1 Definicja grupy

1
Grupy. Permutacje
1 Denicja grupy
Niech
G
b¦dzie zbiorem. Dziaªaniem na zbiorze
(oznaczane, jak mno»enie, przez
rz¡dkowanej
(a, b) ∈ G × G
·)
element
G
nazywamy odwzorowanie
przyporz¡dkowuj¡ce ka»dej parze upo-
a·b
zbioru
G.
Denicja. Zbiór G wraz z dziaªaniem · nazywamy grup¡ , je±li s¡ speªnione
nast¦puj¡ce wªasno±ci:
a, b, c ∈ G
zacho-
(G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny ), tzn. taki element
e ∈ G,
(G1) dziaªanie
·
jest ª¡czne , tzn. dla dowolnych elementów
dzi
(a · b) · c = a · (b · c);
»e dla dowolnego
a∈G
zachodzi
a · e = e · a = a;
(G3) dla ka»dego elementu
a−1 ∈ G, »e zachodzi
a ∈ G istnieje element odwrotny , tzn. taki element
a · a−1 = a−1 · a = e.
Grup¦ zwykle zapisujemy w postaci
po prostu
Fakt 1.
ab,
(G, ·).
Niekiedy zamiast
a·b
piszemy
itp.
Niech
(G, ·)
b¦dzie grup¡. Dla dowolnych
a, b ∈ G
zachodzi
(a · b)−1 = b−1 · a−1 .
Dla
k∈Nia∈G
oznaczmy
ak := |a · .{z
. . · a} ,
k czynników
i
−1
a−k := a
· .{z
. . · a−1} .
|
k czynników
Ponadto,
a0 := e.
Warto zauwa»y¢, »e w denicji grupy nie »¡da si¦, by dziaªanie
mienne , tzn. by
a·b=b·a
»e elementy te komutuj¡ .
byªo prze-
a, b ∈ G.
a, b grupy (G, ·) zachodzi a·b = b·a, to mówimy,
dla dowolnych
Gdy dla pewnych elementów
·
2
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
Fakt 2.
Je±li
a
b
i
komutuj¡, to
(a · b)k = ak · bk = bk · ak
dla dowolnego
k ∈ Z.
Denicja. Grup¦ (G, ·) nazywamy grup¡ przemienn¡ (lub abelow¡ ), gdy dla
dowolnych
a, b ∈ G
zachodzi
a · b = b · a.
Inaczej mówi¡c, grupa abelowa to taka grupa, »e dowolne dwa jej elementy
komutuj¡.
Denicja. Rz¦dem grupy (G, ·) nazywamy liczb¦ elementów zbioru G. Rz¡d
grupy oznaczamy przez
Przykªad 1.
(R, +),
|G|.
gdzie
R
jest zbiorem liczb rzeczywistych, a
+
jest dzia-
ªaniem dodawania, jest grup¡: elementem neutralnym jest zero, elementem
a∈R
odwrotnym do
jest
−a.
Jest to grupa abelowa.
(R \ {0}, ·), gdzie · jest dziaªaniem mno»enia, jest grup¡: elemenneutralnym jest 1, elementem odwrotnym do a ∈ R jest 1/a. Jest to
Przykªad 2.
tem
grupa abelowa.
Przykªad 3.
(R, ·),
gdzie
·
jest dziaªaniem mno»enia, nie jest grup¡: nie ma
elementu odwrotnego do zera.
n b¦dzie liczb¡ naturaln¡. Oznaczmy przez GL(n, R) zbiór
n o elementach
(GL(n, R), ·), gdzie · jest dziaªaniem mno»enia macierzy, jest
Przykªad 4. Niech
wszystkich kwadratowych macierzy nieosobliwych stopnia
rzeczywistych.
grup¡: elementem neutralnym jest macierz jednostkowa, elementem odwrot−1
nym do macierzy A jest macierz odwrotna A . Dla n ­ 2 jest to grupa
nieabelowa.
2 Grupy permutacji
2.1 Podstawowe wªasno±ci
B¦dziemy rozpatrywali
naturalnych od
1
do
n,
X , zbiór n-elementowy, uto»samiany ze zbiorem liczb
czyli X = {1, . . . , n}.
Denicja. Permutacj¡ zbioru n-elementowego {1, . . . , n} nazywamy odwzoπ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} takie, »e
i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j , zachodzi π(i) 6= π(j).
rowanie
dla dowolnych dwóch liczb
Inaczej mówi¡c, permutacja to ró»nowarto±ciowe odwzorowanie zbioru
w siebie.
{1, . . . , n}
3
Grupy. Permutacje
Permutacj¦
π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}
zapisujemy jako
1
2
...
π(1) π(2) . . .
!
n
.
π(n)
Denicja. Permutacj¦
1 2 ...
1 2 ...
zbioru
n-elementowego
n
n
!
nazywamy permutacj¡ identyczno±ciow¡ (lub to»sa-
mo±ciow¡ ), i oznaczamy przez
I.
Denicja. Zªo»eniem lub iloczynem dwóch permutacji π, % zbioru n-elementowego nazywamy permutacj¦
dla wszystkich
π◦%
zdeniowan¡ jako
(π ◦ %)(i) := π(%(i))
i ∈ {1, . . . , n}.
W przypadku skªadania permutacji wa»na jest kolejno±¢ czynników. Na przykªad, niech
!
!
1 2 3
1 2 3
π=
, %=
.
3 1 2
3 2 1
Wówczas
!
1 2 3
π◦%=
,
2 1 3
Poniewa»
X
!
ale
1 2 3
%◦π =
.
1 3 2
jest zbiorem sko«czonym, ka»da permutacja
π
zbioru
X,
b¦d¡c
odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym, jest te» odwzorowaniem na zbiór
X.
Wobec tego, poni»sza denicja ma sens:
Denicja.
Permutacj¡ odwrotn¡ do permutacji
π −1 zdeniowan¡ jako
π
zbioru
n-elementowego
nazywamy permutacj¦
π −1 (i) = j ⇔ π(j) = i .
Fakt 3.
Dla permutacji
π, %, σ
zbioru
n-elementowego
równo±ci:
(i)
(π ◦ %) ◦ σ = π ◦ (% ◦ σ),
(ii)
π ◦ I = I ◦ π = π,
(ii)
π ◦ π −1 = π −1 ◦ π = I.
zachodz¡ nast¦puj¡ce
4
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
Z powy»szego faktu wynika, »e zbiór wszystkich permutacji zbioru
n-ele-
mentowego wraz z dziaªaniem skªadania permutacji tworzy grup¦. Grup¦ t¦
nazywamy grup¡ symetryczn¡ (lub grup¡ permutacji ) stopnia
przez
(Sn , ◦)
(lub przez
Sn ).
π ∈ Sn i k ∈ N
Przypominam, »e dla
n, i oznaczamy
oznaczamy
πk = π ◦ · · · ◦ π
(k czynników),
oraz
π −k = π −1 ◦ · · · ◦ π −1
Ponadto,
(k czynników).
π0 = I .
Przypominam te», »e dla dowolnych
π, ρ ∈ Sn
zachodzi
(π ◦ %)−1 = %−1 ◦ π −1 .
Fakt 4.
Rz¡d grupy
(Sn , ◦)
wynosi
n!.
Zauwa»my, »e
S1 = {I},
S2 = {I, (1 2)}.
S¡ to grupy abelowe. Natomiast wszystkie grupy
Sn
dla
n ­ 3 s¡ nieabelowe.
2.2 Cykle
Denicja. Niech i1 , i2 , . . . , ir b¦d¡ parami ró»nymi elementami zbioru {1, . . . , n}.
Oznaczmy przez
(i1 i2 . . . ir )
permutacj¦
π ∈ Sn
tak¡, »e
π(i1 ) = i2 , π(i2 ) = i3 , . . . , π(ir−1 ) = ir , π(ir ) = i1 ,
π(i) = i dla i ∈ {1, . . . , n} \ {i1 , . . . , ir }.
Permutacj¦ (i1 i2 . . . ir ) nazywamy cyklem dªugo±ci r .
oraz
Przykªad. Permutacja
!
1 2 3 4
3 1 4 2
jest cyklem. Zauwa»my, »e mo»na go zapisa¢ na cztery sposoby:
lub
(3 4 2 1),
lub
(4 2 1 3),
lub
(1 3 4 2),
(2 1 3 4).
Denicja. Cykle (i1 i2 . . . ir ), (j1 j2 . . . js ) ∈ Sn s¡ rozª¡czne , je±li nie maj¡
wspólnego elementu.
Šatwo zauwa»y¢, »e dla rozª¡cznych cykli
(i1 i2 . . . ir ), (j1 j2 . . . js ) ∈ Sn
zachodzi
(i1 i2 . . . ir ) ◦ (j1 j2 . . . js ) = (j1 j2 . . . js ) ◦ (i1 i2 . . . ir )
(inaczej mówi¡c, cykle rozª¡czne komutuj¡).
5
Grupy. Permutacje
Twierdzenie 1 (Rozkªad permutacji na cykle rozª¡czne). Ka»d¡ permutacj¦
mo»na przedstawi¢ w postaci zªo»enia parami rozª¡cznych cykli.
Przykªad. Poka»emy teraz, w jaki sposób mo»emy otrzyma¢ rozkªad permu-
tacji na cykle rozª¡czne jak w powy»szym twierdzeniu. Niech
!
1 2 3 4 5 6 7 8
∈ S8 .
3 2 8 1 5 7 6 4
Wybieramy jaki± element ze zbioru X , powiedzmy 1, i rozpatrujemy
π 2 (1), π 3 (1), itd. W naszym przykªadzie, π(1) = 3, π 2 (1) = π(3)
π 3 (1) = π(8) = 4, π 4 (1) = π(4) = 1. Zatem jednym z cykli b¦dzie (1 3
π(1),
= 8,
8 4).
Bierzemy teraz pewien element ze zbioru {1, . . . , 8}\{1, 3, 4, 8}, powiedzmy 2.
Poniewa» π(2) = 2, drugim cyklem b¦dzie (2). Dalej, bierzemy jaki± element
ze zbioru {1, . . . , 8} \ {1, 2, 3, 4, 8}, powiedzmy 5. Poniewa» π(5) = 5, trzecim
2
cyklem b¦dzie (5). We¹my teraz π(6) = 7 i π (6) = π(7) = 6. Czwartym
cyklem b¦dzie (6 7). Poniewa» wyczerpali±my ju» wszystkie elementy zbioru
{1, . . . , 8}, rozkªad permutacji na cykle ma posta¢
!
1 2 3 4 5 6 7 8
= (1 3 8 4) ◦ (2) ◦ (5) ◦ (6 7).
3 2 8 1 5 7 6 4
Cz¦sto cykli dªugo±ci jeden nie zapisuje si¦; na przykªad, powy»sz¡ równo±¢
zapisuje si¦ jako
!
1 2 3 4 5 6 7 8
= (1 3 8 4) ◦ (6 7).
3 2 8 1 5 7 6 4
Permutacj¦ to»samo±ciow¡ niekiedy zapisujemy jako
(1).
Rozkªad permutacji na cykle rozª¡czne, o którym jest mowa w Twierdzeniu 1,
jest jednoznaczny w tym sensie, »e czynniki (czyli parami rozª¡czne cykle) s¡
zawsze takie same, tylko ich kolejno±¢ mo»e si¦ zmienia¢.
2.3 Transpozycje. Permutacje parzyste i nieparzyste
Denicja. Transpozycj¡
nazywamy cykl dªugo±ci
Twierdzenie 2 (Rozkªad cyklu na transpozycje).
zªo»eniem
r−1
2.
Ka»dy cykl dªugo±ci
r
transpozycji (niekoniecznie rozª¡cznych ). Na przykªad,
(i1 i2 . . . ir ) = (i1 i2 ) ◦ (i2 i3 ) ◦ · · · ◦ (ir−1 ir ).
jest
6
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
W odró»nieniu od rozkªadu permutacji na cykle rozª¡czne, rozkªad cyklu na
transpozycje nie jest jednoznaczny. Na przykªad,
(2 3) ◦ (1 3).
(1 2 3) = (1 2) ◦ (2 3) =
Ponadto, cykle nierozª¡czne nie musz¡ komutowa¢.
Wnioskiem z Twierdzenia 1 i Twierdzenia 2 jest nast¦puj¡cy fakt.
Fakt 5.
Ka»da permutacja jest zªo»eniem transpozycji.
Rozkªad permutacji na transpozycje, o którym mowa w powy»szym fakcie,
nie jest jednoznaczny. Jednak dla ustalonej permutacji liczba transpozycji w
rozkªadzie jest albo parzysta, albo nieparzysta.
Denicja. Permutacj¦ π ∈ Sn nazywamy parzyst¡ , gdy jest permutacj¡ identyczno±ciow¡ lub gdy mo»na j¡ przedstawi¢ jako zªo»enie parzystej liczby
transpozycji.
Denicja. Permutacj¦ π ∈ Sn
nazywamy nieparzyst¡ , gdy mo»na j¡ przed-
stawi¢ jako zªo»enie nieparzystej liczby transpozycji.
Fakt 6.
(i) Zªo»enie dwóch permutacji parzystych jest permutacj¡ parzy-
st¡.
(ii) Zªo»enie dwóch permutacji nieparzystych jest permutacj¡ parzyst¡.
(i) Zªo»enie permutacji parzystej i nieparzystej jest permutacj¡ nieparzyst¡.
Permutacja to»samo±ciowa jest permutacj¡ parzyst¡. Z powy»szego faktu ªatwo mo»na wywnioskowa¢, »e permutacja odwrotna do permutacji parzystej
[nieparzystej] jest permutacj¡ parzyst¡ [nieparzyst¡].
Zatem zbiór wszystkich permutacji parzystych zbioru
n-elementowego
wraz
z dziaªaniem skªadania permutacji tworzy grup¦, zwan¡ grup¡ alternuj¡c¡
1
stopnia n, i oznaczan¡ przez (An , ◦) (lub przez An ). Jej rz¡d wynosi n! (dla
2
n ­ 2).
2.4 Inwersje
Denicja. Dla permutacji π ∈ Sn , par¦ (π(i), π(j)) nazywamy inwersj¡ , gdy
i<j
oraz
π(i) > π(j).
Twierdzenie 3.
Permutacja
π ∈ Sn
jest parzysta [nieparzysta ], gdy ma
parzyst¡ [nieparzyst¡ ] liczb¦ inwersji.
Przykªad. Rozpatrzmy znów permutacj¦
!
1 2 3 4 5 6 7 8
∈ S8 .
3 2 8 1 5 7 6 4
Grupy. Permutacje
7
(π(1), π(2)), (π(1), π(4)), (π(2), π(4)), (π(3), π(4)),
(π(3), π(5)), (π(3), π(6)), (π(3), π(7)), (π(3), π(8)), (π(5), π(8)), (π(6), π(7)),
(π(6), π(8)), (π(7), π(8)). Jest ich 12, zatem π jest permutacj¡ parzyst¡.
Wypisujemy jej inwersje:
Powy»sze zgadza si¦ z wnioskiem otrzymanym poprzez rozkªad permutacji
na transpozycje:
(1 3) ◦ (3 8) ◦ (8 4) ◦ (6 7).
3 Literatura
Powy»sze przedstawienie zostaªo oparte na nast¦puj¡cych pozycjach:
•
W. J. Gilbert, W. K. Nicholson, Algebra wspóªczesna z zastosowaniami ,
przeªo»yª W. Bartol, WNT, Warszawa, 2008, str. 5386.
•
J. Klukowski, I. Nabiaªek, Algebra dla studentów , wydanie czwarte uzupeªnione, WNT, Warszawa, 2004, str. 2138.