ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 7

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 7
1. Wykazać, że w dowolnym pierścieniu:
(a) jeśli a + x = a, to x = 0,
(b) a · 0 = 0.
2. Wykazać, że w dowolnym ciele:
(a) jeśli a · b = 0, to a = 0 lub b = 0,
(b) (−a) · b = −(a · b),
3. Sprawdzić, że Z7 jest ciałem a Z8 nie jest ciałem.
4. Znaleźć elementy odwrotne do: (a) 2 w Z11 , (b) 5 w Z11 , (c) 5 w Z13 , (d) 24 w Z79 , (e) 33
w Z101 , (f) 7 w Z24 .
5. Rozwiązać równanie: (a) 4x + 2 = 1 w Z7 , (b) 3x − 5 = 2 w Z11 .
6. Rozwiązać
4x
(a)
2x
x
(c)
4x
układ równań:
− 4y = 1,
w Z13
− 7y = 3,
(b)
+ 3y = 4,
w Z11
+ y = 5,
(c)
x + 3y = 4,
w Z7
4x + y = 5,
3x − 2y = 1,
w Z13
5x + 4y = 0,
7. Wykonć następujące działania na liczbach zespolonych:
(a) (2 + 3i)(5 − 2i)
(e)
(b) (2 − 3i)3
(f)
(c) (3 − 2i)(1 + i) + |3 + 4i|
(g)
(d) (− 12 +
√
i 3 3
2 )
(h)
4−3i
1+i
(−2+2i)2
−1+i + 2i
3−2i
3−7i
1−i − 2−3i
(1−i)3 −1
(1+i)3 +1
−5
8. Przedstawić w√postaci trygonometrycznej
liczby zespolone: (a) −2; (b) −3i; (c) 1 + i; (d)
√
1 − i; (e) 1 + 3i; (f) −1 + 3i; (g) cos α − i sin α; (h) sin α − i cos α; (i) 1+itgα
1−itgα .
9. Wykonać następujące działania na liczbach zespolonych (wynik przedstawić w postaci trygonometrycznej):
(a) i70
(e)
√
(1−i 3)6
√
(1+i 3)4
(b) (1 + i)18
(f)
(1+i)9
(1−i)7
(c) (−1 − i)50
(g)
(1+i)11
(1−i)9
(d)
(− cos α+i sin α)5
√
−1+i 3
(h) (1 + i · ctg(240◦ ))99
10. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych następujące równania:
(a) x2 + 1 = 0
(e) x2 = 3 − 4i
(b) x2 + 4x + 8 = 0
(f) x2 + (1 + 4i)x − 5 − i = 0
(c) 3x2 − 2x = 2x3
(g) x4 + 2x2 + 3 = 0
(d) x2 + (−4 + i)x + 5 − 5i = 0
(h) x3 − 5x2 + 11x − 15 = 0.
11. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych następujące równania:
(a) (i + z) − 3i(2 − z) = iz + 1
(d) 2z + (1 − 7i) = (1 + i)z
(b) |z + i| + |z − i| = 2
(e) |z − 1| = |z + 1|
(c) zz + (z −
z)2
= 3 + 2i
(f) (− 12 + i
√
3 3
2 )z
= −z.
12. Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiór wszystkich liczb spełniających następujące
warunki:
(f) im(z 2 ) = 0 i re(z 2 ) < 0
(a) z + z = re(z)
(b) z = re(z) + im(z)
(g) z = z 2
(c) 0 < im(iz) + re(iz) < 1
(h) im(iz) = re(z)
(d) |z − i| = |z + i|
(i) |z| ≤ 2 i Arg(z) >
(e) im(z 2 ) = 0
(j) Arg(z · 2i) =
2π
3
π
4
13. Udowodnić, że:
(a) jeżeli x ∈ R i z ∈ C, to re(x · z) = x · re(z)
(b) jeżeli |z| = 1, to z =
1
z
(c) z − z = 2i · im(z)
n
(d) ( 1+i·tg(φ)
1−i·tg(φ) ) =
1+i·tg(nφ)
1−i·tg(nφ)
14. Pokazać, że dla każdego n ∈ N liczba (1 + i)n + (1 − i)n jest liczbą rzeczywistą. Uogólnić
powyższą własność.
15. Znaleźć
√
(a) 4 −i
√
(b) 8 −4
√
3
1+i
√
(d) 5 −1 − i
(c)
(e)
(f)
q√
3−i
i−1
q √
8 1−i 3
1+i
6
√
6
−27i
q
√
7
(h) 1 + 3−i
2
(g)
Zadania uzupełniające
1. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną 1 − (2 +
√
3)i.
2. Wykazać, że w dowolnym ciele: jeśli m jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że suma m
jedynek 1 + 1 + ... + 1 równa jest 0, to m jest liczbą pierwszą.
3. Wykazać, że (Zm , +m , ·m , 0, 1) jest pierścieniem przemiennym.
4. Wykazać, że pierścień Zm jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy m jest liczba pierwszą.
5. Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 będzie wielomianem o współczynnikach
rzeczywistych. Pokazać, że jeżeli liczba z ∈ C jest pierwiastkiem wielomianu f , to liczba z
też jest pierwiastkiem wielomianu f .
6. Obliczyć sumę oraz sumę kwadratów wszystkich
pierwiastków zespolonych n-tego stopnia
P
i przez 1 − ζ .]
ζ
z jedynki. [Wskazówka: Pomnożyć sumę n−1
n
i=0 n
7. Przedstawić wielomian x6 + x3 + 1 = 0 (ogólniej: x2n + xn + 1 = 0) jako iloczyn trójmianów
kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych.
8. Niech ABCD będzie prostokątem o boku AB długości 3 i boku BC długości 1. Niech E, F
będą punktami na boku DC takimi, że |DE| = |EF | = |F C| = 1. Wykazać, że suma miar
kątów EAB, F AB i CAB równa jest π2 .