prezentacja - Uniwersytet Rzeszowski
Transkrypt
prezentacja - Uniwersytet Rzeszowski
„Implikacje rozmyte” Zbigniew Suraj Instytut Informatyki Uniwersytet Rzeszowski Seminarium naukowe „Grupy badawczej RSPN”, 8 kwietnia 2013, Rzeszów Logika klasyczna (arystotelesowska) 1. Stwierdzenia są albo prawdziwe albo fałszywe. 2. Oparta jest na trzech prawach, zwanych zasadami logiki klasycznej: • Prawo tożsamości: • Prawo sprzeczności: • Prawo wyłączonego środka: Logiki nieklasyczne 1. Nie obowiązuje zasada dwuwartościowości (prawda, fałsz). 2. Nie obowiązuje co najmniej jedno z trzech praw logiki klasycznej. Podział logik logika klasyczna rachunek zdań rachunek predykatów nieklasyczne rachunek rezolucyjny intuicjonistyczna modalne TRZ Floyda-Hoare’a rozmyta Klasyfikacja rozumowania rozumowanie pewne dedukcyjne redukcyjne niepewne przez analogię statystyczne rozmyte logiczne wnioskowanie dowodzenie sprawdzanie wyjaśnienie estymacja weryfikacja funkcyjne Podstawy teoretyczne Normy trójkątne Funkcję t: [0,1]2 → [0,1] nazywamy t-normą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c ϵ [0,1]: (1) 1 jest elementem neutralnym, tzn. t(a,1) = a (2) t jest monotoniczna, tzn. jeśli a ≤ b to t(a, c) ≤ t(b, c) (3) t jest przemienna, tzn. t(a, b) = t(b, a) (4) t jest łączna, tzn. t(t(a, b), c) = t(a, t(b, c)) Przykłady t-norm: TM(a, b) = min(a, b) (t-norma Gödla), TL(a, b) = max(0, a + b - 1) TP(a, b) = a * b, Normy trójkątne (cd.) Funkcję s: [0,1]2 → [0,1] nazywamy s-normą (lub t-conormą) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c ϵ [0,1]: (1) 0 jest elementem neutralnym, tzn. s(a,0) = a (2) s jest monotoniczna, tzn. jeśli a ≤ b to s(a, c) ≤ s(b, c) (3) s jest przemienna, tzn. s(a, b) = s(b, a) (4) s jest łączna, tzn. s(s(a, b), c) = s(a, s(b, c)) Przykłady s-norm: SM(a, b) = max(a, b), SL(a, b) = min(a + b, 1) SP(a, b) = a + b - a * b, Relacje między wybranymi t- i snormami Własność. Niech TD, TM, TL, TP będą t-normami, a SD, SM, SL, SP - s-normami zdefiniowanymi jak wyżej. Wtedy: TD ≤ TL ≤ TP ≤ TM ≤ SM ≤ SP ≤ SL ≤ SD gdzie: TD (a,b) = 0, jeśli (a,b) ϵ [0,1)2 SD(a,b) = 1, jeśli (a,b) ϵ (0,1]2 TD (a,b) = min(a,b) w p.p. SD(a,b) = max(a,b) w p.p. TD TL TP TM SM SP SL SD E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap: Triangular norms, Kluwer, 2000, pp. 4-19. Parametryczne rodziny t- i s-norm TABLICA. Wykaz wybranych parametrycznych rodzin t- i s-norm Si (a,b,v) i Ti (a,b,v) a b (2 v)ab 1 (1 v)ab ab v (1 v)(a b ab) 1 [max (0, (1 a)v (1 b)v 1)]1/ v max (0, a v bv 1)]1/ v a b ab min (a, b,1 v) max( 1 a,1 b, v) ab max (a, b, v) (v1a 1)(v1b 1) 1 log v 1 v 1 (v a 1)(v b 1) log v 1 v 1 1 1 1 1 1 ( 1) v ( 1) v b a H (0, ) SS (, ) DP (0, 1) F 1 min [1, ((1 a) v (1 b) v )1 / v ] Y min [1, (a v b v )1 / v ] 1 1/ v 1 1 1 ( 1) v ( 1) v b a 1/ v Zakres D (0, ) (0, ) (0, ) Własności: SH(a,b,1) = SP(a,b) TH(a,b,1) = TP(a,b) SSS(a,b,1) = SL(a,b) TSS(a,b,1) = TL(a,b) SDP(a,b,?) = S?(a,b) TDP(a,b,?) = T?(a,b) SF(a,b,0) = SM(a,b) TF(a,b,0) = TM(a,b) SY(a,b,1) = SL(a,b) TY(a,b,1) = TL(a,b) SD(a,b,1) = SH(a,b,0) TD(a,b,1) = TH(a,b,0) H - Hamacher, SS – Schweizer-Sklar, DP – Dubois i Prade, F – Frank, Y – Yager, D – Dombi Własności: 1. S H1 S P S Hv S D S H 2. 0 1 v S SS S M S SS S P S SS S L S SS S D S SS TH1 TP THv TD TH 1 TSS TM TSS0 TP TSS TL TSSv TD TSS 3. 4. S F0 S M S Fv S L S F TF0 TM TFv TL TF SY0 S D SY1 S L SYv SM SY TY0 TD TY1 TL TYv TM TY 5. S D0 S D S Dv S M S D TD0 TD TDv TM TD E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap: Triangular norms, Kluwer, 2000, pp. 315-331. SwH = S0D = SwSS= S0Y SD SvSS SL = S1SS = S1Y = SwF SvH SvD S1H = S0SS = SP SM TwD = T-wSS= TwY= T0F = TM T1H = T0SS = TP TvH TL TvD SvY = SwD = S-wSS = SwY = S0F TvY TvF T1SS = T1Y = TwF TvSS TwH = T0D = TwSS= T0Y = TD SvF Klasyczny rachunek zdań Tablica prawdy. Negacja, alternatywa, koniunkcja p q p pq pq 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 Definicja implikacji binarnej Funkcję IB: {0,1}2 {0,1} nazywamy implikacją binarną wtedy i tylko wtedy, gdy: (I1) IB(0,0) = 1, (I2) IB(0,1) = 1. (I3) IB(1,0) = 0, (I4) IB(1,1) = 1. W logice klasycznej IB może być definiowana na wiele różnych sposobów. Różne sposoby definiowania IB • Tablica prawdy: p q IB(p,q) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 • Formuły: I B1 ( p, q) p q I B 2 ( p, q) max{ x {0,1} : p x q} I B 3 ( p, q ) p ( p q ) I B 4 ( p, q ) ( p q ) q Uwaga: Można łatwo pokazać, że implikacje te są równoważne. Implikacje rozmyte M. Baczyński, B. Jayaram: Fuzzy implications, Studies in Fuzziness and Soft Computing, Vol. 231, Springer, Berlin 2008. Definicja implikacji rozmytej Funkcję I: [0,1]2 [0,1] nazywamy implikacją rozmytą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x1, x2, y, y1, y2 spełnione są następujące warunki: (I1) (I2) (I3) (I4) (I5) Jeśli x1 ≤ x2, to I(x1, y) ≥ I(x2, y), tzn. I(∙, y) jest słabo malejąca, Jeśli y1 ≤ y2, to I(x, y1) ≤ I(x, y2), tzn. I(x,∙) jest słabo rosnąca, I(0,0) = 1, I(1,1) = 1, I(1,0) = 0. Zbiór wszystkich implikacji rozmytych będziemy oznaczać przez FI. Uwaga: Z definicji implikacji rozmytej wynika, że: I(0,y) = 1 dla y ϵ[0,1], I(x,1) = 1 dla x ϵ[0,1]. Ponadto I(x,1) ≥ I(1,1) = 1, czyli I(0,1) = 1. Wzajemna niezależność aksjomatów Funkcja z [0,1]2 w [0,1] I 1 ( x, y) max(1 x, min( x, y)) I 2 ( x, y) max( y, min(1 x,1 y)) 0, gdy y 1 I 3 ( x, y) 1, gdy y 1 1, gdy x 0 I 4 ( x, y ) 0, gdy x 0 I 5 ( x, y) 1 I1 I2 I3 I4 I5 - + + + + + - + + + + + - + + + + + - + + + + + - Przykłady implikacji rozmytych Nazwisko Rok Łukasiewicz 1923 Gödel 1932 Reichenbach 1935 Kleene-Dienes Goguen 1938, 1949 1969 Wzór I LK ( x, y) min(1, 1 x y) 1, gdy x y I GD ( x, y ) y, gdy x y I RC ( x, y) 1 x xy I KD ( x, y) max(1 x, y) 1, gdy x y I GG ( x, y ) y x , gdy x y Przykłady implikacji rozmytych Wzór Nazwisko Rok Rescher 1969 Yager 1980 Weber 1983 1, gdy x 1 IWB ( x, y ) y, gdy x 1 Fodor 1993 1, gdy x y I FD ( x, y ) max( 1 x, y ), gdy x y 1, gdy x y I RS ( x, y ) 0, gdy x y 1, gdy x 0 i y 0 IYG ( x, y ) x y , gdy x 0 lub y 0 Szczególne implikacje rozmyte Rodzina implikacji rozmytych FI ma najmniejszą implikację rozmytą: 1, gdy x 0 lub y 1 I 0 ( x, y ) 0, gdy x 0 i y 1 i największą implikację rozmytą: 1, gdy x 1 lub y 0 I1 ( x, y ) 0, gdy x 1 i y 0 Częściowy porządek implikacji rozmytych I KD I RC I LK IWB I RS I GD I GG I LK IWB IYG I RC I LK IWB I KD I FD I LK IWB I RS I GD I FD I LK IWB Twierdzenie Rodzina (FI, ≤ ) jest kratą zupełną i rozdzielną z operacjami: ( I J )( x, y) max( I ( x, y), J ( x, y)), ( I J )( x, y) min( I ( x, y), J ( x, y), dla dowolnych x, y ϵ [0,1], gdzie I, J ϵ FI. Przykład: H 2 I GG I RC 1, gdy x y H 1 ( x, y ) y max( ,1 x xy ), gdy x y x 1 x xy , gdy x y H 2 ( x, y ) y min( ,1 x xy ), gdy x y x IWB ILK H1 H5 H3 H12 IRC H8 IYG H9 IFD H2 IGG H10 H11 IGD H13 IKD H4 H6 H7 IRS H14 H15 Definicja negacji rozmytej Funkcję N: [0,1] [0,1] nazywamy negacją rozmytą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: (I1) (I2) (I3) N(0) = 1, N(1) = 0, N jest funkcją malejącą. Przykłady negacji rozmytych: N ( x) 1 x N ( x) 1 x 2 N ( x) 1 x Inne negacje rozmyte • Najmniejsza negacja rozmyta (negacja Gödla) 1, gdy x 0 N GD1 ( x) 0, gdy x (0,1] • Największa negacja rozmyta (dualna negacja Gödla) 0, gdy x 1 N GD 2 ( x) 1, gdy x [0,1) Rodziny implikacji rozmytych • Rozmyte odpowiedniki implikacji binarnych: I ( p, q) S ( N ( p), q) I ( p, q) sup{x [0,1] : T ( p, x) q} I ( p, q) S ( N ( p), T ( p, q)) I ( p, q) S (T ( N ( p), N (q)), q) • Implikacje te nie są równoważne. • W przypadku ogólnym, prawo wyłączonego środka i prawo sprzeczności nie są prawdziwe w logice rozmytej. Rodziny implikacji rozmytych • Te cztery ogólne implikacje określają różne rodziny implikacji rozmytych. • Warianty dla każdej rodziny uzyskuje się przez dobór różnych T, S i N operatorów. • Każda klasa implikacji rozmytych ma różne własności. • Pewne implikacje rozmyte mogą należeć do więcej niż jednej rodziny. S-implikacje • Oparte na I(p,q) = S(N(p),q) oraz standardowej negacji rozmytej, tzn. N(x) = 1-x. • Różne postacie implikacji otrzymuje się poprzez wybór różnych S operatorów. Implikacja Łukasiewicz Reichenbach Kleene-Dienes S S LK ( x, y) min(1, x y) S P ( x, y) x y xy S M ( x, y) max( x, y) Największa S x, gdy y 0 - implikacja S L ( x, y ) y, gdy x 0 1 w pp. I I LK ( x, y) min(1, 1 x y) I RC ( x, y) 1 x xy I KD ( x, y) max(1 x, y) 1 x, gdy y 0 I LS ( x, y ) y, gdy x 1 1 w pp. • Uporządkowanie S-implikacji: I LS I LK I RC I KD R-implikacje • Oparte na standardowej negacji rozmytej, różnych T-normach oraz I ( p, q) sup{x [0,1] : T ( p, x) q} • Różne postacie implikacji otrzymuje się poprzez wybór różnych T operatorów. Implikacja Łukasiewicz Goguen Godel Największa R - implikacja T I TLK ( x, y) max( 0, x y 1) I LK ( x, y) sup{z : max( 0, x z 1 y} min(1,1 x y) TP ( x, y) xy TM ( x, y) min( x, y) Nie można określić analitycznie. • Uporządkowanie S-implikacji: y, gdy x 1 I LR ( x, y ) 1 w pp. I LR I LK I GG I GD QL-implikacje • Oparte na dualnych T-S operatorach, standardowej negacji rozmytej oraz I ( p, q) S ( N (a), T (a, b)) • Różne postacie implikacji otrzymuje się poprzez wybór różnych T-S operatorów. Implikacja Zadeh Klir i Yuan 1 Kleene-Dienes Dualne T – S TM min, S M max TP xy, S P x y xy TLK ( x, y ) max( 0, x y 1), S LK ( x, y ) min(1, x y ) I I ZD ( x, y) max(1 x, min( x, y)) I KY1 ( x, y) 1 x xxy I KD ( x, y) max(1 x, y) Inne implikacje • Poprzednie implikacje są najczęściej używane • Inne implikacje są także możliwe stosując schemat S(T(N(x), N(y)), y)