1. Co to znaczy, że szereg jest zbieżny? W najprostszych słowach

1. Co to znaczy, że szereg jest zbieżny?
W najprostszych słowach znaczy to tyle, że wyrazy pewnego nieskończonego ciągu
sumują się do pewnej liczby, tzn.
∞
X
an = a1 + a2 + a3 + · · · = S ∈ R
n=1
np.
P∞
n=1
P∞
n=0
9·
1 n
10
1 n
2
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + · · · = 0.9999999 · · · = 1
=1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ··· = 2
P∞
Jeżeli n=1 an = ∞ tzn, że jest rozbieżny.
Wiadomo, że szeregi ciągów geometrycznych an = a1 q n−1 o ilorazie |q| < 1 są zbieżne
i łatwo je obliczyć korzystając ze wzoru:
∞
X
a1 q n−1 =
n=1
a1
,
1−q
jednak w ogólnym przypadku wyliczenie sumy szeregu jest czynnością dosyć trudną,
wymagającą użycia bardziej zaawansowanych ”narzędzi matematycznych”. Zajmiemy
się tylko określeniem tego czy szereg jest zbieżny bądź rozbieżny.
2. Warunek
P∞ konieczny zbieżności szeregów.
Szereg n=1 an może (ALE NIE MUSI!) być zbieżny jeśli
lim an = 0
n→∞
skolei jeśli
lim an 6= 0
n→∞
to wiadomo napewno, że jest rozbieżny. Przykładem może być ciąg an =
tego ciągu jest:
lim
n→∞
1
n,
granicą
1
= 0,
n
aczkolwiek
∞
X
1
= ∞.
n
n=1
Ciąg dąży do zera, aczkolwiek suma jego wszystkich wyrazów jest nieskończona.
Podsumowując:
ciąg, którego szereg jest zbieżny, dąży do zera, ale to nie znaczy, że jeśli ciąg dąży do 0
to jego szereg jest zbieżny ! Jeśli ciąg nie dąży do 0 to jego szereg napewno jest rozbieżny.
3. Kryteria zbieżności szeregów.
Tutaj podam trzy często stosowane kryteria określające zbieżność albo rozbieżność
szeregów.
• Kryterium porównawcze
Mamy dwa ciągi: an i bn , wiemy o nich że od pewnego n wszystkie wyrazy ciągów
spełniają nierówność
an ¬ bn
P∞
P∞
wtedy jeśli n=1 an jest rozbieżny, to szereg n=1 bn jest również rozbieżny,
jeśli zaś
P∞
n=1 bn
jest zbieżny to szereg
1
P∞
n=1
an jest również zbieżny.
Zanim przejdę do przykładu warto wiedzieć, że szereg typu:
∞
X
1
zbieżny
jeśli α > 1
jest
α
rozbieżny
jeśli
α¬1
n
n=1
(1)
do tego szeregu będziemy się odnosić rozwiązując zadania. Przydadzą się także
szeregi ciągów geometrycznych, a mianowicie:
∞
X
zbieżny
jeśli q < 1
n−1
a1 q
jest
(2)
rozbieżny jeśli q > 1
n=1
Przykład 0.0.1.
Sprawdźmy zbieżność szeregu:
∞
X
1
.
(n + 1) 2n
n=1
Wiemy, że
2n < 2n · (n + 1)
stąd
1
1
> n
n
2
2 (n + 1)
o ilorazie q = 12 < 1, stąd szereg
ciąg an = 21n jest geometryczny
P∞
1
zbieżny, zatem szereg n=1 (n+1)2n jest również zbieżny.
P∞
1
n=1 2n
jest
Przykład 0.0.2.
Rozpatrzymy teraz szereg:
∞
X
n
2+1
n
n=1
Na ciąg
n
n2 +1
mamy oszacowanie:
n2 + 1 ¬ n2 + n2
1
1
­ 2
/·n
2
n +1
n + n2
n
n
n
1
­ 2
= 2 =
n2 + 1
n + n2
2n
2n
Szereg
∞
∞
X
1
1X1
=
2n
2 n=1 n
n=1
jest rozbieżny (patrz (1)), a wyrazy naszego szeregu są większe, zatem szereg
jest rozbieżny.
P∞
n
n=1 n2 +1
Zadania do samodzielnego przećwiczenia:
Zbadać zbieżność szeregów:
∞
X
1
√
n
n=1
∞
X
1
1
cos
2
n
n
n=1
∞
X
ln n
√
n5
n=1
• Kryterium d’Alemberta
P∞
Mamy nieskończony ciąg an i jego szereg n=1 an . Korzystając z tego kryterium
musimy zbadać granicę:
an+1
=g
n→∞ an
lim
teraz jeśli:
2
– g < 1 to nasz szereg będzie zbieżny
– g > 1 to nasz szereg będzie rozbieżny
– g = 1 to nie wiadomo... ;(
To kryterium warto stosować gdy w ciągu występują jakieś silnie, albo dziwne
potęgi...
Przykład 0.0.3.
Zbadajmy zbieżność szeregu:
∞
X
n!
.
n
n
n=1
Policzmy granicę:
an+1
= lim
n→∞ an
n→∞
lim
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
nn
(n + 1)!
n!(n + 1)
nn
·
= lim
·
=
n+1
n
n→∞ (n + 1)
n→∞ (n + 1) (n + 1)
n!
n!
n
−n
n
nn
1
=
lim
lim
=
lim
1
+
= e−1
n→∞ (n + 1)
n→∞ (n + 1)n
n→∞
n
= lim
granica g = e−1 . Otrzymaliśmy, że g < 1 zatem nasz szereg jest zbieżny.
Zadania do samodzielnego przećwiczenia:
Zbadać zbieżność szeregów:
∞
X
1
(2n + 1)!
n=1
∞
X
3n n!
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
n=1
∞
X
n2 sin
n=1
π
2n
• Kryterium Cauchy’ego
P∞
Mamy nieskończony ciąg an i jego szereg n=1 an . Korzystając z tego kryterium
musimy zbadać granicę:
√
n
lim
n→∞
an = g
teraz jeśli:
– g < 1 to nasz szereg będzie zbieżny
– g > 1 to nasz szereg będzie rozbieżny
– g = 1 to nie wiadomo... ;(
To kryterium warto stosować gdy w ciągu występują wyrazy podniesione do n-tej
potęgi.
Przykład 0.0.4.
Zbadamy zbieżność szeregu
n
∞
X
99
n
100
n=1
Policzmy granicę
lim
n→∞
√
n
s s
n
n
√
99
99
99
99
n
n
an = lim
n
= lim
nn
= lim
=
n→∞
n→∞
n→∞ 100
100
100
100
granica g =
99
100
jest mniejsza niz 1, zatem nasz szereg jest zbieżny.
3
Zadania do samodzielnego przećwiczenia:
Zbadać zbieżność szeregów:
∞
X
∞
X
n=1
nan
n=1
n+1 n
n
3n
∞
X
(n + 1)5n
2n3n+1
n=1
∞
X
√
n
n + 0.01
n
n=1
4