modele szeregow czasowych - E-SGH

Modele szeregów czasowych
Modele autoregresyjne rzędu p (autoregressive):
yt = c +
AR(p) :
p
X
αk yt−k + ξt
(1)
k=1
Przykłady:
AR(1) :
AR(2) :
yt = c + α1 yt−1 + ξt
yt = c + α1 yt−1 + α2 yt−2 + ξt
Modele średniej ruchomej rzędu q (moving average):
MA(q) : yt = µ +
q
X
βj ηt−j
β0 = 1
(2)
j=0
Przykłady:
MA(1) :
MA(3) :
yt = µ + ηt + β1 ηt−1
yt = µ + ηt + β1 ηt−1 + β2 ηt−2 + β3 ηt−3
Modele autoregresyjne ze średnią ruchomą(autoregressive moving average):
ARMA(p,q) : yt = c +
p
X
αk yt−k +
q
X
βj ηt−j
(3)
j=0
k=1
Przykłady:
ARMA(3,1) :
yt = c + α1 yt−1 + α2 yt−2 + α3 yt−3 + β0 ηt + β1 ηt−1
Jeśli y jest zintegrowany w stopniu d > 0 to używamy modeli ARIMA (autoregressive
integrated moving average):
d
ARIMA(p,d,q) : ∆ yt = c +
p
X
k=1
d
αk ∆ yt−k +
q
X
βj ηt−j
j=0
Przykłady:
ARIMA(3,1,1) :
∆yt = c + α1 ∆yt−1 + α2 ∆yt−2 + α3 ∆yt−3 + β0 ηt + β1 ηt−1
1
(4)
Zapis przy pomocy wielomianów opóźnień
Operator opóźnień (lag operator ) L:
Lyt = yt−1
Lk yt = yt−k
∆d yt = (1 − L)d yt
yt = c + α1 yt−1 + α2 yt−2 + . . . αp yt−p + ξt
= c + α1 Lyt + α2 L2 yt + . . . αp Lp yt + ξt
AR(p) :
p
X
= c+
αk Lk yt + ξt
k=1
φ(L) yt = c + ξt
2
gdzie: φ(L) = 1 − α1 L − α2 L − . . . − αp Lp
yt = µ + β0 ηt + β1 ηt−1 + β2 ηt−2 + . . . + βq ηt−q
= µ + β0 ηt + β1 Lηt + β2 L2 ηt + . . . + βq Lq ηt
MA(q) :
= µ+
q
X
βj Lj ηt
j=0
= µ + θ(L) ηt
2
gdzie: θ(L) = β0 + β1 L + β2 L + . . . + βq L
q
yt = c +
ARMA(p,q) :
p
X
k
αk L yt +
q
X
βj Lj ηt
j=0
k=1
φ(L) yt = c + θ(L) ηt
ARIMA(p,d,q) :
d
(1 − L) yt =
p
X
k
αk L (1 − L) yt +
k=1
d
φ(L) (1 − L) yt = c + θ(L) ηt
2
d
q
X
j=0
βj Lj ηt
Modele uwzględniające zmienne egzogeniczne
Modele ze (skończonym) rozkładem opóźnień (distributed lag )
DL(m) :
yt = c + β0 xt + β1 xt−1 + β2 xt−2 + . . . + βm xt−m + εt
= c+
m
X
βj xt−j + εt
j=0
Przykłady:
DL(0) :
DL(4) :
y t = c + β x t + εt
yt = c + β0 xt + β1 xt−1 + β2 xt−2 + β3 xt−2 + β4 xt−4 + εt
β0 - mnożnik bezpośredni (mnożnik krótkookresowy)
β̃ = β0 + β1 + . . . + βm - mnożnik długookresowy
Model z nieskończonym rozkładem opóźnień - model Koycka (patrz: skrypt)
Modele autoregresyjne z rozkładem opóźnień (autoregressive distributed lag )
ADL(p,m) :
yt = c + α1 yt−1 + . . . + αp yt−p + β0 xt + β1 xt−1 + . . . + βm xt−m + εt
= c+
p
X
m
X
αk yt−k +
βj xt−j + εt
j=0
k=1
Przykłady:
ADL(1,0) :
ADL(2,2) :
yt = c + α1 yt−1 + β xt + εt
yt = c + α1 yt−1 + α2 yt−2 + β0 xt + β1 xt−1 + β2 xt−2 + εt
β0 - mnożnik krótkookresowy
Obliczenie mnożnika długookresowego:
ȳ = c +
p
X
αk ȳ +
c
1−
p
X
+
αk
m
X
β̃ =
1−
βj
j=0
m
X
1−
j=0
k=1
βj
j=0
m
X
βj x̄
j=0
m
X
k=1
ȳ =
m
X
βj
j=0
3
x̄
βj
Kointegracja
Zmienne Xt i Yt są skointegrowane, jeśli
Xt ∼ I(d)
Yt ∼ I(d)
a0 + a1 Xt + a2 Yt ∼ I(d − b)
b>0
Przykład:
Xt ∼ I(1)
Yt ∼ I(1)
Zt ∼ I(1)
Yt = α0 + α1 Xt + α2 Zt + εt
Yt − α0 − α1 Xt − α2 Zt = εt ∼ I(0)
lub:
Xt ∼ I(1)
Yt ∼ I(2)
Zt ∼ I(2)
Zt − β0 − β1 Yt = ηt ∼ I(1)
Xt + α0 + α1 ηt = Xt + α0 + α1 (Zt − β0 − β1 Yt ) ∼ I(0)
Model korekty błędem (Error correction model )
przykład dla relacji kointegrującej yt = δ0 + δ1 xt + t :
ECM :
yt = c + γ et +
p
X
αk yt−k +
k=1
m
X
βj xt−j + εt
j=0
et = yt − δ0 − δ1 xt
gdzie γ - składnik korekty błędem - określa tempo powrotu zmiennej objaśnianej y do
ścieżki równowagi, danej przez relację kointegrującą.
Interpretacja γ: jaka część odchylenia zmiennej objaśnianej y od poziomu równowagi wygasa w pierwszym okresie.
Jeśli −1 ¬ γ < 0 , to mechanizm korekty błędem działa.
Okres połowicznego wygaśnięcia (half-life) odchylenia od poziomu równowagi:
hl =
ln 0, 5
ln(1 + γ)
4