Generator korelacji dwucząstkowych w modelu zderzeń

Generator korelacji dwucząstkowych w modelu zderzeń

Politechnika Warszawska
Wydział Fizyki
Fizyka Techniczna
Praca inżynierska
Generator korelacji
dwucząstkowych w modelu
zderzeń ciężkich jonów - EPOS
Karol Kulasiński
Promotor: dr inż. Hanna Paulina Zbroszczyk
Warszawa, 2010
Spis treści
Spis treści
i
Spis rysunków
iii
Spis tabel
iv
Podziękowania
1
Streszczenie
3
Streszczenie (po angielsku)
5
Streszczenie (po francusku)
7
1 Wprowadzenie
9
2 Podstawy fizyczne
2.1 EPOS jako model zderzeń ciężkich jonów . . . . . . . . . . .
2.2 Interferometria jądrowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Funkcje korelacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
14
16
17
3 Wyniki
3.1 Rozkłady jednocząstkowe . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Rozkład β . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Rozkłady PT i rapidity . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Rozkłady krotności cząstek naładowanych .
3.2 Rozkłady dwucząstkowe . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Rozkład różnic współrzędnych emisji pionów
3.2.2 Rozkłady gęstości źródła . . . . . . . . . . .
21
21
21
22
24
26
26
27
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ii
3.3
Rozkłady korelacyjne . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Dopasowanie funkcji korelacyjnej . .
3.3.2 Najlepsze dopasowanie . . . . . . . .
3.3.3 Porównanie fitów i dyskusja wyników
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
36
36
4 Podsumowanie i wnioski
41
Bibliografia
43
Spis rysunków
1.1
1.2
Struktura materii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ślady cząstek po zderzeniu. Eksperyment STAR . . . . . . . . .
10
11
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Ewolucja źródła . . . . . . . . . . . . . .
Symboliczna drabina partonowa . . . . .
Źródło emitujące nierozróżnialne cząstki
Współrzędne Bertscha-Pratta . . . . . .
Przykładowe funkcje korelacyjne . . . . .
13
15
17
18
19
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
Rozkład β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozkłady PT i rapidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozkład krotności cząstek naładowanych . . . . . . . . . . . . .
Rozkład różnic współrzędnych emisji pionów . . . . . . . . . . .
Rozkład gęstości źródła, CMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozkład gęstości źródła, CMS (skala logarytmiczna) . . . . . . .
Rozkład gęstości źródła, PRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozkład gęstości źródła, PRF (skala logarytmiczna) . . . . . . .
Funkcja korelacyjna. Dopasowanie gaussowskie. . . . . . . . . .
Funkcja korelacyjna. Fit gaussowski, α = 2. . . . . . . . . . . .
Funkcja korelacyjna. Fit lorentzowski, α = 1. . . . . . . . . . . .
Funkcja korelacyjna. Fit Lévy’ego, α = 1/2. . . . . . . . . . . .
Funkcja korelacyjna. Najlepsze dopasowanie. . . . . . . . . . . .
Funkcja korelacyjna dla Minimum Bias. Porównanie czterech fitów.
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
23
25
26
28
28
29
29
32
34
34
35
35
39
Spis tabel
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Wartości RMS dla czterech typów centralności, CMS. . . . . .
Wartości RMS dla czterech typów centralności, PRF. . . . . .
Najlepsze dopasowanie. Parametry dla wszystkich centralności.
Porównanie fitów dla Minimum Bias. . . . . . . . . . . . . . .
Porównanie fitów dla centralności 0%-10%. . . . . . . . . . . .
Porównanie fitów dla centralności 10%-30%. . . . . . . . . . .
Porównanie fitów dla centralności 30%-80%. . . . . . . . . . .
iv
.
.
.
.
.
.
.
31
31
36
37
37
37
38
Podziękowania
Autor pragnie serdecznie podziękować promotorowi, dr inż. Hannie Paulinie Zbroszczyk za pomoc w pisaniu pracy, cenne rady, ducha optymizmu
oraz poprowadzenie i opiekę nad indywidualnym programem studiów.
Podziękowania i wyrazy wdzięczności autor kieruje także do prof. dr hab.
Jana Pluty za motywację, gotowość pomocy i przyjęcie do Pracowni Reakcji
Ciężkich Jonów, a także do Prodziekana ds. Nauczania Wydziału Fizyki
Politechniki Warszawskiej, prof. nzw. dr hab. Józefa Dygasa za umożliwienie
realizaji równoległych studiów i obrony pracy inżynierskiej.
1
Streszczenie
Generator korelacji dwucząstkowych w modelu zderzeń
ciężkich jonów - EPOS
Zderzenia relatywistyczne ciężkich jonów są skomplikowanym procesem
fizycznym. Niemożliwy jest ich opis analityczny, więc stosuje się metody
Monte Carlo. EPOS jest modelem teoretycznym skonstruowanym w postaci generatora zderzeń hadronów i jonów. Model ten (jak i wszelkie inne
modele tego typu) nie opisuje jednak dwucząstkowych korelacji hadronów
emitowanych w procesie zderzenia. Korelacje te można jednak włączyć do
modelu jako dodatkowy element.
Celem niniejszej pracy jest zbadanie kształtu źródła emitującego piony,
które powstaje wskutek zderzeń jonów złota rozpędzanych w akceleratorach.
W tym celu użyte zostały dane wygenerowane przy pomocy modelu zderzeń
jądrowych - EPOS. Aby zbadać kształt i rozmiar źródła, mierzy się m.in.
korelacje dwucząstkowe.
W tej pracy zostały policzone funkcje korelacyjne dla identycznych pionów emitowanych ze źródła powstałego przy zderzeniu typu Au-Au o energii
200 GeV w środku masy, przy zaniedbaniu oddziaływań w stanie końcowym,
tj. silnych i kulombowskich.
W rozdziale pierwszym przedstawiono w zarysie ewolucję stanu wiedzy
cywilizacji o strukturze materii, zaznaczono kwestię akceleratorów i zderzeń
cząstek w nich zachodzących, a także opisano rolę femtoskopii i jej miejsce
we współczesnej fizyce.
W rozdziale drugim podano podstawy fizyczne dotyczące interferometrii
jądrowej i funkcji korelacyjnych, które są jednym z jej głównych narzędzi.
Podano ponadto matematyczne formuły opisujące funkcje korelacyjne oraz
ich parametryzację zaproponowaną przez Lévy’ego. Przedstawiono także i
3
4
opisano pokrótce tytułowy model EPOS.
Rozdział trzeci zawiera zaprezentowane wyniki pracy dotyczące rozkładów jedno- i dwucząstkowych, a także funkcji korelacyjnych. W celu oszacowania rozmiaru źródła sprawdzone zostały trzy różne parametryzacje: gaussowska, lorentzowska i Lévy’ego. Podjęta została również próba znalezienia
najlepszego dopasowania.
Z dopasowaniem gaussowskim zostały porównane parametryzacje Lorentza i Lévy’ego. W celu znalezienia optymalnego fitu, posłużono się parametryzacją Lévy’ego funkcji korelacyjnej i dopasowano tzw. współczynnik
stabilności.
W rozdziale czwartym podsumowano wyniki pracy oraz podano jej ogólne znaczenie dla interferometrii jądrowej. Okazuje się, że często intuicyjnie
przyjmowany rozkład Gaussa dla opisywania zjawisk losowych zachodzących podczas zderzeń jądrowych nie jest najlepszym rozwiązaniem i można
znaleźć taki rozkład, który bardziej odpowiadałby rzeczywistości. Ponadto, poznanie geometrii źródła powstałego w wyniku zderzeń przy wysokich
energiach może przyczynić się do lepszego zrozumienia fizyki korelacji dwucząstkowych.
Abstract
The generator of two-particle correlations in heavy ions
collision model - EPOS
The relativistic collisions of heavy ions are very complex physical processes. It is impossible to describe them analytically, and therefore, the Monte
Carlo methods are used. EPOS is a theoretical model constructed as a generator of hadrons and ions collisions. Nevertheless, this model — as well as
the other models of this type — does not describe the two-particle correlations of the hadrons emitted in the collision process. However, it is possible
to include such correlations in the model as an additional element.
The aim of this thesis is to investigate the shape of a pion-emitting source
created as the result of collisions of gold ions precipitated in accelerators.
For this purpose, the data generated using nuclear collisions model, EPOS,
was used. In order to study the shape and the size of a source, so-called
two-particle correlations are measured.
The correlation functions for identical pions emitted from sources created at the Au-Au collisions at the energy of 200 GeV in the center-ofmass system were calculated in this thesis, neglecting final-state interactions, i.e. strong and Coulombian ones.
Chapter one presents the outline of how our civilisation’s knowledge
on the state of matter structure evolved over time. It also deals with the
question of accelerators and colliding particles and finally the role of femtoscopy and its place in contemporary physics.
In the second chapter the physical basis concerning nuclear interferometry and correlation functions,one of its main tools, can be found. The chapter
contains also mathematical formulæ describing correlation functions and its
parametrization proposed by Lévy. At the end of the chapter, the presen5
6
tation of the EPOS model can also be found.
Chapter three contains the results of the study on one- and two-particle
distributions and correlation functions. In order to estimate the source size,
three different parametrizations were tested: the Gaussian and Lorentzian
ones and that of Lévy. In this chapter an attempt is made in order to find
the one that fits best.
The Gaussian fit was compared to that of Lorentz and Lévy ones. In
order to determine the best fit, the Lévy’s parametrization for correlation
functions was used and the so-called index of stability was optimized.
Chapter four, the last one, summarizes the results and presents their
general meaning for nuclear interferometry. It appears that Gauss’ distribution, frequently taken as intuitive for describing random events in nuclear
collisions, is not the best solution and it is possible to find another distribution which would seem closer to reality. Furthermore, the knowledge of
the geometry of the source created in the collision at high energies, may
contribute to a better understanding of two-particle correlation physics.
Résumé
Le générateur des correlations de deux particules dans
le modèle des collisions d’ions lourds - EPOS
Les collisions relativistiques d’ions lourds sont le procès physique complexe. Lorsque leur description analytique est impossible, on utilise les
méthodes Monte Carlo. EPOS est le modèle théorique construit comme le
générateur des collisions de hadrons et d’ions. Cependant, ce modèle (comme
tous les modèles de ce type) ne décrit pas les corrélations de deux hadrons
émis dans un collisions. Néanmoins, on peux ajouter des telles corrélations
au modèle comme un élément supplémentaire.
L’objectif de ce mémoire consiste à vérifier la forme d’une source émettant
des pions qui est créée comme le résultat de collisions d’ions d’or précipités
dans les accélérateurs. À cet effet, on utilise des données générées en utilisant le modèle de collisions nucléaires — EPOS. Afin d’examiner la forme
et la taille d’une source, on mesure, entre autres, les corrélations de deux
particules.
Dans cette recherche on calcule les fonctions de corrélation pour les pions
identiques émis de la source surgie à la suite d’une collision d’ions d’or de
l’énergie de 200 GeV dans le centre de masse, en négligeant les interactions
d’état final soit celles de Coulomb et forte.
Dans le premier chapitre on présente en raccourci le savoir de la civilisation sur la structure de la matière, on marque la question des accélérateurs
et des collisions de particules et on décrit aussi le rôle de la femtoscopie et
son lieu dans la physique contemporaine.
Dans le deuxième chapitre on donne les fondaments physiques de l’interférométrie
nucléaire et sur les fonctions de corrélation qui sont l’un de ses outils principaux. On présente, en outre, les formules mathématiques décrivant les fonc7
8
tions de corrélations et leur paramétrisation proposée par Lévy. De plus, on
décrit le modèle EPOS.
Le troisième chapitre contient les résultats concernant les distributions
d’une et de deux particules et les fonctions de corrélation. Afin d’estimer
la taille de la source on vérifie trois paramétrisations différentes : celle de
Gauss, de Lorentz et de Lévy. Dans ce chapitre on tente de trouver la
fonction qui soit la mieux ajustée.
On fait comparaison entre la paramétrisation de Gauss et celles de Lorentz et de Lévy. Afin de trouver la forme la mieux ajustée on emploie
la paramétrisation de la fonction de corrélation proposée par Lévy et on
compte la valeur de coefficient de stabilité.
Le quatrième chapitre contient le résumé des résultats et présente leur
signification générale pour l’interférométrie nucléaire. Il en ressort que la loi
gaussienne, fréquemment utilisée pour décrire les phénomènes aléatoires des
collisions nucléaires, n’est pas la solution la plus appropriée et il est possible
de trouver une telle distribution qui soit plus réelle. De plus, la connaissance
de la géométrie de la source surgie comme le résultat des collisions de haute
énergie, peut nous aider à comprendre mieux la physique de corrélation de
deux particules.
Rozdział 1
Wprowadzenie
Już starożytni Grecy, którzy położyli podwaliny pod nowożytną naukę,
zadawali sobie pytanie o strukturę materii, z której składa się wszechświat,
i nawet zrobili w tym kierunku pewne postępy, jak na przykład wysunęli
hipotezę niepodzielnej cząstki, atomu[9]. Jednakże dopiero ponad dwa tysiąclecia po śmierci Demokryta, w XX wieku, poczynione zostały odkrycia
— kamienie milowe, które znacząco nas przybliżyły ku zrozmieniu budowy
materii.
I tak, jeszcze na cztery lata przed początkiem XX wieku, w 1897 J.J.
Thomson po raz pierwszy zaobserwował elektron, w 1911 Ernest Rutherford
stwierdził eksperymentalnie istnienie jądra atomowego, co już od 1931 roku
można było „zobaczyć”, dzięki wynalezieniu elektroskopu elektronowego.
Zaraz następnego roku James Chadwick potwierdził istnienie neutronu, a w
kolejnych latach udało się zarejestrować znacznie więcej cząstek, niż by się
ktokolwiek wcześniej spodziewał, jak na przykład mezony π, K, η, bariony ∆
i wiele innych.
Aby poradzić sobie z wciąż zwiększającą się liczbą znanych cząstek, w
latach 70. ubiegłego wieku wprowadzono Model Standardowy [4], który jako cząstki „prawdziwie” elementarne klasyfikował leptony (elektron, miuon, taon — wraz z ich neutrinami i antycząstkami) i kwarki (górny, dolny,
dziwny, powabny, prawdziwy i piękny z odpowiednimi antykwarkami), z
których zbudowane są hadrony. Jako nośniki oddziaływań, Model Standardowy przewidywał bozony: fotony, W i Z, gluony i grawitony — odpowiedzialne kolejno za oddziaływanie: elektromagnetyczne, słabe, silne i grawitacyjne (istnienia grawitonów do tej pory nie potwierdzono doświadczalnie).
9
10
Rysunek 1.1: Struktura materii [2]
Na Rysunku 1.1 ukazano ideowo strukturę materii z punktu widzenia aktualnego stanu wiedzy.
Produkcja i obserwacja cząstek elementarnych wymaga budowania największych instrumentów fizycznych naszych czasów, czyli akceleratorów wraz
z rozbudowanym systemem detektorów. Akceleratory cieszące się największym zainteresowaniem to tzw. zderzacze (ang. colliders), które na kołowym
torze rozpędzają dwie przeciwległe wiązki jonów, powodując następnie ich
zderzenie się w zasięgu detektorów. Do najsłynniejszych zderzaczy należą
RHIC1 w Brookhaven National Laboratory (USA), a także, niedawno uruchomiony, LHC2 w CERN3 (Szwajcaria, Francja). Rysunek 1.2 przedstawia
wizualizację zderzenia jąder złota w eksperymencie STAR4 (RHIC).
Pomimo tego, iż dysponujemy świetnymi detektorami, nadal nie jesteśmy w stanie mierzyć wielkości które są rzędu rozmiarów jądra atomowego
i mniejsze (tj. 1f m = 10−15 m). Jednym ze sposobów, aby „zmierzyć to, co
niemierzalne” są realizowane przez fizyków badania femtoskopowe, których
istota zostanie omówiona w rozdziale 2.4.
Często, dla porównania z danymi eksperymentalnymi, opracowuje się
modele numeryczne zderzeń w kolajderach, gdyż stosowanie tych drugich
pozwala lepiej zrozumieć fizykę na poziomie subatomowym. Jednym z takich
modeli, zawartym w tytule pracy, jest stworzony przez prof. Klausa Wernera
model zderzeń ciężkich jonów, EPOS, który zostanie pokrótce omówiony w
rozdziale 2.2.
W pierwszej części niniejszej pracy zostaną omówione podstawy fizyczne
1
ang. Relativistic Heavy Ion Collider
ang. Large Hadron Collider
3
Europejska Organizacja Badań Jądrowych, fr. Organisation Européenne pour la Recherche Nucléaire (dawniej Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, skąd skrót)
4
http://www.star.bnl.gov
2
11
Rysunek 1.2: Ślady cząstek wyprodukowanych w zderzeniu złoto-złoto przy
eksperymencie STAR, RHIC, BNL. [3]
zderzeń ciężkich jonów i femtoskopii, a także przedstawiony zostanie, wspomniany wcześniej, model EPOS. W drugiej części zostaną zaprezentowane
wyniki dotyczące rozkładów jednocząstkowych, dwucząstkowych i funkcji
korelacyjnych wraz z dopasowanymi krzywymi teoretycznymi.
Część pracy dotycząca rozkładów jednocząstkowych została wykonana
przez autora w czasie stażu w CERN i w laboratorium Subatech w Ecole
des Mines de Nantes (Francja) — Workshop of European Research Group
on Heavy Ion Physics, GDRE5 , lipiec 2009.
5
fr. Groupement de Recherche Européen, Europejskie Grupy Badawcze
Rozdział 2
Podstawy fizyczne
Jednym z ważniejszych obecnie źródeł informacji o strukturze materii
na poziomie subatomowym są zderzenia jądrowe. Nukleony lub ciężkie jony
takich pierwiastków jak złoto czy miedź są rozpędzane w akceleratorach
do prędkości bardzo bliskiej prędkości światła, osiągając przy tym energię
sięgającą kilkuset GeV1 .
Rysunek 2.1: Ewolucja źródła. Proces hadronizacji przebiega następująco: krótko po zderzeniu wiązek (ang. beam) mamy do czynienia kolejno ze
stanem przedrównowagowym (pre-equilibrium), stanem plazmy kwarkowogluonowej (Quark-Gluon Plasma, QGP ), etapem hadronizacji (hadronization), gazem hadronowym (hadron gaz ), termalizacją (thermalization) i wymrożeniem (freeze-out).[7]
Na Rysunku 2.1 przedstawione zostały kolejne etapy następujące po
1
200 GeV w zderzeniach Au+Au w eksperymencie STAR, BNL.
13
14
ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY FIZYCZNE
zderzeniu ze sobą dwóch ciężkich jonów. W momencie zderzenia, przy dostatecznie wysokiej energii, powstaje gorąca i gęsta materia i możliwe jest
pojawienie się stadium plazmy kwarkowo-gluonowej (QGP ), która jest stanem gdzie mamy już tylko do czynienia z mieszaniną cząstek czysto elementarnych, tj. kwarków i gluonów. Czas życia plazmy kwarkowo-gluonowej
jest bardzo krótki, gdyż szybko ulega ona ekspansji w próżni, przechodząc
przez etap hadronizacji, w którym wyłaniają się hadrony, termalizacji, gdzie
temperatura i gęstość systemu znacznie się obniżają i końcowego etapu wymrożenia, w którym cząstki przestają już ze sobą oddziaływać [4].
Rezultatem takiego zderzenia jest powstanie źródła rzędu wielkości 10−15 m
i czasu życia 10−23 s, które emituje duże ilości cząstek, ale samo w sobie nie
może być zbadane bezpośrednio, ze względu na swoje rozmiary. Interferometria jądrowa pozwala ominąć tę niedogodność, może ona dostarczyć wielu
informacji o źródle (jak np. jego rozmiary czy dynamikę). Więcej na temat
pomiarów interferometrycznych znajduje się w podrozdziale 2.4.
W praktyce, by lepiej zrozumieć fizykę zderzeń, konstruuje się fizyczne
modele zderzeń, które są następnie tłumaczone na kod komputerowy. Przykładem takiego modelu jest UrQMD2 oraz tytułowy EPOS, szerzej opisany
w kolejnym podrozdziale.
2.1
EPOS jako model zderzeń ciężkich
jonów
EPOS, jak opisuje sam autor, prof. Klaus Werner, obecnie pracownik
instytutu Subatech w Nantes, jest sparametryzowanym przybliżeniem wielokrotnego rozpraszania, opartym na partonach (czyli kwarkach i gluonach)
i pomeronach (drabinach partonowych), ze szczególnym naciskiem położonym na wysoką gęstość partonów [11].
Sama nazwa modelu jest skrótem o następującym rozwinięciu (ang.):
• Energy conserving quantum mechanical multiple scattering approach,
based on
• Partons (parton ladders),
• Off-shell remnants and
• Splitting of parton ladders.
2
ang. Ultra-relativistic Quantum Molecular Dynamics
2.1. EPOS JAKO MODEL ZDERZEŃ CIĘŻKICH JONÓW
15
Rysunek 2.2: Symboliczna drabina partonowa wraz z „pozostałościami”
(ang. remnants), istotnym źródłem produkującym cząstki.[11]
EPOS jest dostosowany do szerokiego zakresu zderzeń, począwszy od
prostych typu nukleon-nukleon (np. p+p), poprzez bardziej skomplikowane
systemy, jak np. d+Au, aż do najbardziej złożonych układów, czyli zderzenia jąder ołowiu, miedzi czy złota. Warto dodać że jest on modelem, który
właśnie zostaje zaimplementowany do generacji zderzeń w ALICE3 . Zakres
stosowanych energii określa górna granica, która dla zderzeń typu Pb+Pb
wynosi 5.5 TeV, a dla elementarnych p+p — 14 TeV. Rysunek 2.2 przedstawia drabinę partonową — jeden z elementów charakterystycznych dla
modelu EPOS.
Do informacji wejściowych (ang. input), czyli ograniczeń i preferencji,
które można nałożyć przed symulacją, należą:
• typ zderzenia (rodzaje zderzanych cząstek, np. proton-Au),
• jego energia (w różnych układach),
• parametr zderzenia (ang. impact parameter, b),
• czy dana cząstka ma się rozpadać czy nie,
• cząstki, które mają zostać zapisane (np. hadrony, ale też kwarki i
gluony).
W efekcie, na wyjściu (ang. output) otrzymujemy zbiór pojedynczych
zdarzeń (ang. events), które z kolei zawierają listę cząstek. O każdej „wyprodukowanej” cząstce posiadamy następujące informacje:
3
ang. A Large Ion Collider Experiment, jeden z sześciu głównych eksperymentów
przy LHC
16
ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY FIZYCZNE
• iterator, dzięki któremu możemy rozróżnić dwie identyczne cząstki,
• rodzaj cząstki (tzw. PDG code),
• jej pęd,
• energię oraz
• czterowektor położenia w układzie CMS4 (x, y, z i t, czyli tzw.
freez-out position coordinates).
EPOS, ze względu na swoje szerokie możliwości, jest odpowiednim narzędziem do zastosowań w interferometrii jądrowej.
2.2
Interferometria jądrowa
Sama idea korelacji dwucząstkowych bierze swój początek w pracy Handbury’ego Browna i Twissa z lat 50. XX wieku, która dotyczyła pomiarów
rozmiarów kątowych gwiazd i innych obiektów astronomicznych. W tym
przypadku badanymi cząstkami były fotony. Metoda ta została nazwana
HBT od inicjałów autorów [8].
Natomiast w roku 1960 G. Golhaber, T. Goldhaber, W. Lee i A. Pais
zauważyli, podczas badania rozkładów kątowych pionów emitowanych w
procesie anihilacji proton-antyproton, że piony o jednakowych ładunkach są
częściej emitowane z małymi pędami względnymi, co zostało zintepretowane
jako efekt statystyki Bosego-Einsteina [6].
Interferometria intensywności wykorzystuje fakt, że identyczne cząstki
znajdujące się blisko siebie w czasie i przestrzeni podlegają efektom statystyki kwantowej wynikającym z symetryzacji (w przypadku bozonów) lub
antysymetryzacji (w przypadku fermionów) funkcji falowej. Obserwuje się
więc wzrost ilości bozonów w obszarze małych pędów względnych. Z rozciągłości pędowej tego efektu można uzyskać informacje o rozmiarach przestrzennych źródła.
W interferometrii jądrowej często stosuje się wygodniejszy niż kartezjański układ współrzędnych, ortogonalny układ Bertscha-Pratt’a [7]. Jedną oś,
równoległą do wektora qlong obieramy w kierunku biegu wiązki, kolejna,
qout , jest równoległa do wektora sumy pędów poprzecznych obydwu cząstek
→
→
→
p T2 ), ostatnia, qside , jest prostopadła do dwu poprzednich
(−
q out ∥ −
p T1 + −
(patrz Rys. 2.4).
3
4
ang. Particle Data Group
ang. Central Mass System, układ środka masy
2.3. FUNKCJE KORELACYJNE
17
Rysunek 2.3: Z punktów r1 i r2 źródła Z emitowane są nierozróżnialne cząstki, które mogą być rejestrowane w punktach x1 i x2 . [5]
Interferencję rozważa się w następujący sposób. Dwie cząstki są emitowane w punktach x1 i x2 czasoprzestrzeni, o czteropędach odpowiednio p1
i p2 . Jeśli badane cząstki podlegają jedynie efektom statystyki kwantowej,
funkcję korelacyjną możemy zapisać w następującej postaci[7]:
1
C(p1 , p2 , x1 , x2 ) = |ei(p1 x1 +p2 x2 ) + ei(p1 x2 +p2 x1 ) |2
(2.1)
2
Powyższe równanie nie wyklucza scenariusza, kiedy cząstka o pędzie p1
jest emitowana ze źródła x2 , a ta o pędzie p2 ze źródła x1 . Jeśli uwzględnimy i uśrednimy oddziaływanie pochodzące od spinów, to po odpowiednich
przekształceniach dochodzimy do wzoru[7]:
C(q, x) = 1 + ⟨cos(qx)⟩
(2.2)
gdzie x = x1 − x2 , a q = p1 − p2 .
W niniejszej pracy nie uwzględniamy tzw. oddziaływania w stanach końcowych (ang. Final-State Interactions, FSI ), które może być natury kulombowskiej (cząstki naładowane) albo pochodzić od oddziaływań silnych (np.
bariony). Dla badanych w niniejszej pracy mezonów π rozważane zostały
jedynie efekty statystyki kwantowej. [12]
2.3
Funkcje korelacyjne
Funkcja korelacyjna jest prawdopodobieństwem jednoczesnego zarejestrowania pary cząstek o danej różnicy pędów, q, podzielonym przez prawA(q)
dopodobieństwo zarejestrowania takiej pary oddzielnie: C(q) = B(q)
.
W praktyce, w liczniku funkcji korelacyjnej umieszcza się rozkłady różnicy pędów cząstek pochodzących z różnych przypadków. Można wykazać[10],
18
ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY FIZYCZNE
Rysunek 2.4: Współrzędne Bertscha-Pratta. [7]
że równanie 2.2 jest równoważne poniższemu:
C(q) = 1 + |f˜(q)|2
(2.3)
gdzie f˜(q) jest tzw. funkcją charakterystyczną, czyli transformatą Fouriera
rozkładu gęstości źródła, f (x).
Wykorzystanie parametryzacji Lévy’ego[10] czyni powyższe równanie
mniej ogólnym:
C(q, α) = 1 + exp(−|qR|α )
(2.4)
gdzie R jest rozmiarem źródła, a α to wykładnik stabilności Lévy’ego.
Fizyczne znaczenie wykładnika stabilności jest takie, że dla dużych wartości x symetryczny i stabilny rozkład spada wykładniczo:
f (x) ∝ x−1−α ,
x >> R, 0 < α < 2
(2.5)
W zależności od parametru α możemy wyróżnić następujące rozkłady
wraz z odpowiadającymi funkcjami korelacyjnymi:
1. Rozkład Gaussa, α = 2
f (x) = √
(x − x0 )2
1
exp[−
]
2R2
2πR2
C(q) = 1 + exp(−|qR|2 )
(2.6)
(2.7)
19
2.3. FUNKCJE KORELACYJNE
2. Rozkład Lorentza, α = 1
1
R
2
π R + (x − x0 )2
(2.8)
C(q) = 1 + exp(−|qR|)
(2.9)
f (x) =
3. Rozkład Lévy’ego, α =
√
f (x) =
1
2
1
R
R
exp(−
)
8π (x − x0 )3/2
8(x − x0 )
(2.10)
√
C(q) = 1 + exp(− |qR|)
(2.11)
Należy dodać, że powyższe rozkłady są unormowane,
a wartość R ma
√
charakter odchylenia standardowego, tj. R = ⟨x2 ⟩ − ⟨x⟩2 .
W praktyce, najczęściej stosowanym rozkładem jest rozkład Gaussa,
m.in. ze względu na łatwą interpretację geometrii źródła o takim charakterze. Jednak, jak się okaże w następnym rozdziale, dopasowanie funkcji eksperymentalnych krzywymi gaussowskimi nie daje dobrych rezultatów. Na
Rysunku 2.5 przedstawiono typowy kształt funkcji korelacyjnej dla dwóch
różnych rozmiarów źródeł.
Rysunek 2.5: Przykładowe jednowymiarowe funkcje korelacyjne par złożonych z dodatnich pionów dla źródeł o rozmiarach 3f m i 8f m. [7]
20
ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY FIZYCZNE
Bardzo często w przypadku analizy cząstek identycznych konstruowane
funkcje korelacyjne są analizowane w zależności od innej zmiennej, wyrażającej różnicę pędu dwóch cząstek, qinv , zwanej pędem inwariantnym:
qinv
→
= |−
q|=
√
−
→
−
→
→
→
(−
p2−−
p 1 )2 − ( E 2 − E 1 )2
(2.12)
Ze względu na fakt badania także tych cząstek, które pochodzą z rozpadów, efekty korelacyjne są osłabione, co wyraża się w zachowaniu funkcji
korelacyjnych dla małych różnic pędów. Dla qinv → 0 funkcja korelacyjna,
nie osiąga 2. W tym celu wprowadza się dodatkowy parametr λ ∈ [0; 1], który określa wysokość funkcji korelacyjnej (w idealnym przypadku λ = 1). [12]
Uwzględniając powyższe, możemy przepisać wcześniejsze równania (2.4,2.7,2.9,2.11)
w następującej postaci odpowiednio:
1.
C(q) = 1 + λexp(−|qinv R|α )
(2.13)
C(q) = 1 + λexp(−|qinv R|2 )
(2.14)
C(q) = 1 + λexp(−|qinv R|)
(2.15)
2.
3.
4.
√
C(q) = 1 + λexp(− |qinv R|)
(2.16)
Rozdział 3
Wyniki
Wszystkie dane z symulacji zderzeń użyte w niniejszym rozdziale zostały
wygenerowane przy użyciu EPOS-a, podczas gdy histogramy zostały utworzone przy pomocy makr środowiska ROOT1 , po części napisanych przez
autora.
3.1
3.1.1
Rozkłady jednocząstkowe
Rozkład β
Jeden z najbardziej elementarnych rozkładów został przedstawiony na
Rys. 3.1, jest nim rozkład dla wszystkich cząstek naładowanych parametru
β, zdefiniowanego jako:
β=
v
c
(3.1)
gdzie przez v rozumiemy prędkość cząstki w układzie CMS, a c oznacza
przędkość światła. Z powyższego wynika implicite, że wartość β zawiera się
w przedziale β ∈ [0; 1). Na rozkładzie można zaobserwować, że każdy histogram posiada pik w okolicy 0.9c, przy czym ów pik jest tym wyraźniejszy,
im większa jest centralność zderzenia (patrz dalej). Jednocześnie, niezależnie od centralności, wartość β znajduje się pomiędzy 0.58c a wartościami
bardzo bliskimi jedności, co świadczy m.in. o tym że „powolne” cząstki nie
są rejestrowane.
1
http://root.cern.ch
21
22
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
Rysunek 3.1: Rozkład β
Centralność to termin określający stopień przekrycia się zderzających
jąder. Wyrażana się ona poprzez parameter zderzenia, b (ang. impact parameter ), który jest odległością pomiędzy środkami zderzanych jąder. Zderzenia centralne to takie, kiedy wartość parametru b jest mała (b → 0 fm),
zderzenia peryferyjne, gdy b jest duże (b → 2R przy założeniu zderzenia
symetrycznego, gdzie R to promień zderzanych jąder). Zamiennie można
też określać centralność poprzez procentową wartość całkowitego przektroju
czynnego na badaną reakcję. wart 0%-10% to zderzenia centralne, 10%-30%
średnio centralne, 30%-80% peryferyjne. Mówimy, że centralność maleje,
kiedy rozpatrujemy przypadki zderzeń coraz bardziej peryferyjnych, a rośnie, kiedy przedmiotem analizy są przypadki coraz bardziej centralne.[1]
Prezentowany rozkład został obliczony dla 15×104 zderzeń typu protonproton przy energii 10 TeV w układzie środka masy. Zarówno stworzenie
makra, jak i symulacja zderzeń zostały samodzielnie przeprowadzone przez
autora.
3.1.2
Rozkłady PT i rapidity
Kolejnymi prezentowanymi rozkładami są rozkłady pędu poprzecznego,
PT , oraz pospieszności, zwanej dalej rapidity, Y , zdefiniowane kolejno poni-
3.1. ROZKŁADY JEDNOCZĄSTKOWE
Rysunek 3.2: Rozkłady PT i rapidity dla protonów, pionów i kaonów.
23
24
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
żej:
√
PT =
p x 2 + py 2
(
1
E + pz
Y = ln
2
E − pz
(3.2)
)
(3.3)
Obie powyższe wielkości zostały pokazane (Rys. 3.2) dla trzech rodzajów
cząstek: protonów , pionów dodatnich oraz dodatnich kaonów. W wyniku
generacji otrzymano 15×104 zderzeń typu proton-proton dla energii 10 TeV
w układzie CMS.
W przypadku rozkładów pędu poprzecznego we wszystkich przypadkach
najwięcej cząstek jest zliczanych dla niższych wartości PT , a wraz ze wzrostem pędu, krotności cząstek maleją w przybliżeniu wykładniczo. Maksimum dla protonów i kaonów przypada na ok. 0.3 GeV/c, podczas gdy dla
pionów, kilka razy lżejszych, znajduje się ono przy ok. 0.1 GeV/c. Wynika
to z dużych różnic mas, których wartości dla protonów, kaonów i pionów
wynoszą odpowiednio (w przybliżeniu): 938, 494 i 140 M eV /c2 .
Rozkłady rapidity dla wszystkich typów cząstek wyglądają podobnie,
tzn. mają kształt w przybliżeniu paraboliczny, jednocześnie posiadając maksimum w tzw. midrapidity (czyli |Y | < 1). Warto też zwrócić uwagę na krotności cząstek, które w obszarze midrapidity dla pionów wynoszą ok. 2 × 105 ,
podczas gdy dla protonów i kaonów są o rząd wielkości mniejsze i wynoszą
odpowiednio 3.2 × 104 i 2.6 × 104 .
W tym i w kolejnym paragrafie do stworzenia histogramów posłużyły
te same dane co w poprzednim, zaś makra zostały napisane przez autora
samodzielnie.
3.1.3
Rozkłady krotności cząstek naładowanych
Rysunek 3.3 przedstawia rozkłady cząstek naładowanych w zależności w
danym zderzeniu. Istotną cechą różniącą oba wykresy jest pik na wykresie
bez ograniczenia na rapidity, znajdujący przy ok. Ncharged = 170 i pochodzący od protonów, dla których |Y | > 1. Poza tym, obydwa histogramy mają
w przybliżeniu kształt rozkładów Poissona. Z wykresów da się ponadto wywnioskować, że selekcja cząstek z obszaru rapidity mniejszego od jedności
zmniejsza ilość interesujących nas cząstek o około jeden rząd wielkości.
Warto dodać że rozkłady PT , rapidity czy krotności cząstek naładowanych tworzy się często, aby zweryfikować założenia fizyczne modelu, gdyż
rozkłady omawianych wielkości są dobrze znane w eksperymencie.
3.1. ROZKŁADY JEDNOCZĄSTKOWE
25
Rysunek 3.3: Rozkład krotności cząstek naładowanych. Bez cięcia na rapidity (górny), z cięciem |Y | < 1 (dolny).
26
3.2
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
Rozkłady dwucząstkowe
W niniejszym podrozdziale zostaną przedstawione rozkłady dwucząstkowe, dla których efekty korelacyjne nie są zaniedbywalne.
3.2.1
Rozkład różnic współrzędnych emisji pionów
Jako pierwszy zostanie przedstawiony rozkład różnic współrzędnych emisji pionów, gdzie rozważane są jedynie cząstki, które spełniają następujące
warunki:
0.2 < PT [GeV /c] < 0.8
(3.4)
|Y | < 1
(3.5)
Rysunek 3.4: Rozkład różnic współrzędnych emisji pionów z uwzględnieniem
efektów korelacyjnych – qinv < 50M eV /c
Powyższe ograniczenia na pęd poprzeczny i rapidity wynikają z rzeczywistych ograniczeń detektorów użytych w eksperymencie ALICE. Natomiast
ograniczenie na pęd inwariantny:
qinv < 50M eV /c
(3.6)
3.2. ROZKŁADY DWUCZĄSTKOWE
27
ma sens fizyczny taki, że uwzględniamy jedynie te pary pionów, których
różnica pędu jest niewielka (obie cząstki biegną w zbliżonym kierunku), co
pozwala odrzucić te pary, dla których efekty korelacyjne nie są istotne.2
Wielkość dx na osi odciętych rozumiemy przez:
→
→
dx = |−
x2−−
x 1| =
√
→
→
(−
r 2−−
r 1 )2 + c(t2 − t1 )2
(3.7)
→
→
gdzie przez −
x rozumiemy czterowektor położenia, −
r i t to odpowiednio
współrzędne i czas punktu wymrożenia, a c jest prędkością światła.
3.2.2
Rozkłady gęstości źródła
W dalszej części pracy będą prezentowane jedynie wyniki ze zderzeń typu
Au-Au przy energii 200 GeV w układzie środka masy dla czterech typów
centralności:
1. Minimum Bias3
2. 0% – 10%
3. 10% – 30%
4. 30% – 80%
Rysunki 3.5 i 3.6 przedstawiają rozkłady podobne do tego w poprzednim paragrafie, z tą jednak różnicą, że oprócz czterech typów centralności,
są pokazane rozkłady dla każdej współrzędnej z osobna, a także ich odpowiedniki w skali logarytmicznej. We wszystkich przypadkach została użyta
parametryzacja Berscha-Pratta, wspomniana w Rozdziale 2.2.
Oprócz układu CMS, został wzięty pod uwagę również PRF4 , czyli układ
spoczynkowy pary, dobrany tak, że sumaryczny pęd pary jest równy zero, tj.:
−
→
→
p ∗1 + −
p ∗2 = 0
(3.8)
Na rysunkach 3.5 i 3.7, jeśli przyjąć, że szerokość połówkowa każdego
rozkładu jest powiązana z rozmiarem źródła, to można wywnioskować, że
źródło wcale nie jest symetryczne, lecz jest spłaszczone w kierunku long,
a najszersze w kierunku out. Zgadza się to z intuicją fizyczną, biorąc pod
2
Granica 50 MeV jest umowna i wynika z kształtu funkcji korelacyjnej.[1]
Minimum Bias nie jest właściwie centralnością, lecz oznacza, że brane są pod uwagę
wszystkie cząstki, bez selekcji centralności.
4
ang. Pair Rest Frame
3
28
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
Rysunek 3.5: Rozkład gęstości źródła, CMS
Rysunek 3.6: Rozkład gęstości źródła, CMS (skala logarytmiczna)
3.2. ROZKŁADY DWUCZĄSTKOWE
Rysunek 3.7: Rozkład gęstości źródła, PRF
Rysunek 3.8: Rozkład gęstości źródła, PRF (skala logarytmiczna)
29
30
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
uwagę, że wiązki rozpędzone do prędkości bliskich światłu ulegają skróceniu
Lorentza właśnie w kierunku ich biegu (long). Da się również zauważyć, że
dla wyższych centralności, rejestrowane są cząstki z większymi prędkościami, co sprawia, że pik centralny jest wyższy.
Jeśli teraz przyjmiemy, że rozkład gęstości materii w źródle jest normalny, tj.:
(
r2
D(r) = A exp − 2
2R
)
(3.9)
(gdzie D(r) – gęstość źródła, A – stała, R – odchylenie standardowe)
to logarytmując powyższe równanie:
1 2
r + const
(3.10)
2R2
zauważamy, jest to równanie paraboli.
Teraz, jeśli się przyjrzymy rozkładom źródła po zlogarytmowaniu (Rysunki 3.6 i 3.8), to widać wyraźnie że jedynie dla centralności 30% – 80%
w kierunkach side i out rozkłady mają kształt paraboliczny. W pozostałych
przypadkach tylko dla małych wartości dr rozkłady przypominają parabolę,
a w miarę zwiększania dr odstępstwo to rośnie znacznie.
Wniosek z tego nasuwa się następujący. Traktowanie źródła jako mającego rozkład Gaussa nie jest do końca prawdziwe i powinno być stosowane
tylko z przybliżeniem. Istnieje także potrzeba opisania jego geometrii inną funkcją, która mniej odbiegałaby od rzeczywistości. Ten problem został
postawiony w kolejnym podrozdziale.
Poniższe tabele (3.1 i 3.2) przedstawiają wartości RMS5 histogramów z,
odpowiednio, Rysunku 3.5 i 3.7 dla czterech typów centralności, biorąc pod
uwagę wartość średniej kwadratowej dla wszystkich składowych czterowektora położenia, w przypadku układu CMS, a w przypadku układu PRF,
→
−
trzech składowych przestrzennych i wartości wektora położenia, | R |.
Zgodnie z tym, co zostało powiedziane wcześniej, jeśli wartość RMS uzna
się za powiązaną z rozmiarem źródła, da się zauważyć, że wraz ze wzrostem
centralności źródło staje się większe. Przy czym, zgodnie z oczekiwaniami,
w przypadku układu CMS, dla danej centralności największe jest źródło w
kierunku Rlong , zaś w przypadku układu PRF — w kierunku Rout .
W tym paragrafie wykorzystano gotowe dane z symulacji, zaś makra
zostały napisane przez autora samodzielnie. Niepewności statystyczne oszacowano poniżej 1%.
ln(D(r)) = −
5
ang. RMS, Root Mean Square, średnia kwadratowa.
31
3.3. ROZKŁADY KORELACYJNE
RMS [fm]
Rlong
Rout
Rside
ct
Min. Bias
7.27
6.87
6.89
6.64
0%-10%
7.34
7.15
7.12
6.70
10%-30%
6.99
6.34
6.32
6.39
30%-80%
4.66
4.56
4.35
4.84
Tabela 3.1: Wartości RMS dla czterech typów centralności, CMS.
RMS [fm]
Rlong
Rout
Rside
−
→
|R|
Min. Bias
6.74
11.25
6.89
7.33
0%-10%
6.80
11.89
7.19
7.57
10%-30%
6.41
10.43
6.32
6.95
30%-80%
4.98
9.82
4.98
6.31
Tabela 3.2: Wartości RMS dla czterech typów centralności, PRF.
3.3
Rozkłady korelacyjne
W niniejszym podrozdziale (3.3) wszystkie rozkłady i dane zostały obliczone z wykorzystaniem samodzielnie napisanych przez autora makr, używając gotowych danych z symulacji zderzeń.
3.3.1
Dopasowanie funkcji korelacyjnej
Funkcje korelacyjne zostały pokrótce opisane w podrozdziale 2.3, w niniejszym podrozdziale zajmiemy się jedyniem problemem ich dopasowania.
Ogólna postać matematyczna używanych fitów, zaproponowana przez
Lévy’ego[10] wyrażona jest formułą (2.13), gdzie najbardziej interesującym
z naszego punktu widzenia parametrem jest α, czyli parametr stabilności.
Naturalnym i intuicyjnym jest przyjęcie, że źródło emisji cząstek po
zderzeniu powinno mieć rozkład gaussowski. To założenie prowadzi do nieskomplikowanego wzoru na funkcję korelacyjną opisanego równaniem (2.14).
Na Rysunku 3.9 przedstawione zostały funkcje korelacyjne wraz z dopasowanymi do nich krzywymi wyznaczonymi teoretycznie z założeniem źródła
o rozkładzie gaussowskim w funkcji zmiennej 2k ∗ = qinv . Powyższa zależność funkcjonuje jedynie dla cząstek z równymi masami. Dopasowanie jest
robione w ten sposób, że współczynniki λ i R dobiera się tak, aby zminimalizować wartość testu χ2 .
32
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
Rysunek 3.9: Funkcja korelacyjna. Dopasowanie gaussowskie.
3.3. ROZKŁADY KORELACYJNE
33
Przy każdym z histogramów podano wartości λ, ρ (tu równoznacznego
z R), α (w tym przypadku równemu 2) oraz wynik testu χ2 na ilość stopni
swobody. Zauważamy że wraz ze wzrostem centralności rozmiar źródła rośnie (parametr ρ), jak również wartość testu χ2 /N DF 6 , co z kolei oznacza
lepsze dopasowanie.
W dalszej części pracy angielskie słowo fit będzie używane zamiennie z
jego polskiem odpowiednikiem, „dopasowaniem”.
Jednakże bez trudu da się zauważyć, że fit gaussowski daje dobre dopasowanie dopiero od wartości ok. 0.02 GeV/c, podczas gdy dla mniejszych
wartości różnica między wartościami z histogramu a hipotetycznym dopasowaniem jest zbyt duża, by mogła zostać zaakceptowana.
W celu znalezienia lepszego dopasowania do funkcji korelacyjnej, użyto dwóch innych rodzajów źródeł przedstawionych w podrozdziale 2.3. Fit
gaussowski został już omówiony w 3.3.1, więc nie będziemy tutaj tego ponownie przytaczać.
Na Rysunkach od 3.10 do 3.12 przedstawiono wyniki dopasowania funkcją Gaussa, Lorentza i Lévy’ego zgodnie z równaniami 2.14 – 2.16.
Na każdym histogramie znajdują się funkcje korelacyjne dla czterech
centralności wraz z dopasowanymi funkcjami. Widać, że zupełnie nieodpowiednim dopasowaniem jest fit zaproponowany przez Lévy’ego, czyli dla
α = 1/2, gdyż nie odzwierciedla on kształtu funkcji korelacyjnej w obszarze
efektu korelacyjnego, kiedy 2k ∗ < 50M eV /c, przebiega on znacznie poniżej
punktu funkcji korelacyjnej w obszarze dużych korelacji (10 – 50 MeV/c), a
także nie posiada typowego kształtu dla małych wartości qinv , tj. pochodna
funkcji korelacyjnej w granicy qinv → 0 powinna być równa zero. W przypadku fitu Lévy’ego wyżej pochodna ta dąży do minus nieskończoności.
Spośród trzech parametryzacji: Gaussa, Lorentza i Lévy’ego, fit lorentzowski okazuje się być najlepiej dopasowany. Kształtem jest on bardzo zbliżony do funkcji korelacyjnej, jednak dla qinv dążącego do zera, pochodna
dąży do −1. Co więcej, jak i w poprzednim przypadku, funkcja dopasowana na całej rozciągłości jest wklęsła, podczas gdy sama funkcja korelacyjna jest wypukła dla małych qinv , mając punkt przegięcia pomiędzy 0.01 a
0.02 GeV/c.
Mimo, iż dla α = 1 dopasowanie jest najlepsze, jednak nie spełnia
wszystkich oczekiwań. W kolejnym podrozdziale zostanie znalezione rozwiązanie optymalne.
6
ang. Number of Degrees of Freedom, ilość stopni swobody
34
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
Rysunek 3.10: Funkcja korelacyjna. Fit gaussowski, α = 2.
Rysunek 3.11: Funkcja korelacyjna. Fit lorentzowski, α = 1.
3.3. ROZKŁADY KORELACYJNE
Rysunek 3.12: Funkcja korelacyjna. Fit Lévy’ego, α = 1/2.
Rysunek 3.13: Funkcja korelacyjna. Najlepsze dopasowanie.
35
36
3.3.2
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
Najlepsze dopasowanie
Teraz, aby znaleźć najlepsze dopasowanie, dla każdej centralności dopasowujemy, oprócz współczynników λ i ρ (równoznacznego dalej z R), także
parametr stabilności, α, tak by zminimalizować test χ2 /N DF . Wyniki takiej optymalizacji zostały przedstawione w tabeli poniżej (3.2).
centralność
Min. Bias
0%-10%
10%-30%
30%-80%
1.231
1.085
1.172
1.305
α
±
±
±
±
0.005
0.004
0.005
0.012
ρ [fm]
8.58 ± 0.04
10.52 ± 0.06
8.85 ± 0.05
7.23 ± 0.07
0.559
0.622
0.579
0.544
λ
±
±
±
±
0.003
0.004
0.004
0.006
χ2 /N DF
0.98/38
5.46/38
2.11/38
0.32/38
Tabela 3.3: Najlepsze dopasowanie. Parametry dla wszystkich centralności.
Jeśli przyjrzeć się Rysunkowi 3.13, który przedstawia najlepsze dopasowanie, widać, że rzeczywiście niemal idealnie pokrywa się z funkcją korelacyjną. Jedyna różnica występuje dla bardzo małych różnic pędów, niemniej
rozbieżność między funkcją korelacyjną a dopasowaniem jest dużo mniejsza
niż dla innych typów fitów. Istotne jest, że pochodna funkcji dopasowywanej dąży do zera, dla q dążącego do zera. Wystarczającym warunkiem na
to jest, aby α było większe od jedności (patrz Tabela 3.3).
Zauważamy, że wartość α wzrasta wraz z centralnością, podczas gdy
2
χ maleje. Warto dodać, że λ we wszystkich przypadkach jest podobna i
zawiera się między 0.54 a 0.58.
W kolejnym paragrafie najlepsze dopasowanie zostanie porównane z innymi, omawianymi już fitami.
3.3.3
Porównanie fitów i dyskusja wyników
Poniższe tabele (3.4-3.7) zestawiają istotne parametry dla wszystkich
czterech fitów dla zderzeń wszystkich typów centralności.
Najbardziej istotnym parametrem jest w tym przypadku χ2 (ilość stopni
swobody pozostaje dla wszystkich fitów jednakowa). Najlepiej dopasowanym jest rzeczywiście fit optymalny dla α = 1.31 (centralność 30%-80%),
gdzie wartość χ2 jest mniejsza o jeden rząd wielkości od fitów Gaussa i
Lorentza, a także od Lévy’ego, który w tym porównaniu wypadł najgorzej.
Warto dodać, że poza fitem optymalnym, najlepsze jest dopasowanie
lorentzowskie, co wyraża się nie tylko w niższej wartości χ2 , ale i bliskości
37
3.3. ROZKŁADY KORELACYJNE
fit
Gauss
Lorentz
Lévy
optymalny
α
2.00
1.00
0.50
1.23 ± 0.005
ρ
5.85 ± 0.01
11.32 ± 0.01
37.82 ± 0.03
8.58 ± 0.04
λ
0.341 ± 0.001
0.743 ± 0.002
1.000 ± 7 × 10−6
0.559 ± 0.003
χ2 /N DF
30.67/38
23.10/38
56.21/38
0.98/38
Tabela 3.4: Porównanie fitów dla Minimum Bias.
fit
Gauss
Lorentz
Lévy
optymalny
α
2.00
1.00
0.50
1.09 ± 0.004
ρ
6.20 ± 0.01
11.86 ± 0.02
43.14 ± 0.04
10.52 ± 0.06
λ
0.325 ± 0.001
0.701 ± 0.002
1.000 ± 8 × 10−6
0.622 ± 0.004
χ2 /N DF
32.16/38
14.50/38
53.73/38
5.46/38
Tabela 3.5: Porównanie fitów dla centralności 0%-10%.
fit
Gauss
Lorentz
Lévy
optymalny
α
2.00
1.00
0.50
1.17 ± 0.005
ρ
5.72 ± 0.01
11.03 ± 0.02
39.50 ± 0.04
8.85 ± 0.05
λ
0.331 ± 0.001
0.719 ± 0.002
1.000 ± 8 × 10−6
0.579 ± 0.004
χ2 /N DF
33.47/38
19.29/38
60.81/38
2.11/38
Tabela 3.6: Porównanie fitów dla centralności 10%-30%.
α = 1 do wartości α dla fitów optymalnych (np. α = 1.31 dla centralności
30%-80%).
Godny zauważenia jest fakt że jedynie dla parametryzacji Lévy’ego, wypadającej najgorzej, wartość testu χ2 na ilość stopni swobody jest wyraźnie
powyżej jedności, podczas gdy dla fitu Gaussa i Lorentza wartość ta oscyluje
wokół jedności, a zatem na granicy akceptowalności hipotezy.
Warto też przyjrzeć się wartościom ρ rosnącym wraz z centralnością.
Dla parametryzacji Gaussa, Lorentza i optymalnej, ρ jest rzędu wielkości
10 fm, podczas gdy dla fitu Lévy’ego, intuicyjnie ta wartość jest zbyt duża
i wynosi 35-43 fm. Można tu powołać się na półempiryczny wzór na średni
promień jądra[4]:
R ≈ 1.2f m ×
√
3
A
(3.11)
gdzie R jest promieniem jądra, a A jego liczbą masową. Jeśli teraz zasto-
38
ROZDZIAŁ 3. WYNIKI
fit
Gauss
Lorentz
Lévy
optymalny
α
2.00
1.00
0.50
1.31 ± 0.012
ρ
5.13 ± 0.01
10.21 ± 0.03
35.23 ± 0.08
7.23 ± 0.07
λ
0.354 ± 0.002
0.780 ± 0.004
1.000 ± 3 × 10−6
0.54 ± 0.006
χ2 /N DF
34.75/38
32.82/38
81.76/38
0.32/38
Tabela 3.7: Porównanie fitów dla centralności 30%-80%.
sujemy powyższy wzór do atomu złota (A ≈ 197), to otrzymujemy wartość
R ≈ 6.98f m, która jest istotnie mniejsza od tej uzyskiwanej z dopasowania
Lévy’ego.
Pozostaje jeszcze wyjaśnić rzecz natury technicznej, a mianowicie: we
wszystkich przypadkach dla fitu Lévy’ego λ = 1, czy tak jak dla idealnych
korelacji. Bierze się to stąd, że w kodzie na parametr λ zostało nałożone
ograniczenie λ ∈ [0.5; 1.0]. Gdyby nie ono, w tym przypadku λ przekroczyłaby 1, sprawiając jednocześnie, że dopasowanie stałoby się niefizyczne.
Rysunek 3.14 zawiera zestawienie wszystkich czterech fitów dla jednej
funkcji korelacyjnej dla centralności Minimum Bias. Podczas gdy wszystkie
fity zostały już przedstawione w zwykłej skali, to w skali logarytmicznej
powyżej wartości q = 0.05 GeV/c zauważamy interesujący efekt, który nie
mógł być zauważony w zwykłej skali. A mianowicie w okolicach tej wartości wszystkie krzywe przecinają się i rozchodzą się w różnych kierunkach,
podczas gdy jedynie najlepsze dopasowanie ściśle przylega do funkcji korelacyjnej. Jest to kolejny dowód na to, że rzeczywiście optymalny fit jest
najlepszy ze wszystkich użytych.
3.3. ROZKŁADY KORELACYJNE
39
Rysunek 3.14: Funkcja korelacyjna dla Minimum Bias. Porównanie czterech
fitów w skali zwykłej (dolny) i logarytmicznej (górny).
Rozdział 4
Podsumowanie i wnioski
W niniejszej pracy zaprezentowano wyniki symulacji i analiz rozkładów
jedno- i dwucząstkowych oraz funkcji korelacyjnych, przeprowadzonych częściowo podczas stażu w laboratorium Subatech, Nantes. Analizy zostały wykonane dla danych pochodzących z symulacji zderzeń pp o energii 10 TeV
na nukleon, a także zderzeń typu Au+Au przy energii 200 GeV liczonej w
środku masy.
W pracy zostały użyte gotowe dane wygenerowane dla zderzenia Au+Au
przy energii 200 GeV liczonej w środku masy. Jako że dane symulowane
przy pomocy modeli zderzeń jądrowych nie zawierają korelacji femtoskopowych, zostały one policzone w oddzielnym programie, który pozwolił uzyskać funkcje korelacyjne. Jednym z zadań w ramach przeprowadzonych badań było napisanie programu umożliwiającego oszacowanie rozmiaru źródła
oraz współczynnika stabilności, a także stworzenie programu do uzyskania
rozkładów jedno- i dwu-cząstkowych, co też zostało uczynione.
W części pracy dotyczącej rozkładów jednocząstkowych przestawiono typowe rozkłady dla β, pędu poprzecznego i rapidity, będące niejako wstępem
do pracy z funkcjami korelacyjnymi. Oprócz tego zaprezentowano rozkład
krotności cząstek naładowanych.
Następnie pokazano rozkłady gęstości źródła emitującego identyczne
piony, które pozwalają zorientować się, jaka jest geometria tego źródła.
To zostało wykorzystane w części dotyczącej funkcji korelacyjnych, gdzie
pojawia się problem jego kształtu.
Dalej zasygnalizowano, wraz z dowodami, nieadekwatność przyjmowania
rozkładu Gaussa jako opisującego źródło emisji pionów powstałe po zderzeniu w akceleratorze. W związku z tym, korzystając z pomysłu Lévy’ego
41
42
ROZDZIAŁ 4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI
opisanego w [10], zastąpiono źródło gaussowskie źródłem najpierw lorentzowskim, a następnie tym zaproponowanym przez Lévy’ego. Okazało się, że
mimo, iż najlepiej dopasowującym się jest fit Lorentza, to jednak nie spełnia
on wszystkich oczekiwań. Fit Lévy’ego okazał się najmniej odpowiednim.
Pomysłem zaproponowanym przez autora było dopasowanie parametru
α, który do tej pory był ściśle określony. W efekcie otrzymano fity które
dużo bardziej niż inne pokrywają się z funkcją korelacyjną.
Ponieważ część wykładnicza funkcji korelacyjnej jest śliśle związana z
transformatą Fouriera rozkładu źródła, można byłoby, stosując odwrotną
transformatę, odtworzyć rozkład źródła najbardziej zbliżonego do rzeczywistości. To zadanie jednak nie jest proste, nie tylko dlatego, że wartość α
jest ułamkowa i zmienia się w zależności od funkcji korelacyjnej, ale głównie dlatego, że podczas przejścia od oryginału transformaty do ostatecznej
postaci fitu, traci się informację o fazie funkcji pierwotnej[10]. Tak więc
przejście w drugą stronę, bez znanej fazy jest bardzo trudne, a ostateczny
wynik musiałby być przybliżony.
Z pracy nasuwa się wniosek, że często intuicyjnie przyjmowany rozkład
Gaussa dla opisywania tego typu zjawisk losowych wcale nie jst najlepszym
rozwiązaniem i można znaleźć taki rozkład, który bardziej odpowiadałby
rzeczywistości. Ponadto, poznanie geometrii źródła powstałego w wyniku
zderzeń przy wysokich energiach może przyczynić się do głębszego zrozumienia fizyki na poziomie subatomowym.
Bibliografia
[1]
Hanna Paulina Zbroszczyk, prywatna komunikacja.
[2]
http://mediawiki.ilab.pl/.
[3]
http://www.bnl.gov/.
[4]
J. Bartke. Introduction to Relativistic Heavy Ion Physics. World Scientific,
2009.
[5]
Zbigniew Chajęcki. Analiza czasowo-przestrzennego rozwoju procesu emisji
cząstek z zderzeniach ciężkich jonów poprzez badanie korelacji hadronów w
eksperymentach STAR i ALICE. Praca magisterska. 2003.
[6]
W. Lee A. Pais G. Golhaber, T. Goldhaber. Phys. Rev. 1960.
[7]
Hanna Paulina Gos. Rezultaty eksperymentu STAR w zastosowaniu do analizy korelacji hadronów w eksperymencie ALICE. Praca magisterska, 2004.
[8]
R.Q. Twiss R. Handbury Brown. A test of a new type of stellar interferometer on Sirius. Nature, 178:1046, 1956.
[9]
Lucio Russo. Zapomniana rewolucja. Grecka myśl naukowa a nauka nowoczesna. Universitas, 2005.
[10] W.A.Zajc T.Csorgo, S.Hegyi. Bose-Einstein correlations for Lévy stable source distributions. Eur. Phys. J. C36: 67-78, 2004.
[11] Klaus Werner. Nuclear Physics B (Proc. Suppl.) 175-176. 2008.
[12] Hanna Paulina Zbroszczyk. Badania korelacji barion-barion w relatywistycznych zderzeniach jądrowych rejestrowanych w eksperymencie STAR. Praca
doktorska, 2008.
43