Lista 1
Transkrypt
Lista 1
Lista 1 Działania na wektorach. Elementy metodologii fizyki. 1. Dane są dwa wektory: a = 3i + 4j – 5k oraz b = -i +2j +6k. Wyznaczyć: a) długość każdego wektora, b) iloczyn skalarny a·b, c) kąt pomiędzy wektorem (a – b) a wektorem (a + b). Rozwiązanie: 2. Wektory a i b spełniają relacje: a + b = 11i - j +5k ; a – 5b = -5i +11j +9k. Wyznaczyć wektory a i b. Czy wektory te są do siebie prostopadłe? Rozwiązanie: 3. Dany jest wektor a = 7i + 11j. Wyznaczyć wektor jednostkowy, prostopadły do tego wektora. Rozwiązanie: 4. Dane są dwa wektory: a = 3i + 4j oraz b = 6i + 16j. Rozłożyć wektor b na składowe: równoległą i prostopadłą do wektora a. Rozwiązanie: 5. W punktach o współrzędnych (2,2) oraz (3,7) kartezjańskiego układu współrzędnych umieszczono po jednej cząstce. Wyznaczyć kąt, jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek. Rozwiązanie: 6. Dany jest wektor A = 3i + 5j. Wyznaczyć jego długość i kąt, jaki tworzy z osią 0X. Rozwiązanie: 7. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa punkty M1 = (2,10) oraz M2 = (5,6). Jaki kąt z osią 0X tworzy prosta łącząca te punkty? Rozwiązanie: 8. Wektor o długości 5N jest w płaszczyźnie XY nachylony pod kątem 30° względem osi 0X. Zapisać wektor w postaci A = Ax i + Ay j. Rozwiązanie: 9. Poruszająca się po podłodze z prędkością o wartości v1 kula uderza w ścianę pod kątem α i odbija się pod kątem β. Nowa wartość prędkości wynosi v2. Wyznaczyć wektor zmiany prędkości. Rozwiązanie: 10. Dla każdego z poniższych przypadków wyznaczyć wektory C = A + B oraz D = A – B. Dane: Rys. a) długości wektorów: |A|= 2,80, |B|= 1,90; kąty: α = β = 60° Rys. b) długości wektorów: |A|= 3,60, |B|= 2,40; kąty: α = 70°, β = 30° y y Rys. a Rys. b A A α α x x β β B B Rozwiązanie: 11. Dane są dwa wektory: A = 2i + 5j oraz B = 2i - 4j. Wyznaczyć: a) długość każdego z wektorów; b) długość wektora C = A + B oraz kąt jaki tworzy on z wektorem A. Rozwiązanie: 12. Barka jest ciągnięta przez dwa holowniki: pierwszy napina siłą 12 kN hol tworzący kąt 60° względem prawego trawersu barki (kierunku prostopadłego do płaszczyzny symetrii statku), a drugi napina swój hol siłą 8 kN pod kątem 75° względem lewego trawersu. Wyznaczyć siłę wypadkową działającą na barkę i obliczyć kąt pod jakim jest ona odchylona od płaszczyzny symetrii barki. Rozwiązanie: 13. Wektory a oraz b spełniają relacje: a + b = 11i – j; a – 5b = -5i + 11j. Wyznaczyć te wektory. Czy są one do siebie prostopadłe? Rozwiązanie: 14. Wektory a oraz b spełniają relację: a + b = 0. Co możemy powiedzieć o tych wektorach? Rozwiązanie: 15. Długość wektora A wynosi 5 jednostek, a wektora B 7 jednostek. Jaka może być największa i najmniejsza długość wektora R = A + B? Rozwiązanie: 16. A i B to wielkości fizyczne mające określone wymiary. Które z podanych działań mają sens fizyczny: A-B, A+B, A/B, A·B, jeśli wymiary A i B są: a) identyczne, b) różne? Rozwiązanie: 17. Położenie cząstki zależy od czasu jak: x(t)=Asin(ωt). Jaki wymiar mają w układzie jednostek miar SI wielkości A i ω? Rozwiązanie: 18. Przyspieszenie dośrodkowe ad ciała w ruchu po okręgu o promieniu R zależy od prędkości tego ciała v i promienia R jak ad=vαRβ. Wyznaczyć, za pomocą analizy wymiarowej wartości wykładników α i β. Wskazówka: wymiar przyspieszenia: długość/(czas)2, wymiar prędkości: długość/czas. Rozwiązanie: 19. a)Kropla oleju o masie 900 μg (mikrogramów) i o gęstości 918 kg rozpłynęła się na powierzchni wody tworząc kolistą, szarą plamę o średnicy 42 cm, utworzoną z jednej warstwy (monowarstwy) cząsteczek oleju, Oszacować rząd wielkości średnicy molekuły oleju. B)Ziarnko piasku to kuleczka kwarcu o średnicy 50 μm (mikrometrów) i gęstości 2650 kg/m3, a gęstość piasku wynosi 2600 kg/m3. Oszacować rząd liczby ziarenek piasku w jednym metrze sześciennym. Rozwiązanie: 20. Odległość Ziemi od Słońca wynosi 0,15 Tm (terametra). Jak, za pomocą igły, kawałka kartonu i przymiaru o długości 1m oszacować średnicę Słońca? Spróbuj samodzielnie wykonać taki pomiar, a wynik porównaj z wartością tej średnicy, znalezioną w tablicach. Czy można, (unikając jakiegokolwiek patrzenia na Słońce, co grozi uszkodzeniem wzroku!) oszacować jego średnicę przy pomocy przymiaru i jakiejś monety (np. 10 groszowej) ? Rozwiązanie: 21. Miliarder oferuje ci przekazanie miliarda złotych w monetach jednozłotowych, ale pod warunkiem, że przeliczysz je osobiście. Czy można przyjąć tę propozycję, jeśli przeliczenie jednej monety trwa tylko sekundę? Rozwiązanie: ***