Zastosowanie wybranych opcji egzotycznych i

46 Rynki i Instytucje Finansowe
BANK I KREDYT c z e r w i e c 2 0 0 4
Zastosowanie wybranych opcji
egzotycznych i zasady ich wyceny
Izabela Pruchnicka-Grabias
Wprowadzenie
Wiele Êwiatowych banków tworzy strategie zabezpieczajàce stosujàc opcje egzotyczne, wycenia te instrumenty oraz prowadzi aktywny handel nimi. Definiuje
si´ je jako kontrakty opcyjne, które gwarantujà odmiennà struktur´ dochodu ni˝ standardowe opcje kupna
i sprzeda˝y1. Cz´sto nazywa si´ je instrumentami pochodnymi drugiej generacji.
Wprowadzenie tych instrumentów by∏o odpowiedzià wspomnianych instytucji finansowych na zapotrzebowanie rynku. Opcje egzotyczne nie sà nowym instrumentem na rynkach finansowych. Niektóre zacz´∏y
funkcjonowaç nawet kilka lat przed za∏o˝eniem pierwszej oficjalnej gie∏dy, na której by∏ prowadzony obrót
opcjami – the Chicago Board of Options Exchange
(CBOE). Podmioty gospodarcze, chcàc ograniczyç ponoszone przez siebie ryzyko musia∏y zabezpieczaç swo1 M. Kuêmierkiewicz: Ewolucja rynku opcji ku pozagie∏dowym opcjom egzotycznym i ich klasyfikacja. „Bank i Kredyt” nr 3/1999, s. 18.
je pozycje na rynku derywatów. Ponadto wzrost zmiennoÊci cen wielu aktywów stwarza∏ szerokie mo˝liwoÊci
osiàgania zysków. Przyczyni∏o si´ to do powstania popytu na te instrumenty.
Obrót wi´kszoÊcià opcji egzotycznych odbywa si´ na
rynku pozagie∏dowym (g∏ównie mi´dzybankowym), choç
niektóre znajdujà si´ na gie∏dach. Na przyk∏ad na New
York Mercantile Exchange (NYMEX) znajdujà si´ w obrocie opcje spreadowe. Jednak handel tymi opcjami to zaledwie niewielki procent wolumenu wszystkich opcji egzotycznych. Z powodu ma∏ej przejrzystoÊci rynku pozagie∏dowego opcje egzotyczne nadal pozostajà egzotyczne dla
wielu inwestorów, nawet tych, dla których opcje standardowe nie majà tajemnic. Choç wi´kszoÊç instrumentów
pochodnych znajduje si´ w obrocie na rynkach regulowanych, opcje egzotyczne stanowià tu wyjàtek. Przyczyna
tkwi w ich unikalnym charakterze, co uniemo˝liwia standaryzacj´ produktu i wprowadzenie go na rynek gie∏dowy. W przeciwieƒstwie do derywatów znajdujàcych si´
w obrocie gie∏dowym opcje egzotyczne mogà byç dowolnie dopasowywane do potrzeb inwestorów.
BANK I KREDYT c z e r w i e c 2 0 0 4
Potencjalni inwestorzy
Stron´ popytowà opcji egzotycznych tworzà nast´pujàce grupy podmiotów:
– inwestorzy zarzàdzajàcy aktywami,
– dealerzy instrumentów pochodnych,
– instytucje finansowe nie prowadzàce dzia∏alnoÊci dealerskiej,
– instytucje niefinansowe (na przyk∏ad przedsi´biorstwa).
Pierwszà z wymienionych grup mo˝na podzieliç na
inwestorów profesjonalnych i detalicznych. ProfesjonaliÊci zarzàdzajàcy aktywami sp´dzajà ca∏e dnie przed
ekranami Reutersa i na bie˝àco orientujà si´ w sytuacji
rynkowej. NieprofesjonaliÊci sà bardziej pasywnymi
uczestnikami rynku. Zajmujà si´ raczej notowaniami
wybranych aktywów znajdujàcych si´ w ich portfelu.
Produkty dostosowane sà do omówionych typów inwestorów i dzielimy je na aktywne i bierne. Aktywne wymagajà Êledzenia rynku na bie˝àco; w przypadku biernych nie jest to konieczne. Produkty aktywne sà kreowane specjalnie dla zarzàdzajàcych aktywami i nie
mogà byç sprzedawane inwestorom indywidualnym.
Dealerzy instrumentów pochodnych zainteresowani sà przede wszystkim premiami opcyjnymi. Sà one
wi´ksze w przypadku opcji egzotycznych ni˝ na przyk∏ad opcji typu vanilla. Obrót egzotycznymi opcjami
Rynki i Instytucje Finansowe
oko∏o 15% ich wolumenu, podczas gdy zysk osiàgni´ty
z tego rodzaju transakcji to oko∏o 50% zysków ogó∏em.
Warto zatem handlowaç tymi instrumentami, gdy˝ –
jak widaç – w wielu bankach sà wyjàtkowo zyskowne.
Instytucje finansowe nieprowadzàce dzia∏alnoÊci
dealerskiej (jak banki komercyjne czy fundusze ubezpieczeniowe) mogà wykorzystaç opcje egzotyczne do zarzàdzania ryzykiem niedopasowania po stronie aktywów
i pasywów. JeÊli chodzi o instytucje ubezpieczeniowe,
pieniàdze ze sk∏adek wp∏ywajà wczeÊniej, a dopiero
w okresie póêniejszym powstajà ewentualne zobowiàzania z tytu∏u roszczeƒ ubezpieczonych. W zwiàzku z tym
zak∏ad ubezpieczeƒ musi prowadziç odpowiednià strategi´ zarzàdzania aktywami i pasywami, do czego z powodzeniem mo˝e wykorzystaç omawiane instrumenty.
Bank komercyjny zbiera natomiast pieniàdze od
klientów. P∏aci swoim deponentom wed∏ug krótkoterminowej stopy procentowej. W tym samym czasie inwestuje te same Êrodki w instrumenty d∏ugoterminowe.
Wynika z tego, ˝e bank po˝ycza wed∏ug krótkoterminowej stopy procentowej, a lokuje wed∏ug d∏ugoterminowej, co przynosi mu zyski. Gdy nastàpià niekorzystne
zmiany stóp procentowych, mo˝e dojÊç do powa˝nych
strat. Przed tym ryzykiem mo˝na si´ zabezpieczyç, u˝ywajàc w∏aÊnie opcji egzotycznych.
Przedsi´biorstwa z kolei mogà stosowaç opcje
egzotyczne do budowy strategii hedgingowych ograni-
Tabela Rodzaje opcji uwarunkowanych
Opcje egzotyczne uwarunkowane (Path-dependent exotic options)
Grupa opcji uwarunkowanych
Rodzaje opcji uwarunkowanych
Barrier (barierowe)
Partial
Outside
Multiple
Curvilinear
Lookback (wsteczne)
Partial
Ratchet (zapadkowe)
Ratchet
Ladder (drabinowe)
Modified
Shout (okrzykowe)
Simple
Average (azjatyckie)
Average rate
Modified
Step-lock
Modified
Average strike
Inverse average rate
Partial average
Flexible average
Geometric
Capped (z czapkà)
Capped
Caps and floors
Cap
Collar (korytarzowe)
Collar
Floor
èród∏o: opracowanie w∏asne na podstawie: M. Ong: Exotic options: the market and their taxonomy. W: I. Nelken: The handbook of exotic options: instruments,
analysis and applications. New York 1996, Mc Graw-Hill Book Company, s. 25.
47
48 Rynki i Instytucje Finansowe
czajàcych ponoszone ryzyko dzia∏alnoÊci. Za∏ó˝my, ˝e
pewna firma sprzedaje swoje produkty w ró˝nych krajach i nagle chce wejÊç na nowe rynki w paƒstwach,
w których do tej pory nie sprzedawa∏a swoich wyrobów. JeÊli b´dà to rynki krajów o niestabilnej sytuacji
gospodarczej (np. kraje Europy Wschodniej czy by∏e
kraje komunistyczne, jak Polska) to korporacja b´dzie
nara˝ona na silne oddzia∏ywanie ryzyka walutowego,
stóp procentowych itp. Przed tym ryzykiem mo˝na si´
chroniç stosujàc opcje egzotyczne.
Jednà z odmian opcji egzotycznych majàcych szerokie zastosowanie w hedgingu sà instrumenty wystawiane na stopy procentowe, takie jak caps, floors, i tzw.
collar. Instrumenty to stanowià grup´ opcji uwarunkowanych (path-dependent options), co przedstawia tabela. Opcjom tym, a w szczególnoÊci ich wycenie zdecydowa∏am si´ poÊwi´ciç pozosta∏à cz´Êç niniejszego
opracowania. Wycenia si´ je za pomocà formu∏y Blacka-Scholesa.
ZmiennoÊç stóp procentowych
Najwa˝niejszym i jednoczeÊnie najtrudniejszym etapem przy wycenie opcji jest w∏aÊciwe oszacowanie
zmiennoÊci instrumentu bazowego. Problem tkwi
w tym, ˝e historyczna jej wartoÊç wcale nie musi si´
pokrywaç z bie˝àcà, wskutek czego mo˝e dojÊç do ma∏o precyzyjnej kalkulacji ceny opcji. ZmiennoÊç ceny
instrumentu jest miarà niepewnoÊci co do kszta∏towania si´ przysz∏ych zmian jej wartoÊci2. ZmiennoÊç ceny
akcji jest odchyleniem standardowym stopy zwrotu
z tej akcji dla jednego roku, przy czym stopa zwrotu jest
kapitalizowana w sposób ciàg∏y3. Bazuje si´ tu na odchyleniach dochodów z akcji, a nie ich cen rzeczywistych. W przeciwnym wypadku otrzymalibyÊmy wyniki ma∏o wiarygodne, gdy˝ odchylenie standardowe
zmienia si´ wraz ze wzrostem ceny. Odchylenie standardowe jest natomiast pierwiastkiem kwadratowym
z wariancji, która okreÊla stopieƒ rozrzutu (zró˝nicowania) wartoÊci zmiennej losowej wokó∏ wartoÊci oczekiwanej4.
JeÊli wzrasta zmiennoÊç, roÊnie prawdopodobieƒstwo, ˝e dany instrument finansowy znacznie zmieni
swojà cen´ w przysz∏oÊci. Mo˝e to byç zarówno zmiana korzystna, jak i niekorzystna z punktu widzenia posiadacza takiego instrumentu.
Istnieje równie˝ zmiennoÊç implikowana, którà
szacujemy na podstawie danych cen opcji5. Do modelu
Blacka–Scholesa podstawiamy cen´ rynkowà opcji
BANK I KREDYT c z e r w i e c 2 0 0 4
i przy reszcie parametrów danych uzyskujemy wartoÊç
zmiennoÊci implikowanej. Nale˝y jednak pami´taç, ˝e
przy takim kwotowaniu zmiennoÊci, równie˝ pojawiajà si´ pewne problemy. Modele wyceny sà bowiem niedoskona∏e, na ceny opcji wp∏ywa prawo popytu i poda˝y, a ceny te zawierajà w sobie mar˝´ zysku, czyli b´dà
wy˝sze, ni˝ w rzeczywistoÊci wynika∏oby to z ich
zmiennoÊci. JeÊli chodzi o zmiennoÊç, to nale˝y pami´taç, ˝e w d∏ugim okresie wyst´puje tzw. zjawisko powrotu do Êredniej. W przypadku stóp procentowych
(b´dàcych instrumentem bazowym dla omawianych tu
opcji cap czy floor) oznacza to, ˝e jeÊli sà one w danym
momencie stosunkowo wysokie, to istnieje du˝e prawdopodobieƒstwo, ˝e spadnà. I na odwrót: jeÊli sà niskie,
to prawdopodobne jest, ˝e w najbli˝szym okresie dojdzie do ich wzrostu. Zasada ta sugeruje, ˝e tradycyjny
sposób przeliczania zmiennoÊci z krótszych na d∏u˝sze
okresy prowadzi do przeszacowania tego parametru
i tym samym wartoÊci opcji w modelu Blacka-Scholesa.
OczywiÊcie im d∏u˝szy jest termin, na który
wystawiono opcje, tym zagro˝enie to ma wi´ksze znaczenie. Ponadto, wspomniany model zak∏ada sta∏oÊç tego parametru, co jest jednà z przyczyn jego krytyki.
Tymczasem wartoÊç zmiennoÊci zmienia si´ i wp∏yw
na nià ma nie tylko metoda szacowania, lecz równie˝
przedzia∏ czasowy, który weêmiemy do obliczeƒ, czyli
d∏ugoÊç okresu, za który szacuje si´ ten parametr.
Najbardziej popularnà miarà zmiennoÊci jest
wspomniane ju˝ odchylenie standardowe. Wprawdzie
metoda ta zach´ca swà prostotà, jednak nie uwzgl´dnia
zjawiska „powrotu do Êredniej”, wi´c jej stosowanie
jest ograniczone.
Oprócz odchylenia standardowego istniejà inne
modele pomiaru zmiennoÊci. Do powszechnie stosowanych nale˝à6:
– prosta kwadratowa Êrednia ruchoma,
– metoda percentyli (symulacja historyczna),
– wyk∏adniczo wa˝ona Êrednia ruchoma zmiennoÊci,
– GARCH.
Je˝eli chodzi o prostà kwadratowà Êrednià ruchomà, to pomiar zmiennoÊci przy jej zastosowaniu jest
podobny jak przy u˝yciu odchylenia standardowego
z wyjàtkiem za∏o˝enia, ˝e Êrednia ma wynosiç zero. Je˝eli przyjmiemy, ˝e Êrednia wi´kszoÊci szeregów cenowych jest bliska zera, to Êrednia ruchoma da wynik podobny do odchylenia standardowego.
Równanie Êredniej ruchomej dla kalkulacji zmiennoÊci ma postaç7:
t =1
2
t
σ=
2 K. Piontek: Prognozowanie zmiennoÊci instrumentów finansowych - cz. I.
„Rynek Terminowy” nr 3/2001, s. 114-121.
3 J. Hull: Kontrakty terminowe i opcje. Warszawa 1998 Wig Press, s. 294.
4 J. Jóêwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw. Warszawa 2000 PWE, s. 105.
5 T. Garliƒski, R. Weron: Krótka historia VOLAX-u – czyli jak próbowano handlowaç implikowanà zmiennoÊcià. „Rynek Terminowy” nr 6/1999, s. 52-56.
∑( X )
t =n
n
(1)
6 P. Best: WartoÊç nara˝ona na ryzyko. Kraków 2000 Oficyna Ekonomiczna,
s. 85.
7 Tam˝e, s. 85.
Rynki i Instytucje Finansowe
BANK I KREDYT c z e r w i e c 2 0 0 4
Schemat Zale˝noÊç pomi´dzy zmiennoÊcià implikowanà a rzeczywistà
ZmiennoÊç rzeczywista
Model wyceny opcji
Cena wynikajàca z modelu
ZmiennoÊç implikowana
Model wyceny opcji
Cena rynkowa opcji
èród∏o: opracowanie w∏asne na podstawie R. Flavell: Swaps and other derivatives. Chichester John Wiley&Sons, Ltd, s. 275.
gdzie:
Xt – procentowa zmiana ceny dla t–ego dnia (t = 1 oznacza zmian´ ceny w poprzednim dniu, t = 2 oznacza
zmian´ ceny dwa dni wczeÊniej itd.)
n – liczba dni, dla których mierzona jest Êrednia
ruchoma.
W przypadku metody percentyli (symulacji historycznej) szereg procentowych zmian cen jest porzàdkowany rosnàco. Wskaênik zmiennoÊci wyznacza zmiana
ceny odpowiadajàca kwantylowi równemu wymaganemu poziomowi ufnoÊci. Zaletà tej metody jest to, ˝e nie
przyjmuje si´ ˝adnych za∏o˝eƒ co do rozk∏adu badanego szeregu. Stosuje si´ jà w przypadku, gdy nie mo˝na
przyjàç za∏o˝enia o normalnoÊci rozk∏adu. Zak∏ada to,
˝e przysz∏y rozk∏ad stóp zwrotu b´dzie taki sam, jak
w przesz∏oÊci, co równie˝ nie musi byç prawdziwe8.
W modelu zmiennoÊci tworzonym za pomocà wyk∏adniczo wa˝onej Êredniej ruchomej (EWMA) ostatnim analizowanym dniom przypisuje si´ wi´ksze wagi ni˝ wczeÊniejszym. Nie zak∏ada si´, ˝e zmiany cen majà rozk∏ad normalny. Metoda ta jest stosowana przez bank inwestycyjny
JP Morgan (obecnie przej´ty przez Chase). Równanie oszacowania zmiennoÊci za pomocà EWMA ma postaç9:
t =1
σ = ( 1 − λ ) ∑ λt ( X t − µ ) 2
t =n
(2)
gdzie:
λ – czynnik starzenia si´ informacji; okreÊla on
wysokoÊç wag dla ostatnich dochodów, a tak˝e szybkoÊç, z jakà miara zmiennoÊci powróci do ni˝szego poziomu po zanotowaniu du˝ego dochodu,
n – liczba dni wykorzystywana do wyprowadzenia
zmiennoÊci,
µ – wartoÊç przeci´tna w rozk∏adzie; zazwyczaj zak∏ada si´, ˝e wynosi ona zero.
8 W.L. Jaworski, Z. Zawadzka: BankowoÊç – podr´cznik akademicki. Warszawa 2002 Poltext, s. 622.
9 Tam˝e, s. 88.
Na rynkach finansowych szeroko stosowanym modelem jest GARCH, jednak szacowanie parametrów tym
sposobem nie jest proste. Na ogó∏ wymaga to dost´pu
do danych za trzy lata. Parametry powinny byç przeliczane raz w miesiàcu. W przypadku du˝ej liczby instrumentów oznacza to koniecznoÊç przeprowadzenia
wielu obliczeƒ10. Najbardziej u˝ytecznà cechà modelu
GARCH wydaje si´ to, ˝e obejmuje on zjawisko powrotu do Êredniej, o którym wczeÊniej pisa∏am.
Niezale˝nie od przyj´tej metody szacowania
zmiennoÊci bardzo wa˝ny jest wybór okresu, dla którego obliczamy t´ wielkoÊç. J. Hull zaleca, by braç pod
uwag´ ceny zamkni´cia dla danych dziennych z 90 –
180 dni11.
PoÊród przyczyn zmiennoÊci cen akcji zwolennicy
hipotezy efektywnoÊci rynku wymieniajà przypadkowo docierajàce do inwestorów informacje wp∏ywajàce
na przysz∏e stopy zwrotu z instrumentów. Inni teoretycy twierdzà, ˝e zmiennoÊç jest przede wszystkim efektem rynkowego obrotu walorami. Fama i French przeprowadzili empiryczne testy, by sprawdziç, czy zmiennoÊç jest taka sama w dniach sesyjnych i w dniach, gdy
nie ma notowaƒ. Po obliczeniu wariancji stopy zwrotu
z akcji pomi´dzy zamkni´ciem dwóch kolejnych sesji,
kiedy nie wyst´powa∏y mi´dzy nimi dni wolne oraz
wariancji stopy zwrotu z akcji pomi´dzy zamkni´ciem
sesji w piàtek a zamkni´ciem sesji w poniedzia∏ek, doszli do wniosku, ˝e zmiennoÊç jest znacznie wy˝sza,
gdy gie∏da jest czynna, ni˝ wtedy, gdy jest zamkni´ta.
Wynika z tego, ˝e jeÊli do pomiaru zmiennoÊci wykorzystywane sà dane dzienne, to dni, w których nie ma
sesji, mogà byç zignorowane.
Dopasowanie zmiennoÊci rzeczywistej i implikowanej przedstawione na schemacie wyst´puje tylko
w teorii. W rzeczywistoÊci parametry te mogà byç równe jedynie wtedy, gdy rynkowa cena opcji jest taka sama jak cena wynikajàca z modelu, co w praktyce jest
ma∏o prawdopodobne. Przyczyn takiego stanu rzeczy
nale˝y upatrywaç w ograniczeniach modelu wyceny
10 P. Konieczny: Modele GARCH. Rynek terminowy nr 4/2000, s. 144.
11 J. Hull: Kontrakty..., op.cit., s. 296.
49
50 Rynki i Instytucje Finansowe
opcji. Opiera si´ on na za∏o˝eniach, z których nie
wszystkie sà spe∏nione w praktyce. Dlatego te˝ model
ten jest nierzadko krytykowany, jednak na razie lepszego nie stworzono. Jedno z za∏o˝eƒ, które nie jest spe∏nione, to przyj´cie, ˝e zmiennoÊç jest wielkoÊcià sta∏à,
co oczywiÊcie nie jest prawdà. Ponadto model Blacka-Scholesa bazuje na nast´pujàcych za∏o˝eniach12:
– ceny akcji zachowujà si´ zgodnie z rozk∏adem
logarytmiczno – normalnym,
– wszystkie koszty transakcyjne oraz podatki sà pomijane, a papiery wartoÊciowe sà doskonale podzielne,
– w okresie wa˝noÊci opcji akcje bazowe dla danego kontraktu nie przynoszà dywidend,
– nie istniejà mo˝liwoÊci pozbawionego ryzyka arbitra˝u,
– obrót papierami wartoÊciowymi jest ciàg∏y,
– uczestnicy rynku mogà po˝yczaç i inwestowaç
Êrodki wed∏ug tej samej, wolnej od ryzyka stopy procentowej,
– krótkoterminowa wolna od ryzyka stopa procentowa jest sta∏a.
W rzeczywistoÊci bardziej poprawnym rozk∏adem
opisujàcym zmiany cen jest rozk∏ad zawierajàcy tzw.
grube ogony. W zwiàzku z tym prawdopodobieƒstwo
realizacji wysokiego zysku jest wi´ksze, ni˝ zak∏ada
teoria. Oznacza to, ˝e rynkowe ceny opcji sà cz´sto
wy˝sze, ni˝ wynika to z modelu. To z kolei prowadzi
do obliczenia zmiennoÊci implikowanej na wy˝szym
poziomie ni˝ wynikajàca z modeli s∏u˝àcych do liczenia tego parametru.
Efekt „grubych ogonów” ma wi´ksze znaczenie
przy opcjach, które sà g∏´boko in-the-money13 lub out-of-the-money14, najmniejsze natomiast dla instrumentów, w przypadku których cena rynkowa instrumentu
bazowego jest równa cenie wykonania opcji (tzw. opcje
at-the-money). Jest to przyczyna tzw. uÊmiechu krzywej zmiennoÊci. Poniewa˝ opcja typu cap jest strumieniem niezale˝nych opcji, znaczenie wyra˝enia at-themoney jest inaczej interpretowane. Zwykle zak∏ada si´,
˝e cena ka˝dego pojedynczego instrumentu caplet musi
byç taka sama i równa sta∏ej stopie procentowej transakcji spawowej, majàcej taki sam termin wygaÊni´cia
jak opcja cap15. WartoÊç kontraktu swapowego mo˝na
obliczyç z nast´pujàcego wzoru:
Fw (s,e) = Σdi x Li x DFi/Σdi x DFi = (DFs- DFe)/(Qe - Qs) (3)
12 Tam˝e, s.299.
13 Dla opcji typu call sytuacja taka wyst´puje, gdy cena rynkowa instrumentu bazowego przekracza cen´ wykonania opcji, dla opcji typu put, gdy cena
wykonania opcji jest wy˝sza od ceny instrumentu bazowego.
14 Dla opcji typu put sytuacja taka wyst´puje, gdy cena rynkowa instrumentu
bazowego przekracza cen´ wykonania opcji, dla opcji typu call, gdy cena wykonania opcji jest wy˝sza od ceny instrumentu bazowego.
15 R. Flavell: Swaps and other derivatives. Chichester 2002, John Wiley&Sons,
Ltd, s. 276.
BANK I KREDYT c z e r w i e c 2 0 0 4
gdzie:
DF – wspó∏czynnik dyskontowy,
s – pierwszy dzieƒ obowiàzywania kontraktu swapowego,
e – dzieƒ wygaÊni´cia kontraktu swapowego,
i – dzieƒ wyceny kontraktu swapowego,
L – aktualna wartoÊç stopy procentowej forward,
d – d∏ugoÊç czasu ˝ycia swapu do momentu i.
Opcje typu cap i ich wycena
Transakcja cap jest umowà pomi´dzy sprzedajàcym
a kupujàcym cap. Wynika z niej, ˝e w przypadku wzrostu rynkowej stopy procentowej ponad uzgodniony poziom sprzedajàcy wyrówna posiadaczowi cap ró˝nic´
pomi´dzy uzgodnionà, granicznà stopà procentowà
a rynkowà stopà procentowà dla przyj´tej w umowie
wielkoÊci kapita∏u i za ustalony w umowie okres.
Na kszta∏towanie si´ ceny zakupu opcji cap wp∏ywajà ró˝norodne czynniki zewn´trzne, w tym przede
wszystkim:
– przewidywana wysokoÊç zmiennoÊci rynkowych
stóp procentowych; im wi´kszà zmiennoÊcià charakteryzujà si´ stopy procentowe, tym trudniej przewidzieç
ich przysz∏y poziom, co z kolei wp∏ywa na wzrost ceny
kontraktu cap;
– obecny poziom stóp procentowych – cena kontraktu cap maleje wraz ze zwi´kszaniem si´ ró˝nicy pomi´dzy aktualnym poziomem stóp procentowych
a ustalonà cenà wykonania opcji;
– wysokoÊç kapita∏u b´dàcego przedmiotem umowy
– im wi´kszy kapita∏ dotyczy umowy, tym wy˝sza jest cena opcji, gdy˝ zwi´ksza si´ ryzyko dla sprzedajàcego;
– czas trwania umowy – cena opcji roÊnie wraz ze
wzrostem d∏ugoÊci okresu, na który zawarto umow´.
Sprzedawca opcji cap liczy na spadek stopy procentowej, dzi´ki czemu zarabia na premii zap∏aconej
przez nabywc´. W przypadku wzrostu stóp procentowych ponad ustalony w umowie poziom sprzedawca
opcji cap ponosi natomiast straty zale˝ne od wysokoÊci
tego wzrostu, teoretycznie w zasadzie nieograniczone.
Z matematycznego punktu widzenia cap jest serià
niezale˝nych opcji typu caplet. Dlatego te˝ wycena
opcji cap bazuje na wycenie tych pojedynczych instrumentów. Caplet to pojedyncza opcja typu call wystawiona na stop´ procentowà forward F (t, T), majàca poczàtek w czasie t i wygasajàca w czasie T. JeÊli za∏o˝ymy, ˝e opcja ma cen´ wykonania na poziomie K%,
a umowa cap dotyczy kapita∏u P, wtedy:
• W czasie t stopa procentowa F wynosi L%.
• JeÊli L > K, to wyp∏ata = [L – K] x (T – t) x P zwykle
wyp∏acana w czasie T.
• JeÊli L ≤ K, to wyp∏ata = 0.
Rynki i Instytucje Finansowe
BANK I KREDYT c z e r w i e c 2 0 0 4
Opcje typu floor i ich wycena
Ogólniej wyp∏at´ mo˝na wyraziç formu∏à:
max [0, L – K] x (T – t) x P
(4)
JeÊli wyp∏ata ma nastàpiç w czasie t, zgodnie z zasadà kontraktów FRA formu∏a przybierze nast´pujàcà
postaç:
max[ 0, L − K ] × ( T − t ) × P
[ 1 + L × ( T − t )]
(5)
Rozwa˝my nast´pnie opcj´ wystawionà na obligacj´ sprzedawanà z dyskontem. Za∏ó˝my, ˝e p (t’, t, T)
jest szacowanà cenà obligacji dyskontowej w czasie t’,
którà instrument ten ma osiàgnàç w czasie t. Obligacja
ta wygasa w czasie T i wià˝e si´ to z przep∏ywem
pieni´˝nym w pewnej wysokoÊci. Wyp∏ata z tytu∏u posiadania S opcji typu put z cenà wykonania pk wygasajàcych w czasie t definiowana jest jako:
max [0, – pk – p (t’, t, T) ] x S
(6)
Zgodnie z definicjà:
p (t’, t, T) = [1 + L x (T – t) ]-1
pk = [1 + K x (T – t) ]-1
(7)
Po podstawieniu powy˝szych równaƒ do wzoru na
wyp∏at´ otrzymujemy:
{max[ 0, L − K ] × ( T − t ) × P }
[ 1 + L × ( T − t )]
×
S
× pk
(8)
Podstawiajàc S = 1/pk, otrzymujemy identycznà
funkcj´ wyp∏aty jak w przypadku opcji caplet. Wynika
z tego zatem, ˝e opcj´ caplet mo˝na przedstawiç
w dwojaki sposób: albo jako opcj´ typu call wystawionà na przysz∏à stop´ procentowà albo jako opcj´ typu
put wystawionà na obligacj´ dyskontowà.
Model Blacka-Scholesa dla opcji typu caplet wystawionej na przysz∏à stop´ procentowà F(t,T) mo˝e zostaç przedstawiony w postaci:
C = P x DFt x {F (t, T) x N (d1) – K x N (d2) } x (T – t) (9)
Oznaczajàc zmiennoÊç jako σ:
d1 = {ln (F/K) + 0,5 x σ2 t } / σ√t
d2 = d1 – σ√t
(10)
(11)
gdzie:
N(x) – dystrybuanta standaryzowanej zmiennej x
majàcej rozk∏ad normalny,
DF – wspó∏czynnik dyskontowy.
Kontrakt floor jest odwrotnoÊcià kontraktu cap.
W kontrakcie tym okreÊla si´ kwot´ kapita∏u, okres
trwania zobowiàzania sprzedawcy i granicznà wysokoÊç stopy procentowej, poni˝ej której sprzedawca jest
zobowiàzany wyp∏acaç odsetki od kapita∏u obliczone
wed∏ug procentu b´dàcego nadwy˝kà stopy floor pod
bie˝àcà stop´ procentowà, za ka˝dy dzieƒ okresu,
w którym taka nadwy˝ka nastàpi∏a.
Sprzedawca opcji floor liczy na wzrost stopy procentowej. W razie spe∏nienia si´ jego oczekiwaƒ, zarabia premi´, którà zap∏aci∏ nabywca opcji floor. W przeciwnym razie, w przypadku spadku stóp procentowych
poni˝ej poziomu ustalonego w umowie, sprzedawca
opcji floor ponosi straty. WielkoÊç tych strat zale˝y od
zakresu zmiany stóp procentowych.
Opcja floor jest strumieniem opcji put wystawionych na stopy procentowe forward. Opcje typu floor
wycenia si´ równie˝ zgodnie z modelem Blacka-Schoelesa.
Za∏o˝enia:
• Oznaczamy stop´ procentowà forward F (t, T) jako
okreÊlanà w czasie od t do T.
• Zak∏adamy, ˝e opcja ma cen´ wykonania równà K%,
a umowa dotyczy kapita∏u P.
• W czasie t stopa procentowa F wynosi L%.
• Wyp∏ata pojedynczego floorletu wynosi:
max[0, K - L] x (T – t) x P.
U˝ywajàc tych samych oznaczeƒ co dotychczas,
wartoÊç pojedynczego przep∏ywu opcyjnego (zwanego
floorlet) kontraktu floor wystawionego na stop´ procentowà forward F (t, T) mo˝na zapisaç w modelu Blacka-Scholesa jako:
Fl = P × DFt × { K × N ( −d2 ) − F ( t , T ) × N ( −d1 )} × ( T − t ) (12)
Poni˝ej podaj´ przyk∏adowà wycen´ przep∏ywu
floorlet wystawionego na 3-miesi´cznà stop´ procentowà forward16.
Dane:
Dzisiejsza data: 4 stycznia 2000 r.
Kapita∏: 100 mln USD
Stopa forwardowa: data poczàtkowa: 6 lipca 2001 r.
data koƒcowa: 8 paêdziernika
2001 r.
Cena wykonania17: 6%
ZmiennoÊç: 17% w skali rocznej.
Zgodnie ze wzorami 10, 11, 12:
16 R. Flavell: Swaps and..., op.cit., s. 288.
17 Wyra˝ona procentem kapita∏u.
51
52 Rynki i Instytucje Finansowe
d1 = {ln (7,106%/6%)+0,5 x 17% x 17% x 1,519}/17%
x 1,232 = -0,9123
d2 = -0,0092 - 17% x 1,232 = 0,7027
N (-d1) = 0,1808
N (-d2) = 0,2411
Fl = 100 mln USD x 0,889113 x {6% x 0,2411 - 7.106%
0,1808} x 0,261 = 37556 USD.
BANK I KREDYT c z e r w i e c 2 0 0 4
x
Opcje typu collar i zasady ich wyceny
Kiedy inwestor ma ju˝ ochron´ swoich aktywów w postaci nabytej opcji typu cap, popularnà strategià jest jednoczesna sprzeda˝ opcji typu floor majàcej ni˝szà cen´
wykonania ni˝ cap. Strategia ta nazywa si´ w∏aÊnie korytarzem (collar). Opcje collar kupuje si´ na ogó∏ po to,
aby obni˝yç koszty opcji cap. Kupujàcy cap wyst´puje
jednoczeÊnie jako sprzedajàcy floor, a zatem ponosi on
w tym przypadku mniejsze koszty ni˝ przy inwestycji
jedynie w cap. P∏acàc za cap otrzymuje jednoczeÊnie zap∏at´ za floor. W ten sposób inwestor po˝yczajàcy Êrodki ma zagwarantowanà stop´ procentowà le˝àcà pomi´dzy górnym poziomem okreÊlanym przez cap i dolnà
granicà wyznaczanà przez floor. Ca∏kowity koszt takiej
strategii uzale˝niony jest od kosztów obu tych instrumentów z osobna, które z kolei zale˝ne sà od wysokoÊci
cen wykonania. Dzia∏ajà tu jednak dwie regu∏y:
– koszt opcji cap zmniejsza si´ wraz ze wzrostem
ceny wykonania
– koszt opcji floor zwi´ksza si´ wraz ze wzrostem
ceny wykonania.
Mo˝liwe jest takie dobranie cen wykonania instrumentów cap i floor s∏u˝àcych do zbudowania danego
kontraktu collar, ˝e ca∏kowity koszt operacji wyniesie
zero.
Poniewa˝ opcje collar sà kombinacjami opcji cap
i floor, ich wycena przeprowadzana jest wed∏ug takich
samych modeli, jak wycena ka˝dego z tych instrumentów z osobna, przedstawiona powy˝ej.
Podsumowanie
W ostatnich dziesi´cioleciach obserwujemy sta∏y
wzrost ryzyka finansowego. Proces ten przyczynia si´
do gwa∏townego rozwoju instrumentów pochodnych.
Wprowadzenie do obrotu opcji egzotycznych stanowi-
∏o kolejny etap tego procesu. Instrumenty te cieszà si´
niezwyk∏à popularnoÊcià wÊród inwestorów, poniewa˝
dajà du˝o wi´ksze mo˝liwoÊci ni˝ dajà standardowe
derywaty. W Polsce mamy jeszcze stosunkowo niewielkà liczb´ opcji egzotycznych mo˝liwych do zrealizowania. Rozwin´∏y si´ jedynie opcje walutowe. Najbogatszà ofert´ rynkowà instrumentów zabezpieczajàcych
majà w Polsce nast´pujàce banki:
– BRE Bank SA,
– Citibank Handlowy,
– Millenium Bank SA,
– Société Générale.
Wprowadzenie do obrotu opcji egzotycznych nadaje nowy wymiar rynkom derywatów poprzez stworzenie podmiotom gospodarczym i finansowym zupe∏nie nowych mo˝liwoÊci zarzàdzania ryzykiem. Jednak
rozwój tych instrumentów napotyka liczne bariery, do
których nale˝à m.in.:
• Brak podstawowej wiedzy o tych instrumentach
finansowych. Mam tu na myÊli zw∏aszcza ich wycen´
czy zastosowanie w hedgingu. Szczegó∏owà wiedz´ na
ten temat majà wy∏àcznie specjaliÊci zajmujàcy si´ tymi
instrumentami zawodowo. Brakuje natomiast tego rodzaju wiedzy u osób zarzàdzajàcych korporacjami gospodarczymi.
• Obrót opcjami egzotycznymi charakteryzuje si´
niskà p∏ynnoÊcià ze wzgl´du na niewielkà liczb´ instytucji finansowych, które je sprzedajà.
• Nie ma standaryzacji terminologii, zasad kwotowania, obrotu opcjami oraz brakuje jednolitych zasad
wyceny.
• Podmioty gospodarcze i inwestorzy rzadko stosujà opcje egzotyczne do zarzàdzania ryzykiem. S∏abo
rozwini´te jest stosowanie opcji egzotycznych przez
podmioty gospodarcze i inwestorów do zarzàdzania
ryzykiem.
Wynika z tego, ˝e dalszy rozwój opcji egzotycznych zarówno w Polsce, jak i na Êwiecie uzale˝niony b´dzie od post´pów na wymienionych obszarach. Powinno si´ to odbyç poprzez promowanie
tych instrumentów przez banki, które dokonujà
obrotu nimi, i zach´canie choçby eksporterów i importerów do skorzystania np. z egzotycznych opcji
walutowych, które w Polsce ju˝ funkcjonujà. Chodzi
tu o uÊwiadamianie mened˝erom, ˝e racjonalne zarzàdzanie ryzykiem jest konieczne do podnoszenia
efektywnoÊci funkcjonowania korporacji.
Literatura podstawowa
1. P. Best: WartoÊç nara˝ona na ryzyko. Kraków 2000 Oficyna ekonomiczna.
2. S. Brady: Handle exotics with care. „Corporate Finance”, marzec 1994, s. 38-39.
3. E. Briys, M. Bellalah, H. M. Mai, F. de Varenne: Options, futures and exotic derivatives: theory, application and
practice. Chichester 1998 John Wiley & Sons.
BANK I KREDYT c z e r w i e c 2 0 0 4
Rynki i Instytucje Finansowe
4. N.A. Chriss: Black-Scholes and beyond: option pricing models. New York 1997 McGraw-Hill Book Company.
5. R. Flavell: Swaps and other derivatives. London 2002 John Wiley and Sons, Ltd.
6. T. Garliƒski, R. Weron: Krótka historia VOLAXu - czyli jak próbowano handlowaç zmiennoÊcià. „Rynek Terminowy” nr 6/1999, s. 52-56.
7. J. Hull: Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie. Warszawa 1998 WIG Press.
8. W.L. Jaworski, Z. Zawadzka: BankowoÊç. Podr´cznik akademicki. Warszawa 2002 Poltext.
9. J. Jóêwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw. Warszawa 2000 Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne.
10. P. Konieczny: Modele GARCH. „Rynek Terminowy” nr 4/2000, s. 142-148.
11. M. Kuêmierkiewicz: Ewolucja rynku opcji ku pozagie∏dowym opcjom egzotycznym i ich klasyfikacja. „Bank
i Kredyt” nr 3/1999, s. 18.
12. I. Nelken: The handbook of exotic options: instruments, analysis and applications. New York 1996 Mc Graw-Hill Book Company.
13. K. Piontek: Prognozowanie zmiennoÊci instrumentów finansowych – cz. I. „Rynek Terminowy” nr 3/01, s. 114-121.
14. N. Taleb: Dynamic hedging: managing vanilla and exotic options. New York 1997 John Wiley&Sons.
15. P. Wilmott: Derivatives. The theory and practice of financial engineering. Chichester 2000 John Willey & Sons.
53