Zestaw 6

ARKUSZ 6 – POZIOM PODSTAWOWY
Zadania zamknięte (1 pkt)
1. Wskaż nierówność, której rozwiązaniem jest przedział zaznaczony na osi liczbowej.
A. 9 − x2 < 0
B. x2 − 9 ≤ 0
C. x2 − 9 ≥ 0
D. x2 − 3x ≤ 0
2
2. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = 3 x + 4. Pole trójkąta ABO jest równe:
A.24
B. 16
3
C. 12
D.15
3. W styczniu za kwotę 108 złotych kierowca mógł kupić na pewnej stacji benzynowej 24 litry
benzyny. Ile litrów benzyny mógł kupić za tę samą kwotę w maju, jeżeli wiadomo, że od
stycznia cena litra benzyny na tej stacji obniżyła się o 4%?
A. 23 litry
B. 25 litrów
4. Do wykresu funkcji y =
A. (0, 1)
2
x−1
C. 26 litrów
D. 27 litrów
należy punkt:
B. (1, 0)
C. (−1, −1)
D. (2, 2)
5. Wykres której z podanych funkcji powstanie po przekształceniu przez symetrię względem
osi x wykresu funkcji f (x) = x2 + 3?
A. y = −x2 − 3
B. y = x2 − 3
C. y = −x2 + 3
6. Która z podanych funkcji liniowych jest rosnąca?
A. y =
2−x
5
B. y = −4x + 6
C. y = (2 −
√
D. y = (x + 3)2
5)x − 1
D. y = (2 −
√
3)x − 1
7. Pole pewnego kwadratu wynosi 8. Jaką długość ma przekątna tego kwadratu?
√
√
A. 2 2
B. 2
C. 4 2
D. 4
8. Okrąg o długości 10π jest styczny zewnętrznie do okręgu o długości 14π . Jaka jest odległość między środkami tych okręgów?
A. 2
B. 6
C. 12
D. 24
9. Na poniższych rysunkach przedstawiono kolejno: trójkąt równoboczny, kwadrat, romb i ponownie kwadrat. Która z tych figur ma największe pole?
10. Parabola o wierzchołku W = (5, 1), przechodząca przez punkt P = (1, 33), to wykres funkcji:
A. f (x) = (x − 5)2 + 1
B. f (x) = 2(x + 5)2 + 1
C. f (x) = 2(x − 5)2 + 1
D. f (x) = 2(x + 5)2 − 1
1
11. Funkcja f (x) = − 2 (x + 4)(x − 2) osiąga największą wartość dla:
A. x = − 21
B. x = −1
C. x = 1
D. x = 4
12. Wartość wyrażenia (sin α + cos α)2 dla α = 45◦ jest równa:
√
C. 3
D. 2
A. 1
B. 1 + 2
13. Na którym rysunku sinus kąta oznaczonego grecką literą jest największy?
14. Wielomian V (x) = (2x + 1)3 jest równy wielomianowi W (x) = ax3 + bx2 + 6x + 1 dla:
A. a = 8, b = 12
B. a = 8, b = 4
C. a = 2, b = 4
D. a = 8, b = 6
15. Wskaż równanie okręgu, który jest styczny do obu osi układu współrzędnych:
A.x2 + (y + 1)2
B. (x − 2)2 + (y
C. (x − 2)2 + (y
D.(x − 4)2 + (y
=1
+ 2)2 = 4
+ 2)2 = 2
+ 16)2 = 4
16. Proste o równaniach: 9x + 3y − 3 = 0 oraz y = −3x + 5:
A.są równoległe
B. przecinają się w punkcie P = (−1, 4)
C. pokrywają się ze sobą
D.są prostopadłe
17. Który z podanych ciągów nie ma wyrazów dodatnich?
A. an = (−1)n
B. an = −9n + 10
C. an =
2 n − 18
3
D. an = 1 − n2
18. Liczby a, b, c w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Która z podanych równości
jest prawdziwa?
A. b2 =
a+c
2
B. b2 = ac
C. b =
a+c
2
D. b2 =
a
c
19. Liczby −1, 4 oraz 9 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ile jest
równa suma 41 początkowych wyrazów tego ciągu?
A. 4059
B. 4061
C. −1 ·
1−541
1−5
D. 8118
20. Punkt przecięcia wykresu funkcji y = 2x z prostą o równaniu y = 8 ma współrzędne:
A. (2, 8)
B. (2, 3)
C. (3, 8)
D. (8, 3)
21. Która z podanych liczb jest większa od 1?
A. log0,5 0,5
B. log0,5 0,25
C. log0,5 1
D. log0,5 16
22. W jakiej skali trójkąt równoboczny o polu 1 m 2 jest podobny do trójkąta równobocznego
o polu 1 cm 2 ?
A. 10
B. 100
C. 1000
D. 10 000
23. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo
tego, że ta liczba będzie podzielna przez 5, jest równe:
A. 0,5
B. 0,25
C. 0,2
D. 0,1
24. Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 10 × 9 × 8 ma długość:
√
√
√
√
B. 146
C. 2 41
D. 245
A. 145
25. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o wysokości 6. Promień podstawy
tego stożka ma długość:
√
√
√
C. 4 3
D. 8 3
A. 2
B. 2 3
Zadania otwarte
26. (2 pkt) Rozwiąż równanie: x +
6
x
= 7.
27. (2 pkt) W pewnej grupie dzieci przeprowadzono ankietę na temat wypoczynku podczas ferii
i wakacji. Jedno z zadanych pytań brzmiało: Ile
razy byłeś na koloniach letnich? Odpowiedzi na
to pytanie przedstawiono na diagramie obok. Wyznacz medianę oraz średnią arytmetyczną tego
zestawu danych.
28. (2 pkt) Uzasadnij, że dla dowolnych liczb x i y tego samego znaku spełniona jest nierówność: (x + y)2 − (x − y)2 > 0.
29. (2 pkt) Osiedlowe boisko ma wymiary 40 m × 30 m. Spółdzielnia mieszkaniowa postanowiła powiększyć jego powierzchnię. Ustalono, że stosunek długości boiska do jego szerokości się
nie zmieni. O ile metrów kwadratowych zwiększy się powierzchnia tego boiska, jeżeli wiadomo, że odległość między dwoma przeciwległymi narożnikami ma być dłuższa o 5 metrów?
30. (2 pkt) W trapezie równoramiennym ABCD połączono środki kolejnych boków. Uzasadnij,
że powstały czworokąt jest rombem, którego pole jest dwa razy mniejsze od pola trapezu
ABCD.
31. (2 pkt) Rozwiąż nierówność: |x − 4,5| ≥ 3.
32. (4 pkt) Podczas festynu szkolnego zorganizowano loterię fantową. Wśród 1000 losów znajduje się 150 losów wygrywających. Karol zakupił dwa losy. Jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że co najmniej jeden z zakupionych losów jest wygrywający? Wynik zaokrąglij do części
setnych.
33. (5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości wszystkich √krawędzi
jest równa 24 cm. Krawędź boczna tworzy z podstawą kąt, którego cosinus wynosi 42 . Oblicz
objętość i pole powierzchni tego ostrosłupa.
34. (4 pkt) Punkty A = (−6, −3) i B = (0, 0) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC
(|AB| = |AC|). Wierzchołek C leży na prostej o równaniu x + y = 0. Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta ABC oraz oblicz pole tego trójkąta.