A EGZAMIN PISEMNY Z ALGEBRY LINIOWEJ 1. Rozwiązać

Nazwisko i imię
Nr albumu
Kierunek studiów
Rok studiów
Data egzaminu
A
EGZAMIN PISEMNY Z ALGEBRY LINIOWEJ
1. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 − (3 + 3j)x + 30 − j = 0.
2. Niech x, y i z będą wektorami z przestrzeni Euklidesa, takimi że (x|y) = 2, (x|z) = −3, (y|z) = 2, ||x|| = 1,
||y|| = 2 i ||z|| = 3. Obliczyć: (a) (x + y|y + z); (b) (x − y + 3z|2x + y); (c) ||x + y||; (d) ||x − 2y + 4z||.
3. Wyznaczyć wartości własne
własne macierzy A oraz utworzyć macierz P, taką że P−1 AP jest
i wektory
3 4
macierzą diagonalną, gdy A =
.
4 3
4. Dane jest przekształcenie liniowe T : R3 → R3 , takie że T (−1, 1, 1) = (3, 5, 7), T (1, −1, 1) = (3, 0, 1) i
T (1, 1, −1) = (1, 2, 3). Wyznaczyć T (x, y, z) dla (x, y, z) ∈ R3 . Następnie wyznaczyć T (1, 1, 1).
5. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego T : R3 → R3 względem bazy standardowej E = (e1 , e2 , e3 )
przestrzeni R3 , jeśli T (ai ) = bi dla i = 1, 2, 3, gdy a1 = (2, 3, 5), a2 = (0, 1, 2), a3 = (1, 0, 1), b1 = (1, 1, 1),
b2 = (1, 1, −1), b3 = (2, 1, 2).

 x1 + x2 = 4,
x1 + x2 = 1,
6. Znaleźć najlepsze rozwiązanie sprzecznego układu równań

3x1 + 5x2 = 2.
7. Wyznaczyć prostą y = ax + b, która najlepiej pasuje do punktów (1, 4), (4, 24), (5, 30), (8, 32), (12, 36).
−9 −7
8. Dana jest macierz A =
. (a) Wyznaczyć wielomian charakterystyczny ϕ(x) macierzy A. (b)
14 12
Korzystając z równości ϕ(A) = 0, wyznaczyć A−1 . (c) Korzystając z reszty z dzielenia wielomianu ψ(x) =
x7 − 2x4 przez ϕ(x), wyznaczyć A7 − 2A4 .