200 Całka Riemanna jako funkcja górnej granicy całkowania
Transkrypt
200 Całka Riemanna jako funkcja górnej granicy całkowania
200 Całka Riemanna jako górnej granicy całkowania Definicja Niech f będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna na przedziale < a, b > . Dla dowolnej liczby a ≤ x ≤ b przedział < a , x >⊂< a , b > , a więc funkcja f |< a , x > jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna na przedziale < a , x > . Dla ustalonej funkcji f i ustalonego przedziału < a , b > możemy zdefiniować funkcję b x a a F ( x ) = ( R ) ∫ f |< a , x > (t )dt = ( R ) ∫ f (t )dt . W dalszym ciągu tego rozdziału funkcja f i przedział < a, b > będzie ustalony, a o funkcji f będziemy zakładać, że jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna na przedziale < a, b > . Twierdzenie o monotoniczności całki Riemanna względem górnej granicy całkowania Dla dowolnej funkcji f całkowalnej w sensie Riemanna, a F (a ) = ( R ) ∫ f (t )dt = 0 a Jeżeli f ≥ 0 to funkcja F jest niemalejąca, tzn. jeżeli x1 ≤ x 2 to F ( x1 ) ≤ F ( x2 ) , a więc x1 x2 ( R ) ∫ f ( x )dx ≤ ( R ) ∫ f ( x )dx . a a Jeżeli f ≤ 0 to funkcja F jest nierosnąca. Dowód Twierdzenie o ciągłości całki Riemanna względem górnej granicy całkowania Dla dowolnej funkcji f całkowalnej w sensie Riemanna na < a, b > funkcja x F ( x ) = ( R ) ∫ f (t )dt jest funkcją ciągłą na < a, b > . a Dowód Całka Reimanna jako funkcja górnej granicy całkowania 1/1