Mechanika i termodynamika Lista nr 2: Kinematyka

Mechanika i termodynamika
Lista nr 2: Kinematyka
Katarzyna Sznajd-Weron
6 października 2016
Kinematyka to dział fizyki zajmujący się badaniem ruchu, bez uwzględniania jego
przyczyn. Innymi słowy wiemy na przykład, że jabłko spadnie ze stałym przyśpieszeniem
ziemskim g = 9.81m/s2 i na tej podstawie możemy wyliczyć czas spadku, prędkość na
różnych wysokościach, itp., ale nie wiemy dlaczego spadnie i nas to w ogóle nie interesuje.
Dlatego też kinematyka nie wydaje się specjalnie fascynująca, a co gorsza kojarzy się
z całą listą wzorów ”z powietrza”. Kinematyka może być jednak bardzo pożyteczna i
jak zobaczymy właściwie wystarczy znajomość dwóch definicji, które pojawiły się już na
poprzedniej liście: Prędkość zdefiniowana jest ogólnie jako:
~v (t) =
d~r(t)
,
dt
(1)
gdzie ~r(t) jest położeniem, tzn. współrzędną punktu, w chwili t. Natomiast przyspieszenie
jest zdefiniowane jako:
d~v (t)
.
(2)
~a(t) =
dt
Korzystając wyłącznie z tych definicji + informacji zawartych na tej liście powinniście
rozwiązać wszystkie poniższe zadania. Nie korzystajcie z żadnych gotowych wzorów!
1
Tor i prędkość cząstki
Na podstawie podanego przyśpieszenia ~a(t) oblicz położenie ~r(t) i prędkość ~v (t) cząstki
w funkcji czasu - skomentuj wynik (jak wygląda ruch, czy coś Ci to przypomina, itp.).
Podpowiedź: żeby rozwiązać to zadanie trzeba będzie przyjąć jakieś warunki początkowe,
domyślnie przyjmujemy zwykle ~x(0) = x~0 , ~v (0) = v~0 chyba, że podano inaczej.
1. ~a(t)=0
2. ~a(t) = (0, g, 0), gdzie g = const,
3. ~a(t) = (ax (t), ay (t), az (t)), gdzie ax (t) = −rω 2 cos(ωt), ay (t) = −rω 2 sin(ωt), az (t) =
0 oraz ~r(0) = (0, 0, 0), ~v (0) = (0, 0, 0).
1
2
Spadek swobodny
Najprostszym rodzajem ruchu przyspieszonego jest ruch po linii prostej ze stałym przyspieszeniem, np. spadek jakiegoś obiektu w polu grawitacyjnym. Jeśli możemy tylko zaniedbać opór powietrza (zastanów się kiedy możemy to zrobić?), to taki obiekt porusza
się w kierunku środka Ziemi ze stałym przyśpieszeniem g = 9.81m/s2 .
2.1
Wieże swobodnego spadku
Doznań związanych ze spadkiem swobodnym możemy doświadczyć na przykład na wieżach swobodnego spadania, obecnych w wielu parkach rozrywki. W przypadku większości
wież pasażerowie siedzą zabezpieczeni specjalnymi uzdami na ławkach/fotelach (gondolach) znajdujących się wokół wieży. W pierwszej fazie jazdy są wciągani (czasem katapultowani) na szczyt wieży, następnie gondola spada swobodnie w dół. Hamulce aktywują się
w momencie gdy gondola zbliża się do ziemi. Odpowiedz na pytania dotyczące różnych
wież znajdujących się w Europie:
1. Wieża Scream w Heide Park (Soltau, Germany) ma 103m wysokości, najwyższa
pozycja gondoli to 71m. Wg. informacji parku, chociaż czas całej jazdy to aż 82s to
czas spadku swobodnego to zaledwie 2s. Jaki w takim razie jest rzeczywisty dystans,
pokonywany w trakcie swobodnego spadku i jaką prędkość można osiągnąć?
2. Wieża AtmosFear w Liseberg (Gothenburg, Szwecja) ma 116m i jest najwyższą wieżą
spadku w Europie. Pasażerowie spadają z wysokości 90m. Wg. informacji parku
maksymalna uzyskiwana prędkość to 109km/h a czas spadku to 3s. Ile w takim
razie wynosi dystans, pokonywany w trakcie swobodnego spadku? Czy faktycznie
można osiągnąć prędkość 109km/h?
3
Rzut ukośny
Co się dzieje gdy rzucamy piłką do kosza? Oczywiście nadajemy jej pewną prędkość początkowa v~0 . Następnie piłka podąża już torem (trajektorią) zależną wyłącznie od grawitacji i ew. oporu powietrza. Ruch w polu grawitacyjnym odbywa się w płaszczyźnie
dwuwymiarowej i ruch można analizować niezależnie w składowych x i y. Jeżeli możemy
zaniedbać wpływ powietrza na ruch, to wówczas ruch poziomy (wzdłuż osi x) będzie się
odbywał z zerowym przyspieszeniem, a ruch pionowy (wzdłuż osi y) ze stałym przyspieszeniem g = 9, 81m/s2 .
3.1
Gra w kosza
Wyznacz położenie piłki w funkcji czasu t jeśli początkowo nadana szybkość wynosi v0 a
kąt rzutu α. Z jaką szybkością v0 trzeba wyrzucić piłkę, żeby trafić do kosza z linii rzutów
za 3 punkty (patrz rysunek 1)?
3.2
Skok w dal
Rekord świata w skoku w dal należy obecnie do Mikea Powella i wynosi 8,95m. Z jaką
prędkością musi się wybić skoczek, jeżeli opuszcza belkę pod kątem 30 stopni, żeby sko2
Rysunek 1: Boisko do koszykówki
czyć na taką odległość? Przy jakich założeniach jesteś w stanie rozwiązać to zadanie? Co
może zrobić skoczek, przy założeniach które były konieczne do rozwiązania zadania, żeby
skoczyć jak najdalej?
3.3
Zrzuty lotnicze
W sierpniu i wrześniu 1944 alianckie samoloty 280 razy startowały ze zrzutami do Warszawy, Puszczy Kampinoskiej i Lasu Kabackiego. Zrzucono ponad 200 ton zaopatrzenia,
z czego powstańcy odebrali ok. 60- 90 ton. Misje ze zrzutami zaopatrzenia dla Warszawy
okazały się jedną z najtrudniejszych operacji w całej historii lotnictwa. Zrzucono nad miastem 485 zasobników o masie 150 kg, łącznie ok. 72 ton zaopatrzenia. Marszałek Slessor
oceniał, że alianci tracili jeden samolot na każde 10 ton dostaw dla Warszawy. Oblicz w
jakiej odległości od celu samolot musiał zrzucić zasobnik jeżeli leciał na wysokości 100m,
w zależności od tego z jaką prędkością leciał? Określ najmniejszą i największą odległość
na podstawie dodatkowych informacji podanych poniżej. Dodatkowe informacje: do nocnych rajdów zrzutowych używało między innymi amerykański samolot bombowy B-24
Liberator o następujących osiągach: prędkość max 480 km/h, prędkość minimalna 140
km/h.
3.4
Yamato (1941)
Yamato, pancernik służący w Japońskiej Cesarskiej Marynarce Wojennej w okresie II
wojny światowej, wraz z bliźniaczym „Musashi”, były największymi pancernikami, jakie
kiedykolwiek zbudowano. Oba wypierały przy pełnym obciążeniu około 65 000 ton i miały
artylerię główną w postaci dziewięciu dział kalibru 460 mm. Działa te zdolne były strzelać
pociskami o wadze ponad 1460 kilogramów, których prędkość wylotowa sięgała 780 m/s,
a ich maksymalny zasięg przy kącie podniesienia 45◦ przekraczał 42 000 metrów. Czy te
dane mogą być prawdziwe?
3