepewności i zapis wyników Niepewności zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących, zawsze w górę. Cyframi znaczącymi są wszystkie cyfry pominięciem początkowych zer. Na przykład w liczbie 0.000042 cyfry znaczące to 4 i 2. Wyniki zaokrąglamy do rzędu niepewności, w dół lub w górę (w dół jeśli następna cyfra jest mniejsza od 5, w górę jeśli jest większa lub równa 5). Na przykład, wynik U = 7.455245 V, u(U ) = 0.012302 V zaokrąglamy jako U = 7.455 V, u(U ) = 0.13 V a wynik U = 3.055845 V, u(U ) = 0.014502 V zaokrąglamy jako U = 3.056 V, u(U ) = 0.15 V Co zrobić jeśli zaokrąglona z dokładnością do 2 cyfr znaczących niepewność jest dokładniejsza niż wynik (tzn. jest tak mała że nie da się jej odczytać z przyrządu)? Na przykład, jeśli odczytamy z miernika U = 3.45 V (tzn. na ekranie będziemy mieli tylko dwa miejsca po przecinku), a niepewność po zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących wyniesie 0.012 V ? Istnieją dwie konwencje. Jedna zakłada że zapisujemy wynik z taką dokładnością, z jaką go odczytaliśmy, a niepewność zaokrąglamy do takiej samej dokładności (co dałoby 0.02 V ). Druga mówi, że pozostawiamy niepewność zaokrągloną do dwóch cyfr znaczących i zwiększamy dokładność wyniku (tzn dopisujemy zera na końcu), tak aby ich dokładności się zgadzały (co dałoby U = 3.450 V i u(U ) = 0.012 V . Na naszych zajęciach można stosować dowolną z nich, proszę jednak wybrać jedną i trzymać się jej w całym sprawozdnaiu. Wynik pomiaru z niepewnością standardową zapisujemy umieszczając cyfry znaczące niepewności w nawiasie. U = 3.056(15)V oznacza że U = 3.056 V, u(U ) = 0.15 V Zapis z symbolem ± jest zarezerwowany dla niepewności rozszerzonej: U = (3.056 ± 0.30)V UWAGA: Jeśli na ostatniej pozycji znajduje się zero, jest ono również cyfrą znaczącą. Wynik 0.09999 zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących to 0.10, a nie 0.1 (należy o tym pamiętać zwłaszcza używając Excela, który domyślnie nie pokazuje tego zera) UWAGA#2: Dwie cyfry znaczące to nie dwa miejsca po przecinku! (częsty błąd) UWAGA#3: Jeśli dana wielkość jest większa lub równa 1, cyframi znaczącymi są też cyfry przed przecinkiem (tzn 1.08234 zaokrąglone do 2 cyfr znaczących to 1.1). W szczególności. jeśli mamy np. wielkość trzy- lub więcej-cyfrową, to po zaokrągleniu powinniśmy wstawiać na ostatnich pozycjach zera, np. 2293 zaokrąglone do dwóch cyfr znaczących to 2300. UWAGA#4: Powyższy sposób zaokrąglania należy stosować do wyniku końcowego. W toku obliczeń można używać większej dokładności w celu uniknięcia błędów zaokrąglenia. UWAGA#5: Dawniej w LPF stosowano metodę zaokrąglania do jednej cyfry znaczącej lub dwóch, o ile zaokrąglenie do jednej zmieni niepewność o więcej niż 10%. Można stosować ja na moich zajęciach. Proszę jednak trzymać się jednej konwencji w obrębie sprawozdania. 3