Rzut środkowy a rzut cechowany.
Transkrypt
Rzut środkowy a rzut cechowany.
Anna KULIG Samodzielna PracowniaGeometriiWykreślnej i G'afiki InzvnierskiejP olitechniki Kra kowskiej RZUT SRODKOW}' A RZUT CECHO}VAIYY Metodę rzufu Środkowego i prostokątnegona tę samąrzufirięuąrto w celu pokazanra związkow geometryczrych zach,odzących pomiędzy obydwoma odwzorowaniami tego samego obiektu przesftzennego. a' ze środkarzufu o na Wemy pod uwagę prostą a (rys. nr l ), jej rzut środkou,,y : rzunrię T 1Toraz rzut prostokątnya'prostej a. Rys. w f przedstawiaobydwa rz|Jtyprosteja na pł'aszcrynę rySunku. Q7nrc,7myprzez.. o, _ punl..tgtowny (rant prostokątny środka rzufu o na rzunrię r) głębokośc 6 tłową (odległośćśrodkao odr) 6:OO, fl, - promien zbiegu (prosta rzucającapunkt niewtaści*yT prostejo..h,= oZ,) Z, . śladzbiegu prostej a ( punkt wspolny rzuuri i promienia zbiegu prostej a) To - śladtłowy prostej a (puolc wspolny rzutri i prostej a) d - rztfi środkowyprostej a z punlttu o na Rys. 1. a, - fl,,- r (a,=Tp,) rant prostokąfiry prostej a na rzutnię 7r=T ,ł,= 32:,*ąb1y promieniazbiegu Rzut środkowyprostej a to prosta d punktamj Zo, ą. Rzut prostokątny ola.eślona .'-proste; a możemy unać, za rzut cechowany' Mozra bowiem wskazać cechy dwoch punktow prostej a w jej rzucle prostokątnym. Punk1 Ę jest jednocześnieślademHo prostej a, zatem ma cechę zero. ZauważmY,ze punkt zriknienia prostej a tj jej pun}ftprzebicia płaszcątznv aniknie. Rys. 2. nia (płaszcz7ny przechodzącej przez o i rownoległejdo r ) on,aczony Ą' k.toregorzut prostokątnyozlaczollo N,, , ma taką Samąodległość od rzufiri jak środekrzutu o. Zatem punktĄ ma cechęrowną głębokości tłowejd. Rzutem środkowympunktu Ą j.'t punkt niewłaściwy M- prosteja. Zauważmy,iż punĘ O, , Z,, To, N,otworząrÓwnoległobok. -44- ' r ' l l o ' e O,Z,II N,' T, a , l l n ' n e zoT, ll o, N'n Jeślidany jest rzut środkowyprostejxs Z,T, oraz O, i d to konstrukcja rzutu Wystarczy (rys. ru.2) poprowadnc prostąa' cechowanegotej prostejjest natvchmiastowa. rownoległądo n., ptzez punk1Ę. Prosta il,,, rowlloległado t poprowadzona przez punk O, v,tyanaczana prostej a' punkt N'o o cesze rownej d odwr.otnie:jeślidanyjest rzut cechowany a' prostej a na ft oraz O, , 6 to konstrukcja rzufu środkowegod tej prostej ( z punktu o (o)=Ho(01 (rys.ff 3) na T _ r)jest następująca: l) nalezy na prosteja'wsk^zacpunkt N'(a) o cesze rownej d i połączyc z o, - jest to prosta fl'.r. z) z punlttu o, poprowadzić prostą n,. do a'. rownoległą 3 ) p|zez punkt H ,(o) - T, poprowadżc prostą d rownoległądo fl,,, . Proste n '' t t wynacząpunk1 Z,. obiernly Rys.3. punĘ A,B,,.. na prostej a. Skonstruujemy perspektywęA, , B' ,... f.Vchpunktow. Proste oA, oB,... , SĄ promieniami twdzen)an,,, ll'g , ... fr'.r=OrA' , fl'u=OrB Punktamiwspolnymiprosteja, otazprosĘch n,u, n,u,... sąpunkryA,, B,, ... Szeregi a,(A,, B,, ...) t d(A', B', ...) Są perspekrywiczle.IdenĘazrlyzwiązek perspektywrczrości zachodn pomiędzy rzutem cechowanym a rzutem środkowym kazdej prostej jest zawsze o,. przestzeni. Srodkiem perspektywrczrości Szczeg lne polożenieprostej względemrzutni t = n Rys. 4a -45- l . Jeśtiprosta jest prostopadłado tła (rys' nr 4a) to oczywiściejej rnlt cechowany jest punktemTo= a, zaśrzut środkowy jesi prostą t: ZoT,, 2 . Jeśliprosta przechodz- przez środekrzufu (rys. nr ł61.to odwrotrie: rzut środkorvyjest punktemTo= Zo= d zasrTLItcechorvanyjestprostąprzechodzącąprzezpunkt o,=N,, o ceszed i punkt To: Zo= H, o cesze zero. o ---4 AS=BĘZaTo.Ho o'/ arN,(y __ o l =N ' o o / t Rys. 4b 3. Jeśliprostajest rownoległado tła to rzut środkowyi.cechowany prostej mają wspolny punkt niewłaścino}' i podana konstruk cja zawod,zibezbodatkowych o*y.l,. Rzut środkorvya rzut cechowan1,plasz czyzny Wemy pod uwagę płaszc4,nę a w połozeniu ogÓlnym względem rzubri, (rys' nr 5a i 5b) jej rnt środkowyd i jejrzut cechowany a, natę samą rzutnię T : 7T. Pomiędzy rzutem środkowym d a rzutem cechowanym a, pł.aszczyny a zachodż płaskie przekształcenie kolineacyjneo środkuo,, osikolineacjit,,prostej granican ej z,w układae d z_ Rys. 5. -46- Plaszczyznaw polożeniachszczegÓlnych do tłato rzuĘ: środkowyi cechorr,anyhlorząobrazy a). Jezell płaszcryma ajest ror,vnoległa podobneosrodkrlO,. jest prostą tu=4u b). Jeżelipłaszcąvmlaa. przeclrodzlprzez środekrzutu o to rzut środkorł1, w,arstwicao cesze purrktu o (o,,=zu:t, ) i rvarstrvicao cesze a rz.Itceclrorvanyolu.eśla rownej d przechodzącaprzez o,. c). Jezeli płaszczymaa jest prostopadłado tłatzn. jest w połozeniurzufującym, a, =t, Rzut środkorvyto perspeĘrwa pionorva występującanajczęściej i stosowana lV pracy architekta. lstotnewnioski z konstrukcji: l. Dow,olnieobranemupunktov"lA, układua, odpowiadajeden i tylko jeden punkt l' układud i odrvronrie. jednaprostad układud , 2. Dowo|nieobranejprosteja'układu a'odpowiada dokładnie 3. Zbiorowi punkÓw A, , B, ,... ,|eiących na prosteja'odpowiadazbior punk1olvA' , B' ,... lezącychna ct i odwronrie. 1. Pary odpor,viadających sobiepunl'towA,A', B,E, lezą na prostr'ch fr,.,. il,, przechodzącyclr przez staĘ punkt o, ' Proste fr,', , fr,u SąprosĘ'miłączącyfi:ll przyporządkowane punk:ryw obydwu rzutach. 5. Pary odpowiadających sobieprostych o,, d, b,, b' przecinająSięw punk-tachT,, Th |eząjednej prostej/, . cych na Dla płaszc,rya)ya w połozeniu ogolnym (' n,,ykluczeniempołozen szczegÓlnych) jest prosta niewłaściwa zbiorem punktow nielvłaściwych Zu-. Jej rzutem środkowymjest prostawłaściwa z,(śLadzbiegu). Natomiast rzutem prostokąnrym tej prostej jest prosta niewłaściwa z,, rztlnlu t cryLt ślad zbiegujest prostągraniczrą układuperspektywy. Płaszcrynla a przecina płaszczynę nriknienia wzdłuźz prostej n , ktorej perspektywąJeSt prosta , } -, natomiastrzutem prostokąbrymjest prostawłaściwa n' rownoległado t, (cecha tej prostejjest rowna głębokości tłowej). Prostej łl' odpowiada prosta niervłaściwa czyli r' jest prostą graniczrą rzufu prostokątrego. Prosta graniczra n, najduje się w taklej odległości od o, jaka jest pomięd.y prostągraniczną e' i osią kolineacjil' Kolejne rysunki 6, 7, 8 ,9 przedstawiająprzykłady konstruowanrarzufu cechowanego na podstawie rzufu środkowegodla figur i brył np: kwadrafu, sześcianu,sześcianuprzy Z,, wielościanu. niewłaściwym, CENTRAL AND TOPOGRAPHIC PROJECTIONS The problem of the reciprocal, geometrical relations betrveen the central and topographicprojectionsis considered. A simple constructionallorvrngto find the topoglahic projectionof an arbitraryobject havinggiven its centralprojectionand vice versa is presented.Collineationis applied. -47 - Rys.6. 'b\ull I Lys. 48- Rys. 8.