Liczby_geometryczne_..

Jakub Cisło
Wyprowadzenia i dowody wzorów dla liczb geometrycznych
Zaczniemy od tych najprostszych, a skończymy na najbardziej abstrakcyjnych.
1
Liczby trójkątne
Łatwo zauważyć, że n-ta liczba trójkątna to po prostu suma liczb od 1 do n, czyli
Mamy już wzór, ale przypatrzmy się jeszcze trójkątowi Pascala:
n(n+1)
.
2
1
1
1
1
1
1
7
6
4
10
15
6
3
3
5
1
2
1
1
1
4
10
20
21
1
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
Jak widzimy, wyróżnione liczby to kolejne liczby trójkątne. Ponieważ znamy wzór na elementy w trójkącie Pascala, więc możemy przedstawić w inny sposób n-tą liczbę trójkątną:
!
n(n + 1)
n+1
(n + 1)!
=
=
(n − 1)! · 2!
2
2
Do trójkąta Pascala jeszcze powrócimy.
2
Liczby wielokątne
Zauważmy, że gdy mając zbudowaną n − 1 liczbę k-kątną, to aby otrzymać następną
musimy dołożyć na k − 2 bokach po n kulek. Jednak w ten sposób policzymy dwukrotnie
kule, które są na styku boków. Musimy pomniejszyć tę liczbę o k − 3. Możemy więc
zapisać wzór jako sumę:
n
X
n
X
i=1
i=1
(i(k − 2) − (k − 3)) =
i(k − 2) − n · (k − 3) =
= (k − 2) ·
n
X
i − n(k − 3) =
i=1
n(n + 1)
− n(k − 3) =
= (k − 2) ·
2
n
= ((n + 1)(k − 2) − 2(k − 3)) =
2
n
= ((n + 1)(k − 2) − 2(k − 2) + 2) =
2
(n − 1)(k − 2) + 2
=n·
2
1
Jakub Cisło
3
Wyprowadzenia i dowody wzorów dla liczb geometrycznych
Liczby piramidalne
Zgodnie z definicją możemy zapisać wzór na n-tą liczbę k-kątną piramidalną jako sumę:
n
X
i·
i=1
n
n
i(i − 1)(k − 2) X
(i − 1)(k − 2) + 2 X
=
+
i
2
2
i=1
i=1
= (k − 2) ·
= (k − 2) ·
= (k − 2) ·
n
X
i(i − 1) n(n + 1)
+
=
2
2
i=1
n
X
i(i − 1) n(n + 1)
+
=
2
2
i=2
n
X
!
i
n(n + 1)
+
2
2
i=2
Przedostatnie przejście jest prawidłowe ze względu na to, że dla i = 1 wartość wyrażenia i(i−1)
wyniesie 0. Wrócimy teraz do trójkąta Pascala i dwumianu Newtona. Poniższy
2
wzór łatwo udowodnić indukcyjnie, nie będę jednak tego tutaj czynił.
n
X
i=k
!
i
n+1
=
k
k+1
!
(1)
dla n, k ∈ N
Korzystając z tej równości przekształcamy dalej:
(k − 2) ·
n
X
i=2
!
!
i
n(n + 1)
n+1
n(n + 1)
+
= (k − 2) ·
+
=
2
2
3
2
(n + 1)!
n(n + 1)
= (k − 2) ·
+
=
(n − 2)! · 3!
2
(n − 1)n(n + 1) n(n + 1)
= (k − 2) ·
+
=
6
2
n(n + 1)
=
((k − 2)(n − 1) + 3)
6
2
Jakub Cisło
4
Wyprowadzenia i dowody wzorów dla liczb geometrycznych
Liczby 4-wymiarowe
Również korzystając z definicji rozpisujemy wzór na n-tą liczbę k-kątną 4-wymiarową:
n
n
X
X
i(i + 1)
i(i + 1)
i(i + 1)
((k − 2)(i − 1) + 3) =
(k − 2)(i − 1) +
=
6
6
2
i=1
i=1
i=1
n
X
= (k − 2) ·
= (k − 2) ·
= (k − 2) ·
= (k − 2) ·
n
X
X i(i − 1)
(i − 1)i(i + 1) n+1
+
=
6
2
i=1
i=2
n+1
X
i=2
n+1
X
i=3
n+1
X
X i
i(i − 1)(i − 2) n+1
+
=
6
i=2 2
!
!
i(i − 1)(i − 2)
n+2
+
=
6
3
i=3
!
!
i
n+2
+
=
3
3
!
!
n+2
n+2
= (k − 2) ·
+
=
4
3
(n − 1)n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2)
+
=
= (k − 2) ·
24
6
n(n + 1)(n + 2)
=
· ((k − 2)(n − 1) + 4)
24
Po drodze skorzystaliśmy z tego, że dla i = 2 wyrażenie
5
i(i−1)(i−2)
6
jest równe 0 oraz z (1).
Liczby w-wymiarowe
Na podstawie obserwacji poprzednich wzorów można wymyślić wzór dla dowolnego wymiaru w. Ostatnim zatem zadaniem będzie udowodnienie poprawności poniższego wzoru.
Twierdzenie 1. Liczba kul potrzebnych do ułożenia n-tej liczby k-kątnej w-wymiarowej
wyraża się wzorem:
!
n + w − 1 (k − 2)(n − 1) + w
n+w−1
w
Dowód. Postępujemy w sposób indukcyjny ze względu na w.
Krok 1 Dla w = 2 wzór przyjmuje postać
!
n + 1 (k − 2)(n − 1) + 2
n(n + 1) (k − 2)(n − 1) + 2
=
·
=
2
n+1
2
n+1
(n − 1)(k − 2) + 2
=n·
2
Widzimy, że dla takiego w jest to prawdą.
Krok 2 Załóżmy, że twierdzenie zachodzi dla pewnego w. Udowodnimy prawdziwość
tego twierdzenia dla w + 1.
3
Jakub Cisło
Wyprowadzenia i dowody wzorów dla liczb geometrycznych
Tak jak wcześniej, wprost z definicji, n-ta liczba k-kątna (w +1)-wymiarowa wyraża
się wzorem:
n
X
i=1
!
i + w − 1 (k − 2)(i − 1) + w
=
i+w−1
w
=
n
X
i=1
n
i+w−1
w
i + w − 1 (k − 2)(i − 1) X
+
=
i+w−1
w
i+w−1
w
i=1
!
!
= (k − 2) ·
n
X
i=1
n
X
i + w − 1 (i − 1)
i+w−1
w
+
=
w
i + w − 1 i=1
w
i+w−1
!
!
n
X
(i − 1)
(i + w − 1)!
w
(i + w − 1)!
·
+
·
=
= (k − 2) ·
i + w − 1 i=1 (i − 1)! · w! i + w − 1
i=1 (i − 1)! · w!
n
X
= (k − 2) ·
= (k − 2) ·
n
X
n
(i + w − 2)! X
(i + w − 2)!
+
=
i=1 (i − 2)! · w!
i=1 (i − 1)! · (w − 1)!
n
X
i=1
= (k − 2) ·
n
X
i=2
n
X
i+w−2
i+w−2
+
=
w
w−1
i=1
!
!
n
X
i+w−2
i+w−2
+
w−1
w
i=1
!
!
Ostatnie przejście jest możliwe, gdyż ab = 0 dla a < b. Musimy teraz zmienić
indeksy przy sigmach. Podstawiamy j = i + w − 2, czyli i = j − w + 2, a następnie
korzystamy z (1).
(k − 2)·
n+w−2
X
j=w
n+w−2
X
(j − w + 2) + w − 2
(j − w + 2) + w − 2
+
=
w
w−1
j=w−1
= (k − 2) ·
!
n+w−2
X
j=w
!
n+w−2
X
j
j
+
=
w
j=w−1 w − 1
!
!
!
!
n+w−1
n+w−1
= (k − 2) ·
+
=
w+1
w
!
!
n+w
n−1
n+w
w+1
= (k − 2) ·
·
+
·
=
w+1
n+w
w+1
n+w
!
n + w (k − 2)(n − 1) + w + 1
=
w+1
n+w
4