Niezawodnoœc-teoria i rozkłady

L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
NIEZAWODNOŚĆ
Zakładamy, że obiekt jest prosty (nie wnikamy w strukturę) i nieodnawialny.
T-zmienna losowa oznaczająca zdatność (trwałość) obiektu czyli czas do jego uszkodzenia.
Można przyjmować, że jest to proces ciągły w czasie wartościach 0 i 1.
Funkcje niezawodności.
Dystrybuanta F(t) zmiennej losowej T
F (t ) = P{T < t }
Funkcja niezawodności R(t) - prawdopodobieństwo, że czas do uszkodzenia obiektu jest
większy od t
R(t ) = P{T ≥ t}
Gęstość zmiennej losowej T
f (t ) =
d
F (t )
dt
Funkcja λ(t) intensywności uszkodzeń
λ (t ) =
f (t )
f (t )
=
1 − F (t ) R (t )
Funkcja wiodąca Λ(t) (wyczerpywanie się „zapasu niezawodności”)
t
Λ (t ) = ∫ λ (u )du
0
Warunkowa funkcja niezawodności Rt(τ) –prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia, że
obiekt zachowa stan zdatności jeszcze przez czas co najmniej τ pod warunkiem, że do chwili t
nie doszło do uszkodzenia.
Rt (τ ) =
P{T ≥ t + τ } R (t + τ )
=
P{T ≥ t }
R (t )
1
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Wartość oczekiwana E(T) zmiennej losowej T.
Wariancja D2(T) zmiennej losowej T
Kwantyl rzędu p zmiennej losowej T oznaczamy tp (chwila, dla której F(t) osiąga
wartość p):
F (t p ) = p
Typowe rozkłady czasów zdatności:
Rozkład wykładniczy
f (t ) = λe − λt , t ≥ 0
F (t ) = 1 − e − λt , t ≥ 0
R(t ) = e − λt , t ≥ 0
λ (t ) = λ , t ≥ 0
Λ (t ) = λt , t ≥ t
`
Rt (τ ) = e − λτ , t ≥ 0
E (T ) =
1
λ
transformata Laplace’a gęstości
D 2 (T ) =
f ∗ (s ) =
λ
λ+s
Inne rozkłady:
Rozkład Erlanga,
Rozkład gamma,
Rozkład Weibullaa,
Rozkład Rayleigh’a,
Rozkład normalny,
Rozkład normalny ucięty,
Rozkład logarytmiczno-normalny,
Rozkład potęgowy,
Rozkład mieszaniny,
2
1
λ2
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Obiekty proste odnawialne z niezerowym czasem odnowy.
X(t)
1
T4
T3
η1
0
N1(t)
N2(t)
T2
T1
η2
η3
t
strumień uszkodzeń
strumień odnowień
Zmienne Ti są zmiennymi losowymi oznaczającymi kolejne czasy poprawnej pracy obiektu
określone dystrybuantą F(t), gęstością f(t), transformatą Laplace’a f*(s), wartością
oczekiwaną θ1 oraz odchyleniem standardowym σ1.
Zmienne ηi są zmiennymi losowymi oznaczającymi kolejne czasy odnów obiektu określone
dystrybuantą G(t), gęstością g(t), transformatą Laplace’a g*(s), wartością oczekiwaną θ2 oraz
odchyleniem standardowym σ2.
Zmienna losowa τr jest sumą zmiennych losowych oznaczających czas poprawnej r-tej pracy
obiektu i czas r-tej odnowy obiektu.
τ r = Tr + η r
Zmienne losowe τ1, τ2, τ3, ... mają identyczny rozkład o dystrybuancie Φ(t) i gęstości
t
d
ϕ (t ) = Φ (t ) = ∫ f (t − x) g ( x)dx
dt
0
ϕ ∗ ( s) = f ∗ ( s) ⋅ g ∗ ( s)
Zatem
(tw. Borela)
Charakterystyki procesu odnowień N2(t)
t r" = τ 1 + τ 2 + τ 3 + ... + τ r
Czas t r" do r-tej odnowy
Ma dystrybuantę
i gęstość
{
}
Φ r (t ) = L−1 Φ ∗r ( s )
ϕ r (t ) = L−1 {ϕ ∗ ( s )}
r
* oznacza transformatę Laplace’a, L-1 oznacza retransformatę.
3
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
gdzie
ϕ ∗ ( s ) = (ϕ ∗ ( s ) ) = ( f ∗ ( s) ⋅ g ∗ ( s) )
r
r
r
(
)
r
1
1
Φ ∗r ( s ) = ϕ ∗r ( s ) = f ∗ ( s ) ⋅ g ∗ ( s )
s
s
dla czasów odpowiednio dużych (t→∞ ) zmienna losowa t r" dąży do rozkładu normalnego
(
(
)
N r ⋅ (θ1 + θ 2 ), σ 12 + σ 22 ⋅ r
)
Dla dużych t (duża liczba odnowień) proces N2(t) dąży do
(
)
 t
σ 12 + σ 22 ⋅ t 
N 
,
3

 θ1 + θ 2
2
(
)
θ
+
θ

1
2

Funkcja odnowy H2(t) – oczekiwana liczba odnowień do chwili t
H 2 (t ) = E ( N 2 (t ))
gdzie
{
1 f ∗ (s) ⋅ g ∗ (s)
H 2∗ ( s ) = ⋅
s 1 − f ∗ ( s ) ⋅ g ∗ (s)
}
H 2 (t ) = L−1 H 2∗ ( s )
{
gdzie
}
h2 (t ) = L−1 h2∗ ( s )
Gęstość odnowy h2(t)
h2∗ ( s ) =
f ∗ (s) ⋅ g ∗ (s)
1 − f ∗ ( s ) ⋅ g ∗ (s)
Charakterystyki procesu uszkodzeń N1(t) wyznaczamy analogicznie.
Dla dużych t (odpowiednio duża liczba uszkodzeń) proces N1(t) dąży do
 t
N 
,
 θ1 + θ 2

(σ
)
+ σ 22 ⋅ t 
3

(θ1 + θ 2 )2 
2
1
Funkcja uszkodzeń H1(t) – oczekiwana liczba uszkodzeń do chwili t
H1 (t ) = E{N1 (t )}
gdzie
{
}
H1 (t ) = L−1 H1∗ ( s )
{
gdzie
}
h1 (t ) = L−1 h1∗ ( s )
Gęstość uszkodzeń h1(t)
f ∗ (s)
h ( s) =
1 − f ∗ ( s ) ⋅ g ∗ (s)
∗
1
4
1
f ∗ (s)
H1∗ ( s ) = ⋅
s 1 − f ∗ ( s ) ⋅ g ∗ (s)
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Charakterystyki łączne
Współczynnik gotowości kg(t) - prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w chwili t
k g (t ) = P{X (t ) = 1}
t
k g (t ) = 1 − F (t ) + ∫ h2 (u )[1 − F (t − u )]du
0
oraz
{
}
k g (t ) = L−1 k g∗ ( s )
gdzie
[
][
]
1
1
1 − f ∗ (s)
∗
∗
k g ( s ) = 1 − f ( s ) 1 − h2 ( s ) = ⋅
s
s 1 − f ∗ ( s ) ⋅ g ∗ (s)
∗
Dla dużych t otrzymujemy:
∞
Lecz
1
K g = lim k g (t ) =
⋅ [1 − F (u )]du
t →∞
θ1 + θ 2 ∫0
∞
∫ [1 − F (u )]du = θ
1
0
czyli
Kg =
θ1
θ1 + θ 2
P(t,t+τ) – prawdopodobieństwo tego, że w przedziale (t,t+τ) nie będzie uszkodzenia
t
P (t , t + τ ) = 1 − F (t + τ ) + ∫ h2 ( x)[1 − F (t + τ − x)]dx
0
a dla dużych t (korzystając z tw. Smitha) otrzymujemy charakterystykę graniczną
1
P(τ ) = lim P (t , t + τ ) =
t →∞
θ1 + θ 2
5
∞
∫τ [R( y)]dy
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
WYBRANE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA
ZWIĄZANE Z NIEZAWODNOŚCIĄ
Rozkład dwumianowy
Dla danych p ∈ ( 0, 1) , n ∈ N określamy funkcję prawdopodobieństwa
 n
P( X = k ) =   p k q n− k
 k
gdzie q = 1 – p
k = 0, 1, 2, ... , n.
Zauważmy, że gdy n = 1 to rozkład dwumianowy jest rozkładem zerojedynkowym.
Jeśli przyjmiemy, że n oznacza liczbę niezależnych doświadczeń z których każde kończy się
jednym
z
dwóch
wyników:
„sukcesem"
(z
prawdopodobieństwem
p w każdym
doświadczeniu) lub „porażką” i zmienna losowa X oznacza liczbę „sukcesów” to powyższy
wzór
wyznacza
prawdopodobieństwo
uzyskania
dokładnie
k
sukcesów
w
n
doświadczeniach (próbach).
Przykład
Prawdopodobieństwo uszkodzenia kserokopiarki przed upływem gwarancji wynosi 0,2. Firma
zakupiła 6 kserokopiarek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przed upływem gwarancji 2
kserokopiarki ulegną uszkodzeniu. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych
kserokopiarek przed upływem gwarancji.
X – liczba uszkodzonych kserokopiarek przed upływem gwarancji,
 6
P ( X = 2) =   0,2 2 0,8 4 = 15 ⋅ 0,04 ⋅ 0,4096 = 0,24576
 2
Uwaga
Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X można przedstawić
w tabelce:
xk
pk
0
1
2
3
4
5
6
0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,0001
Zauważmy, że najbardziej prawdopodobną liczba uszkodzonych kserokopiarek jest 1.
6
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Przykład
Obliczymy wartość oczekiwaną rozkładu dwumianowego.
n
n
n
n!
EX = ∑ k   p k q n −k = ∑ k
p k q n−k =
k!(n − k )!
k =0  k 
k =1
n
( n − 1)!
= np ∑
p k −1q n−k = np ( p + q ) n −1 = np
k =1 ( k − 1)!( n − k )!
Wariancja rozkładu dwumianowego wynosi
D 2 X = npq
Rozkład Poissona
Dla λ > 0 określamy funkcję prawdopodobieństwa
P (X = k ) =
λk
k!
e − λ k = 0, 1, 2, ...
(wartości tych prawdopodobieństw zawiera tablica rozkładu Poissona)
Rozkład Poissona (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych n (praktycznie n ≥ 30) i
małych p (praktycznie p ≤ 0,2) przybliżać rozkład dwumianowy (przybliżenie Poissona)
 n  k n − k λk − λ
  p q ≈
e
k
k
!
 
gdzie λ = n ⋅ p
Oszacowanie błędu przybliżenia:
 n  k n − k λk − λ
2λ2
sup   p q
−
e
≤
k k 
k!
n
Przykład
W pudełku jest 400 żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest 5 żarówek
wadliwych, jeśli wadliwość produkcji takich żarówek wynosi 0,5%?
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych żarówek w tym pudełku?
7
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Zastosujemy przybliżenie Poissona, λ = n ⋅ p = 400 ⋅ 0,005 = 2 .
W tablicy rozkładu Poissona odczytamy, że:
P(X = 5) = 0,0361
Również w tablicy rozkładu Poissona odczytamy, że najbardziej prawdopodobna liczba
uszkodzonych żarówek w tym pudełku to 1 lub 2 (dla obu tych liczb prawdopodobieństwo
jest równe 0,2707).
Parametry:
∞
EX = ∑ k
k =0
λk
k!
e
−λ
∞
= λ∑
k =1
λk −1
(k − 1)!
e
−λ
∞
λs
s =0
s!
= λ∑
e −λ = λ
D2 X = λ
Uwaga
Jeśli Xt jest zmienną losową oznaczającą liczbę wystąpień ustalonego zdarzenia w
przedziale czasu [0, t] to przy typowych założeniach
P( X t
(
λ t )k − λt
= k) =
e
EX t = λt
k!
k = 0, 1, …
D 2 X t = λt
Przykład
Badamy awaryjność pewnego urządzenia. Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono,
że średnia liczba awarii na godzinę wynosi 0,01. Wtedy prawdopodobieństwo, że w ciągu 100
godzin wystąpi jedna awaria będzie równe
P ( X 100
1
(
0,01 ⋅ 100 ) −0 , 01⋅100
= 1) =
e
1!
8
= 0,367879
(odczyt z tablicy)
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Rozkład wykładniczy
Rozkład ten występuje często w zagadnieniach rozkładu czasu między zgłoszeniami
(awariami) lub czasu oczekiwania na obsługę w systemach kolejkowych.
Gęstość rozkładu wykładniczego o parametrze a > 0 ma postać
ae − ax
f ( x) = 
0
x>0
x≤0
dystrybuantą tego rozkładu jest funkcja
1 − e − ax
F ( x) = 
0
x>0
x≤0
(uzasadnienie: F'(x) = f(x))
Przykład
Obliczymy EX
∞

EX = ∫ xae − ax dx =  − xe − ax

0
∞
1
1

− e − ax  =
a
0 a
podobnie
D2 X =
1
a2
Własność.
1) Jeśli liczba zgłoszeń w systemie kolejkowym w przedziale czasu (t, t + T) ma rozkład
Poissona o parametrze λT, oraz liczby zgłoszeń przychodzące w rozłącznych przedziałach
czasu są niezależne to czas X między kolejnymi zgłoszeniami ma rozkład wykładniczy o
parametrze a = 1/λ.
2) Dla dowolnych t, T > 0 mamy
P( X ≥ t + T | X ≥ t ) = P( X ≥ T ) (własność braku pamięci)
9
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Uzasadnienie.
P( X ≥ t + T | X ≥ t ) =
P( X ≥ t + T ∧ X ≥ t ) P( X ≥ t + T )
=
=
P( X ≥ t )
P( X ≥ t )
e − ( t +T ) a
= −ta = e −Ta = P( X ≥ T )
e
Jest to jedyny rozkład ciągły o tej własności.
Wykładniczy rozkład czasu do uszkodzenia występuję najczęściej gdy uszkodzenie następuje
wskutek działania czynników zewnętrznych.
Dyskretnym odpowiednikiem rozkładu wykładniczego jest rozkład geometryczny.
Przykład
Badamy awaryjność pewnego urządzenia. Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono,
że średni czas między awariami wynosi 10 godzin.
Prawdopodobieństwo, że czas między kolejnymi awariami będzie większy od 10 godzin
będzie równe
P ( X > 10 ) = 1 − F (10 ) = e −0 ,1⋅10 = e −1 = 0,367879
(odczyt z tablicy)
Prawdopodobieństwo, że czas między kolejnymi awariami będzie większy od 20 godzin
będzie równe
P ( X > 20 ) = 1 − F ( 20 ) = e −0 ,1⋅20 = e −2 = 0,135335
10
(odczyt z tablicy)
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Rozkład Weibulla.
Rozkład wykładniczy modeluje niezawodność o stałej intensywności uszkodzeń.
Ogólniejszy model w 1951 roku zaproponował W. Weibull analizując trwałość
wyrobów.
Wprowadzenie.
Dyskretnym odpowiednikiem rozkładu wykładniczego jest rozkład geometryczny.
X – czas (dyskretny) do pierwszego uszkodzenia,
p – prawdopodobieństwo uszkodzenia w jednym okresie (stała niezależna od czasu),
Funkcja prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać
P ( X = t ) = p (1 − p ) t −1
t = 1, 2, 3, …..
Uzasadnienie
Niech Ai – zdarzenie polegające na uszkodzeniu urządzenia w i-tym okresie
P ( X = t ) = P ( A1' ) P ( A2' ) L P ( At' −1 ) P ( At ) = p (1 − p ) t −1
Jest to dobrze określony rozkład bo
∞
∞
t =1
t =1
∑ P( X = t ) = ∑ p(1 − p)
t −1
∞
= p ∑ (1 − p ) t −1 = p
t =1
1
=1
1 − (1 − p )
Parametry
1
p
Wartość oczekiwana
EX = m =
Wariancja
D2 X = σ 2 =
q
p2
Własność (brak pamięci).
P( X > t + τ | X > t ) =
P( X > t + τ )
= (1 − p)τ (nie zależy od t)
P( X > t )
Uzasadnienie
11
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
P( X > k ) =
= p (1 − p ) k
∞
∞
i = k +1
i =0
∑ p(1 − p)i−1 = p(1 − p) k ∑ (1 − p)i =
1 ∞
p (1 − p) i = (1 − p ) k
∑
p i =0
Zatem
P ( X > t + τ ) (1 − p ) t +τ
P( X > t + τ | X > t ) =
=
= (1 − p )τ
t
P( X > t )
(1 − p )
Podstawową zasadą prowadzącą do rozkładu wykładniczego jest własność:
prawdopodobieństwo zdarzenia w krótkim czasie ∆t jest w przybliżeniu równe λ∆t =
λt
n
gdzie λ jest średnią liczbą zdarzeń na jednostkę czasu i nie zależy od numeru tego
przedziału. Zatem prawdopodobieństwo braku sukcesu w n takich przedziałach jest
równe
 λt 
1 − 
n

n
i dąży przy n rosnącym do nieskończoności do e − λt co daje znaną dystrybuantę
rozkładu wykładniczego
1 − e − λt
F (t ) = 
0
t<0
t≥0
Niekiedy zamiast parametru λ stosuje się wielkość η =
1
λ
.
Konstruując rozkład Weibulla przyjmujemy własność: prawdopodobieństwo zdarzenia
w krótkim czasie ∆t jest w przybliżeniu równe λi∆t czyli średnią liczba zdarzeń na
jednostkę czasu zmienia się wraz z upływem czasu i zależy od numeru tego
12
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
przedziału. Zatem prawdopodobieństwo braku sukcesu w n takich przedziałach jest
równe
n
Qn = ∏ (1 − λi ∆t )
i =1
Po zlogarytmowaniu
n
n
i =1
i =1
ln Qn = ∑ ln (1 − λi ∆t ) ≅ − ∑ λi ∆t
Gdy ∆t dąży do zera i n rosnącym do nieskończoności otrzymamy granicę
t
ln Q(t ) = − ∫ λ (τ )dτ ≡ −Λ (t )
0
Po usunięciu logarytmu otrzymamy Q(t ) = e − Λ ( t ) co daje dystrybuantę
1 − e − Λ (t )
F (t ) = 
0
t<0
t≥0
β
t
Gdy przyjmiemy Λ (t) =   to otrzymamy dystrybuantę rozkładu Weibulla
η 
t 

−  
η

F (t ) = 1 − e  
0
β
dla t > 0
dla t ≤ 0
gęstość rozkładu Weibulla
 β −1 −  t 
β t e  η 
f (t ) =  η β

0
β
dla t > 0
dla t ≤ 0
Rozkład jest zdefiniowany dla β, η > 0,
η - charakterystyczny czas życia,
β - parametr kształtu
13
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Własność.
Dla każdego β > 0
P( X < η ) = 1 −
1
≈ 0,6321
e
Trzyparametrowy rozkład Weibulla.
β

β −1 −  t − t 0 


β (t − t0 ) e  β 
dla t > t0
β
f (t ) = 
η

dla t ≤ t0
0
Rozkład jest zdefiniowany dla β, η > 0, t0 ≥ 0.
t0 – przesunięcie (minimalny czas życia).
Wybrane parametry rozpatrywanego rozkładu:
Wartość oczekiwana
1

EX = m = ηΓ + 1
β

gdzie Γ jest funkcją gamma Eulera,
Wariancja
 2

1

D 2 X = σ 2 = η 2 Γ + 1 − Γ 2  + 1

β

 β
14
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Współczynnik zmienności
2

Γ + 1
β
 −1
v=
1

Γ 2  + 1
β

Moment rzędu k
k

EX k = mk = η k Γ + 1
β

Moment centralny rzędu 3
 3 
2  1 
 1 
3
E ( X − m ) = µ 3 = η 3 Γ + 1 − 3Γ + 1Γ + 1 + 2Γ 3  + 1

β  β 
 β 
 β
Moment centralny rzędu 4
 4 
3  1 
4
E ( X − m ) = µ 4 = η 4 Γ + 1 − 4Γ + 1Γ + 1 +

β
 β 
 β
2  1 
 1 
+ 6Γ + 1Γ 2  + 1 − 3Γ 4  + 1
β  β 
β

Mediana
M e = η (ln 2 )
1/ β
p-kwantyl
t p = η (− ln(1 − p ) )
1/ β
Dominanta
 β −1

M o = η 
β


15
1/ β
,
β ≥1
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Współczynnik asymetrii
3

2
 1

1

Γ + 1 − 3Γ + 1Γ + 1 + 2Γ 3  + 1
β 
β
 β

β

a= 
3/2
 2


2 1
Γ + 1 − Γ  + 1

β

 β
Kurtoza
4

3
 1

2
 1

1

Γ + 1 − 4Γ + 1Γ + 1 + 6Γ + 1Γ 2  + 1 − 3Γ 4  + 1
β 
β
 β

β
 β

β
 −3
k= 
2
 2


2 1




Γ
+
1
−
Γ
+
1
 

β



 β
Funkcja ryzyka (intensywność uszkodzeń)
f (t )
t β −1
λ (t ) = h(t ) =
=β β
1 − F (t )
η
Dla β < 1 funkcja malejąca,
Dla β = 1 funkcja stała,
Dla β > 1 funkcja rosnąca,
16
t>0
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Zagadnienie estymacji parametrów rozkładu Weibulla.
Metoda momentów, która chociaż daje estymatory o słabszych własnościach to
charakteryzuje się dużą prostotą. Mianowicie najpierw wyznaczamy estymator parametru
β z równości
2

Γ + 1
β 
1 + v2 = 
1

Γ 2  + 1
β

gdzie ν jest współczynnikiem zmienności wyliczonym z próby,
Następnie estymator parametru η wyznaczamy z równości
η=
X
1

Γ + 1
β

Metoda największej wiarygodności.
Należy rozwiązać układ równań
n
β=
n∑ xiβ
i =1
n
n
n∑ xi ln xi − ∑ xi
β
i =1
i =1
β
n
∑ ln x
i =1
1
β
1
β 
η =  ∑ xi 
 n i =1 
n
17
i
v=
S
X
.
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Metoda kwantyli empirycznych.
 ln(1 − p1 ) 

ln
ln(1 − p2 ) 

β=
 t p1 
ln 
 tp 
 2
η=
t p1 + t p 2
(− ln(1 − p1 ))β + (− ln(1 − p2 ))β
1
1
Najwyższa efektywność estymatorów parametrów rozkładu Weilbulla (równą 0,64)
otrzymujemy dla kwantyli rzędu p1 = 0,24 i p2 = 0,93, wtedy
β=
η=
2,2711
 t0,93 

ln

 t0, 24 
t0,93 + t0, 24
(0,2744 )β + (2,6593)β
1
1
Uwaga.
a) dla β = 1 rozkład Weibulla staje się rozkładem wykładniczym,
b) dla β = 2 rozkład Weibulla staje się rozkładem Releya z parametrem
18
η
2
,
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
X
c) zmienna losowa Y = β ln
η

 , gdzie X - rozkład Weibulla ma rozkład

wykładniczy z parametrem 1,
d) jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w (0, 1), to zmienna losowa
Y = η (− ln X ) β ma rozkład Weibulla, (własność ta pozwala w prosty sposób
1
generować liczby losowe o rozkładzie Weibulla),
e) dystrybuantę rozkładu Weibulla można dobrze przybliżać dystrybuanta rozkładu
log-normalnego.
  t 
 ln  
m
F (t ,η , β ) ≈ Φ   
 α 




gdzie
m=
(maksymalny
0,038)
α = ln (1 + v 2 )
x
1+ v
błąd
2
Φ - dystrybuanta rozkładu N(0,1)
Strona internetowa
www.weibull.com
poświęcona zagadnieniom związanym z rozkładem Weibulla, ich zastosowaniami
i aktualnymi programami wspomagającymi obliczenia. Strona ta jest ciągle rozszerzana
i aktualizowana, dając użytkownikowi możliwość korzystania z najnowszych rozwiązań
dotyczących rozkładu Weibulla.
19
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Wykres gęstości dla wybranych parametrów:
eta = 1, beta = 0,5
eta = 1, beta = 2
eta = 1, beta = 4
1,6
1,4
1,2
1
f(t)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2 0
2
4
6
8
10
t
eta = 1, beta = 2
eta = 2, beta = 2
eta = 3, beta = 2
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1 0
2
4
6
20
8
10
L.Kowalski – Niezawodność-teoria i rozkłady
Uogólnieniem rozkładu wykładniczego i rozkładu Weibulla jest rozkład gamma
Odgrywa
on
szczególną
rolę
przy
modelowaniu
niezawodności
obiektów
odnawialnych (suma niektórych zmiennych losowych o rozkładzie gamma ma rozkład
gamma, np. jeśli czas pracy między uszkodzeniami ma rozkład gamma to sumaryczny czas
pracy też ma rozkład gamma (z innymi parametrami))
Gęstość rozkładu gamma
 λα t α −1 −λt
e

f (t ) =  Γ(α )
0

dla t > 0
dla t ≤ 0
Rozkład jest zdefiniowany dla α, λ > 0,
Gęstość uogólnionego rozkładu gamma
 βλα / β t α −1 −λt β
e
dla t > 0

f (t ) =  Γ(α / β )
0
dla t ≤ 0

Rozkład jest zdefiniowany dla αβ>0, λ > 0,
Uwaga.
a) dla α = β = 1 rozkład gamma staje się rozkładem wykładniczym,
b) dla α = β rozkład gamma staje się rozkładem Weibulla,
c) dla α = β = 2 rozkład gamma staje się rozkładem Releya,
d) dla α = 3, β = 2 rozkład gamma staje się rozkładem Maxwella,
e) dla α = n / 2, β = 1, λ = 1 / 2 rozkład gamma staje się rozkładem chi kwadrat,
f) dla α = n, β = 1,
rozkład gamma staje się rozkładem Erlanga,
Literatura:
B.Korzan, „Teoria niezawodności”,
D.Bobrowski, „Modele i metody matematyczne teorii niezawodności”,
L.Kowalski, „Statystyka”,
L.Kowalski, 30.03.2010
21