Opis eksperymentu

matematyka
dawniej i dziœ
nauczanie matematyki
p i deszcz
Opis eksperymentu
S¹ ró¿ne sposoby zapisywania
daty. Amerykanie zapisuj¹
najpierw numer miesi¹ca,
a potem dnia. 3.14 to
czternasty marca, a wiêc
ten dzieñ okrzykniêto
Dniem Liczby p. Solenizantce
dedykujemy ten artyku³.
n MACIEJ CHMIELARZ
M
etoda Monte Carlo to metoda
modelowania matematycznego, s³u¿¹ca przybli¿onemu rozwi¹zywaniu problemów, które s¹ zbyt
skomplikowane do rozwi¹zania analitycznego, a ich dok³adne wyniki nie s¹ niezbêdne z praktycznego, in¿ynierskiego
punktu widzenia. Metoda ta stworzona
zosta³a przez Stanis³awa Ulama1 na potrzeby projektu budowy amerykañskiej
bomby j¹drowej, tzw. projektu Manhattan.
1
16
Wiêcej o Stanis³awie Ulamie dowiedzieæ siê
mo¿na z artyku³u M. Proskórnickiego w „Matematyce” 3/2003, a przede wszystkim z wydanej po polsku autobiografii Ulama Przygody matematyka, wyd. Prószyñski, 1996.
Omówienie tej ksi¹¿ki znajduje siê w „Matematyce” 3/1999.
Przypominamy
Projekt Manhattan
Œciœle tajny amerykañski program naukowo-badawczy, którego efektem by³o skonstruowanie w
1945 roku pierwszej w historii bomby j¹drowej.
Umo¿liwi³o to przeprowadzenie ataków j¹drowych
na japoñskie miasta Hiroszimê i Nagasaki, co
wydatnie przyspieszy³o zakoñczenie II wojny œwiatowej. W pracach nad projektem jedn¹ z kluczowych ról gra³ Stanis³aw Ulam. Oprócz niego w projekcie bra³o udzia³ kilku Polaków, miêdzy innymi
Stanis³aw Mrozowski i Józef Rotblat.
Jednym z powszechnie podawanych
prostych przyk³adów zastosowania tej
metody jest wyznaczanie przybli¿onej
wartoœci liczby p poprzez równomierne
losowanie punktów p³aszczyzny, na której znajduje siê prostok¹t o danych d³ugoœciach boków i ko³o o znanym promieniu. Stosunek liczby wylosowanych
punktów, które znajd¹ siê wewn¹trz prostok¹ta, do liczby punktów wewn¹trz ko³a,
bêdzie równy przybli¿onemu stosunkowi
pól powierzchni obu figur. Jako ¿e pole
powierzchni prostok¹ta jest zale¿ne wy³¹cznie od d³ugoœci jego boków, a pole powierzchni ko³a jest zale¿ne od d³ugoœci
jego promienia i liczby p, wiêc z wy¿ej
opisanej proporcji mo¿na tê liczbê z ³atwoœci¹ wyznaczyæ. Dok³adnoœæ rozwi¹zania
bêdzie zale¿na jedynie od liczby wylosowanych punktów (im wiêcej, tym lepiej)
i jakoœci pseudolosowego generatora
matematyka
matematyka
i dziœ
nauczaniedawniej
matematyki
(punkty powinny byæ roz³o¿one mo¿liwie
równomiernie).
Postanowi³em spróbowaæ wyznaczyæ
przybli¿on¹ wartoœæ liczby p metod¹
Monte Carlo, wykorzystuj¹c deszcz jako
generator doœæ równomiernie roz³o¿onych
losowych punktów pod postaci¹ kropel.
Przygotowa³em prostok¹tne szklane
akwarium oraz okr¹g³¹ plastikow¹ donicê, aby wystawiæ je na otwart¹ przestrzeñ
w trakcie opadów, a nastêpnie zmierzyæ
iloœæ zebranej przez nie wody i na tej podstawie dokonaæ obliczeñ.
Stosunek pola powierzchni otworu w
akwarium (PA) do pola powierzchni otworu w donicy (PD) bêdzie równy stosunkowi iloœci wody zebranej w akwarium (WA)
do iloœci wody zebranej w donicy (WD).
Wewnêtrzne wymiary otworu w akwarium to a = 39,2 cm na b = 24,1 cm, natomiast œrednica otworu w donicy to d = 32,5
cm. Zgodnie z elementarnymi wzorami z
planimetrii, pola powierzchni obu otworów s¹ wiêc nastêpuj¹ce:
PA = a × b = 39,2 × 24,1 = 944,72 [cm2],
PD = p × (0,5 × d )2 = p × (0,5 × 32,5)2 =
= p × 264,0625 [cm2].
Po u³o¿eniu proporcji i dokonaniu prostych przekszta³ceñ, otrzymujemy:
3$ :$
:
a wiêc
=
= $
Â
3' :'
:'
¢:'
zatem =
.
 :$
Na okreœlenie iloœci zebranej wody
zasadniczo s¹ dwa sposoby: mo¿na to zrobiæ poprzez pomiar objêtoœci lub masy.
Moje pierwsze doœwiadczenia z pomiarem
objêtoœci nie da³y zadawalaj¹cych rezultatów, poniewa¿ po przelaniu deszczówki z akwarium i donicy do cylindra mia3/2011
rowego na œciankach naczyñ pozosta³y
nieuwzglêdnione krople. Wobec tego zdecydowa³em siê na pomiar masy, aby unikn¹æ b³êdów w wynikach, spowodowanych
przez te krople. U¿y³em wagi o odpowiednim zakresie pomiarów – do 15 kg. Zastosowa³em pomiar ró¿nicowy, czyli najpierw zwa¿y³em same pojemniki, a nastêpnie pojemniki wraz z zebran¹ wod¹.
Po ca³onocnych opadach, wyniki by³y nastêpuj¹ce (w ka¿dym przypadku poda³em
œredni¹ z piêciu wa¿eñ):
mA = 5518,4 g – masa akwarium z doci¹¿eniem;
mD = 5744,4 g – masa donicy z doci¹¿eniem;
mAW = 6385,2 g – masa akwarium z doci¹¿eniem i deszczówk¹;
mDW = 6503,8 g – masa donicy z doci¹¿eniem i deszczówk¹;
wA = mAW - mA = 866,8 g Рmasa (iloϾ)
wody w akwarium;
wD = mDW - mD = 759,4g Рmasa (iloϾ)
wody w donicy.
Podstawiaj¹c te wartoœci do wy¿ej
wyprowadzonego wzoru, otrzyma³em
przybli¿on¹ wartoœæ liczby p wynosz¹c¹:
p » 3,134
Oczywiœcie gdyby wynik mia³ jakieœ
praktyczne znaczenie, nale¿a³oby powtórzyæ doœwiadczenie wielokrotnie (na przyk³ad podczas bardziej intensywnych opadów).
W opisywanym eksperymencie musia³em dokonaæ siedmiu pomiarów (trzy razy
d³ugoœci i cztery razy masy) i niedok³adnoœæ ka¿dego z nich mog³a w jakiœ sposób wp³yn¹æ na ostateczny rezultat.
Jako niepewnoϾ przy wyznaczaniu
d³ugoœci i szerokoœci akwarium oraz œrednicy donicy mo¿na przyj¹æ wartoœæ b³êdu
17
matematyka
dawniej i dziœ
nauczanie matematyki
granicznego dla u¿ytej miarki, czyli 0,05
cm. NiepewnoϾ przy wyznaczaniu masy
naczyñ pustych i z deszczówk¹ mo¿na
policzyæ jako estymatê odchylenia standardowego serii pomiarów.
Z³o¿ona niepewnoœæ pomiarowa wynios³a ostatecznie: up = 0,073
Na podstawie wyników opisywanego
doœwiadczenia mo¿na stwierdziæ, ¿e rzeczywista wartoœæ liczby p mieœci siê w
przedziale:
p = 3,134 ± 0,073
co, jak wiadomo, jest zgodne z rzeczywistoœci¹
Na przestrzeni wieków podano wiele
du¿o dok³adniejszych sposobów na wy-
znaczenie przybli¿onej wartoœci liczby p.
To doœwiadczenie jest wiêc tylko zabaw¹
z przyrod¹ i matematyk¹, ale jest to zabawa bardzo kszta³c¹ca i warto j¹ przeprowadziæ z uczniami.
Dziêkujê dr. Krzysztofowi Kledzikowi z
Wydzia³u Chemii Uniwersytetu Gdañskiego
za ¿yczliwe zainteresowanie moim doœwiadczeniem, co zmotywowa³o mnie do dalszych
prac po pierwszych nieudanych próbach
z pomiarem objêtoœci.
q
MACIEJ CHMIELARZ
tester oprogramowania, [email protected]
x
W POSZUKIWANIU PRZYK£ADÓW
21
Podaæ przyk³ad liczb x i y ró¿nych od zera, takich ¿e liczby x + y oraz [ + \ s¹
wymierne.
Podaæ przyk³ad liczb dodatnich x i y takich, ¿e dok³adnie trzy spoœród liczb: x + y, x - y,
[
xy, \ s¹ wymierne.
Podaæ przyk³ad liczb dodatnich x i y takich, ¿e dok³adnie dwie spoœród liczb: x + y, x - y,
[
xy, \ s¹ wymierne.
ZnaleŸæ najmniejsz¹ liczbê naturaln¹ n, dla której istnieje liczba rzeczywista x taka, ¿e
liczby x, 2x, 3x, 4x, nale¿¹ do przedzia³u (5; n).
ZnaleŸæ najmniejsz¹ liczbê naturaln¹ n, dla której istnieje dodatnia liczba naturalna k
Q
Q+
<N <
.
podzielna przez 5 i spe³niaj¹ca warunek:
Wskazaæ przedzia³ [a; b] i dobraæ do niego liczbê x tak, aby liczby x, x3, x4, x5, x6
nale¿a³y do tego przedzia³u, a liczba x2 nie.
Czy istnieje liczba rzeczywista, spe³niaj¹ca równoczeœnie poni¿sze równania?
2x 5 - 7x 4 + 3x 3 - 6 = 0
4x 6 - 14x 5 + 6x 4 - 14x = 0
nades³a³ Micha³ Kremzer
18
matematyka