2014.05.08 - Wiedza, logika i informacja

Paradoksy prawdopodobieństwa
08.05.14
Lee, 2013
Przesłanka argumentu za zmianą decyzji:
Oczekiwana użyteczność zmiany decyzji co do wyboru koperty jest równa 54 x (gdzie x jest wielkością
pieniędzy w kopercie A), która jest większa niż użyteczność oczekiwana pozostania przy wyborze koperty A, mianowicie wartość x.
Według Lee argument tego rodzaju oparty jest na Zasadzie Dominacji, która mówi, że mając dwie opcje
X i Y, jeśli Y dominuje X, to Y jest bardziej preferowane w stosunku do X.
W przykładzie jest tak, że B dominuje opcję A, gdyż zmiana decyzji na B jest poparta użytecznością
5
oczekiwaną związaną z decyzją B, która wynosi 4 x i jest większa od użyteczności oczekiwanej związanej
z brakiem zmiany decyzji, to jest pozostaniem przy opcji A.
Jeśli Zasada Dominacji byłaby prawdziwa, to argument Priesta i Rastalla byłby formalnie poprawny , tzn,
konkluzja wynikałaby z przesłanek.
Zasada Dominacji jest jednak fałszywa = teza Lee
Lee wprowadza też inne rozumienie Zasady Dominacji.
Y dominuje X wtw, gdy Y dominuje X w pierwszej wersji Zasady Dominacji oraz zachodzi następujący
warunek: wynik decyzji X jest zdeterminowany w pierwszej kolejności, a wynik decyzji Y jest zdeterminowany w wyniku następującej procedury: prawdopodobieństwo, że użyteczność decyzji Y jest 2x
wynosi p, natomiast prawdopodobieństwo, że jej użyteczność wynosi 12 x jest 1 - p.
Jeśli Y dominuje (w tej drugiej wersji Zasady Dominacji) wtedy Y jest bardziej preferowane niż X.
Zasada Dominacji ( w swej drugiej wersji) jest też fałszywa.
Kontrprzykład: Załóżmy, że wielkość pieniędzy w kopercie A zdeterminowana jest w pierwszej
kolejności: możliwe wielkości pieniężne w A opisane są jako 2 n, dla wszystkich dodatnich liczb natun
ralnych n, a prawdopodobieństwo, ża A posiada 2 niech będzie
n-1
3
pn = 14 x ( 4 ) . Po zdeterminowaniu wielkości pieniędzy w A, niech to będzie wielkość oznaczona
symbolem a, do koperty B wkładamy wielkość pieniędzy 2a lub 12 a, co jest wynikiem procedury
7
polegającej na tym, że prawdopodobieństwo włożona 2a do koperty B wynosi 20
,a
1
13
prawdopodobieństwo, że jest to wielkość 2 a wynosi 20 .
Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n, użyteczność oczekiwana zmiany decyzji na B, przy założeniu, że
n
wielkość pieniędzy w A wynosi 2 , jest obliczona zgodnie ze standardowym wzorem na wartość
oczekiwaną, w następujący sposób:
7
2 n - 1 x 20 + 2 n - 1 x
13
20
n
=2 +2
n
x 1 >
40
2
n
Zatem opcja zmiany decyzji na B dominuje (w sensie drugiej wersji Zasady Dominacji) opcję pozostania
przy A, a więc, jeśli Zasada Dominacji jest prawdziwa, zmiana decyzji na B jest bardziej preferowana w
stosunku do decyzji pozostania przy A.
Ostatecznie okazuje się (jak dowodzi Lee), że zmiana decyzji na B nie jest bardziej preferowana w
stosunku do decyzji pozostania przy A.
n
Kontynuacja dowodu: niech qn będzie prawdopodobieństwem, że B zawiera 2 dokładnie wtedy, gdy
albo A zawiera 2 n - 1, a B zawiera podwójną ilość pieniędzy lub A zawiera 2 n - 1 a B połowę tego, co A,
7
qn = pn - 1 x 20
+ pn + 1 x
13
20
= pn
229
240
<p
dla każdego n ≥ 2, w przypadku n = 1 dostaniemy:
q1= p2 x 13
<p
20
1
n
Zatem pn > q n dla każdej dodatniej liczby naturalnej n, więc dla każdej możliwej wielkości pieniężnej 2
(n ≥ 1) prawdopodobieństwo pozostania przy A daje wynik, którego użyteczność oczekiwana jest
większa lub równa 2n , a mianowicie
∞
Σ
n=n
pn = pn + pn +1 + pn +2 ...
jest większa niż prawdopodobieństwo zmiany na B, które prowadzi do wyniku o użyteczności
n
większej niż lub równej 2 , a mianowicie
Σ
∞
k=n
qk
Zatem, zmiana na B nie jest bardziej preferowana w stosunku do decyzji pozostania przy A.
To kończy dowód tego, że Zasada Dominacji w drugiej wersji jest fałszywa.
Wracając do Powszechnego Przekonania, przeciwko któremu argumentuje Lee (że w każdym
przypadku arytmetycznego paradoksu 2 kopert bardziej preferowana jest zmiana decyzji) Powszechne Przekonania jest szczególnym przypadkiem Zasady Dominacji w jej drugiej wersji.
Odrzucenie Zasady Dominacji jest poważnym wyzwaniem dla Powszechnego Przekonania
(chociaż jeszcze nie mamy dowodu na to, że Powszechne Przekonanie jest fałszywe); zatem
należałoby skonstruować argument przeciwko Powszechnemu Przekonaniu przez dodanie
czegoś jeszcze do odrzucanej Zasady Dominacji.
Kontrprzykład w stosunku do Powszechnego Przekonania
Będziemy się odwoływali przy tym do niestandardowej teorii prawdopodobieństwa. Załóżmy, że
n
możliwa wielkość pieniędzy w A wynosi 2 dla wszystkich liczb całkowitych n; oraz, że każda
wielkość pieniężna jest równie prawdopodobna jak każda inna , tj. dla wszystkich liczb
całkowitych m i n zdarzenie polegające na tym, że A zawiera 2 m jest tak samo prawdopodobne jak
zdarzenie, że A zawiera 2n. Zatem dla wszystkich n, zdarzenie polegające na tym, że B posiada 2 n
jest tak samo prawdopodobne jak zdarzenie, że A posiada 2n. Dowód tego przeprowadza się w
niestandardowej teorii miary korzystającej z wielkości nieskończenie małych lub też można go
przeprowadzić w tzw. teorii prawdopodobieństwa porównawczego opartej na terminie pierwotnym
jest co najmniej tak prawdopodobne, jak.
W niestandardowej teorii miary prawdopodobieństwo pn tego, że w A jest wielkość pieniężna 2 n
jest wielkością nieskończenie małą. Okazuje się też, że prawdopodobieństwo tego, że w B jest
1
1
wielkość pieniężna 2n jest równe pn = 2 pn-1 + 2 pn+1.
Zatem zmiana decyzji polegająca na wyborze koperty B nie jest bardziej preferowana niż pozostanie przy decyzji polegającej na wyborze koperty A. Tym samym te dwie opcje, posiadając te
same prawdopodobieństwa niestandardowe, są w równej mierze preferowane.
Tylko w takich przypadkach, gdy użyteczności oczekiwane są skończone, zmiana decyzji
polegająca na wyborze koperty b jest bardziej preferowana niż pozostanie przy niezmienionej
decyzji.
Natomiast w przypadku, gdy mamy do czynienia z nieskończonymi użytecznościami oczekiwanymi żadna z tych dwu opcji nie jest bardziej preferowana od drugiej w przypadku asymetrycznej wersji paradoksu dwu kopert.