§13 Zagadnienie własne operatora liniowego

Transkrypt

180
§13
II PRZESTRZENIE WEKTOROWE
Zagadnienie własne operatora liniowego
1
Wartości, podprzestrzenie i wektory własne
Niech A będzie operatorem liniowym na dowolnej przestrzeni wektorowej
V nad ciałem K. Mówimy, że liczba λ ∈ K jest wartością własną operatora A gdy Ker(A − λ id) 6= {0}. Podprzestrzeń Ker(A − λ id) nazywamy wtedy
podprzestrzenią własną operatora A do wartości własnej λ. Każdy niezerowy wektor tej podprzestrzeni, czyli każdy niezerowy wektor x ∈ V spełniający
równanie własne dla wartości własnej λ
Ax = λx ,
nazywamy wektorem własnym operatora A do wartości własnej λ. Jeśli
przestrzeń V ma skończony wymiar, to operator w tej przestrzeni jest surjektywny wtedy, i tylko wtedy, gdy jest injektywny (zob. tw. 6, §10). Zatem operator A − λ id jest bijekcją wtedy, i tylko wtedy, gdy λ nie jest jego wartością
własną. Ogólnie, widmem operatora A (lub jego spektrum) nazywamy zbiór
σ(A) liczb takich, że A − λ id nie jest bijektywny dla λ ∈ σ(A). W przestrzeni
o skończonym wymiarze widmo jest zbiorem wartości własnych operatora, ale
w przypadku nieskończenie wymiarowym widmo może być większe, gdyż operator A − λ id może nie być surjekcją, pomimo injektywności.
Niech V1 , . . . , Vs będą podprzestrzeniami własnymi operatora A do wartos
X
xi , xi ∈ Vi . Wtedy
ści własnych λ1 , . . . , λs odpowiednio oraz niech x =
i=1
(A − λj id)xi = (λi − λj )xi , więc stosując kolejne operatory w poniższym iloczynie (przy zadanym k) do wszystkich wektorów składowych dostajemy:
!
!
s
s
Y
Y
(λk − λj ) xk
(A − λj id) x =
j=1
j6=k
j=1
j6=k
– pozostałe składniki zerują się, gdyż dla każdego l 6= k w iloczynie wystąpi operator A − λl id, który działając na xl daje zero. Otrzymujemy stąd następujący
wynik.
Twierdzenie 1. Podprzestrzenie własne każdego operatora liniowego są liniowo
niezależnymi podprzestrzeniami niezmienniczymi tego operatora. Jeśli V λ jest
podprzestrzenią własną operatora do wartości własnej λ, to jego zacieśnienie do
operatora na Vλ jest równe λ idVλ .
Dowód. Z formuły poprzedzającej twierdzenie wynika, że jeśli x = 0, to x k = 0
dla wszystkich k = 1, . . . , s, więc podprzestrzenie V1 , . . . , Vs są liniowo niezależne. Niezmienniczość podprzestrzeni Vλ i postać zawężenia operatora do tej
podprzestrzeni wynikają natychmiast z równania własnego.
© Andrzej Herdegen 2005, 2010
181
2
Zagadnienie własne w przestrzeni skończenie wymiarowej
Niech V będzie przestrzenią o skończonym wymiarze równym n. W takiej
przestrzeni maksymalna liczebność rodziny liniowo niezależnych podprzestrzeni
wynosi n: gdyby dla pewnej rodziny była ona większa, to wybierając z każdej
podprzestrzeni po jednym wektorze dostalibyśmy rodzinę liniowo niezależnych
wektorów o liczebności większej niż n, co jest sprzeczne z założeniem.
Niech A będzie operatorem liniowym w V , a V1 , . . . , Vs , s ≤ n, niech będą
jego wszystkimi podprzestrzeniami własnymi, do wartości własnych λ 1 , . . . , λs
odpowiednio. Z twierdzenia 1 wiemy, że podprzestrzenie są liniowo niezależne.
s
M
Załóżmy, że V =
Vi . Wtedy, zgodnie z tym samym twierdzeniem, mamy
A =
s
M
i=1
λi idVi . Operator taki nazywamy diagonalizowalnym. Jako prosty
i=1
wniosek z dyskusji przeprowadzonej w poprzednim paragrafie dostajemy następujący opis takich operatorów.
Twierdzenie 2. Operator A w przestrzeni wektorowej V o skończonym wymiarze jest diagonalizowalny wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje rozkład identyczności
{P1 , . . . , Ps } i liczby λ1 . . . , λs takie, że
A=
s
X
λi P i .
i=1
Jeśli ten warunek jest spełniony, to liczby λ1 , . . . , λs są wartościami własnymi
operatora A, a operatory P1 , . . . , Ps są operatorami rzutowania na odpowiednie podprzestrzenie własne. Powyższe przedstawienie diagonalizowalnego operatora A nazywamy jego rozkładem spektralnym.
Na późniejszy użytek zanotujmy ponadto następujące przedstawienie operatorów rozkładu spektralnego.
Lemat 3. Przy spełnionych warunkach ostatniego twierdzenia zachodzi
Pk =
s
Y
j=1
j6=k
(λk − λj )
!−1
s
Y
j=1
j6=k
(A − λj id).
Dowód. Teza jest bezpośrednim wynikiem zastosowania, przy obecnych założeniach, formuły poprzedzającej twierdzenie 1.
182
Jeśli operator A jest diagonalizowalny, i jeśli przy powyższych oznaczeniach
wybrać bazę (e1 , . . . , en ) przestrzeni V taką, że kolejne podciągi tej bazy są
bazami kolejnych podprzestrzeni własnych, to w tej bazie:


λ 1 1n 1
0
...
0
 0
λ 2 1n 2 . . .
0 

A=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
. . . λ s 1n s
W tej samej bazie operatory rzutowe jego rozkładu spektralnego mają macierze:




1n 1 0 . . . 0
0 0 ... 0
 0 0 . . . 0
0 0 . . . 0 



P1 = 
 . . . . . . . . . . . . . .  , . . . , Ps =  . . . . . . . . . . . . . .  .
0 0 ... 0
0 0 . . . 1 ns
W ogólnym przypadku suma prosta
s
M
Vi jest mniejsza od V . Konstruujemy
i=1
bazę V dołączając, podobnie jak uprzednio, bazy kolejnych podprzestrzeni własnych, ale na końcu uzupełniając otrzymany układ wektorów w dowolny sposób
do bazy całej przestrzeni. W takiej bazie


λ 1 1n 1
0
...
0
 0
λ 2 1n 2 . . .
0 
A⊕ B
.
A=
, A⊕ = 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 C
0
0
. . . λ s 1n s
Macierz A⊕ jest macierzą operatora A⊕ , będącego zacieśnieniem operatora A
s
M
do operatora na przestrzeni
Vi .
i=1
3
Wielomian charakterystyczny
Opisaliśmy strukturę operatora liniowego, przy założeniu, że jego wartości
i podprzestrzenie własne są znane. Zagadnienie ich wyliczenia sprowadza się do
znalezienia wszystkich rozwiązań równania Ax = λx, gdzie zarówno λ, jak i x
są niewiadomymi. W ogólności jest to więc problem na tym etapie nieliniowy.
W przypadku, gdy wymiar przestrzeni jest skończony, zadanie można uprościć
rozbijając je na dwa kroki: w pierwszym znajdujemy wartości własne, a w drugim, znając je już, rozwiązujemy liniowe już teraz równania na wektory własne.
W tym punkcie rozwiązujemy pierwszy z tych problemów.
Niech A będzie operatorem liniowym na skończenie wymiarowej przestrzeni V , a A – jego macierzą w dowolnie wybranej bazie. Wyznacznik det A wyraża
183
się wielomianowo przez elementy macierzy A, jeśli więc wstawić w miejsce A
macierz A − λ1, λ ∈ K, to wyrażenie
PA (λ) = det(A − λ id) = det(A − λ1)
określa wielomian zmiennej λ – nazywamy go wielomianem charakterystycznym operatora A. W wyrażeniu określającym wyznacznik macierzy A − λ1
składnikiem, który zawiera najwyższą potęgę λ, jest iloczyn wyrazów diagonalnych
(A1 1 − λ) . . . (An n − λ) ,
gdzie n jest wymiarem przestrzeni V . Stąd wielomian PA jest stopnia n i jego
składnik najwyższego stopnia w λ ma postać (−λ)n . Jeśli bazę wybrać tak, jak
w poprzednim punkcie, to przy tych samych oznaczeniach
PA (λ) = det(A⊕ − λ1) det(C − λ1) = det(C − λ1)
s
Y
i=1
(λi − λ)ni .
Twierdzenie 4. Niech A będzie operatorem liniowym w przestrzeni V o skończonym wymiarze n. Wtedy:
(i) widmo operatora A jest zbiorem co najwyżej n-elementowym, równym zbiorowi pierwiastków jego wielomianu charakterystycznego;
(ii) wymiar podprzestrzeni własnej do wartości własnej λ jest mniejszy bądź
równy krotności λ jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego;
(iii) jeśli wielomian charakterystyczny operatora A ma n różnych pierwiastków,
to operator A jest diagonalizowalny.
Dowód. (i) W przestrzeni skończenie wymiarowej jądro operatora jest trywialne
wtedy, i tylko wtedy, gdy jego wyznacznik jest różny od zera. Przez kontrapozycję wynika stąd punkt pierwszy twierdzenia.
(ii) Z formuły poprzedzającej twierdzenie wynika, że krotność pierwiastka λ i
jest większa lub równa ni , co jest treścią drugiego punktu twierdzenia.
(iii) Jeśli operator A ma n różnych wartości własnych, to w przestrzeni V
o wymiarze n jest n liniowo niezależnych podprzestrzeni własnych. To jest możliwe tylko wtedy, gdy wymiar każdej z nich jest równy jeden, a ich suma daje
całą przestrzeń.
Jeśli V jest przestrzenią zespoloną o wymiarze n, to wielomian charakterystyczny PA ma następujący rozkład na czynniki proste:
PA (λ) = (λ1 − λ)m1 . . . (λs − λ)ms ,
184
gdzie s ≤ n i
s
X
mi = n (współczynnik przed całością wyznaczony jest wcześniej
i=1
otrzymanym warunkiem, że człon o najwyższej potędze λ jest równy (−λ) n , co
s
M
Vi podprzestrzeni własnych
jest zgodne z powyższą postacią). Suma prosta
i=1
operatora A, o wymiarach n1 , . . . , ns , ma wymiar
s
X
ni . Na podstawie ostat-
i=1
niego twierdzenia ni ≤ mi , i = 1, . . . , s, więc wymiar ten jest równy n wtedy,
i tylko wtedy, gdy ni = mi , i = 1, . . . , s. Otrzymujemy następujące wnioski.
Twierdzenie 5.
(i) Operator liniowy w przestrzeni zespolonej ma co najmniej jedną wartość własną i odpowiednią podprzestrzeń własną.
(ii) Operator w przestrzeni zespolonej jest diagonalizowalny wtedy, i tylko wtedy,
gdy wymiary wszystkich jego podprzestrzeni własnych są równe krotnościom odpowiednich pierwiastków wielomianu charakterystycznego.
Na zakończenie tego punktu wracamy do ogólniejszej sytuacji przestrzeni
wektorowej V nad dowolnym ciałem K. Niech A będzie operatorem w przestrzeni V i niech W będzie jego inwariantną podprzestrzenią. W bazie wybranej
tak, jak w punkcie 4, §12, i przy przejętym z tego punktu oznaczeniu macierzy
operatora A w tej bazie, mamy
PA (λ) = det(A − λ1n ) = det(AW − λ1m ) det(C − λ1n−m )
= PAW (λ) det(C − λ1n−m ) .
Wykazaliśmy następujące stwierdzenie.
Twierdzenie 6. Niech A będzie operatorem liniowym w przestrzeni V nad dowolnym ciałem, a W – jego inwariantną podprzestrzenią. Wtedy wielomian charakterystyczny PA (λ) operatora A dzieli się przez wielomian charakterystyczny
PAW (λ) jego zacieśnienia AW do operatora w przestrzeni W .
4
Wyliczenie wektorów własnych
Niech A będzie operatorem w przestrzeni o skończonym wymiarze n. Zgodnie
z poprzednim punktem jego wartości własne znajdujemy jako pierwiastki jego
wielomianu charakterystycznego. Wyliczenie wszystkich wektorów własnych do
wartości własnej λ sprowadza się teraz do rozwiązania liniowego równania
(A − λ id)x = 0. Wybierając dowolną bazę (e1 , . . . , en ) w przestrzeni V i znajdując w tej bazie macierz A operatora A zamieniamy ten problem, zgodnie
185
z tw. 10, §10, na równanie macierzowe
(A − λ1)x = 0 .
Ogólne rozwiązanie tego układu jednorodnego jest podprzestrzenią przestrzeni Kn , wyliczaną tak, jak to opisaliśmy w §9. Podprzestrzeń własna w V do
wartości własnej λ jest więc złożona z wektorów x = xi ei , gdzie x ≡ (xi ) są
wszystkimi rozwiązaniami tego układu.
Dla kolejnych wartości własnych λ1 , . . . , λs wyliczmy bazy podprzestrzeni
rozwiązań układu (A − λi 1)x = 0; liczebność bazy dla wartości własnej λi
oznaczmy ni . Tworzymy ciąg e01 , . . . , e0m liniowo niezależnych
wektorów w Kn
Ps
ustawiając te bazy jako kolejne jego podciągi, m = i=1 ni . Jeśli m = n, to
otrzymany ciąg tworzy bazę Kn , a jeśli m < n, to uzupełniamy go w dowolny
sposób do bazy e01 , . . . , e0n . Wektory e0i ∈ Kn są kolumnami współrzędnych wektorów e0i ∈ V , więc otrzymujemy nową bazę w V :
e01 . . . e0n = e1 . . . en β ,
β = e01 . . . e0n .
Z konstrukcji wektory e01 , . . . , e0m są wektorami własnymi operatora A. Jego
macierz w bazie primowanej jest więc
A0 = β −1 Aβ =
0
A0⊕ B
0 C0
,

λ 1 1n 1
0
...
0
 0
λ 2 1n 2 . . .
0 

A0⊕ = 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
. . . λ s 1n s

Operator A jest diagonalizowalny wtedy, i tylko wtedy, gdy
s
X
ni = n, i wówczas
i=1


λ 1 1n 1
0
...
0
 0
λ 2 1n 2 . . .
0 

A0 = β −1 Aβ = 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
. . . λ s 1n s
Otrzymany algorytm sprowadzania operatora do diagonalnej, lub częściowo
diagonalnej, postaci można też zinterpretować w języku macierzowym. Dla danej macierzy A znaleźliśmy macierz β, która przez transformację podobieństwa
sprowadza macierz A do postaci diagonalnej, lub, jeśli całkowita diagonalizacja
nie jest możliwa, do postaci częściowo diagonalnej.
186
5
Przykłady
(i) Operator inwolutywny
Mówimy, że operator Q w dowolnej przestrzeni wektorowej jest inwolutywny ,
gdy spełnia warunek
Q2 = id .
Z pomocą takiego operatora określmy dwa nowe operatory P± :=
Pokazuje się z łatwością, że operatory te spełniają relacje
P±2 = P± ,
P+ P− = P − P+ = 0 ,
1
2 (id ±Q).
P+ + P− = id ,
a więc tworzą rozkład identyczności. Ponadto
Q = P+ − P− ,
więc operator Q jest diagonalizowalny, jego widmem jest zbiór {+1, −1} (z wyjątkiem szczególnych przypadków, gdy Q = ± id, więc jeden z operatorów rzutowych zeruje się), a powyższa relacja jest jego rozkładem spektralnym.
(ii) Operator diagonalizowalny
W rzeczywistej przestrzeni trójwymiarowej operator A jest zadany swoją macierzą w bazie (e1 , e2 , e3 ):


−3 3 15
A =  4 1 −10 .
−2 1
8
Wyliczamy wielomian charakterystyczny
−3 − λ
3
15 1 − λ −10 = −λ3 + 6λ2 − 9λ = −λ(λ − 3)2 .
PA (λ) = 4
−2
1
8 − λ
Wartości własne są równe 0, 3. Dla λ = 0 wyliczamy rk A = 2, a dla λ = 3:
rk(A − 3 1) = 1. Stąd dim Ker A = 1, dim Ker(A − 3 id) = 2, więc operator A
jest diagonalizowalny:
V1 = Ker A , V2 = Ker(A − 3 id) , V = V1 ⊕ V2 , A = 0 idV1 ⊕ 3 idV2 .
Rozwiązując układy równań otrzymujemy wektory w R3 : e01 napinający przestrzeń rozwiązań układu Ax = 0 oraz e02 , e03 – bazę przestrzeni rozwiązań układu
(A − 3 1)x = 0:
 
 
 
3
1
0
e01 = −2 , e02 = 2 , e03 = −5 .
1
0
1
187
Stąd
0
e01 e02 e3 = e1 e2 e3 β ,


3 1 0
gdzie β = −2 2 −5 ,
1 0 1
jest bazą własną operatora A, w której jego macierz jest równa


0 0 0
A0 = 0 3 0 = β −1 Aβ .
0 0 3
Ponieważ det β > 0, to bazy (ei ) i (e0i ) mają wspólną orientację.
(iii) Operator niediagonalizowalny
W bazie (e1 , e2 ) w przestrzeni zespolonej operator A ma macierz
i
1
.
A=
−2i −2 − i
Wielomian charakterystyczny jest równy PA (λ) = (λ + 1)2 , więc jedyną wartością własną jest −1. Przestrzeń rozwiązań
równania (A + 1)x = 0 jest jednowy1
+
i
miarowa, napięta wektorem e01 =
. Operator nie jest diagonalizowalny.
−2i
2
Wybieramy w dowolny
sposób drugi wektor w C liniowo niezależny od pierwα
szego, np.: e02 =
, α 6= 0, i określamy nową bazę w V :
0
1+i α
0
0
e1 e2 = e1 e2 β , β =
.
−2i 0
W primowanej bazie macierz operatora A jest
−1 α
0
−1
.
A = β Aβ =
0 −1
(iv) Operator z jednokrotnymi wartościami własnymi
Macierz operatora A w bazie (e1 , e2 , e3 ) trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej
jest


3 −2 −2
A = 4 −2 −3 .
2 −2 −1
Wielomian charakterystyczny ma trzy pierwiastki: 1, −1, 0, więc operator jest
diagonalizowalny. Znajdujemy:
188
e01 e02 e03 = e1 e2 e3 β ,

1
A0 = β −1 Aβ = 0
0


0 1 2
β =  1 1 1 ,
−1 1 2

0 0
−1 0 .
0 0
(v) Operator w przestrzeni rzeczywistej
Niech A będzie operatorem w n-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej. Jego wielomian charakterystyczny ma postać (zob. przykład (ix), p. 9, §4)
m
m
P (λ) = (λ1 − λ)n1 . . . (λs − λ)ns (µ1 − λ)2 + ν12 1 . . . (µr − λ)2 + νr2 r
gdzie νi 6= 0. Do każdej z wartości λi istnieje podprzestrzeń własna Vi . Czynniki
kwadratowe nie mają miejsc zerowych. Niech jednak A będzie macierzą operatora w dowolnej bazie, i rozpatrzmy zagadnienie własne dla operatora w C n
działającego jako mnożenie przez tę macierz. Wtedy każdy z czynników kwadratowych daje dwie dodatkowe wartości własne: λj = µj + iνj oraz λj = µj − iνj .
Jeśli Az = λj z, to na mocy rzeczywistości A mamy Az = λj z. Wektory z i z
są liniowo niezależne. Oznaczmy z = x − iy. Wówczas x i y są liniowo niezależne, a rozkładając równanie własne na część rzeczywistą i urojoną dostajemy
Ax = µi x + νi y, Ay = −νi x + µi y. Teraz możemy wrócić do wyjściowej przestrzeni V , wprowadzając wektory x i y o kolumnach współrzędnych x i y odpowiednio. Wektory te rozpinają podprzestrzeń inwariantną operatora A, który
działa na nie według przepisu
Ax = µj x + νj y ,
Ay = −νj x + µj x .
Pozostawiamy czytelnikowi uzupełnienie dyskusji prowadzącej do następującego
wniosku.
Operator rzeczywisty, którego wielomian charakterystyczny
wymma
j
2
2
żej podaną postać, ma do każdego czynnika (µj − λ) + νj
maksymalną inwariantną podprzestrzeń Wj parzystego wymiaru taką,
że w pewnej bazie tej podprzestrzeni macierz zacieśnienia operatora
do Wj ma postać blokową


Λj 0 . . . 0
 0 Λj . . . 0 
µj −νj
0


,
, gdzie Λj =
Aj = 
νj µ j
. . . . . . . . . . . . . . . .
0
0 . . . Λj
przy czym dim Wj ≤ 2mj . Podprzestrzenie V1 , . . . , Vs , W1 , . . . , Wr
są liniowo niezależne.
189
(vi) Twierdzenie Cayley-Hamiltona
Niech A będzie operatorem w skończenie wymiarowej przestrzeni V nad dowolnym ciałem. Jeśli A jest diagonalizowalny, to licząc w bazie własnej łatwo
przekonać się, że jest spełnione równanie operatorowe PA (A) = 0, gdzie PA jest
wielomianem charakterystycznym operatora A. Okazuje się, że wynik ten jest
prawdziwy dla dowolnego operatora (założenie diagonalizowalności jest zbędne).
Niech x ∈ V będzie dowolnym wektorem. Wektor x generuje podprzestrzeń
niezmienniczą W operatora A tak, jak to opisaliśmy w przykładzie (ii), p. 7, §12,
którego oznaczenia tu przejmujemy. Z twierdzenia 6 mamy
PA (λ) = PAW (λ) Q(λ) ,
gdzie Q(λ) jest pewnym wielomianem .
Wyliczamy wielomian
−λ . . . 0
0
a
0
1 ... 0
0
a1 X
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k
i
k+1
PAW (λ) = = (−1)
ai λ − λ
ak−2 0 . . . −λ 0
i=0
0 . . . 1 −λ ak−1 0 ... 0
1 a k − λ
(przy wykorzystaniu wyniku przykładu (ix), p. 5, §7). Porównując z wynikami
przykładu (ii), p. 7, §12, mamy
PAW (A)x = 0 ,
więc PA (A)x = Q(A)PAW (A)x = 0 .
Ponieważ wektor x był wybrany dowolnie, dostajemy twierdzenie (Cayley-Hamiltona):
Jeśli PA jest wielomianem charakterystycznym operatora A w przestrzeni wektorowej nad dowolnym ciałem, to
PA (A) = 0 .
(vii) Rezolwenta operatora
Rezolwentą operatora A w przestrzeni V nad dowolnym ciałem nazywa się
funkcję
K \ σ(A) 3 λ 7→ (λ id −A)−1 ∈ L(V, V ) ,
gdzie σ(A) jest widmem operatora A.
190
Niech wymiar V będzie skończony. Wielomiany dwóch zmiennych λl − µl
dzielą się przez λ − µ w każdym ciele:
λl − µl = (λ − µ)
l−1
X
λi µl−1−i ,
i=0
więc dla wielomianu charakterystycznego P operatora A dostajemy
P (λ) − P (µ) = (λ − µ)R(λ, µ) ,
gdzie R(λ, µ) jest wielomianem w obu zmiennych. Wstawiając za zmienną µ
operator A, a za λ wartość w ciele, na mocy twierdzenia Cayley-Hamiltona
dostajemy
P (λ) id = (λ id −A)R(λ id, A) ,
więc (λ id −A)−1 = [P (λ)]−1 R(λ id, A) .
Stąd w szczególności mamy wielomianowe względem operatora (jeśli nie liczyć
wyznacznika w mianowniku) wyrażenie na operator odwrotny (jeśli istnieje):
A−1 = −[det A]−1 R(0, A).
6
Komutator
Niech V będzie przestrzenią nad ciałem K, a A i B dowolnymi operatorami
działającymi w V . Komutatorem operatorów A i B nazywamy operator
[A, B] := AB − BA .
Niech C będzie jeszcze jednym operatorem w tej samej przestrzeni. Komutator
posiada następujące własności.
(i) [A, µB + νC] = µ[A, B] + ν[A, C] ,
[µA + νB, C] = µ[A, C] + ν[B, C] ,
— liniowość,
(ii) [A, B] = −[B, A] ,
— antysymetria,
(iii) [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B , [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C ,
(iv) [A, B], C + [B, C], A + [C, A], B = 0 , — tożsamość Poissona .
Sprawdzenie tych własności pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie. Mówimy,
że operatory A i B komutują, gdy ich komutator znika, [A, B] = 0.
Twierdzenie 7. Jeśli operatory A i B komutują, to dla dowolnych wielomianów
P i Q operatory P (A) i Q(B) też komutują.
Dowód. Pierwsza równość punktu (iii) daje [An , B] = A[An−1 , B] + [A, B]An−1 ,
więc jeśli A komutuje z B, to przez indukcję względem n pokazuje się, że również An komutuje z B. Wykorzystując teraz w podobny sposób drugą tożsamość
punktu (iii) pokazuje się, że w tym przypadku również [An , B m ] = 0 dla dowolnych n, m = 0, 1, . . .. Z punktu (i) wynika teraz teza.

§13 Zagadnienie własne operatora liniowego

Transkrypt

Podobne dokumenty

Możliwość pracy jako operator pompy do betonu dla 1 - Inter

Europejski Numer Alarmowy 112 Źródło: http://www.112.gov.pl/112

Dane techniczne Spin-Go - Log

Fundusze europejskie na rozwój pracowników mikro, małych i

Umowa – Klient Indywidualny

Czy współczesny operator to jeszcze robotnik

Regulamin usługi „Seomonitor”