Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna
Zbiór zadań kolekcjonowanych w ciągu semestralnego kursu Matematyka dyskretna
prof. dr hab. M. Morayne
dla studentów informatyki magisterskiej WPPT PWr
wiosna-lato 2005
UWAGA: Zadania z niniejszego zbioru pochodzą z list publikowanych przez prof. Morayne zarówno w roku akademickim 2004/2005 jak i latach
poprzednich.
Nie jest to żadna oficjalna czy też autoryzowana lista zadań.
Dokument złożono we wrześniu 2005 roku w programie dla sekretarek Microsoft Word 2000.
1
Lista 1
(permutacje, kombinacje, wariacje – metody przeliczania)
1. Na ile sposobów można ustawić 8 osób:
a) w szeregu
b) w kółku ?
2. Dziewczyna ma 2 bluzki niebieskie i 3 żółte oraz 5 spódnic niebieskich i 4 żółte. Na ile
sposobów może ubrać bluzkę i spódnicę w tym samym kolorze?
3. Gdy dziewczyna ma 5 sukienek, 4 pary butów i 3 kapelusze, to może się ubrać co najmniej
na 80 sposobów. Prawda czy fałsz?
4. Na ile sposobów można na szachownicy ustawić 8 wież tak, aby żadne dwie się nie biły,
przy założeniu, że:
a) wieże są nierozróżnialne
b) wszystkie wieże są różne ?
5. Przyjmujemy, że PIN może być dowolnych układem czterech cyfr.
a) Ile jest PINów?
b) Czy więcej jest PINów o wszystkich cyfrach różnych, czy takich w których jakaś cyfra
się powtarza?
6. Na ile sposobów można:
a) 3 różne przedmioty rozdzielić pomiędzy n osób?
b) n różnych przedmiotów podzielić pomiędzy 3 osoby?
Dopuszczamy możliwość, że jedna osoba bierze wszystko!
7. Na ile sposobów 100 różnych przedmiotów można podzielić:
a) pomiędzy 2 osoby
b) na dwie części?
8. Alfabet łaciński składa się z 26 liter. Ile można utworzyć słów długości:
a) 5
b) co najwyżej 10 ?
9.Znajdź liczbę dzielników:
a) 60
b) 400
c) 1200
d) 999
e) 10!
10. Rozważmy wszystkie ciągi długości n o wyrazach A, C, G oraz T. Ile jest:
a) wszystkich takich ciągów
b) wszystkich takich ciągów, w których żadna litera nie występuje dwa razy pod rząd
2
c) wszystkich takich ciągów, że wśród każdych 4 wyrazów występują wszystkie cztery
litery?
11. Na płaszczyźnie jest 12 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Ile trójkątów
wyznaczają te punkty?
12. Wyznacz liczbę przekątnych w:
a) n-kącie wypukłym
b) graniastosłupie o podstawie n-kątnej.
13. Ile słów można utworzyć ze słowa KOMBINATORYKA zastępując w dwu miejscach właściwe
litery którymikolwiek innymi spośród 26 liter alfabetu łacińskiego?
14. Na ile sposobów można podzielić grupy dwuosobowe:
a) na 8 osób
b) na 2n osób
15. Rudolf i Muniek mają po 20 znaczków. Na ile sposobów mogą wymienić się znaczkami tak,
aby po wymianie każdy z nich znów miał 20 znaczków? Dopuszczamy wymianę 0 znaczków,
czyli powstrzymanie się od wymiany.
16. Na ile sposobów można wybrać trzy zbiory 4-elementowe ze zbioru 49-elementowego?
17. Trzech graczy gra w karty. Każdy dostał pięć kart. Jaka jest szansa, że każdy dostał
jednego asa?
18. Piętnaście osób siedzi przy okrągłym stole. Siedem osób to kobiety. Pozostali to
mężczyźni. Ile jest wszystkich możliwych konfiguracji osób przy stole, w których żadne dwie
kobiety nie siedzą obok siebie?
19. Niech m≤n. Ile jest wszystkich funkcji ze zbioru n-elementowego na zbiór m-elementowy?
20. Ile jest liczb pomiędzy 0 i 107, w których nie występują obok siebie dwie jednakowe cyfry?
21. Na ile sposobów można wybrać 6 kart z talii 52 kart tak, aby wśród nich były karty
wszystkich 4 kolorów?
22. Z talii 52 kart wybrano 10 kart. W ilu przypadkach wśród tych kart znajdą się:
a) co najmniej jeden as
b) dokładnie jeden as
c) co najmniej dwa asy
d) dokładnie dwa asy ?
23. Znaleźć liczbę rozmieszczeń n różnych kul w m różnych urnach.
24. Znaleźć liczbę rozmieszczeń n jednakowych kul w m różnych urnach.
3
25. Ile jest n-cyfrowych liczb naturalnych, w których cyfry występują w porządku
niemalejącym?
26. Ile jest funkcji niemalejących f: {1,..,k}→{1,..,n}?
27. Przypomnieć dowód, że wszystkich podzbiorów zbioru {1,...,n} jest 2n.
4
Lista 2
(zasada włączania-wyłączania)
1. Trzy zbiory A, B, C mają następujące własności: |A∩B|=4, |B∩C|=|A∩C|=3, |A∪B∪C|=15.
Ile elementów ma zbiór |A∩B∩C|?
2. Jeśli x=|A∩B|=|A∩C|=|B∩C| i |A∪B∪C|=13 (15,21) |A|=9, |B|=9, C=|10|, |A∩B∩C|=2.
Obliczyć x.
3. W pewnym klubie jest 10 osób grających w tenisa i 15 osób grających w squasha. 6 osób gra
w obie gry. Ile osób uprawia co najmniej jedną dyscyplinę?
4. Niech m≤n. Ile jest wszystkich funkcji ze zbioru n-elementowego na zbiór m-elementowy?
5. Ile liczb od 2 do 1000 jest kwadratami, sześcianami lub większymi potęgami liczb
naturalnych?
6. Jaka jest ilość permutacji π∈Sn takich, że π (i)≠i dla każdego i∈{1,2,...,n}
7. Losujemy 5 kart z 52. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania układu, w którym jest co
najmniej jeden as, co najmniej jeden król, co najmniej jedna dama i co najmniej jeden
walet.
8. Znaleźć liczbę ciągów długości 2n takich, że każda liczba i∈{1,...,n} występuje dokładnie 2
razy, przy czym żadne kolejne dwa wyrazy nie są równe.
5
Lista 3
(twierdzenie Halla)
1. W grupie jest 30 dziewcząt d1,...,d30. Każda dziewczyna w grupie d1,...,d10 zna co najmniej
10 chłopców ,którzy chcą ją poślubić. Każda dziewczyna w grupie d11,...,d20 zna co najmniej
20 chłopców, którzy chcą ją poślubić. Każda dziewczyna w grupie d21,...,d30 zna co najmniej
30 chłopców, którzy chcą ją poślubić.
Korzystając z tw. Halla udowodnić, że każda dziewczyna jest w stanie znaleźć sobie
męża tak, aby nie doszło do bigamii.
2. Niech A będzie macierzą wymiaru n x n złożoną z samych zer i jedynek. Pokazać, że jeśli w
każdej grupie k wierszy jest łącznie nie mniej niż k jedynek w różnych kolumnach, to można
znaleźć permutację π(1),...,π(n) elementów 1,...,n taką, aby dla każdego i≤n na przecięciu itego wiersza i π(i)-tej kolumny była jedynka.
3. Przypomnieć dowód tw. Halla.
4. Wykazać, że warunek Halla dla ciągu A1,...An podzbiorów zbioru X jest równoważny
następującemu warunkowi |{i: Ai⊆Y}|≤|Y| dla każdego podzbioru Y zbioru X.
5. Niech A i B będą zbiorami skończonymi i niech k będzie liczbą naturalną. Każdemu
elementowi ze zbioru A przyporządkowanych jest dokładnie k elementów ze zbioru B i
każdemu elementowi ze zbioru B przyporządkowanych jest dokładnie k elementów ze zbioru
A. Udowodnić, że można połączyć w pary elementy przyporządkowane tak, aby otrzymać
wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru A na zbiór B.
6. Mamy 100 zbiorów A1,...,A100. Wszystkie zbiory o indeksach nieparzystych są niepuste i
parami rozłączne. Zachodzi także |A2i|=50+i dla każdego i≤50. Czy zawsze istnieje system
reprezentantów dla zbioru A1,...,A100 spełniających powyższe warunki?
7. Niech X={a1,...,an}. Niech A1,...,An będą podzbiorami X. Jeśli dla każdego i≤n element ai
należy do i zbiorów spośród zbiorów A1,...,An, to czy dla zbiorów A1,...,An istnieje system
reprezentantów?
8. Mamy n osób i n stanowisk pracy. Załóżmy, że każda z osób posiada kwalifikacje do objęcia
k stanowisk (k - ustalona liczba naturalna, 0<k≤n), a każde stanowisko może być objęte przez
k spośród danych osób. Udowodnić, że stanowiska pracy można przydzielić tak, aby każde
stanowisko było objęte przez osobę z odpowiednimi kwalifikacjami.
6
Lista 4
(grupa permutacji)
1. Rozłożyć na cykle następujące permutacje:
a) (2 4 7 1 5 3 6)
b) (11 3 2 8 7 4 5 10 1 6 9)
c) (3 5 7 4 2 9 8 1 6)
d) (4 9 8 5 6 7 1 3 2)
2. Przedstawić następujące permutacje jako złożenie transpozycji:
a) (6 2 4 5 3 1)
b) (2 3 5 4 1)
3. Udowodnić, że permutacje parzyste z Sn tworzą grupę (względem składania permutacji).
Nazwijmy ją Cn.
Czy permutacje nieparzyste tworzą grupę?
4. Pokazać, że |Cn|=n!/2.
5. Określić sgn ρ, jeśli:
a) ρ jest cyklem [1 2 ... k] (k naturalne)
b) ρ jest dowolnym cyklem k-elementowym (podać wzór).
6. Ile jest wszystkich permutacji z Sn, n=2k, będących złożeniem rozłącznych transpozycji?
7. Czy każdą permutację z S7 można zapisać jako złożenie cyklu trzyelementowego z pewną
permutacją?
8. Ile jest wszystkich permutacji z S13 typu 112332?
9. Ile jest wszystkich permutacji zbioru 55-elememtowego, które mają następujące własności
(obie jednocześnie):
i)
π(i)≠i dla każdego i∈{1,...,55}
ii)
ποπ≠id (taką permutację nazywamy inwolucją)
?
10. Ile jest wszystkich permutacji zbioru 9-elementowego, które mają następujące własności
(obie naraz):
i)
π(i)≠i dla każdego i∈{1,...,9}
ii)
ποποπ=id ?
11. O permutacji π wiadomo, że
a) π∈S15
b) |{i: π(i)=i}|=2
7
c) π=ρ1ορ2οτ, gdzie zbiory tych elementów, na których ρ1, ρ2, τ nie są stałe, są
rozłączne oraz ρ1 jest cyklem 5-elementowym a ρ2 jest cyklem
6-elementowym.
Znaleźć sgn π.
12. Ile jest wszystkich permutacji π∈Sn mających w rozkładzie na cykle rozłączne co najmniej
dwa cykle 3-elementowe?
13. Rozwiązać równiania:
a) πο(7 6 5 4 3 2 1) = (7 5 6 4 3 1 2)
b) (2 4 1 3 5 6 7)οπ= (1 2 3 4 5 7 6)
14. Niech n=p∗k. Niech π∈Sn i πs=πο...οπ (s złożeń). Ile jest permutacji π∈Sn takich, że
(∀i∈{1,...,n})(πk(i)=i) oraz (∀j<k)( ∀i∈{1,...,n})(πj(i)≠i) – oba warunki spełnione jednocześnie?
15. Permutacje π, ρ są sprzężone jeśli istnieje permutacja σ∈Sn taka, że ρ=σοποσ-1:
a) pokazać, że permutacje sprzężone mają tę samą parzystość
b) pokazać, że jeśli permutacje π, ρ są sprzężone - to są tego samego typu 1λ12λ2...nλn
c) pokazać, że jeśli permutacje π, ρ są tego samego typu 1λ12λ2...nλn – to są sprzężone.
16. Ile jest wszystkich permutacji π zbioru n-elementowego {1,...,n}, dla których π(1)< π (2)<
<π (3) (n≥3)?
17. Ile jest wszystkich permutacji π∈Sn typu 1λ12λ2...nλn (d-d tw. Cauchy’ego)?
18. Pokazać, że jeśli ρ jest transpozycją to ροπ ma inna parzystość niż π, tzn. jeśli π jest
nieparzysta to ροπ jest parzysta i na odwrót.
19. Udowodnić, że znak permutacji typu 1λ12λ2...nλn wyraża się wzorem sgn(π)=(-1) λ1λ2... λn.
20. Inwolucją nazywamy dowolną permutację π taką, że ποπ=id. Udowodnić, że π∈Sn jest
inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy jest typu 1λ12λ2 oraz λ1+λ2=n.
21. Pokazać, że dowolna permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji.
8
Lista 5
(wzór Stirlinga)
1. Uporządkuj rosnąco następujące liczby: n, (2n/5) n+(1/2) ∗25, (2n)!!/2n, an+n – gdzie an=ilość
różnych cykli n-elementowych w grupie Sn.
2. Znajdź granice (przy n→∞)
a) lim [n!/(2n)!!]1/2
b) lim [(2nn)(n+1)] / 22n∗n1/2
c) lim n! / (nn+1/2 e-n)∗1/2
d) lim ln(n!) / n(1+1/2+..1/n)
3. Sprawdź zbieżność szeregów (1≤n≤∞):
a) ∑ (n!/nn)∗xn x=e
b) ∑ nn / [ en∗n!∗n1/2]
9