Zadanie 1 Zadanie 2 Kulę składamy z obręczy o promieniu r1=r*sin

Zadanie 1 Zadanie 2 Kulę składamy z obręczy o promieniu r1=r*sin

Zadanie 1
In[1]:=
r = {x, y, z};
In[2]:=
B = B1, B2, B3; (* Bi to wielkości stałe *)
In[3]:=
A = -1  2 * Crossr, B
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=

1
2
-B3 y + B2 z,
∇{x,y,z} ⨯
1
2
1
2
B3 x - B1 z,
-B3 y + B2 z,
1
2
1
2
-B2 x + B1 y
B3 x - B1 z,
1
B3 x - B1 z,
1
2
-B2 x + B1 y
B1, B2, B3
∇{x,y,z} · 
1
2
-B3 y + B2 z,
1
2
2
-B2 x + B1 y
0
ClearAll"Global`*"
Zadanie 2
Kulę składamy z obręczy o promieniu r1=r*sin(theta) i przekroju poprzecznym dA=r*dr*dtheta. Objętość
takiego “obwarzanka” wynosi dV= 2*Pi*r1*dA, a ładunek dQ=rho*dV.
Magnetyczny moment dipolowy takiego obwarzanka wynosi
dm=I*dS=(dQ/T)*Pi*r1^2, gdzie T jest okresem obrotu kuli wokół własnej osi: T=2*Pi/omega.
dm=(omega/2)*2*Pi*rho*r^4*(sin(theta))^3*dr*dtheta
Sprawdzam dla objętości, że z obwarzanków mogę posklejać całą kulę o promieniu R:
2
rozw_zadania_09.nb
In[7]:=
Out[7]=
Vkuli = Integrate2 * Pi * r * r * Sintheta, r, 0, R, theta, 0, Pi
4 π R3
3
In[8]:=
Mommagnkuli =
Integrateomega  2 * 2 * Pi * rho * r^4 * Sintheta^3, r, 0, R, theta, 0, Pi
4
Out[8]=
15
In[9]:=
omega π R5 rho
rho = Q  Vkuli
3Q
Out[9]=
In[10]:=
4 π R3
Mommagnkuli
1
Out[10]=
omega Q R2
5
In[11]:=
mprot = 1.4 * 10^-26; (* C m^2s *)
In[12]:=
R = 1.4 * 10^-15; (* m *)
In[13]:=
Q = 1.6 * 10^-19; (* C *)
In[14]:=
(* mP=1.67*10^-27; (* kg *) *)
In[15]:=
(* v= omega*R *)
In[16]:=
v = 5 * mprot  Q * R (* m/s *)
Out[16]=
3.125 × 108
Ta prędkość nawet dla protonu jest większa od prędkości światła w próżni ! Dla elektronu byłoby
jeszcze gorzej, bo wartość promienia elektronu jest szacowana tylko od góry Re < 10^(-18) m.
Dlatego magnetyczne momenty dipolowe cząstek nie mogą być tłumaczone na gruncie elektrodynamiki
klasycznej.
In[17]:=
ClearAll"Global`*"
Zadanie 3
rozw_zadania_09.nb
Niech x oznacza odległość ruchomej poprzeczki od opornika R. Zmienne pole powierzchni ramki to l*x,
a strumień objęty przez ramkę wynosi B*l*x. Siła elektromotoryczna indukowana w ramce ma wartość
Epsilon=B*l*x’[t], a prąd w ramce ma wartość i[t]=Epsilon/R, zakładając, że opory szyn i poprzeczki są
małe w porównaniu z oporem R. Prąd w ramce płynie w takim kierunku (przez poprzeczkę - w prawo),
by przeciwdziałać zmianie rosnącego strumienia pola magnetycznego. W tej sytuacji na poprzeczkę z
prądem oprócz siły grawitacji skierowanej w dół, działa siła pochodząca od pola magnetycznego
skierowana w górę!
In[18]:=
it = B * l * x't  R
B l x′ [t]
Out[18]=
R
In[19]:=
Out[19]=
In[20]:=
rownanie = m * x''t ⩵ m * g - it * l * B
m x′′ [t] ⩵ g m -
B2 l2 x′ [t]
R
warpocz = x0 ⩵ x0, x'0 ⩵ 0;
(* poprzeczka spada z wysokości x0, bez prędkości początkowej *)
In[21]:=
Out[21]=
In[22]:=
Out[22]=
In[23]:=
Out[23]=
In[24]:=
rownania = Appendwarpocz, rownanie
x[0] ⩵ x0, x′ [0] ⩵ 0, m x′′ [t] ⩵ g m -
R

s = DSolverownania, xt, t
x[t] →
1
-
B4 l4
ⅇ
B2 l2 t
mR
g m2 R2 - ⅇ
B2 l2 t
mR
g m2 R2 + B2 ⅇ
B2 l2 t
mR
g l2 m R t + B4 ⅇ
s2 = Simplify[s]
x[t] →
1
B4 l4
-
-1 + ⅇ
gmR
B2 l2 t
mR
m R + B2 l2 t + B4 l4 x0 
xt_ = xt /. s21
1
Out[24]=
B4
In[25]:=
B2 l2 x′ [t]
l4
-
gmR
-1 + ⅇ
gmR
-1 + ⅇ
B2 l2 t
mR
m R + B2 l2 t + B4 l4 x0
xt
1
Out[25]=
B4 l4
-
B2 l2 t
mR
m R + B2 l2 t + B4 l4 x0
In[26]:=
l = 1  2; B = 1  3; m = 1  20; g = 10; x0 = 1  2; R = 2;
In[27]:=
xt
Out[27]=
1296
1
2592
+
1
10
-1 + ⅇ-5 t18  +
t
36
B2 l2 t
mR
l4 x0 
3
4
rozw_zadania_09.nb
In[28]:=
Plotxt, t, 0, 10
250
200
150
Out[28]=
100
50
2
In[29]:=
4
6
8
10
6
8
10
Plotx't, t, 0, 10
35
30
25
20
Out[29]=
15
10
5
2
In[30]:=
4
ClearAll"Global`*"
Zadanie 4
rozw_zadania_09.nb
In[31]:=
poleE = Exx, y, z, t, Eyx, y, z, t, Ezx, y, z, t;
In[32]:=
poleB = Bxx, y, z, t, Byx, y, z, t, Bzx, y, z, t;
In[33]:=
rho = epsilon0 * ∇{x,y,z} · poleE
Out[33]=
In[34]:=
Out[34]=
epsilon0 Ez0,0,1,0 [x, y, z, t] + Ey0,1,0,0 [x, y, z, t] + Ex1,0,0,0 [x, y, z, t]
j = -epsilon0 * DpoleE, t + 1  mu0 * ∇{x,y,z} ⨯poleB
-epsilon0 Ex0,0,0,1 [x, y, z, t] +
-epsilon0 Ey0,0,0,1 [x, y, z, t] +
-epsilon0 Ez0,0,0,1 [x, y, z, t] +
1
mu0
1
mu0
1
mu0
In[35]:=
Out[35]=
In[36]:=
Out[36]=
In[37]:=
Out[37]=
In[38]:=
-By0,0,1,0 [x, y, z, t] + Bz0,1,0,0 [x, y, z, t],
Bx0,0,1,0 [x, y, z, t] - Bz1,0,0,0 [x, y, z, t],
-Bx0,1,0,0 [x, y, z, t] + By1,0,0,0 [x, y, z, t]
FullSimplify∇{x,y,z} · j
-epsilon0 Ez0,0,1,1 [x, y, z, t] + Ey0,1,0,1 [x, y, z, t] + Ex1,0,0,1 [x, y, z, t]
FullSimplifyDrho, t
epsilon0 Ez0,0,1,1 [x, y, z, t] + Ey0,1,0,1 [x, y, z, t] + Ex1,0,0,1 [x, y, z, t]
FullSimplify∇{x,y,z} · j + Drho, t
0
ClearAll"Global`*"
Zadanie 5
5
6
rozw_zadania_09.nb
In[39]:=
Out[39]=
In[40]:=
Out[40]=
In[41]:=
u = c1 * f1x - v * t + c2 * f2x + v * t
c1 f1[-t v + x] + c2 f2[t v + x]
l = Du, x, 2
c1 f1′′ [-t v + x] + c2 f2′′ [t v + x]
p = 1  v^2 * Du, t, 2
c1 v2 f1′′ [-t v + x] + c2 v2 f2′′ [t v + x]
Out[41]=
v2
In[42]:=
Out[42]=
In[43]:=
Out[43]=
In[44]:=
Simplify[p]
c1 f1′′ [-t v + x] + c2 f2′′ [t v + x]
Simplifyl ⩵ p
True
ClearAll"Global`*"
Zadanie 6
In[45]:=
k = k1, k2, k3;
In[46]:=
x = x1, x2, x3;
In[47]:=
u = fk.x - w * t
Out[47]=
In[48]:=
Out[48]=
In[49]:=
Out[49]=
f[-t w + k1 x1 + k2 x2 + k3 x3]
l = Laplacianu, x1, x2, x3
k12 f′′ [-t w + k1 x1 + k2 x2 + k3 x3] +
k22 f′′ [-t w + k1 x1 + k2 x2 + k3 x3] + k32 f′′ [-t w + k1 x1 + k2 x2 + k3 x3]
Simplifyl
k12 + k22 + k32  f′′ [-t w + k1 x1 + k2 x2 + k3 x3]
rozw_zadania_09.nb
In[50]:=
p = 1  v^2 * Du, t, 2
w2 f′′ [-t w + k1 x1 + k2 x2 + k3 x3]
Out[50]=
v2
Aby zachodziło l=p, musi być spełniona zależność
2
k12 + k22 + k32 = w2
v
In[51]:=
ClearAll"Global`*"
Zadanie 7
In[52]:=
u = c1 * 1  r * f1r - v * t + c2 * 1  r * f2r + v * t
c1 f1[r - t v]
Out[52]=
+
c2 f2[r + t v]
r
In[53]:=
Out[53]=
r
d1 = D[u, r]
-
c1 f1[r - t v]
-
c2 f2[r + t v]
r2
In[54]:=
Out[54]=
In[55]:=
Out[55]=
In[56]:=
+
c1 f1′ [r - t v]
r2
+
c2 f2′ [r + t v]
r
r
d2 = r^2 * D[u, r]
r2 -
c1 f1[r - t v]
-
c2 f2[r + t v]
r2
+
c1 f1′ [r - t v]
r2
+
c2 f2′ [r + t v]
r
r
Simplifyd2
-c1 f1[r - t v] - c2 f2[r + t v] + c1 r f1′ [r - t v] + c2 r f2′ [r + t v]
l = 1  r^2 * Dd2, r
1
Out[56]=
r2
2r r2
c1 f1[r - t v]
r2
2 c1 f1[r - t v]
r3
2 c2 f2′ [r + t v]
r2
+
+
-
c2 f2[r + t v]
r2
2 c2 f2[r + t v]
r3
c1 f1′′ [r - t v]
r
+
+
c1 f1′ [r - t v]
+
r
2 c1 f1′ [r - t v]
r2
c2 f2′′ [r + t v]
r
c2 f2′ [r + t v]
r
-
+
7
8
rozw_zadania_09.nb
In[57]:=
Simplifyl
c1 f1′′ [r - t v] + c2 f2′′ [r + t v]
Out[57]=
r
In[58]:=
Out[58]=
p = 1  v^2 * Du, t, 2
c1 v 2 f1 ′′ [r-t v]
r
c2 v 2 f2 ′′ [r+t v]
r
+
v2
In[59]:=
Simplify[p]
c1 f1′′ [r - t v] + c2 f2′′ [r + t v]
Out[59]=
r
In[60]:=
Out[60]=
In[61]:=
Simplifyl ⩵ p
True
ClearAll"Global`*"
Zadanie 8
In[62]:=
Out[62]=
In[63]:=
u = A[x] * Cosw * t + phi
A[x] Cos[phi + t w]
d = Du, x, 2 - 1  v^2 * Du, t, 2
w2 A[x] Cos[phi + t w]
Out[63]=
v2
In[64]:=
+ Cos[phi + t w] A′′ [x]
Simplifyd
Cos[phi + t w] w2 A[x] + v2 A′′ [x]
Out[64]=
v2
Aby równanie było spełnione dla dowolnej chwili t, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero
In[65]:=
Out[65]=
In[66]:=
rownanie = w2 A[x] + v2 A′′ [x] ⩵ 0
w2 A[x] + v2 A′′ [x] ⩵ 0
v = wk
w
Out[66]=
k
rozw_zadania_09.nb
In[67]:=
Out[67]=
rownanie = Simplifyrownanie, w > 0
k A[x] +
A′′ [x]
k
In[68]:=
Out[68]=
In[69]:=
Out[69]=
In[70]:=
Out[70]=
⩵0
warbrzeg = A0 ⩵ 0, AL ⩵ 0
A[0] ⩵ 0, A[L] ⩵ 0
rownania = Appendwarbrzeg, rownanie
A[0] ⩵ 0, A[L] ⩵ 0, k A[x] +
A′′ [x]
k
⩵ 0
s = Assumingk > 0 && L > 0, DSolverownania, A[x], x
A[x] →
.
.
C[1] Sin[k x] n
. ∈ Integers && n
. ≥ 1 && k > 0 && L ⩵
0
True
.
.
2.
nπ
 || n
.
k
≥ 0 && k > 0 && L ⩵
To nie jest poprawny wynik. Szukam więc najpierw rozwiązania bez warunków brzegowych !
In[71]:=
Out[71]=
s = DSolverownanie, A[x], x
A[x] → C[1] Cos[k x] + C[2] Sin[k x]
Aby warunki brzegowe były spełnione:
In[72]:=
A[x_] := c * Sink * x
Dodatkowo Sin[k*L]=0, więc k*L = n*Pi, gdzie n=1,2,3, ..
(Dla n=0 mielibyśmy trywialne rozwiązanie A[x]=0 i u=0.)
Dlatego k = n*Pi/L, gdzie n=1,2,3, ...
In[73]:=
kmin = Pi  L;
In[74]:=
wmin = vf * kmin
Out[74]=
π vf
L
In[75]:=
fmin = wmin  2 * Pi (* najniższa częstotliwość *)
vf
Out[75]=
2L
In[76]:=
vf = SqrtT0  mu (* prędkość fazowa fali w strunie *)
T0
Out[76]=
mu
In[77]:=
9
fmin
T0
mu
Out[77]=
2L
.
π+2 n
.
k
10
rozw_zadania_09.nb
In[78]:=
L = 0.64; (* m *)Manipulate
PlotSinn * x * Pi  L, x, 0, L, AxesLabel → x, "A[x]", PlotLabel → n, n, 1, 10, 1
n
1
A[x]
1.0
0.8
Out[78]=
0.6
0.4
0.2
x
0.1
In[79]:=
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
ClearAll"Global`*"
Zadanie 9
In[80]:=
L = 0.64; (* m *)
In[81]:=
d = 0.08; (* cm *)
In[82]:=
rho = 7.85;(* g(cm)^3 *)
In[83]:=
T0 = 443.8; (* N *)
Liczę objętość 1 m bieżącego struny w (cm)^3 :
In[84]:=
Out[84]=
In[85]:=
Out[85]=
In[86]:=
Out[86]=
obj = Pi * d  2^2 * 100
0.502655
m1 = obj * rho (* masa 1m bieżącego struny w gramach *)
3.94584
mu = m1  1000 (* masa 1m bieżącego struny w kg *)
0.00394584
rozw_zadania_09.nb
In[87]:=
Out[87]=
vf = SqrtT0  mu (* m/s *)
335.37
T0
mu
In[88]:=
(* Hz *)
fmin =
2L
Out[88]=
262.008
11