Analiza 2, Wojciech Maćkowiak, UG

Wojciech Maćkowiak
1 lipca 2004 roku
Analiza matematyczna I
1. Definicja ilorazu różnicowego, pochodnej, różniczkowalności funkcji.
2. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na przedziale (a, b), to jest ciągła na (a, b).
3. Różniczkowalność sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji różniczkowalnych.
4. Związek między różniczkowalnością a ciągłością funkcji.
5. Złożenie funkcji różniczkowalnych jest funkcją różniczkowalną.
6. Jeżeli f jest różnowartościowa i różniczkowalna na (a, b), to funkcja odwrotna też.
7. Definicja minimum i maksimum lokalnego.
8. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x, to f 0 (x) = 0.
9. Twierdzenie Rolle’a.
10. Twierdzenie Lagrange’a.
11. Twierdzenie Cauchy’ego.
12. Twierdzenie o zależności znaku pochodnej od monotoniczności funkcji i odwrotnie.
13. Jeżeli f jest różniczkowalna na (a, b), to f 0 posiada własność Darboux.
14. Reguła d’Hospitala.
15. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągu funkcyjnego.
16. Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego.
17. Szereg potęgowy i szereg pochodnych mają ten sam promień zbieżności.
18. Pochodne wyższych rzędów, klasy ciągłości funkcji.
19. Twierdzenie o sumie i iloczynie funkcji klasy C n .
20. Twierdzenie Taylora, wzór Taylora i MacLaurina.
21. Reguła d’Hospitala – pochodne wyższych rzędów.
22. Definicja szeregu Taylora i funkcji analitycznej.
23. Jeżeli limn→∞ Rn (x, x0 ) = 0, to funkcja jest sumą szeregu Taylora.
24. Warunek na rozwinięcie funkcji w szereg MacLaurina.
25. Rozwinięcie funkcji w szereg jest jednoznaczne.
26. Warunek na istnienie ekstremum funkcji w punkcie.
27. Warunek na istnienie ekstremum lokalnego – pochodne n-tego stopnia.
28. Twierdzenie o wypukłościach krzywej.
29. Definicja i warunek na istnienie punktu przegięcia.
30. Definicja podziału, jego długości, rodziny, średnicy i zagęszczenia przedziałów.
31. Definicja górnej i dolnej sumy Riemanna.
32. Jeżeli P ∗ jest zagęszczeniem podziału P , to L(f, P ) 6 L(f, P ∗ ) 6 U (f, P ∗ ) 6 U (f, P ).
33. Definicja całki górnej i dolnej Riemanna, funkcji R-całkowalnej oraz całki Riemanna.
34. Funkcja f jest R-całkowalna ⇐⇒ ∀>0 ∃P U (f, P ) − L(f, P ) < .
35. Twierdzenie Riemanna.
1
36. Jeżeli funkcja f : [a, b] → R jest monotoniczna, to jest R-całkowalna.
37. Definicja funkcji wyboru, sumy Riemanna względem funkcji wyboru i ciągu podziałów normalnych.
38. Granica (n → ∞) sumy Riemanna względem funkcji wyboru jest równa całce Riemanna.
39. Całkowalność funkcji w sensie Riemanna w zależności od zbioru punktów nieciągłości.
40. Złożenie funkcji R-całkowalnych jest R-całkowalne.
R
R
41. c · f (x)dx = c · f (x)dx.
42. Jeżeli dwie funkcje są R-całkowalne, to ich suma, różnica i iloczyn są R-całkowalne.
R
R
43. | f (x)dx| 6 |f (x)|dx.
44. Twierdzenie całkowe o wartości średniej.
45. Twierdzenie o podziale przedziału całkowania.
46. Definicja całki z funkcji na przedziale [a, a], oraz na przedziałach [a, b] i [b, a].
47. Całka na przedziale [a, c] równa się sumie całek na przedziałach [a, b] i [b, c].
48. Jeżeli f jest R-całkowalna, to funkcja pierwotna F jest ciągła.
49. Funkcja pierwotna F jest różniczkowalna na przedziale [a, b], i F 0 (x) = f (x).
50. Definicja funkcji pierwotnej dla funkcji f .
51. Jeżeli f jest R-całkowalna, to całka na [a, b] wynosi F (b) − F (a).
52. Definicja całki nieoznaczonej.
53. Twierdzenie o całkowaniu przez części.
54. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.
55. Twierdzenie o całkowaniu ciągu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego.
56. Definicja całki niewłaściwej na półprostej i prostej R.
57. Warunek istnienia i skończoności całki niewłaściwej.
58. Definicja całki niewłaściwej z funkcji f : (a, b) → R.
59. Obliczanie pola figury za pomocą całki, definicja obszaru normalnego funkcji f i g.
60. Obliczanie objętości figury obrotowej.
61. Obliczanie długości łuku.
62. Obliczanie pól powierzchni bocznych figur zakreślonych przez łuk.
63. Definicja szeregu trygonometrycznego, określenie wartości jego sumy, wyrazów an i bn .
64. Definicja szeregu Fouriera.
65. Twierdzenie o całce z iloczynu dwóch funkcji, gdy jedna ma stały znak.
66. Twierdzenie o całce z iloczynu dwóch funkcji, gdy jedna jest monotoniczna i klasy C 1 .
67. Twierdzenie o wartości granicy całki Dirichleta przy n → ∞.
68. Warunek na rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera.
69. Definicja pokrycia otwartego zbioru, gęstości i zwartości zbiorów.
70. Każdy zbiór zwarty jest ograniczony.
71. Twierdzenie o pokryciu przedziału [a, b] skoczoną ilością przedziałów otwartych.
72. Twierdzenie o pokryciu zbioru zwartego X skoczoną ilością przedziałów otwartych.
2
73. Definicja punktowej i jednostajnej ograniczoności, jednakowej ciągłości.
74. Jeżeli ciąg funkcji ciągłych jest jednostajnie zbieżny, to rodzina tych funkcji jest jednakowo ciągła.
75. Rodzina funkcji punktowo ograniczona określona na zbiorze przeliczalnym posiada podciąg zbieżny.
76. Twierdzenie o rodzinie funkcji ciągłych punktowo ograniczonej i jednakowo ciągłej.
77. Twierdzenie Weierstrassa.
78. Definicja algebry funkcji, jednostajnego domknięcia i jego własności.
79. Definicja rodziny rozdzielającej punkty i nie znikającej w żadnym punkcie.
80. Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.
3