Klucz odpowiedzi do zadań z II etapu

Zadania na II etap Mazowieckiej Olimpiady Astronomicznej
dla gimnazjum – klucz odpowiedzi
1. Narysuj schematycznie bieg promieni świetlnych podczas całkowitego zaćmienia Księżyca.
Oznacz symbolicznie Słońce, Księżyc, Ziemię, uwzględniając ich wzajemne położenie
Odp.
[3 pkt]
2. Oblicz wysokość Słońca nad horyzontem w Pradze i Meksyku pierwszego dnia
kalendarzowego lata, jeśli wiemy, że w Pradze 22 grudnia Słońce góruje na wysokości
160 33’. Meksyk(190 N, 990 W)
Odp.
Wiemy, że 22 grudnia w Polsce Słońce góruje na wysokości 16033’. Możemy zatem obliczyć
na jakiej szerokości geograficznej leży Praga
ℎ = 900 − 𝜑 − 230 27′
𝜑 = 900 − ℎ − 230 27′
𝜑 = 900 − 160 33′ − 230 27′
𝜑 = 500
gdzie ℎ − wysokość Słońca, 𝜑 − szerokość geograficzna
Teraz możemy wyznaczyć wysokość górowania Słońca w obydwu miastach.
Dla Pragi:
ℎ = 900 − 𝜑 + 230 27′
ℎ = 900 − 500 + 230 27′
ℎ = 630 27′
Dla Meksyku:
Wiemy, że promienie słoneczne w dniu 22 czerwca padają prostopadle na zwrotnik Raka
(szerokość geograficzna – 23027’ N), Szerokość geograficzna Meksyku wynosi 190, więc
wysokość górowania Słońca będzie niewiele mniejsza od 30 0.
230 27′ − 190 = 40 27′
ℎ = 900 − 40 27′
ℎ = 850 33′
[10 pkt]
3. Prawo powszechnego ciążenia mówi, że każde dwa ciała przyciągają się wzajemnie siłą
proporcjonalną do iloczynu mas tych ciał i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich
odległości. Na podstawie tego prawa oblicz stosunek ciężaru ciała na powierzchni Marsa do
ciężaru na powierzchni Ziemi, widząc, że stosunek masy Marsa Mm do masy Ziemi Mz
wynosi Mm/ Mz=0,1 i stosunek ich promieni Rm /Rz =0,5
Odp.
𝑀𝑚 𝑚
𝑚𝑔𝑚 = 𝐺
𝑅𝑚 2
𝑀𝑧 𝑚
𝑚𝑔𝑧 = 𝐺
𝑅𝑧 2
Dzieląc przez siebie te dwa równania:
𝑚𝑔𝑚 𝐺𝑀𝑚 𝑚 𝑅𝑧 2
=
∙
𝑚𝑔𝑧
𝑅𝑚 2 𝐺𝑀𝑧 𝑚
𝑔𝑚 𝑀𝑚 𝑅𝑧 2
=
∙
𝑔𝑧
𝑀𝑧 𝑅𝑚 2
Podstawiając dane:
𝑔𝑚
= 0,1 ∙ 4
𝑔𝑧
𝑔𝑚
= 0,4
𝑔𝑧
[5 pkt]
4. Podpisz kolejne fazy Księżyca.
Odp.
Księżyc
garbaty
I kwadra
sierp
pełnia
Księżyc
garbaty
III kwadra
sierp
[3,5 pkt]
5. Wymień 3 etapy życia gwiazdy i opisz krótko jeden z nich.
Przykładowa odpowiedź
1. czerwony karzeł 2. biały olbrzym 3. biały karzeł
Czerwony karzeł
Mała i stosunkowo chłodna gwiazda ciągu głównego późnego typu widmowego K lub M.
Masa i średnica gwiazd tego typu stanowi mniej niż 1/3 tych wielkości Słońca. Temperatura
powierzchni wynosi najwyżej 3 500 K. Gwiazdy te emitują niewielkie ilości światła. Z
powodu wolnego tempa spalania wodoru, ich szacowany czas życia jest bardzo długi i wynosi
od dziesiątek miliardów do bilionów lat.
[4,5 pkt]
6. Satelita to ciało o względnie małej masie, obiegające ciało o wielkiej masie. Tor ruchu tego
ciała nosi nazwę orbity. Satelita geostacjonarny to satelita pozostający zawsze ponad
określonym punktem znajdującym się na Ziemi i przemieszczający się w przestrzeni
kosmicznej razem z obrotami kuli ziemskiej. Oblicz promień orbity geostacjonarnej Ziemi
znając jej masę M, stałą grawitacji G. Wykonaj rachunek mian pomijając obliczenia
rachunkowe.
Odp.
𝑀𝑚 𝑚4𝜋 2 𝑟
𝐺 2 =
𝑟
𝑇2
𝑟=
𝐺 = 6,67 ∙ 10−11
𝑀 ≈ 6 ∙ 1024 𝑘𝑔
𝑇 =𝑠
𝑟 = 1𝑚
3
𝐺𝑀𝑇 2
4𝜋 2
𝑁𝑚2
𝑘𝑔2
𝑟
3
𝑁𝑚2 𝑘𝑔 ∙ 𝑠 2 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑠 2
=
=
= 𝑚3
𝑘𝑔2
𝑠 2 ∙ 𝑘𝑔2
[8 pkt]