(a + b) 2 = a2 + 2ab + b kwadrat sumy

Wzory skróconego mnożenia – trzeba umieć i basta
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
kwadrat sumy
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
kwadrat różnicy
(a + b)(a − b) = a2 − b2
różnica kwadratów
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
sześcian sumy
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 + b3
sześcian różnicy
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
suma sześcianów
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
różnica sześcianów
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
kwadrat sumy trzech składników
Dowody niektórych wzorów skróconego mnożenia:
http://www.traugutt.edu.pl/kacik_matematyczny/wzory%20skroconego%20mnozenia.pdf
Zadanie. Uprość pierwiastki:
a) √20 − 6√11
b) √8 + 2√15
3
3
c) √22 + 10√7
d) √23√5 − 21√6
Zadanie. Oblicz
2
(√2 − √3 − √2 + √3)
Definicja 1.
Silnią liczby naturalnej 𝑛 nazywamy iloczyn wszystkich dodatnich liczb naturalnych nie większych niż 𝑛.
Oznaczamy symbolem 𝑛!. Przy czym 0! = 1.
Przykład
6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6
1,
𝑑𝑙𝑎 𝑛 = 0
𝑛! = { (
𝑛 𝑛 − 1)! 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 1
Przykład
5! = 4! ∙ 5
30! 28! ∙ 29 ∙ 30
=
= 29 ∙ 30 = 870
28!
28!
Więcej: http://www.math.edu.pl/silnia
Definicja 2
𝑛
Symbol Newtona jest to symbol o zapisie ( ), przy czym 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.
𝑘
Wartość symbolu Newtona można obliczyć korzystając ze wzoru
𝑛!
𝑛
( )=
𝑘
𝑘! ∙ (𝑛 − 𝑘)!
1
Przykład
5!
3! ∙ 4 ∙ 5
(5) =
=
= 10
3
3! ∙ 2!
3! ∙ 2
Trójkąt Pascala
n
Wartości liczbowe symbolu Newtona ( ) możemy zapisać w formie zwanej trójkątem Pascala:
k
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
2
1
1
6
4
1
1
5
10 10 5
1
1
6
15 20 15 6
1
1
7
21 35 35 21 7
1
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
3
4
Więcej: http://www.math.edu.pl/symbol-newtona
Dwumian Newtona
Dla każdych liczb rzeczywistych a i b oraz dla każdej liczby naturalnej n zachodzi:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ( ) 𝑎𝑛 + ( ) 𝑎𝑛−1 𝑏 + ( ) 𝑎𝑛−2 𝑏2 + ⋯ (
) 𝑎 𝑛−𝑖 𝑏𝑖 + ⋯ + (
) 𝑎𝑏𝑛−1 + ( ) 𝑏𝑛
0
𝑛−𝑖
𝑛−1
𝑛
1
2
𝑛
Krócej: (𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑𝑛𝑖=0 ( ) 𝑎𝑛−𝑖 𝑏𝑖
𝑖
Przykład
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎 3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4
Zadania
Zadanie 1 - matura maj 2013 PP
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑥, 𝑦, 𝑧 takich, że 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, prawdziwa jest nierówność
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≤ 0.
Możesz skorzystać z tożsamości (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧.
Zadanie 2 - matura sierpień 2012 PP
Wykaż, że jeżeli 𝑐 < 0, to trójmian kwadratowy 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ma dwa różne miejsca zerowe.
Zadanie 3 - matura czerwiec 2012 PP
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Zadanie 4 - matura czerwiec 2012 PR
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich 𝑎, 𝑏, 𝑐 i 𝑑 prawdziwa jest nierówność
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 ≤ √𝑎 2 + 𝑏2 ∙ √𝑐 2 + 𝑑2 .
Zadanie 5 - matura maj 2012 PP
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste 𝑎, 𝑏, 𝑐 spełniają nierówności 0 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, to
𝑎+𝑏+𝑐
3
>
𝑎+𝑏
2
.
Zadanie 6 - matura maj 2012 PR
Udowodnij, że jeżeli 𝑎 + 𝑏 ≥ 0, to prawdziwa jest nierówność 𝑎3 + 𝑏3 ≥ 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏2 .
2
Zadanie 7 - matura czerwiec 2012 PR
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑖 𝑑 prawdziwa jest nierówność 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 ≤ √𝑎 2 + 𝑏2 ∙ √𝑐 2 + 𝑑2
Zadanie 8 - matura maj 2011 PP
Uzasadnij, że jeżeli 𝑎 + 𝑏 = 1 i 𝑎2 + 𝑏2 = 7, to 𝑎4 + 𝑏4 = 31.
Zadanie 9 - matura maj 2011 PR
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej 𝑘 liczba 𝑘 6 − 2𝑘 4 + 𝑘 2 jest podzielna przez 36.
Zadanie 10 - matura maj 2011 PR
Uzasadnij, że jeżeli 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑎 ≠ 𝑐, 𝑏 ≠ 𝑐 i 𝑎 + 𝑏 = 2𝑐, to
𝑎
𝑎−𝑐
+
𝑏
𝑏−𝑐
= 2.
Zadanie 11 - matura próbna listopad 2010 PP
Uzasadnij, że jeśli (𝑎2 + 𝑏2 )(𝑐 2 + 𝑑2 ) = (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)2 , to 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 .
Zadanie 12 - matura maj 2010 PP
Wykaż, że jeśli 𝑎 > 0, to
𝑎 2 +1
𝑎+1
≥
𝑎+1
2
.
Zadanie 13 - matura próbna 2009 PP
Wykaż, że dla każdego 𝑚 ciąg (
𝑚+1 𝑚+3 𝑚+9
4
,
6
,
12
) jest arytmetyczny.
Zadanie 14 - matura próbna 2009 PR
Wykaż, że jeżeli 𝐴 = 34√2+2 i 𝐵 = 32√2+3 , to 𝐵 = 9√𝐴.
Zadanie 15 - matura maj 2008 PR
Udowodnij, że jeżeli ciąg (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to 𝑎 = 𝑏 = 𝑐.
Zadanie 16 - matura próba Operon 2007 PR
Wykaż, że jeżeli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten
czworokąt jest rombem.
Zadanie 17 - matura próbna 2005 PR
3
3
Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że √5√2 + 7 − √5√2 − 7 jest liczbą całkowitą.
Zadania na dowodzenie:
http://zszbrodnica.edupage.org/files/przykl_rozwiazania.pdf
http://www.pz2.edu.pl/pliki/upload/downie.pdf
3