Model oscylatorów tłumionych

Model oscylatorów tłumionych
Model oscylatorów tłumionych
• Inna nazwa: model klasyczny, Lorentza
• Założenia: - ośrodek jest zbiorem naładowanych oscylatorów oddziałujących
z falą elektromagnetyczną
- wszystkie występujące siły są izotropowe
- wartość siły tłumienia jest proporcjonalna do prędkości oscylatora
- pole w ośrodku jest równe przyłożonemu
• Równanie ruchu oscylatora:
gdzie 0 jest jego częstością własną, a przyłożone pole elektryczne
ma postać E  E0e it i wymusza drgania w ośrodku o tłumienności  .
• Zmienność przestrzenna pola może zostać zaniedbana, gdyż długość fali
elektromagnetycznej jest znacznie większa od rozmiarów
charakterystycznych ośrodka.
Model oscylatorów tłumionych
• Rozwiązaniem równania jest:
• Gęstość prądu wywołana ruchem oscylatorów ma postać:
gdzie N jest liczbą oscylatorów na jednostkę objętości.
• Przewodnictwo zespolone:
a po rozdzieleniu na przewodnictwo rzeczywiste i podatność ((**a)):
Model oscylatorów tłumionych
• Zamiast gęstości prądu oscylatorów, możemy również mówić o zmiennej
polaryzacji.

• Pamiętając, że 1  1   oraz  2  , możemy analogicznie zapisać postać

przenikalności elektrycznej:
(**b)
• Zarówno część rzeczywista, jak i urojona, zmieniają się rezonansowo
w pobliżu częstości własnej 0 .
Model oscylatorów tłumionych
• Dla częstości bliskich częstości własnej(  0 ) przyjmijmy, że:
02   2  2
gdzie     0 .
• Co pozwala przybliżyć część urojoną przenikalności elektrycznej jako:
ponieważ  
 2
cn
.
• Jest to linia rezonansowa o szerokości połówkowej  .
• Podobnie może zostać wyrażona podatność:
Ne 2

    *
2m   2   22
Model oscylatorów tłumionych
• Oraz część rzeczywista przenikalności elektrycznej:
Ne 2

1    1  *
2m   2   22
• Jedynkę często zastępuje się  0 , reprezentującą wkład od pozostałych
oscylatorów.
Model oscylatorów tłumionych
• Elektrony swobodne w ciele stałym można traktować jako szczególny
przypadek takich oscylatorów gdy 0  0 .
• Wówczas dla parametru tłumienia równego odwrotności czasu relaksacji   1 
(co jest słuszne gdy wszystkie elektrony mają identyczny czas relaksacji),
otrzymamy (z (**a)):
Ne 2  2 1 
Ne 2

 * 4

m  2  2
m*  2 2  1
Ne 2
2
Ne 2  2
 * 4
 * 2 2
m  2  2
m   1
czyli wyrażenia analogiczne do uzyskanych z równania Boltzmanna.
• Dla małych wartości tłumienia można napisać (z (**b)):
Ne 2
1
1    1  * 2
m 0   2
Model oscylatorów tłumionych
• Jeżeli ośrodek składa się z wielu oscylatorów o różnych częstościach
rezonansowych, wówczas przenikalność elektryczna jest opisana za pomocą:
gdzie N l jest liczbą oscylatorów o częstości l i współczynniku tłumienia  l .
• W modelu kwantowym wyrażenie to przyjmuje postać:
gdzie wielkość:
nosi nazwę siły oscylatora przejścia między j-tym a l-tym stanem kwantowym
z energią przejścia równą El  E j .
Model oscylatorów tłumionych
• Częstość odpowiadająca przejściu między tymi stanami:
• Suma wszystkich sił oscylatora dla przejść z danego poziomu kwantowego
jest normowana do jedności:
• Każdemu przejściu kwantowemu możemy przyporządkować oscylator o sile f .
• Opis ten jest mniej użyteczny w litym ciele stałym, gdzie zamiast
dyskretnych stanów występują pasma energetyczne, a zbiór dyskretnych
częstości zastąpiony jest ciągłą zależnością.
• Opis dyspersji za pomocą zbioru oscylatorów tłumionych dobrze przybliża
zachowanie funkcji optycznych w pobliżu częstości reznonansowych.
Model oscylatorów tłumionych
• Siła oscylatora dla przejść zabronionych jest rzędu 10 5.
• Zależność promienistego czasu życia od siły oscylatora:
l
El  E j
j
• Równość ta pozwala na oszacowanie siły oscylatora zarówno z pomiaru czasu
zaniku emisji jak i z eksperymenu absorpcyjnego:
f 
4m0 0cn
 E dE
2

eh
• Siła oscylatora jest szczególnie użyteczna przy porównywaniu
„intensywności” przejść optycznych w różnych strukturach.