MODELOWANIE PRĄDÓW WIROWYCH W ŚRODOWISKACH

Przemysław PŁONECKI
Bartosz SAWICKI
Stanisław WINCENCIAK
MODELOWANIE PRĄDÓW WIROWYCH
W ŚRODOWISKACH SŁABOPRZEWODZĄCYCH
PRZY WYKORZYSTANIU SKALARNEGO
POTENCJAŁU ELEKTRYCZNEGO
STRESZCZENIE
W artykule przedstawiono wydajny opis matematyczny prądów wirowych przy wolnozmiennych wymuszeniach
elektromagnetycznych pochodzących od płynącego w cewce prądu
elektrycznego. Polem zastosowań prezentowanego rozwiązania są
problemy bioelektromagnetyczne, z czego wynikają zastosowane załoŜenia upraszczające. Opis został sformułowany w oparciu o skalarny potencjał elektryczny. Zaprezentowano autorskie rozwiązanie zagadnienia na granicach niejednorodności, podczas obliczeń metodą
elementów skończonych. Testy numeryczne potwierdziły poprawność
metody, oraz jej wysoką wydajność obliczeniową.
Słowa kluczowe: skalarny potencjał elektryczny, prądy wirowe, MES
1. WSTĘP
Modelowanie prądów wirowych w organizmach Ŝywych wiąŜe się z wieloma trudnościami [9]. Największym wyzwaniem jest uwzględnienie odwzoromgr inŜ. Przemysław PŁONECKI,
e-mail: [email protected]
Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno Pomiarowych,
Wydział Elektryczny, Politechnika Warszawska
PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 236, 2008
P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak
130
wania struktury, co powoduje, Ŝe dyskretyzacja obszaru musi być wyjątkowo
gęsta [4,7]. WaŜne jest równieŜ uwzględnienie skomplikowanych parametrów
elektrycznych tkanek Ŝywych [5,6]. Dobór odpowiedniej metody symulacji korzystnie wpływa na szybkość otrzymywania wyników. PosłuŜenie się skalarnym
potencjałem ϕ powoduje trzykrotne zmniejszenie liczby niewiadomych w układzie równań liniowych w modelu numerycznym MES w stosunku do modeli
uŜywających potencjały wektorowe, znacząco zwiększając wydajność modelu.
Dodatkowo autorzy proponują rozwiązanie mające przyspieszyć modelowanie
zjawiska prądów wirowych w niejednorodnych, słaboprzewodzących obszarach.
2. MATEMATYCZNY OPIS PRĄDÓW WIROWYCH
RozwaŜany obszar jest przedstawiony schematycznie na rysunku 1.
Podobszar Ω 4 jest źródłem wolnozmiennego pola magnetycznego. Jest on
galwanicznie odseparowany dielektrycznym obszarem Ω3 od przewodzących
podobszarów Ω1 i Ω 2 , które symbolizują niejednorodne środowiska przewodzące. W nich indukują się prądy wirowe.
Rys. 1. Schemat modelu: badany obszar to
Ω1 ∪ Ω 2 , Ω3 – izolator, Ω 4 – źródło
Bezpośrednia implementacja numeryczna równań Maxwella wiąŜe się
z trudnościami i zwiększeniem czasu niezbędnego do otrzymania wyników symulacji komputerowej. Dla problemów bioelektromagnetyzmu uwzględnianie
wszystkich zjawisk z dziedziny elektromagnetyzmu jest zbędne. Pominięcie
zjawisk: wypierania prądu, prądu przesunięcia jak i wpływu pola magnetycznego pochodzącego od prądu płynącego w badanym obszarze słaboprzewodzącym, przy wymuszeniach wolnozmiennych, pozytywnie wpływa na szybkość
Modelowanie prądów wirowych w środowiskach słaboprzewodzących …
131
obliczeń, natomiast nie zmniejsza istotnie dokładności otrzymanych wyników
symulacji. Wymienione załoŜenia pozwalają na znaczne uproszczenia, podczas
budowy modelu numerycznego. Dalsze rozwaŜania oparte będą na równaniach:
∇× E = −
∂B
∂t
(1)
r
∇⋅B = 0
(2)
r
r
B = µH
(3)
Na ich podstawie zostaną w dalszym ciągu pracy wyprowadzone równania wykorzystane do liczenia rozkładu pola w środowiskach słaboprzewodzących przy wymuszeniach wolnozmiennych.
Przeprowadzając komputerowe symulacje rozkładu prądów wirowych
wykorzystuje się opis zjawiska za pomocą par potencjałów [2, 8]. Potencjały
zawsze zachowują ciągłość na granicy obszarów o odmiennych właściwościach
materiałowych. W tej pracy będziemy korzystać ze skalarnego potencjału elekr
trycznego ϕ oraz wektorowego potencjału magnetycznego ( A ) [3].
Wyprowadzając równanie róŜniczkowe cząstkowe opisujące rozkład
r
r
przestrzenny pola prądów wirowych podstawiamy B = ∇ × A do równania (1)
otrzymując:
∇× E = −
r
∂
∇× A
∂t
(4)
Gdy przeniesiemy wyraŜenie po prawej stronie zaleŜności (4) na stronę
lewą to otrzymamy równanie, które określone jest z dokładnością do gradientu
pewnej funkcji skalarnej ϕ , poniewaŜ ∇ × (∇ϕ ) ≡ 0 :
r

∂A 
∇ ×  E + ∇ ×  = −∇ × (∇ϕ )
∂t 

(5)
Upraszczając równanie (5) otrzymamy:
r
r
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
(6)
P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak
132
ZaleŜność (6) opisuje rozkład natęŜenia pola elektrycznego w badanym
obszarze. Składa się ono z dwóch składników. Wartość pierwszego ( ∇ϕ ) obliczona będzie przy pomocy
metody elementów skończonych (MES). Wartość
r
∂A
drugiego składnika
pochodzi od źródła pola ( Ω 4 ) i moŜe zostać wyliczona
∂t
na podstawie równania Biota-Savarta.
Po przemnoŜeniu równania (6) przez konduktywność γ i po uwzględnier
r
niu relacji J = γE , otrzymujemy zaleŜność na gęstość prądu w obszarze przewodzącym:
r
r
∂A
J = −γ∇ϕ − γ
∂t
(7)
r
Do dalszych rozwaŜań przyjmujemy, Ŝe pole wektora J jest polem bezr
źródłowym, co odpowiada równaniu ∇ ⋅ J = 0 . Dokonując operacji dywergencji
obu stron zaleŜności (7) otrzymujemy:
r
r
 ∂A 

∇ ⋅ J = −∇ ⋅ (γ∇ϕ ) − ∇ ⋅  γ

 ∂t 
(8)
Przyjmując, iŜ rozwaŜana przestrzeń nie zawiera źródeł prądowych, wartość lewej strony równania (8) wynosi 0. Przenosząc drugi składnik na prawą
stronę otrzymujemy ostateczną postać równania róŜniczkowego cząstkowego
opisujące rozkład pola ϕ , którego rozwiązanie jest głównym celem niniejszego
artykułu:
r
 ∂A 

∇ ⋅ (γ∇ϕ ) = −∇ ⋅  γ

∂
t


(9)
Prezentacja algorytmów pozwalających efektywnie otrzymać rozwiązanie
równania (9) jest głównym celem niniejszego artykułu.
2.1. Warunki brzegowe
Określenie warunków brzegowych na powierzchni badanego obszaru
przewodzącego Γ1 jest moŜliwe, poniewaŜ prąd elektryczny nie przepływa przez
powierzchnie Γ1 , co wyraŜa się następująco:
Modelowanie prądów wirowych w środowiskach słaboprzewodzących …
r r
J ⋅n = 0
133
(10)
r
gdzie n wektor prostopadły do powierzchni zewnętrznej obszaru przewodzącego.
2.2. Pole wymuszenia
Zewnętrze zmienne w czasie pole magnetyczne jest źródłem prądów wirowych. W całym rozpatrywanym obszarze (zarówno w tkankach, jak i w otaczającej przestrzeni) moŜna przyjąć stałą przenikalność magnetyczną µ0 .
W obszarze jednorodnym magnetycznie, rozkład pola magnetycznego pochodzącego od cewki moŜemy określić uŜywając półanalitycznego całkowania korzystając z prawa Biota-Savarta:
r
µ J ×1
B = 0 ∫ r 2 r dv
4π V r
(11)
r
Wykorzystując definicje potencjału A ze wzoru (11) otrzymamy rozkład
pola magnetycznego pochodzącego od cewki opisany za pomocą wektorowego
potencjału magnetycznego:
A=
µ0 J
r dv
4π V∫ r
(12)
r
gdzie r jest odległością pomiędzy węzłem elementu skończonego, a punktami
w cewce, dla których następuje całkowanie półanalityczne w celu wyznaczenia
r
wartości A w węźle.
W rozwaŜanych badaniach, dysktretyzowany jest jedynie obszar przewodzący, gdzie indukują się prądy wirowe ( Ω1 ∪ Ω 2 ).
3. KLASYCZNE ROZWIĄZANIE MES
UŜywając MES, równanie róŜniczkowe cząstkowe (mocna forma) musi
być przeniesiona w słabą formę w dyskretnej przestrzeni elementu skończonego [3]. Takie sformułowanie wykorzystane jest w celu zbudowania macierzy
sztywności i wektora prawych stron liniowego układu równań.
P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak
134
Równanie (9) jest mocną formą równania eliptycznego. Po wprowadzeniu dyskretnej podprzestrzeni rozwiązania i wykorzystaniu metody Galerkina
otrzymujemy słabą formę lewej strony równania (9):
M i , j = ∫ γ∇N i ⋅∇N j dV
(13)
Ve
gdzie N i jest funkcją kształtu w czworościennym elemencie skończonym.
UŜywając tej samej metody, prawa strona równania (9) moŜe być przeniesiona w słabą formę:
bi = ∫ γN i ∇ ⋅
Ve
∂A
dV
∂t
(14)
r
Implementacja równania (14) wymaga określenia wartości pola A we
wszystkich punktach całkowania. Wykorzystano element pierwszego rzędu
Lagrange'a – węzłowy. Interpolacja nad pojedynczym elementem jest określona
zgodnie z równaniem:
r 4 r
A = ∑ Ak N k
(15)
k =1
Uwzględniając, Ŝe
∫
Ve
N i dV =
Ve
, równanie (14) przyjmuje ostateczną po4
stać:
V
bi = γ e
4
r
∂Ak
∇N k ⋅
∑
∂t
k =1
4
(16)
4. PROPONOWANE ROZWIĄZANIE MES
Alternatywną metodą rozwiązania problemu jest wykorzystanie równości
składowej normalnej wektora gęstości prądu na granicy obszarów [1]. W szczególny sposób problem ten występuje na granicy obszarów niejednorodnych
( Γ2 ). Równanie (9) moŜe być przekształcone co postaci:
 ∂A
 − (∇γ ) ⋅ ∂ A
∇ ⋅ (γ∇ϕ ) = −γ  ∇ ⋅
∂t 
∂t

(17)
Modelowanie prądów wirowych w środowiskach słaboprzewodzących …
135
Pierwszy składnik prawej strony równania (17) teoretycznie powinien być
r
równy 0, ale w wypadku numerycznego wyznaczania rozkładu wektora A
r
uwzględnia błędy numeryczne wyznaczania rozkładu wartości A objawiające
r
się niezerową wartością wyraŜenia ∇ ⋅ A w elemencie skończonym. Wartość
r
wyraŜenia ∇ ⋅ A obliczana jest w elementach przed etapem formowaniu układu
r
równań liniowych. W opisywanej implementacji przyjęto stałą wartość ∇ ⋅ A
w elemencie. Jest ona mnoŜona przez objętość elementu i pozostałe czynniki,
a następnie dodawana do prawej strony układu równań liniowych. Uwzględnienie tego składnika skutkuje osiągnięciem stabilności rozwiązań, gdy zewnętrzne
pole wymuszające ma charakter niejednorodny np. pochodzi od cewki. Operacja ta nie jest konieczna przy testowych wymuszeniach jednorodnym polem
magnetycznym.
Drugi składnik równania moŜe być interpretowany jako pseudoźródło pola na granicach niejednorodności materiałowej. Z powodu dyskretyzacji obszaru
elementami o skończonej objętości, gradient konduktywności nie jest dokładnie
określony na granicy, a jego wartość dąŜy do nieskończoności. Modyfikacja
równania róŜniczkowego cząstkowego opisującego rozwaŜany problem jak
i określenie warunków brzegowych zostały przeprowadzone na podstawie rysunku 2.
Rys. 2. Ilustracja warunku ciągłości składowej normalnej wektora gęstości prądu podczas przechodzenia przez granicę pomiędzy obszarami o róŜnej konduktywności
Autorzy proponują procedurę ominięcia trudnego numerycznie liczenia
wyraŜenia ∇γ w obszarach niejednorodnych przez zastąpienie równania (17)
dodatkowym całkowaniem po powierzchni tych ścian elementów skończonych,
które leŜą na granicy niejednorodności materiałowej. Zapewnia to ciągłość
składowej normalnej wektora gęstości prądu na tych granicach.
P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak
136
W tym przypadku słaba forma prawej strony równania (17) składa się
z dwóch składników.
bi = ∫ γN i
Ve
(
)
r
∂
∇ ⋅ A dV +
∂t
(18)
∫
Γ2 e
N iαdS
gdzie α jest pseudoźródłem znajdującym się pomiędzy dwoma róŜnymi materiałami. Wartość współczynnika α otrzymywana jest z ciągłości wektora gęstości prądu.
Na granicy obszarów niejednorodnych zachodzi równość składowych
r
r
normalnych wektora gęstości prądu: J n1 = − J n 2 . Te składowe wyraŜają się zaleŜnościami:
J n1 = −γ 1
∂ϕ1
∂ An1
⋅1n1 − γ 1
∂n
∂t
(19)
J n 2 = −γ 2
∂ϕ 2
∂ An 2
⋅1n 2 − γ 2
∂n
∂t
(20)
r
r
ZauwaŜając iŜ J n1 = − J n 2 , i odejmując (19) i (20) stronami, otrzymamy:
γ2
∂ϕ 2
∂n
− γ1
Ω2
∂ϕ1
∂n
= γ2
Ω1
∂ An 2
∂ A n1
− γ1
∂t
∂t
(21)
PoniewaŜ na granicy obszarów zachodzi: ϕ1 = ϕ 2 = ϕ i An1 = An 2 = An , to
równanie (21), moŜe być zastąpione przez następujący układ równań:
γ 2 − γ 1 ∂An
 ∂ϕ
γ 1 ∂n = − 2
∂t

γ ∂ϕ = − γ 1 − γ 2 ∂An
 2 ∂n
2
∂t
(22)
Równania (22) ma postać niezerowego warunku brzegowego Neumanna, który pozwala na określenie wartości współczynnika pseudoźródła α wykorzystanego przez (18):
Modelowanie prądów wirowych w środowiskach słaboprzewodzących …
α =−
137
γ zew − γ wew ∂An
2
(23)
∂t
gdzie γ wew jest konduktywnością w środku elementu, a γ zew jest konduktywnością na zewnątrz (w drugim materiale).
W przypadku obszarów jednorodnych γ zew = γ wew , więc α i układ równań
(22) redukuje się do warunku brzegowego Neumanna. Na zewnętrznej powierzchni obszaru przewodzącego ( Γ1 ), równanie (21) redukuje się do postaci:
∂ϕ
∂n
=−
Ω1
∂An
∂t
(24)
5. ZADANIA TESTOWE
Przedstawiony model numeryczny został zaimplementowany w języku
programowania C++ z wykorzystaniem bibliotek wspomagających rozwiązywanie równań róŜniczkowych cząstkowych Diffpack [10].
r
Do zagadnień testowych wykorzystano specjalne pole A , które odpowiadało jednorodnej amplitudzie sinusoidalnie zmiennej indukcji magnetycznej
r
B = [0, 0,1]T . W celu uzyskania zadanego wektora indukcji magnetycznej wykor
rzystamy pole wektora A o amplitudzie:
r
A( x, y, z ) = [0.5 y,−0.5 x,0]
(25)
a)
b)
r
r
Rys. 3: a) Rozkład amplitudy potencjału A dający jednorodne pole B odpowiadające
równaniu (25); b) Schemat modelu zbudowanego z dwóch podobszarów o róŜnych konduktywnościach. Przekrój przez płaszczyznę poprzeczną do osi walca
P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak
138
Zadania testowe sprawdzające poprawność zaproponowanych modyfikacji dokonano na prostych bryłach geometrycznych składających się z dwóch
podobszarów (rys. 3b). Obszar oznaczony jako Ω 2 stanowi wycinek walca.
Przykład testowy dobrano w taki sposób, aby istniała moŜliwość intuicyjnego
sprawdzenia poprawności rozkładu prądów wirowych. WaŜne jest takŜe, Ŝeby
r
powierzchnia Γ2 była prostopadła do pola A , wtedy bowiem będziemy mieć do
rozwiązania najtrudniejszy przypadek z punktu widzenia wpływu niejednorodności obszaru na dokładność i szybkość obliczeń.
a)
b)
Rys. 4. Wyniki symulacji w obszarze niejednorodnym:
potencjału ϕ , b) rozkład wartości amplitudy gradientu ∇ϕ
a)
wartości
amplitudy
Na rysunuku 4a) został przedstawiony rozkład potencjału ϕ w badanym
obszarze niejednorodnym. Obserwujemy na nim znaczące niejednorodności
w rozkładzie amplitudy potencjału występujące w okolicy granicy podobszarów,
na których powinien być spełniony warunek brzegowy opisany układem równań
(22).
Na powierzchni Γ2 zostały wprowadzone sztuczne pseudoźródła prądu.
Widać to wyraźnie na rysunku 4b) ukazującym rozkład gradientu ϕ . Stanowi on
r
jeden z członów równania (6), sumując go z wartościami pochodnej ∂A
∂t
przedstawionymi na rysunku 3a otrzymujemy rozkład natęŜenia pola
r
elektrycznego E .
Modelowanie prądów wirowych w środowiskach słaboprzewodzących …
a)
139
b)
r
J : a) obszar niejednorodny
składający się z dwóch przewodników o konduktywnościach γ 1 / γ 2 = 20 , b) obszar jednorodny
Rys. 5. Rozkład amplitudy wektora gęstości prądów wirowych
z wycięciem
r
Rysunek 5a przedstawia ostateczny rozkład amplitudy wektora J w obszarze niejednorodnym o stosunku konduktywności γ 1 / γ 2 = 20 i w obszarze
jednorodnym stworzonym poprzez odrzucenie z modelu obszaru Ω 2
( γ 1 / γ 2 → ∞ ).
Pierwsze wyniki pozwalają zauwaŜyć, Ŝe oba rozwiązania mają podobny
charakter. Zgodnie z intuicyjnymi przewidywaniami, w obu modelach, środek
cyrkulacji prądów wirowych zmienił połoŜenie w odniesieniu do jednorodnego
walca, gdzie rozkład prądów jest dokładnie osiowosymetryczny.
Ilościowe porównanie wyników dla obszaru jednorodnego i niejednorodnego takŜe wypada poprawnie. W przypadku obszaru jednorodnego (rys. 5b)
maksymalna wartość modułu wektora gęstości prądu jest większa i wynosi
2 ⋅ 103 A / m 2 , niŜ w przypadku obszaru niejednorodnego (rys. 5a),
a)
b)
Rys. 6. Rozkład amplitudy wektora gęstości prądów wirowych
modelu: a) kolana, b) szyi
r
J w niejednorodnym
P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak
140
gdzie równa jest 1.7 ⋅ 103 A / m 2 . Jest to zgodne z przewidywaniem, poniewaŜ
prąd nie ma moŜliwości płynięcia w wycinku, a tym samym jest bardziej skumulowany w obszarze Ω1 .
Rysunki 6a i 6b przedstawiają rozkład wektora gęstości prądów wirowych
występujących na powierzchni badanych modeli. Rysunek 6a przedstawia niejednorodny model kolana człowieka, zbudowany jest z 5 podobszarów o róŜnej
konduktywności. Rysunek 6b przedstawia niejednorodny model szyi człowieka,
zbudowany jest z 3 podobszarów o róŜnej konduktywności (tkanka miękka,
tkanka twarda i nerw błędny) [11].
TABELA 1
Porównanie wydajności obliczeniowej prezentowanych modeli numerycznych
Klasyczne
Proponowane
rozwiązanie
rozwiązanie
Prosta bryła geometryczna – 130,000 elementów
Czas formo34s.
18s.
wania
Czas rozwią39s.
40s.
zania
Model kolana – 935,000 elementów
Czas formo220s.
117s.
wania
Czas rozwią817s.
791s.
zania
Model szyi – 635,000 elementów
Czas formo155s.
80s.
wania
Czas rozwią599s.
430s.
zania
5. PODSUMOWANIE
W badanych, na prostych bryłach geometrycznych jak i skomplikowanych modelach ciała człowieka, czasy niezbędne do otrzymania wyników symulacji z zadaną dokładnością przy zastosowaniu zaprezentowanej metody są
krótsze o około 20% w stosunku do czasów obliczeń przy zastosowaniu metody
klasycznej, wykorzystującej całkowanie po objętości (Tabela 1). Czas formowania układu równań liniowych zmniejszył się aŜ o 48%. Zastosowanie modelu
numerycznego zaproponowanego przez autorów jest obiecujące w przypadkach zagadnień bioelektromagnetyzmu, głównie ze względu na wielkość roz-
Modelowanie prądów wirowych w środowiskach słaboprzewodzących …
141
wiązywanych problemów, lub w przypadku wykorzystania obliczeń rozkładu
prądów wirowych przy rozwiązywaniu zagadnień odwrotnych (wielokrotne rozwiązanie zadania prostego).
LITERATURA
1.
Płonecki P., Sawicki B., Starzyński J., Wincenciak S.: Mathematical description of eddycurrents in a non-homogenous area with using electric scalar potential. Electrical Review,
2'2007, pp. 215-218, Wilkasy 2007, Poland.
2.
Wang W. and Eisenberg S. R.: A Three-Dimensional Finite Element Method for Computing
Magnetically Induced Currents in Tissues. IEEE Transactions on Magnetics, vol. 30, no. 6,
pp. 5015-5023, November 1994.
3.
Stuchly M. A. and Dawson T. W.: Human Organ and Tissue Induced Currents by 60 Hz
Electric And Magnetic Fields. Proceedings - 19th International Conference - IEEE/EMBS,
vol. 6, pp. 2464-2467, 30 Oct.-2 Nov. 1997.
4.
Gjonaj E., Bartsch M., Clemens M., Schupp S., and Weiland T.: High-Resolution Human
Anatomy Models for Advanced Electromagnetic Field Computations. IEEE Transactions on
Magnetics, vol. 38, no. 2, March 2002.
5.
Dawson T. W. and Stuchly M. A.: High-Resolution Organ Dosimetry for Human Exposure to
Low-Frequency Electric Fields. IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 13, no. 2, April
1998.
6.
Stuchly M. A. and Dawson T. W.: Interaction of Low-Frequency Electric and Magnetic
Fields with the Human Body. Proceedings of the IEEE, vol. 88, no. 5, May 2000.
7.
Zienkiewicz O. C.: The Finite Element Method. McGraw Hill, Meidenhead, 1977.
8.
Biro O., Preis K.: Finite Element Analysis of 3-D Eddy Currents. IEEE Transactions on
Magnetics, vol. 26, No. 2, pp. 418-423, March 1990.
9.
Siauve N., Scorretti R., Burais N., Nicolas L., Nicolas A.: Electromagnetic fields and human
body: a new challange for the electromagnetic field computation. COMPEL, Vol. 22 No. 3,
2003.
10. Langtangen H. P.: Computational Partial Differential Equations. Numerical Methods and
Diffpack Programming. Springer Verlog, Berlin-New York, 1999.
11. Płonecki P., Sawicki B, Starzyński J., Wincenciak S.: Wykorzystanie warunku na ciągłość
gęstości prądu do wydajnego modelowania prądów wirowych w środowiskach słaboprzewodzących. ZKWE 2008, 14 - 16 kwietnia 2008, Poznań, str. 8 – 9.
Rękopis dostarczono dnia 3.10.2008 r.
Opiniował: prof. dr hab. inŜ. Stefan F. FILIPOWICZ
142
P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak
MODELLING OF EDDY-CURRENTS IN LOW CONDUCTING
AREAS WITH USING THE ELECTRIC SCALAR POTENTIAL
Przemysław PŁONECKI, Bartosz SAWICKI,
Stanisław WINCENCIAK
ABSTRACT The article presents an efficient implementation of
mathematical description of eddy-currents excited by external, timevarying magnetic fields. The presented solution deals with bioelectromagnetic problems, which results in the applied simplifying assumptions. The description was formulated on the basis of the electric scalar potential. The own solution of the issue within nonhomogeneity limits while calculating with using the finite element
method is presented. The numerical tests confirmed the correctness
of the method, as well as its high calculative efficiency.
mgr inŜ. Przemysław Płonecki urodził się w 1980 roku. Tytuł magistra inŜyniera uzyskał
w 2004 roku na Wydziale Elektrycznym Politechniki Warszawskiej. Obecnie jest studentem studiów doktoranckich na tym wydziale. Obszarem zainteresowań naukowych są zagadnienia związane z teorią pola elektromagnetycznego i metodami numerycznymi. Obecnie przygotowuje
rozprawę doktorską dotyczącą modelowania prądów wirowych w środowiskach słaboprzewodzących.
dr inŜ. Bartosz Sawicki urodził się w 1975 roku. Tytuł magistra inŜyniera uzyskał w roku 1999,
doktora w 2003 roku na Wydziale Elektrycznym Politechniki Warszawskiej. W latach 2004-2005
otrzymywał stypendium Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej dla Młodych Naukowców. Pracuje na
stanowisku adiunkta na Wydziale Elektrycznym Politechniki Warszawskiej. Aktualnie przebywa
na stypendium na Uniwersytecie w Calgary, w Kanadzie. Jego zainteresowania naukowe dotyczą numerycznego modelowania zjawisk bioelektromagnetycznych. Jest zwolennikiem wolnego
oprogramowania.
prof. dr hab. inŜ. Stanisław Wincenciak urodził się w 1949 roku. Uzyskał tytuły magistra inŜyniera, doktora, doktora habilitowanego na Wydziale Elektrycznym Politechniki Warszawskiej
odpowiednio w 1973, 1979 i 1991 roku. Obecnie jest profesorem na Wydziale Elektrycznym w
Instytucie Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno - Pomiarowych Politechniki
Warszawskiej. Przedmiotem zainteresowań naukowych są obszary związane z teorią pola elektromagnetycznego, metodami numerycznymi i teorią optymalizacji.