FinEng 4_FRA i IRS - E-SGH

Inżynieria Finansowa:
4. FRA i Swapy
Piotr Bańbuła
Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES
Październik 2014 r.
Warszawa, Szkoła Główna Handlowa
Zakup syntetycznej obligacji
+1 mln PLN: emisja obligacji/krótka sprzedaż/pożyczka
t1
t2
-1,04 mln PLN: zwrot pożyczki
t1
-1mln PLN: zakup obligacji
t2
+1,10mln PLN: wykup obligacji
Zakup syntetycznej obligacji
+1 mln PLN: emisja obligacji/krótka sprzedaż/pożyczka
t1
t2
-1,04 mln PLN: zwrot pożyczki
t1
t2
+1,10mln PLN: wykup obligacji
-1mln PLN: zakup obligacji
t1
t2
+1,097 mln PLN: obligacja zapada
-1,04mln PLN: zakup obligacji
Stopy terminowe - przykład
𝐹 0,3,4 =
(1 + 𝑟4 )
4
(1 + 𝑟3 )
3
−1=
(1 + 0.02237)
4
(1 + 0.019362)
3
− 1 = 0.024866
Stopy terminowe - przykład
1 𝐵 0,3 − 𝐵(0,4)
1 0.9441 − 0.9153
𝐹 0,3,4 =
=
= 0.024866
4−3
𝐵(0,4)
4−3
0.9153
Stopy terminowe - FRA
Niedogodnością składania syntetycznych pożyczek
terminowych jest ekspozycja na ryzyko kredytowe
instrumentów bazowych, a nie tylko ryzyko stopy
procentowej
Jest to szczególnie niepożądane jeśli celem operacji jest
zabezpieczenie już istniejących pozycji
Kontrakt FRA (Forward Rate Agreement) pozwala uniknąć
tego zjawiska przy mniejszej ilości transakcji
FRA
Kontrakt na przyszłą stopę procentową, gdzie w terminie
zapadalności kontraktu jedna strona (kupujący FRA) płaci
stałą stopę ustaloną w kontrakcie (stopa FRA), a druga
strona (sprzedający FRA) płaci obserwowaną właśnie
zmienną stopę rynkową (LIBOR) od ustalonego nominału N.
FRA - konwencja
Zakup FRA(t1,t2) w czasie t0:
t0
t1
zmienna stopa Libor(t1,t2)
t2
-1mln PLN: stała stopa FRA
N oznacza nominał kontraktu (np. 1 mln PLN)
t1 oznacza początek okresu depozytowego i najczęściej jest
także datą rozliczenia kontraktu (np. za 3M)
t2 jest końcem okresu depozytowego (np. za 6M)
L(t1,t2) oznacza wartość zmiennej stopy rynkowej w czasie
t1 (np. 3M Libor za 3M
R(FRAt1xt2) to stopa FRA, oznaczana jako FRAstartxend (w
naszym przypadku byłoby to R(FRA3x6))
∆ to długość okresu depozytowego, czyli t2-t1 (ACT/365 PLN,
ACT/360 EUR, USD)
Rozliczenie FRA
2008-12-22
O/N
1M
2M
3M
6M
9M
1Y
WIBOR
4,97
6,52
6,67
6,70
6,75
6,86
6,87
Trade date: 22/09
Short 3x9 FRA
PLN 10mln
stopa FRA 6,60%
Wycena na rozliczeniu
10.000.000  (6,60%  6,75%)  0,5
 12.075,9
1  6,75%  0,5
Wielkość straty mark-to-market
2008-10-22
O/N
1M
2M
3M
6M
9M
1Y
WIBOR
4,97
6,52
6,67
6,81
6,85
6,86
6,87
Trade date: 22/09
Short 3x9 FRA
PLN 10mln @ 6,60%
2008-10-22
1x7
2x8
3x9
FRA
6,87
6,84
6,77
Jaka jest strata na rozliczeniu?
10.000.000  (6,60%  6,84%)  0,5
 11.592,9
1  6,84%  0,5
Jaką stratę musi wykazać bank 22/10/2008?
 11.592,9
9
2
1  6,67% 
12
 11.465,4
Interest Rate Swap (IRS) - intuicja
Pod względem obrotu i wartości pozycji swapy stanowią
największy rynek na świecie, a IRS jest najpopularniejszym
ze swapów
Polega na wymianie płatności odsetek od ustalonej kwoty po
bieżącej rynkowej stopie na odsetki liczonej według stopy
stałej, ustalonej w momencie zawierania umowy
t1
𝐿𝑡0 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
t2
𝐿𝑡1 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
t3
𝐿𝑡2 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
Interest Rate Swap (IRS) - dekompozycja
t1
𝐿𝑡0 𝑁
t2
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
𝐿𝑡1 𝑁
t3
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
𝐿𝑡2 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
+𝑁
+𝑁
t1
𝐿𝑡0 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
−𝑁
t2
𝐿𝑡1 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
t3
𝐿𝑡2 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
−𝑁
Interest Rate Swap (IRS) - dekompozycja
+𝑁
+𝑁
t1
𝐿𝑡0 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
−𝑁
t2
𝐿𝑡1 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
t3
𝐿𝑡2 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
−𝑁
Interest Rate Swap (IRS) - dekompozycja
+𝑁
t1
−𝑁
+𝑁
𝐿𝑡0 𝑁
t2
𝐿𝑡1 𝑁
t3
𝐿𝑡2 𝑁
Obligacja o zmiennym oprocentowaniu – floating rate note
(FRN)
Obligacja stałokuponowa (at par)
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
−𝑁
IRS - wizualizacja
[Długa pozycja w IRS] = [długa pozycja w FRN] +
[krótka pozycja w obligacji stałokuponowej]
Inaczej
[Długa pozycja w IRS] = [długa pozycja w FRN] [długa pozycja w obligacji stałokuponowej]
IRS - konwencja
Noga stała (fixed leg, płaci kupujący IRS, the payer) to strumień
regularnych płatności 𝐶(𝑡𝑖 ) dokonywanych po ustalonej w momencie
zawierania kontraktu stopie 𝑅𝐼𝑅𝑆 od nominału N
𝐶 𝑡𝑖 = 𝑅𝐼𝑅𝑆 ∆𝑖 𝑁𝑖
gdzie ∆𝑖 = ∆(𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖 ) jest długością okresu odsetkowego liczonego
według obowiązującej na danym rynku konwencji (zwykle zgodne z
konwencją dla rynku obligacji)
Można także założyć występowanie amortyzacji (sukcesywnej
spłaty) kapitału wysokości 𝐴𝑖 = 𝑁𝑖 − 𝑁𝑖+1 . Wtedy
𝐶 𝑡𝑖 = 𝑅𝐼𝑅𝑆 ∆𝑖 𝑁𝑖 + 𝐴𝑖
IRS - konwencja
Noga zmienna (floating leg, płaci sprzedający IRS, the receiver)
regularnych płatności 𝐶 (𝑡𝑖 ) dokonywanych według zmiennej
(rynkowej) stopy procentowej 𝐿𝑖 od nominału N
𝐶 (𝑡𝑖 ) = 𝐿𝑖 ∆𝑖 𝑁𝑖 + 𝐴𝑖
Amortyzacja kapitału w obydwu nogach następuje w tych samych
momentach i znosi się.
Płatności odsetkowe nie musza jednak następować w tych samych
momentach (np. fix 1Y, float 6M). Konwencja naliczania odsetek
stopy zmiennej odpowiada konwencji danego rynku pieniężnego
IRS - wycena
Wartość kontraktu IRS jest różnica między bieżącą wartością
nogi stałej a bieżącą wartością nogi zmiennej
𝑃𝐼𝑅𝑆 = 𝑁𝑃𝑉𝐹𝐼𝑋 − 𝑁𝑃𝑉𝐹𝐿𝑂𝐴𝑇
Stopa 𝑅𝐼𝑅𝑆 jest dobierana tak, by wartość 𝑃𝐼𝑅𝑆 = 0, czyli:
𝑁𝑃𝑉𝐹𝐼𝑋 = 𝑁𝑃𝑉𝐹𝐿𝑂𝐴𝑇
Wycena nogi zmiennej
Noga zmienna (floating leg, płaci sprzedający IRS, the receiver)
regularnych płatności 𝐶 (𝑡𝑖 ) dokonywanych według zmiennej
(rynkowej) stopy procentowej 𝐿𝑖 od nominału N
𝐶 (𝑡𝑖 ) = 𝐿𝑖 ∆𝑖 𝑁𝑖 + 𝐴𝑖
Amortyzacja kapitału w obydwu nogach następuje w tych samych
momentach i znosi się.
Płatności odsetkowe nie musza jednak następować w tych samych
momentach (np. fix 1Y, float 6M). Konwencja naliczania odsetek
stopy zmiennej odpowiada konwencji danego rynku pieniężnego
Wycena nogi stałej
Wartość bieżąca nogi stałej jest równa zdyskontowanej
wartości wszystkich przyszłych płatności 𝐶 𝑡𝑖 = 𝑅𝐼𝑅𝑆 ∆𝑖 𝑁𝑖
𝑁𝑃𝑉𝐹𝐼𝑋 =
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )𝐶 𝑡𝑖 = 𝑅𝐼𝑅𝑆
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑁𝑖
Czynniki dyskontowe pochodzą z krzywej zerokuponowej
Wartość stopy IRS poznamy wyceniając nogę zmienną
Wycena nogi zmiennej
Z rozważań na temat krzywej dochodowości wiemy, że wyceniając
przyszłe, niepewne strumienie odsetkowe 𝐶 (𝑡𝑖 ) = 𝐿𝑖 ∆𝑖 𝑁𝑖 wyliczane po
przyszłej stopie rynkowej 𝐿𝑖 możemy (z powodu arbitrażu) użyć stóp
terminowych 𝐹𝑖 .
𝑁𝑃𝑉𝐹𝐿𝑂𝐴𝑇 =
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )𝐶 𝑡𝑖 =
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )𝐹𝑖 ∆𝑖 𝑁𝑖
Wycena nogi zmiennej jest jednak daleko bardziej uproszczona.
Dla wygody prezentacji przyjmijmy, że wyceniamy 3-okresowy FRN.
Jaka jest jego wartość bieżąca?
Wycena nogi zmiennej – uproszczona
𝑁𝑃𝑉 =
𝐿𝑡0 𝑁
1 + 𝐿𝑡0
+
𝐿𝑡1 𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )
+
𝐿𝑡2 𝑁+N
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )(1 + 𝐿𝑡2 )
Zauważmy, że:
(1 + 𝐿𝑡2 )𝑁
=
=
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )(1 + 𝐿𝑡2 ) (1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )(1 + 𝐿𝑡2 )
𝐿𝑡2 𝑁+N
𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )
Wycena nogi zmiennej – urposzczona
𝑁𝑃𝑉 =
𝐿𝑡0 𝑁
1 + 𝐿𝑡0
+
𝐿𝑡1 𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )
+
𝐿𝑡2 𝑁+N
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )(1 + 𝐿𝑡2 )
Zauważmy, że:
(1 + 𝐿𝑡2 )𝑁
=
=
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )(1 + 𝐿𝑡2 ) (1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )(1 + 𝐿𝑡2 )
𝐿𝑡2 𝑁+N
𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )
Podstawiamy do pierwszego równania:
𝑁𝑃𝑉 =
𝐿𝑡0 𝑁
1 + 𝐿𝑡0
+
𝐿𝑡1 𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )
+
𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )
Wycena nogi zmiennej - uproszczona
𝑁𝑃𝑉 =
𝐿𝑡0 𝑁
1 + 𝐿𝑡0
+
𝐿𝑡1 𝑁 + 𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )
I jeszcze raz:
(1 + 𝐿𝑡1 )𝑁
𝑁
=
=
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 ) (1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 ) (1 + 𝐿𝑡0 )
𝐿𝑡1 𝑁 + 𝑁
Wycena nogi zmiennej - uproszczona
𝑁𝑃𝑉 =
𝐿𝑡0 𝑁
1 + 𝐿𝑡0
+
𝐿𝑡1 𝑁 + 𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 )
I jeszcze raz:
𝐿𝑡1 𝑁 + 𝑁
(1 + 𝐿𝑡1 )𝑁
𝑁
=
=
(1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 ) (1 + 𝐿𝑡0 )(1 + 𝐿𝑡1 ) (1 + 𝐿𝑡0 )
Powtażając operację:
𝑁𝑃𝑉 =
𝐿𝑡0 𝑁
1 + 𝐿𝑡0
+
𝑁
(1 + 𝐿𝑡0 )
=
(1 + 𝐿𝑡0 )𝑁
1 + 𝐿𝑡0
=𝑁
Wniosek: Bieżąca wartość FRN wynosi N w każdym okresie
odsetkowym.
Wartość pomiędzy okresami? Duracja?
Zero w finansach
Czym jest poniższy kontrakt?
𝑁
t0
t1
t2
𝐿𝑡1 𝑁
−𝑁
Jak jest jego wartość przepływów finansowych z okresu t2 na
moment t1 obliczona w okresie (t0,t1)?
Zero w finansach
Jak jest jego wartość przepływów finansowych z okresu t2 na
moment t1 obliczona w okresie (t0,t1)?
𝑁
t0
t1
t2
−(𝐿𝑡1 ∆)𝑁
−𝑁
1 + 𝐿𝑡1 ∆ 𝑁
𝑃𝑉 𝑡1, 𝑡2 =
+
=
= −𝑁
1 + 𝐿𝑡1 ∆ 1 + 𝐿𝑡1 ∆
1 + 𝐿𝑡1 ∆
𝐿𝑡1 ∆𝑁
𝑁
Zero w finansach
Jak jest wartość instrumentu w okresie (t0,t1)?
Wartość przepływów z okresu t2 na moment t1:
1 + 𝐿𝑡1 ∆ 𝑁
𝑃𝑉 𝐶𝐹(𝑡1, 𝑡2) =
+
=
= −𝑁
1 + 𝐿𝑡1 ∆ 1 + 𝐿𝑡1 ∆
1 + 𝐿𝑡1 ∆
𝐿𝑡1 ∆𝑁
𝑁
Wartość przepływów z okresu t1 na moment t1:
𝑃𝑉 𝐶𝐹(𝑡1, 𝑡1) = 𝑁
Wartość instrumentu na moment t1
𝑃𝑉 𝑡1 = 0
Zanim poznamy prawdziwą wartość przyszłych stóp (tj. w okresie t1)
zmiany stopy terminowej są równe zmianom stopy dyskontowej dla
tego samego okresu
Zero w finansach
𝐿(𝑡0,𝑡1) (𝑡1, 𝑡2)
t0
?
𝑁
t1
t2
𝐿𝑡1 𝑁
−𝑁
Czy w okresie (t0,t1) zmienność przyszłych stóp wpływa na
bieżącą wartość instrumentu?
Jaka jest jego mod. duracja w okresie t0-t1?
Interest Rate Swap (IRS) - wycena
𝑁𝑃𝑉𝐹𝐼𝑋 = 𝑁𝑃𝑉𝐹𝐿𝑂𝐴𝑇
𝑅𝐼𝑅𝑆
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑁𝑖 =
𝑅𝐼𝑅𝑆 =
t1
𝐿𝑡0 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
t2
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )𝐹𝑖 ∆𝑖 𝑁𝑖
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑭𝒊
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )∆𝑖
𝐿𝑡1 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
t3
𝐿𝑡2 𝑁
𝑅𝐼𝑅𝑆 𝑁
IRS – wycena
𝑁𝑃𝑉𝐹𝐼𝑋 = 𝑁𝑃𝑉𝐹𝐿𝑂𝐴𝑇
𝑅𝐼𝑅𝑆 =
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑭𝒊
𝐷𝐹( 𝑡, 𝑡𝑖 )∆𝑖
Stopa IRS jest więc średnią ważoną stóp terminowych, czyli
stóp FRA
Pionowa dekompozycja kontraktu IRS: złożenie płatności
zmiennych i stopy stałej, ale nierównej w każdym okresie stopie
FRA.
Wniosek: pionowa dekompozycja jest niemożliwa (arbitraż).
W trakcie trwania kontraktu wartość nóg zmienia się wraz ze
stopami, a 𝑷𝑰𝑹𝑺 ≠ 𝟎
IRS - zastosowania
Zarządzanie ryzykiem stopy procentowej (zamiana
stopy stałej na zmienną, zmiana duracji portfela)
Spekulacja na zmiany stóp procentowych
Tworzenie syntetycznych instrumentów stopy
procentowej
IRS – Zarządzanie ryzykiem stopy procentowej
Bank posiada portfel 5-letnich kredytów o stałej stopie
oraz zobowiązania w postaci 6-miesięcznych lokat
ludności odnawianych po bieżącej stopie rynkowej
Bank zamierza ograniczyć ryzyko stopy procentowej
Kredyty,
fixed
7%
IRS
Stopa IRS
Bank
Depozyty,
Float
WIBOR-50 pb
WIBOR
Swap
dealer
IRS - spekulacja
Uważamy, że krzywa przesunie się na krótkim końcu w
dół.
Co możemy zrobić podejmując ryzyko (spekulując)?
1. Możemy kupić obligację finansując się stopą zmienną
(LIBOR)
2. Możemy sprzedać (wystawić) IRS otrzymując stopę stałą
w zamian płacąc zmienną
Druga strategia zwykle będzie tańsza do przeprowadzenia
IRS - syntetyki
Firma emituje tylko dług jedynie o stałej (zmiennej) stopie.
Chcielibyśmy kupić jej dług, ale o zmiennej (stałej) stopie.
Przypomnijmy blokowe równanie IRS:
[Długa pozycja w IRS] = [długa pozycja w FRN] [długa pozycja w obligacji stałokuponowej]
Chcemy mieć: długa pozycja w FRN
[długa pozycja w FRN] = [Długa pozycja w IRS] +
[długa pozycja w obligacji stałokuponowej (tej firmy)]
Powyższe jest zasadne z uwagi na niskie ryzyko kredytowe
IRS wynikające z braku wymiany kapitału, a jedynie odsetek
IRS vs. Treasury yield