IZOPTYKA 61 - Instytut Fizyki

61
!"#!$%&'( )#!
Producenci soczewek okularowych prześcigają się w deklaracjach, że materiał, z których wytwarzane są ich soczewki ma
coraz większy współczynnik załamania. Czy jest to tylko chwyt marketingowy, czy coś więcej? Dlaczego współczynnik
załamania światła jest dla nas taki ważny?
!"#$%&'!()%*'+,-.%/0123242%5673)6% "862(-906)6%:!"-;'<1)6(+.%(=>'68?%>'!()$7'+'-@A<!$<!"-$A8
PROMIENIE ŚWIETLNE I OPTYKA GEOMETRYCZNA, cz. 2
Wartość współczynnika a soczewki
okularowe
Otóż wartość współczynnika załamania
materiału, z którego wykonujemy soczewkę, ma zasadnicze znaczenie dla jej kształtu. Mówi o tym prosty wzór, określający
zdolność zbierającą, czyli moc optyczną
kulistej powierzchni załamującej rozdzien2 - n
"""""""""""""""""""""""""""""
lającej
dwa ośrodki: "# = ————
r
gdzie r jest promieniem krzywizny tej powierzchni, a n i n2 są współczynnikami
załamania obu ośrodków (rys. 1).
Prosta soczewka okularowa to kawałek
przezroczystego materiału (szkła, plastiku)
ograniczonego z obu stron powierzchniami kulistymi o promieniach krzywizny r
i r2. Jeżeli przyjmiemy, że współczynnik
załamania materiału soczewki wynosi n,
jest ona otoczona z obu stron powietrzem
a na dodatek, że jej grubość jest dużo
mniejsza od promieni krzywizn (tzw. model soczewki cienkiej) to jej moc będzie
równa sumie mocy obu powierzchni, co
da w rezultacie formułę:
$" !!! !%
#!"!&'( )!&—-—'
("r r2)""
Soczewki okularowe są wykonywane jako
meniskowe (jest to korzystne ze względu
na minimalizację aberracji), a więc wypukłości obu powierzchni są skierowane w tę
samą stronę: ku przedmiotowi (rys. 2). Od
relacji między promieniami r i r2 zależy,
czy taka soczewka jest skupiająca (pierwsza powierzchnia jest bardziej wypukła
niż druga, r < r2 , co daje moc większą
od zera, a zatem soczewka jest dodatnia)
12
n1
r
1
Rys. 2
1
r2
r1
n
!"#$%$
nd
1,70
ciężki flint
1,60
lekki flint
kron
1,50
0,5
Dyspersja
Żeby mówić o dyspersji musimy zmodyfikować nieco definicję współczynnika
załamania. Nie jest to bowiem jedna
liczba. Prędkość fali elektromagnetycznej w każdym ośrodku z wyjątkiem próżni
(co ma dla nas małe znaczenie) zależy
od jej częstotliwości. W przypadku światła wygodniej jest mówić o zależności
współczynnika załamania od długości
fali (odniesionej do próżni) czyli od barwy światła. Materiały optyczne, które nas
interesują charakteryzują się w zakresie
widzialnym tzw. dyspersją normalną, to
znaczy im krótsza fala tym większy współczynnik załamania (rys. 3). Ta cecha jest
odpowiedzialna za tak różne zjawiska jak
tęcza czy blask brylantowej kolii. Wielkość
dyspersji wyraża się różnicą współczynników załamania dla dwóch wyróżnionych
Rys. 1
n2
1,0
Δο [n m]
Rys. 4
czerwone
i ta formuła jest poprawna. Uspokoiwszy
sumienie można teraz kontynuować rozważania o prawach optyki, a w szczególności o znaczeniu współczynnika załamania.
nia szkła optycznego o wysokim współczynniku załamania. Dodając rozmaite
domieszki do podstawowego materiału,
udało się w 1995 roku uzyskać bezołowiowe szkło optyczne o współczynniku
załamania dochodzącym do ne=1,9. Takie
„wysokoindeksowe” szkło, przeznaczone
specjalnie do produkcji soczewek okularowych, zawiera aż ponad 50% domieszkę
tlenków tzw. metali ziem rzadkich (TiO2,
ZrO2, Nb2O5). Nie jest ono żółte jak tradycyjne flinty ołowiane, lecz ma wysoką
gęstość. Wykonane z niego soczewki są
więc znacznie cieńsze od soczewek wykonanych ze szkła „niskoindeksowego”, ale
niestety równie ciężkie. Zatem w przypadku soczewek mineralnych, stosując materiał o wysokim współczynniku załamania
i uzyskując znacznie cieńsze soczewki,
wcale nie zyskujemy na masie okularów.
Zupełnie inaczej jest w przypadku soczewek organicznych. Wykonując je z tworzywa „wysokoindeksowego” zyskujemy
i na grubości i na masie. Jest tak dlatego,
że gęstość plastiku „niskoindeksowego”
niewiele różni się od gęstości plastiku
„wysokoindeksowego”.
Po drugie przypomnijmy sobie współczynnik odbicia, który tak silnie zależy od
współczynnika załamania. Bez warstwy
przeciwodblaskowej w żadnym przypadku się oczywiście nie obejdzie.
A po trzecie: dyspersja!
żółtozielone
v
!!!!!!!!!!!!
————
n = —o "!######!$!######!"!!!!
——— ——— %! R · !R
v
!!!!!!!!!!!!!!!%! 0 · !0 %! · !
czy rozpraszająca (pierwsza powierzchnia
jest bardziej płaska niż druga, r > r2,
co daje moc mniejszą od zera, a zatem
soczewka jest ujemna). To wszystko jest
proste i to wiemy. Wiemy także, że od
stosunku mocy obu powierzchni #2: #
zależą aberracje soczewki, dlatego wartości tych mocy nie mogą być dowolne.
Ze względów estetycznych i ergonomicznych chcielibyśmy jednak, żeby soczewki
okularowe były jak najcieńsze i jak najbardziej płaskie. Patrząc na przytoczone wyżej wzory widzimy jasno, że tym promienie
krzywizny mogą być dłuższe (co oznacza
bardziej płaskie powierzchnie) im większy
będzie współczynnik załamania materiału
soczewki. Stąd wspomniane dążenie do
szukania nowych materiałów na soczewki. Współczynnik załamania klasycznego
szkła kronowego waha się około wartości
n=1,5. To dla nas za mało!
Szkło potrafiono wytwarzać już w starożytności (zachowało się do dziś wiele
ówczesnych wyrobów szklanych: naczyń,
ozdób), jednak jego właściwości optyczne były na tyle kiepskie, że nie nadawało
się do wykonywania soczewek. Pierwsze
XII – XIII wieczne „kamienie do czytania”
były soczewkami ze szlifowanego kryształu górskiego lub podobnych minerałów.
Dopiero w 1798 r. szwajcarski zegarmistrz
Pierre Louis Guinand, po 30 latach badań, opracował sposób otrzymywania
jednorodnego szkła optycznego w stosunkowo dużych ilościach. W 1823 roku
opublikował on tajniki swojego wynalazku w dziele „Rozprawa na temat produkcji szkła optycznego, ze szczególnym
uwzględnieniem szkieł wysokoindeksowych, używanych do produkcji soczewek
achromatycznych”. Guinanda uznaje się
za twórcę ery szkła optycznego.
Podstawowym składnikiem szkła jest krzemionka (SiO2) występująca w przyrodzie
pod wieloma postaciami: jako piasek
kwarcowy, kryształ górski, ametyst, opal...
Topiąc ją z rozmaitymi dodatkami (tlenkami metali) otrzymuje się szkło o różnych
właściwościach optycznych. Szkło z dużym dodatkiem tlenków ołowiu to tzw.
szkło kryształowe używane do wyrobu
przedmiotów dekoracyjnych.
Przez lata opracowywano coraz nowe
technologie między innymi w celu uzyska-
niebieskie
Na wstępie tego artykułu trzeba poprawić poważny błąd, jaki znajduje się
w poprzedniej części. Mea culpa! Współczynnik załamania wyraża się przez stałe
względnej przenikalności elektrycznej R
i magnetycznej !R ośrodka jak następuje:
!"#$&$
λ [μm]
λc
λd
λF
δs’λ
gdzie indeksy F (bądź f’), C (bądź C’)
oraz d i e oznaczają odpowiednio pewne konkretne długości fali odpowiada-
Rys. 6
nd
1.80
krony
LaF
BaSF
1.70
SF
1
1
—"""!**!+!#
s'
s
LaK
SSK
flinty
BaF
SK
1.60
PSK
F
BaLF
BaK
PK
1.50
KF
BK
LF
LLF
K
FK
70
60
50
40
30
20
Rys. 7
i
n>o
n<o
i’’
!"#$'
n=1
n=-1
n=1
!"#$($
metamateriał
zwykły materiał
jące barwie niebieskiej, czerwonej, żółtej i zielonej. Wartości liczby Abbego
dla typowego materiału optycznego
zawierają się w przedziale od około
20 do ponad 70. Trzeba pamiętać, że
mała wartość liczby Abbego oznacza
dużą dyspersję i na odwrót. Co z tego
wynika? Ano to, że moc soczewki, a zatem i jej ogniskowa, zależy od długości fali świetlnej. Soczewka służy do
uzyskiwania obrazu, przy czym zwykle
mamy do czynienia ze światłem białym
stanowiącym mieszaninę fal o różnych
długościach. Wypiszmy klasyczny wzór
soczewkowy łączący położenie przedmiotu s, osbrazu s’ i moc soczewki #
(w powietrzu):
ν
Aberracja chromatyczna
Oczywiście na położenie przedmiotu
nie ma wpływu długość fali światła,
ale przecież moc soczewki zależy od
współczynnika załamania a zatem
w konsekwencji obraz utworzony
przez światło o jednej barwie będzie
znajdował się gdzie indziej niż obraz
tego samego przedmiotu utworzony
przez światło o innej barwie. Pojawia
się aberracja chromatyczna. Gdy rozpatrujemy tylko odległość obrazu od
soczewki, mówimy o aberracji chromatycznej położenia (podłużnej), a gdy
analizujemy wielkość obrazu (bo ona
też konsekwentnie zależy od długości
fali) to mówimy o aberracji chromatycznej powiększenia (poprzecznej),
(rys. 4). Aberracja chromatyczna występuje zawsze, gdy mamy do czynienia
z pojedynczą soczewką. Występuje
też w oku, co wykorzystuje się przy
precyzyjnym pomiarze refrakcji z użyciem testu czerwono-zielonego. Jest
bardzo prawdopodobne, że aberracja
chromatyczna oka jest wykorzystywana
przez mechanizm akomodacji do określenia, w którą stronę należy przesunąć
płaszczyznę obserwacji, by widzieć obserwowany przedmiot wyraźnie. W przypadku soczewek okularowych aberracja
chromatyczna jest jednak niepożądana.
Warto zauważyć, że aberracja położenia nie jest tak uciążliwa jak aberracja
powiększenia, która jest tym większa
im kąt pomiędzy promieniami światła
a osią soczewki jest większy. Dlatego
patrząc przez okulary, widzimy kolorowe
obwódki wokół przedmiotów, zwłaszcza
wtedy, gdy spoglądamy przez brzeg
soczewki. Jak zwalczyć to niekorzystne
zjawisko? W pojedynczej soczewce, jaką
są okulary, nie mamy wielu możliwości.
Możemy ograniczyć kąt pola widzenia
(mniejsze tarcze), ale i tak największy
wpływ ma liczba Abbego. I tu, niestety,
porażka. Mimo iż opracowano wielką
liczbę rozmaitych gatunków szkła i innych materiałów optycznych obserwujemy wyraźną zależność: większy współczynnik załamania wiąże się z mniejszą
liczbą Abbego a więc większym chromatyzmem. Istnieje wprawdzie kilka materiałów (tzw. specjalnych, jak minerał
fluoryt), w których ta zależność nie jest
tak ścisła, ale nie nadają się one do wykonywania soczewek okularowych.
Przy okazji zwróćmy uwagę na wielką
różnorodność gatunków szkieł optycznych. Sam pamiętam, że przed laty
JZO, wówczas Jeleniogórskie Zakłady
Optyczne, były jednym z nielicznych
w RWPG (kto starszy, to pamięta co to
było) producentem szkła optycznego,
a katalog zawierał ponad setkę jego gatunków. Po co tyle rodzajów szkła?
Otóż można skonstruować taki układ
optyczny, w którym aberracja chromatyczna byłaby znacząco zredukowana,
ale tylko wtedy, gdy będzie się on składał
z dwóch soczewek o różnych liczbach
Abbego. Formalnie warunek na achromatyzację wyrażony jest wzorem zwanym
warunkiem achromatyzacji Abbego:
ofer ta JZO
długości fali (jest to tzw. współczynnik
dyspersji) *n=nF-nC. Częściej jednak
tę cechę wyraża się tzw. liczbą Abbego
oznaczaną grecką literą „ni”:
nd - 1
ne - 1
vd = ———— (lub ve = ———— ),
nF -nC
nf' - nC'
*+,-.-/0123403-532-678409
!" #$#%&'( )'"*&!+
*#%&'$,!+-.#/.'*0$ !1
!"#$%&'() (% !"$02*&'"
*+#,-.$/('$01(% -.,!#2 01(%
'$*+3.($4
5%2/!#$,'67 8%$&$*!$01)
5%(&+$/.+%3(&'+.(+%.$%
3,'6,! (+%-&/+9:-;0(
5%3(&'+.(+%*$.-#$<(0'.+
3'.4',%0" !+*#%&'$,!
$+-'.4',%0" 05+&'*6!$)'
#1 #2
—""+!**!"!,
v1
v2
Wynika z niego, że dwie złożone ze
sobą soczewki o mocach #1 i #2 wykonane z materiału o liczbach Abbego +1
i +2 mają skorygowaną aberrację chromatyczną, to znaczy ich wypadkowa
moc jest taka sama dla dwóch długości fali (np. ,F i ,C, gdzie indeksy F i C
zostały wyjaśnione wcześniej). Pozostaje niestety tzw. widmo wtórne, a więc
np. dla fali o długości , d moc układu
jest inna. Takie dwusoczewkowe układy
achromatyczne znane były od 1757 r.,
kiedy wynalazł je John Dolland.
Zestawiając układ z większej liczby soczewek można otrzymać korekcję apochromatyczną (dla trzech długości fali) a nawet
superachromatyczną (dla czterech długości fali), (rys. 5 a: brak korekcji, b: achromat,
c: apochromat), co się praktykuje np.
w obiektywach mikroskopowych.
Gatunki szkła optycznego
Warunek achromatyzacji Abbego wymaga zastosowania dwóch gatunków
szkła o znacząco różnej dyspersji. Było
to inspiracją do tworzenia coraz to
nowych gatunków szkła optycznego,
które do dziś zwyczajowo dzieli się na
krony (o stosunkowo małym współczynniku załamania i dużej liczbie
Abbego) oraz flinty (w których współczynnik załamania jest duży, ale liczba
Abbego – mała), (rys. 6). W tym miejscu
cofnijmy się do historii. Nie można nie
wspomnieć o trzech panach, którzy
>>>
Więcej informacji u Przedstawicieli Handlowych JZO,
Przedstawicieli Regionalnych JZO oraz
w Biurze Obsługi Klienta JZO.
www.jzo.com.pl
13
>>>
położyli podwaliny pod współczesny
przemysł optyczny. Są to: mechanik i konstruktor Carl Zeiss (1816-1888), fizyk Ernst
Abbe (1840 - 1905) i chemik Otto Friedrich
Schott (1851-1935). Ich prace nad konstrukcją lunet i mikroskopów doprowadziły
do stworzenia teorii odwzorowania w mikroskopie (a zwłaszcza wytłumaczenia
zjawiska ograniczonej zdolności rozdzielczej) oraz opracowania szeregu gatunków
szkieł optycznych, a ich klasyfikacją według Schotta posługujemy się do dzisiaj.
We współczesnych okularach stosuje się
coraz częściej inne niż szkło materiały
optyczne, ale nawet te najnowocześniejsze wciąż podlegają zasadzie: duży
współczynnik załamania to mała liczba
Abbego i ciągle mamy problem z aberracją chromatyczną. Pewne nadzieje
można wiązać z soczewkami refrakcyjno-dyfrakcyjnymi. Są już takie soczewki
kontaktowe i wewnątrzgałkowe soczewki
wszczepialne, ale zastosowanie struktury
dyfrakcyjnej, jako powierzchni na soczewce okularowej, wydaje się mało realne.
Współczynnik załamania z wartością
ujemną?
Na koniec – ciekawostka. Wzór opisujący
zależność współczynnika załamania od
stałych charakteryzujących ośrodek z matematycznego punktu widzenia powinien
być zapisany z alternatywnym znakiem:
———
n=± %
R
!R .
Zignorowaliśmy znak „minus”, ponieważ
wydawało się oczywiste, że współczynnik
załamania musi mieć wartość dodatnią,
aby można go było interpretować jako
stosunek prędkości światła w próżni do
prędkości w danym ośrodku.
A gdyby jednak dopuścić możliwość jego
ujemnej wartości? Puśćmy wodze fantazji
i wyobraźmy sobie, że istnieją takie materiały (niech to będą „metamateriały”)
dla których współczynnik załamania jest
ujemny. Zgodnie z prawem załamania
( n -.' i = n' -.' i' ) światło padające na powierzchnię takiego materiału
np. z powietrza załamie się w dziwnym
kierunku! (rys. 7). Wytnijmy z takiego metamateriału płytkę płasko-równoległą;
niech jej współczynnik załamania ma
wartość równą współczynnikowi załamania ośrodka, w którym ją umieszczono,
ale z przeciwnym znakiem. Promienie
świetlne wewnątrz takiej płytki będą biegły dokładnie symetrycznie do promieni
padających i skupią się w jednym punkcie niezależnie od kąta padania (rys. 8).
Otrzymaliśmy idealną soczewkę, nie ma
aberracji! Inną zadziwiającą konsekwencją ujemnego współczynnika załamania
jest możliwość wykonania „czapki – niewidki”. Polegałoby to na otoczeniu obiektu, który chcemy ukryć rodzajem płaszcza
o zmiennym (ujemnym) współczynniku
załamania, przez co promienie świetlne
„opływałyby” skrywany przedmiot, nie
docierając do jego powierzchni, a więc
nie ulegając ani odbiciu ani załamaniu
(rys. 9). Czy to co opisaliśmy wyżej to
czysta „science fiction”? Nie całkiem. Już
w roku 1968 pojawiły się pomysły, które
doprowadziły do stworzenia koncepcji
materiałów o ujemnych wartościach
R i !R, a w konsekwencji o ujemnym
współczynniku załamania. Okazuje się,
że takie właściwości mogą mieć materiały
o specjalnie zaprojektowanej mikrostrukturze. Mówiąc najogólniej zbudowane
powinny być z trójwymiarowej sieci miniaturowych jakby pętli czy pierścieni o odpowiednio dobranej indukcyjności i pojemności elektrycznej, przy czym rozmiary
1)
tych elementów powinny być mniejsze
od długości fali promieniowania elektromagnetycznego, które ma się rozchodzić
w takim materiale. Pierwsze eksperymenty przeprowadzono na przełomie
XX i XXI w. używając mikrofal (o długości
fali kilku centymetrów), ale obecnie metodami nanotechnologii, można wytwarzać
takie materiały zbudowane z elementów
o rozmiarach rzędu 250 nm, a więc odpowiednie dla światła widzialnego.
%&$%*'+,-.%B !">6(06(%C<6(280(%6%"A23)'%D(">(2!3-70'.%-7$%EF.%/7"A23)'.%0!%GH%IJHEJK
SPRAWDŹ CZY WIESZ…
Czytelnikom IZOPTYKI, począwszy od tego numeru, będziemy proponować krótkie zadania z dziedziny optyki okularowej i fizjologii widzenia, wymagające rozwiązania. W kolejnych, następnych numerach opublikujemy rozwiązania z odpowiednim komentarzem. Nagrodę NIESPODZIANKĘ
wylosujemy wśród trzech trafnych odpowiedzi. Zapraszamy do zabawy!
ZAGADNIENIE NR 1 – zaprojektować achromatyczną soczewkę
okularową.
Zadanie polega na zaprojektowaniu (obliczeniu promieni krzywizn, grubości itp.) soczewki okularowej o zadanej mocy (przyjmijmy dwie wartości: +2,00 D i –2,00D) i średnicy (przyjmijmy 60 mm) o skorygowanej
aberracji chromatycznej. Zakładamy, że dostępne są typowe materiały
wykorzystywane w optyce okularowej.
Odpowiedzi można wysłać na adres: [email protected] lub na
[email protected]
ofer ta JZO OPT YK SERWIS
VISIONIX WaveLine
=-%7+'*#'+3-&-36%,6,!+<%*-<($#2%#+>#$ 01(?%3%, :$&%
!"#+9-%30@-&'84
A%B%$2!-#+>#$ !- +#$!-<+!#
C%B%$2!-<$!60'.6%>-#-*!+#
D%B%*$.+/%EFG%'%*-/$#6'$018
H%B%&(-*!#-<(+#'%06>#-36
I#'8&'+.($%!+% -<2.( 218%,()%'+%,-78%7+'*#'+3-&-3-J
VISIONIX
WaveLine
!"#$%&'$"#&()"*)+,-!%&.)/012/,+1$%&()&.34+$'&01$5*)671&
8,91+$#30:&;%)45101,&0!8)(+$&<.)0,(/$+1$&(1,8+)"#!*1&
0/.)*=:& >,<$0+1,& +)0)7/$"+!& 0!852(& 8,91+$#=& ).,/&
=%)45101,& "#0)./$+1$& $.8)+)%17/+!7?& 0,.=+*30& ()&
<.)0,(/$+1,&9,(,@:
Więcej informacji w JZO Optyk Serwis
[email protected]
www.optykserwis.jzo.com.pl
14