nr 6

Cyfry różnych narodów i epok1
Spis treści
Spis treści ...................................................................................... 1
Cyfry hinduskie
Cyfry różnych narodów i epok.............................................. 2
Używane współcześnie cyfry powstały ok. 1500 lat temu w Indii.
Nasze cyfry nazywamy arabskimi, dlatego że cyfry i dziesiątkowy
system pozycyjny został przeniesiony przez Arabów z Indii do
Europy.
Cyfry hinduskie ................................................................................... 2
Konkursy ........................................................................................ 4
Zadania miesiąca................................................................................. 4
Łamigłówki ......................................................................................... 5
Rozwiązanie zadań konkursowych ..................................... 6
Zadania miesiąca................................................................................. 6
Łamigłówki logiczne ............................................................................. 8
Słowniczek dużych problemów............................................. 9
Zamiana jednostek .......................................................................... 9
Cyfry indyjskie zostały wypracowane przez ludzi i przyjęły kształt
zbliżony do współczesnego.
Przekształcanie wzorów ........................................................................ 9
Samouczek zadaniowy............................................................ 10
Zbliża się egzamin, a czas mija – czyli jak stworzyć
efektywny plan uczenia się matmy!................................. 11
Analfabetyzm matematyczny.............................................. 13
Medyczni szarlatani ........................................................................... 13
Ściągać, czy nie? ...................................................................... 14
Permutacje................................................................................... 16
1
1
Stanisław Kowal „Przez rozrywkę do wiedzy”
2
Obecnie po zmianie kształtu cyfr, cyfry arabskie wyglądają
następująco:
Konkursy
Zadania miesiąca
marzec
Cyfry arabskie zostały wprowadzone do kultury europejskiej pod
koniec X w. Przez francuskiego mnicha Gerberta (papieża Sylwestra
II). Papież za przychylność do numeracji indyjskiej poniósł tragiczna
klęskę. Oskarżono go o zaprzedanie duszy diabłu.
Polska pod względem adaptacji hinduskiego systemu przodowała w
Europie(rozprawka matematyczna z 1397r.) Zygmunt August
używał już cyfr arabskich.
Rozwiąż równanie
 11

810
 − 2 • 8 + 4 7 * 9 x − 8 * x  : 4 7 = −3 2
4


Kwiecień
Rozwiąż równanie
2
28x+2 = 2 x * 4
maj
Mała i duża wskazówka zegara o godzinie trzeciej tworzy kąt prosty.
O której godzinie wskazówki utworzą kąt prosty następnym razem?
3
4
Łamigłówki2
Rozwiązanie zadań konkursowych
Tam i z powrotem
Zadania miesiąca
Pewien człowiek prowadzi psa na smyczy w stronę domu, ze stałą
prędkością 4 mil na godzinę. W odległości 10 mil od domu pies
zostaje spuszczony ze smyczy i natychmiast biegnie do domu z
prędkością 6 mil na godzinę. Po dotarciu na miejsce pies zawraca i
biegnie do pana z tą samą prędkością. Dobiegłszy do pana, znowu
zawraca w kierunku domu. Sytuacja taka powtarza się, aż w końcu
właściciel psa dociera do domu i wpuszcza psa do środka
Ile mil przebiegnie pies od chwili spuszczenia ze smyczy do chwili
wejścia do domu?
Ziemniaki
Ile wazy ten worek ziemniaków? – zapytał klient.
50 funtów, dzielone przez połowę jego wagi – odparł sprzedawca.
Ile ważył worek ziemniaków?
Stopnie
W jaki sposób przelicza się stopnie Fahrenheita na stopnie Celcjusza
i odwrotnie?
grudzień
Rozwiąż układ równanie
x 3 = 9x

x + y = 5
rozwiązanie zadania
x 3 = 9x
x 3 − 9x = 0
⇔
⇔


x
+
y
=
5
x
+
y
=
5


x
(
x
−
3
)(
x
+
3
)=0

⇔

x + y = 5
x = 0

x + y = 5
x = 0

0 + y = 5
x = 0

y = 5
lub
lub
lub
 x( x 2 − 9) = 0
⇔

x
+
y
=
5

x − 3 = 0

x + y = 5
x = 3

3 + y = 5
x = 3

y = 2
x + 3 = 0
lub 
⇔
x + y = 5
 x = −3
lub 
⇔
− 3 + y = 5
 x = −3
lub 
y = 8
Pary liczb (0,3) (3,2) (-3,8) spełniają dany układ równań.
styczeń
Wiedząc, że
2
Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne”
5
a
1
=
oblicz
a+b 3
b
.
b+a
6
rozwiązanie zadania
Łamigłówki logiczne3
Córki i synowie
Pewna pani powiada:
Mam pięcioro dzieci, w tym co najmniej jedną córkę i co najmniej jednego
syna. Oto pięć informacji o moich dzieciach:
Najstarsze z dzieci jest innej płci niż najmłodsze.
Drugie co do wieku dziecko ma trzy siostry.
Trzecie co do wieku dziecko ma jedną starszą i jedną młodszą siostrę.
Czwarte co do wieku dziecko ma młodszego brata.
Najmłodsze z dzieci ma trzech braci.
Jeszcze dwie sprawy dodatkowe: nie mam bliźniąt, wszystkie zaś
informacje o moich dzieciach jednej płci są prawdziwe, ale o dzieciach
drugiej płci- fałszywe.
Jakiej płci jest każde z dzieci tej pani i jaka jest kolejność ich
starszeństwa?
b
2a
2a 2
=
=
=
b + a 2a + a 3a 3
a
1
=
a+b 3
3a = a + b
podstawiamy
3a − a = b
2a = b
b = 2a
luty
Samochód wyjechał z miejscowości A do B. Połowę drogi przebył z
prędkością 60km/h, a pozostałą część drogi z prędkością 40km/h.
Jaka była średnia prędkość samochodu ?
Odp.: kolejno od najmłodszego dziecka: syn, syn, córka, córka,
córka.
Dyplomata
rozwiązanie zadania
A
Dane:
V1=60km/h
V2=40km/h
Vśr=?
V1
V2
2s
2s
Vśr =
t1 + t 2
Vśr =
V śr =
s
Vśr = 2
(
2s
s s
+
v1 v2
vv
2s
1
=2
=2 1 2
1
1
v1 + v 2
+
) v 2 + v1
v1 v 2
v1 v 2
60km/ h • 40km/ h
2400km2 / h2
=2
= 2 • 24km/ h = 48km/ h
60km/ h + 40km/ h
100km/ h
odp. Średnia prędkość samochodu wynosiła 48km/h.
7
A.Wypych
B
Spytałem znajomego dyplomatę, co sądzi o sprawie. Oto jego odpowiedź:
-Wprawdzie nie zaprzeczam, iż nie będę głosował, że nie jestem na „nie”,
jednakże będę glosował, że nie powiem „nie” w sprawie, w której nigdy dotąd
nie mówiłem „tak”.
Co właściwie odpowiedział dyplomata?
Odp.: Dyplomata być może się zgodzi, o ile nie będzie to sprawa,
której dotychczas był przeciwny.
Wyprawy wojenne
Podczas Wielkich Wojen postanowiono na Wyspie Zagadkowej podjąć
jednocześnie cztery wyprawy przeciwko wrogim wyspom. Dla zapewnienia
pełnego powodzenia zasięgnięto rady Nieomylnej Wyroczni, który z wodzów
powinien poprowadzić którą wyprawę. Oto co powiedziała Wyrocznia:
-Jeżeli Regu nie wyruszy przeciwko Wabu a Megu przeciwko Gabu, to
Tegu musi uderzyć na Zabu;
-jeżeli Wegu nie ruszy przeciwko Wabu, to Megu musi uderzyć na Zabu
lub Kabu;
-jeżeli Regu nie uderzy na Zabu a Wegu nie ruszy na Kabu, to Tegu musi
uderzyć na Gabu lub Wabu;
-wszystkie wyprawy zakończą się sukcesem, jeżeli Wegu uderzy na
Gabu lub Tegu na Kabu lub Megu na Wabu.
Kto na kogo uderzy, jeżeli zgodnie z przepowiednią Wyroczni podbito
wszystkie wyspy?
Odp.: Megu uderzy na Gabu, Regu uderzy na Zabu, Tegu uderzy na
Kabu, Wegu uderzy na Wabu.
3
Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne”
8
Słowniczek dużych problemów
Samouczek zadaniowy
Na targu jeden kilogram jabłek kosztuje 1,50 zł. Te same jabłka w
sklepie kosztują 2 zł. O ile procent jabłka na targu są tańsze niż w
sklepie?
Zamiana jednostek
Najlepszym sposobem zapamiętywania jednostek liniowych jest
praktyczne wykonywanie pomiarów. W zamianie jednostek
kwadratowych i sześciennych trzeba nauczyć uczniów, że odbywa
się ona inaczej niż zamiana jednostek liniowych, aby bezmyślnie nie
popełniali błędów. Klasówki dobrze napisane nie gwarantują że
umiejętność, którą umiemy jest trwała, wręcz przeciwnie niektórzy
uczniowie uczą się zamiany na pamięć, więc wkrótce
prawdopodobnie zapomną ją. Trzeba kłaść nacisk na sposób
obliczania ile mniejszych jednostek mieści się w większej oraz na
sposoby omijania problemu: odpowiednia zamiana jednostek
liniowych pozwoli uzyskać wynik w żądanych jednostkach i nie
będziemy zamieniać jednostek kwadratowych czy sześciennych.
W tego rodzaju zadaniach wygodnie jest problem zapisać w postaci
ułamka:
różnica _ cen
· 100%
cena _ jabek _ na _ t arg u
2 zł – 1,50 zł = 0,50 zł
różnica cen
0,50 0,5
=
· 100% = do wymienionego ułamka podstawiamy dane z zadania
2
2
= 25%
Odp: Jabłka na targu są tańsze o 25% niż w sklepie.
Przekształcanie wzorów
Niektóre zadania, zwłaszcza geometryczne gdzie mamy dane pole a
mamy obliczyć bok wymaga przekształcenia wzorów, których
uczniowie jeszcze nie znają. Większość uczniów wykonuje poprawnie
działania odwrotne za pomocą intuicji, dla reszty jest to jednak
problem. Wtedy można zaproponować rozwiązanie zadania metodą
prób i błędów.
Paulina Cajler
A gdybyśmy zapytali: O ile procent jabłka w sklepie są droższe niż
na targu?
2 zł – 1,50 zł = 0,50 zł
różnica cen
różnica _ cen
· 100%
cena _ jabek _ na _ t arg u
0,50
· 100% =
podstawiliśmy do wymienionego ułamka
1,50
5
100
1
= ·100% =
% = 33 %
15
3
3
1
Odp: Jabłka w sklepie są o 33 % droższe niż na targu.
3
Zauważ, że teraz wynik procentowy jest inny, bo tę różnicę
porównujemy z ceną jabłek na targu.
Adrian Szymański
9
10
Zbliża się egzamin, a czas mija – czyli jak stworzyć
efektywny plan uczenia się matmy!
Jak wykorzystać czas tak, aby potem tego nie żałować? Uczyć się
wszystkiego naraz czy może skupić się na jednym przedmiocie, z
którego jesteśmy najsłabsi? Takie proste pytania zadaje sobie każdy
uczeń.
Musimy zaliczyć lepiej lub gorzej wszystkie przedmioty. Jak tego
dokonać? Proponuje już teraz „przypuścić zmasowany atak” na
nauczycieli, którzy nas uczą – umawiać się z nimi na odpowiedzi
ustne, dopytki, zaliczenia poprzednich prac klasowych. Pamiętajcie
o dotrzymywaniu terminów. Nie można uczyć się bez przerwy, albo
poświęcać całej soboty na jeden przedmiot. Dlaczego? Po pierwsze
nasz mózg może odmówić posłuszeństwa, a po drugie – nie będzie to
praca efektywna. Po trzecie wreszcie: jak długo tak wytrzymać?
Opracuj plan działania aż do egzaminu. Niech to będzie plan ogólny
na najbliższe dwa lub trzy tygodnie. Pamiętaj o przerwach i
odpoczynku to najważniejsze.
Większość uczniów zgodziłaby się z twierdzeniem, że matematyka to
czysta abstrakcja... Jak się uczyć? Część tematów, które musisz
opanować, można przełożyć na praktykę oraz wskazać, jak i kiedy je
stosować.
Zazwyczaj zaczynamy od przyswojenia teorii, ale nie powinniśmy
przyswajać informacji w oderwaniu od przykładów praktycznych.
Znajdźmy zadania, w których wzory czy twierdzenia są bezpośrednio
zastosowane. Zróbmy kilka takich przykładów i dopiero wówczas
wróćmy do teorii i postarajmy się powtórzyć ją własnymi słowami.
Jeżeli już udało nam się zastosować teorię w kilku praktycznych
przykładach, możemy z powodzeniem wykonać kolejny krok.
Spróbujmy zrobić zadanie nieco trudniejsze. Nie udało się – trudno,
spróbujesz za godzinę. Dopiero po kilku próbach poprosisz kogoś o
pomoc w zadaniu. Wiele informacji, które otrzymasz w ramach
wiedzy teoretycznej można przedstawić i zapamiętać w zaskakująco
łatwy sposób. Na przykład znaczną część wiadomości o funkcjach
można odczytać... z wykresu.
Jeśli naprawdę chcecie umieć matmę, starajcie się być
systematyczni. Bez tego może naprawdę być ciężko.
•
•
•
•
•
•
•
•
Na egzaminie testowym ważny jest wynik, a nie sposób
rozwiązania.
Nie zaznaczenie odpowiedzi w arkuszu jest jednoznaczne z
niepodaniem odpowiedzi.
Rozwiązuj zadania po kolei.
Jeżeli trafiłeś na zadanie, którego nie umiesz rozwiązać,
odłóż je na potem (nie trać czasu).
Czytaj uważnie zadania - należy zrozumieć treść.
Po rozwiązaniu zadań, które nie sprawiły Ci trudności, wróć
do tych trudniejszych.
Jeżeli naprawdę nie możesz rozwiązać zadania, strzelaj.
Sprawdź czy rozwiązałeś wszystkie zadania i czy przeniosłeś
wszystkie odpowiedzi do arkusza (w odpowiedniej kolejności).
Weronika Hynas
Kilka rad:
• Podpisz, uzupełnij arkusz odpowiedzi.
• Kontroluj czas – zostaw sobie 10-15 minut na koniec.
11
12
Analfabetyzm matematyczny4
Medyczni szarlatani
Medycyna jest dziedziną, która obfituje w założenia, że w większości
chorób występuje samoistnie wyleczenie lub poprawienie się
samopoczucia pacjenta, jeżeli natomiast choroba zagraża życiu
człowieka to rzadko mamy do czynienia z pogarszaniem się stanu
choroby. Jeżeli w takiej sytuacji następuje leczenie to każde z nich
staje się skuteczne.
Praktykujący szarlatan, aby wykorzystać naturalnie występujące
nawroty choroby i okresy kiedy to choroba ustępuje, rozpoczyna
terapię, w czasie kiedy pacjent zaczyna się czuć gorzej.
Jeżeli pacjent zaczyna czuć się lepiej i choroba ustępuje – to nasza
kuracja pomogła, kiedy zatrzymaliśmy rozwój choroby – to jego stan
powinien się nie zmienić, ale kiedy to stan jego się pogarsza – to
terapia była mało intensywna. Z całą pewnością możemy nasza
pomoc będzie skuteczna, jeżeli jej niepowodzenia zostaną wyrzucone
z pamięci osób które były diagnozowane.
Bardzo rzadko, można stwierdzić niedoskonałość lub błędność
kuracji.
Przykładem może być specjalista od odchudzania, który
zaproponował dietę, którą można nazwać bombom kalorii i która
pomaga schudnąć wielu jego pacjentom:
DIETA
śniadanie, obiad, kolacja – dwie pizze, cztery piwa korzenne i dwa
kawałki sernika;
przed snem: pudełko fig i litr mleka.
WYNIK
Pacjenci doktora schudli po 3 kg tygodniowo.
Kiedy jego inni pacjenci stosowali się do powyższej diety, przybrali
na wadze 4 kg, na dodatek specjalista uznał, że w diecie nie
spełniono mnóstwo dodatkowych warunków np.: pizza miała zbyt
dużo sosu, piwo nie było tej samej firmy, sernik miał za duże
proporcje sera. Zawsze można znaleźć lukę, która potwierdzi
pozytywność terapii, a nie uszkodzi jej słuszności.
Tak działa na człowieka ulubione zagadnienie, lub fantazja.
Nikt nie zdołał stwierdzić, że nie ma jednoznacznego i prostego
algorytmu, który pomógłby odróżnić naukę od pseudonauki.
4
J.A. Paulos „Analfabetyzm matematyczny i jego skutki”
13
Granica między tymi dwoma zagadnieniami nie jest wielka. Wiele
tematów związanych z analfabetyzmem matematycznym łączą te
dwa zagadnienia i próbują rozwiązywać nasze problemy.
Możemy to porównać z istnieniem koloru różowego, który nie osłabia
różnicy między kolorem czerwonym, a białym, a świt nie oznacza, że
dzień i noc jest tym samym.
Mimo wielu argumentów, które podważają różnicę między
oszustwem, a nauką Quine’a nie rozważa takiej opcji.
Julita Rzepczak
klasa IIId
Ściągać, czy nie?
Najważniejszy egzamin. Będziesz rozsądny czy zamierzasz ściągać.
- Podobno za ściąganie się wylatuje!
- powiedział Damian i zaraz dodał
- Jak mnie złapią to też leżę
- Chyba nie masz zamiaru ściągać?
- zapytał Mariusz.
- Jasne , że mam – beztrosko odparł Damian.
– Nie jestem tak obkuty jak ty i nie mam wyjścia.
- Głupio robisz – zaczął Mariusz, ale odruchowo dotknął prawej
kieszeni.
Sprawdzał, czy wszystko jest w porządku.
- Czy musicie gadać o ściąganiu?
- denerwowała się Justyna.
- Musimy. Ja wczoraj przez cały dzień uczyłem się na pamięć, gdzie
co mam jaką ściągę.
- Damian dotknął się w okolicach biodra – matma, tu – dotknął się z
lewej strony – fizyka. Jestem dobrze przygotowany. O rany, już się
zaczyna.
Mariusz wiedział ,że to jego najważniejszy egzamin w życiu.
Co zrobi Damian? Będzie rozsądny, czy podda się wiedzy o tym, że
nic nie umie i będzie korzystał z przygotowanych ściąg?
Mariusz czuł, że większość zadań ma dobrze, ale postanowił
upewnić się czy na pewno.
14
Z jednym pytaniem miał problem. Damiana pilnowała nauczycielka,
aby nie popełnił jakiegoś głupstwa, go nikt nie pilnował, więc
skorzystał z okazji. Wiedział dobrze, że w kieszeni ma definicję,
która pomoże mu w rozwiązaniu tego zadania. Po sięgnięciu do
kieszeni okazało się, że tej kartki tam nie ma, strasznie był
rozczarowany i zestresowany.
Po chwili:
- A czyje to? – nauczycielka podniosła z podłogi pogiętą kartkę.
- No, to pięknie się urządziłeś! – Spojrzała na Justynę, a ta blada,
jeszcze nie bardzo rozumiejąca, o co chodzi, wstała z krzesła.
- Ale proszę pani…
- Nie mów nic. Wszystko jasne. Jesteście na progu dorosłości.
Wiedziałaś doskonale, czym to grozi. Nie pozwolę, abyś dorosłe życie
zaczynała od oszustwa.
Justyna zaczęła płakać. Mariusz poczuł, że zaraz zemdleje. Odłożył
długopis i schował twarz w dłoniach. Wolno wstał z miejsca…
Nasi bohaterowie udowodnili, że ściąganie na ważnym egzaminie to
głupota i nie rozsądne zachowanie. Jeżeli ktoś cię złapie na
korzystaniu z dodatkowych pomocy to na pewno będą z tego
wyciągnięte konsekwencję.
Julita Rzepczak
Permutacje
W odniesieniu do rzutu dwiema monetami matematycy
powiedzieliby, że mamy tu do czynienia z czterema możliwymi
permutacjami orła i reszki, ale tylko z trzema możliwościami ich
kombinacji. Wynik ,, orzeł i reszka’’ stanowi inną permutację niż
,,reszka i orzeł’’. Może to być mylące, ponieważ w życiu
codziennym używamy tych słów w innym znaczeniu. Kombinacja
cyfr 1-2-3-4 nie otworzy sejfu jeżeli jego kod wynosi 1-2-3-4.
chociaż są to dwie identyczne kombinacje matematyczne , to jednak
są to różne permutacje. Dlatego powinno się raczej mówić
,,permutacja numerów’’, a nie ,,kombinacja numerów’’.
Całkowitą liczbę permutacji w przypadku rzutu monetą można
obliczyć mnożąc ilość możliwych wyników przez siebie tyle razy, ile
razy rzucamy monetą. Przy rzucie dwoma monetami otrzymujemy 2
x 2 x = 4 permutacje. Jeżeli monet byłoby cztery, otrzymalibyśmy 2
x 2 x 2 x 2 x = 16 permutacji. W podobny sposób możemy obliczyć
ilość permutacji przy rzucie kostką. Jeżeli kostki są dwie, ilość
możliwych permutacji wyniesie 6 x 6 x 6 = 216. A jakie jest
prawdopodobieństwo, że dwoje przypadkowo wybranych ludzi
obchodzi urodziny tego samego dnia? Prawdopodobieństwo takiej
zbieżności jest niewielkie i wynosi 1/365. Podobnie, można by
pomyśleć, jest w przypadku zbieżności daty urodzenia wśród 36
uczniów jednej klasy- prawdopodobieństwo zapewne wynosi 36 na
365, czyli po prostu trochę mniej niż 1/10. Tymczasem, ku naszemu
zaskoczeniu
Nikola Krawiec
15
16