wykładniczy

Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
Zmienne typu ciągłego,
wektory losowe
Dr Joanna Banaś
Zakład Badań Systemowych
Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych
Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej
3
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 2
8. Wybrane zmienne typu ciągłego
(8.1) Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na przedziale 〈a,b〉
Funkcja gęstości
 1
dla x ∈ 〈 a, b〉

f ( x) =  b − a
 0
dla x ∉ 〈 a, b〉
Dystrybuanta
 0
f ( x)
dla x ≤ a

1
b− a
x−a
F ( x) = 
dla a < x ≤ b
b
−
a

dla x > b
 1

Parametry
b+a
EX = ∫ x ⋅ f ( x)dx =
−∞
2
∞
b 2 + ba + a 2
2
2
EX = ∫ x ⋅ f ( x)dx =
−∞
3
∞
Realizacja
a)
b)
F ( x)
1
0
a
b
x
0
a
b
Rys.8.1. Wykres gęstości (a)
i dystrybuanty (b) zmiennej X
(b − a) 2
D X=
12
2
np. czas oczekiwania na tramwaj
Opracowała Joanna Banaś
x
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 2
Rozkład wykładniczy
(8.1) Rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0
Funkcja gęstości
dla x < 0
 0
f ( x ) =  −λx
dla x ≥ 0
λ e
Dystrybuanta
dla x ≤ 0
 0
F ( x) = 
−λx
1
−
e
dla x > 0

a)
f ( x)
λ
F ( x)
b)
1
0
x
0
Rys.8.2. Wykres gęstości (a)
i dystrybuanty (b) zmiennej X
Rozkład jest dobrze określony
∫
∞
−∞
∞
f ( x)dx = ∫ λe
0
−λx
dx = −e
−λx ∞
0
= − lim e −λx + 1 = 1
x →∞
Opracowała Joanna Banaś
x
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 2
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy cd.
Parametry
1
EX =
λ
D2 X =
1
λ2
Realizacja
np. czas bezawaryjnej pracy badanego elementu (czas życia)
λ − intensywność awarii
prawdopodobieństwo P( X ≥ t ) = e −λt − niezawodność elementu
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 2
Rozkład normalny
(8.3) Rozkład normalny (Gaussa) z parametrami m∈R i σ> 0
Funkcja gęstości
( x−m ) 2
−
2
1
f ( x) =
e 2 σ dla x ∈ »
σ 2π
f ( x)
Rozkład jest dobrze określony
(należy wykorzystać całkę Eulera-Poissona)
∞
π
− x2
(E-P) ∫ e dx =
0
2
0 m−σ
m+σ
m
Oznaczamy go symbolem N(m,σ)
Rys.8.3. Wykres gęstości rozkładu
Parametry
1
σ 2π
EX = m
D2 X = σ2
normalnego (krzywa Gaussa)
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 2
Rozkład normalny
Rozkład normalny (Gaussa) cd.
Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości
f ( x)
1
N (2, 12 )
0.5 2π
1
2π
N (0,1)
1
2 2π
N (3, 2)
0.1
0
1
2
3
x
Rys.8.4. Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 2
Rozkład normalny standaryzowany
Rozkład normalny standaryzowany
Funkcja gęstości (parzysta)
x2
−
1
f ( x) =
e 2 dla x ∈ »
2π
Dystrybuanta rozkładu Φ
1
2π
Φ(− x)
1 x
standaryzowanego
Φ(x) – można znaleźć w tablicach statystycznych
Realizacje:
0
Rys.8.5. Wykres gęstości rozkładu
N (0,1)
Φ0.1
( x)
−x
Φ (− x) = 1 − Φ ( x)
f ( x)
waga oraz wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich i zwierzęcych
plon na jednakowych poletkach doświadczalnych
losowe błędy pomiarów
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
9. Standaryzacja zmiennej losowej
X − zmienna losowa standaryzowana, jeśli EX = 0 i D 2 X = 1
(9.1) Stwierdzenie
X − zmienna losowa taka, że m = EX < ∞ i σ = D 2 X > 0
X −m
⇒ Y=
− zmienna standaryzowana
σ
Zmienna losowa Y z twierdzenia (9.1) to standaryzacja zmiennej losowej X
(9.2) Przykład
Niech zmienna losowa X ma rozkład N(m,σ). Obliczyć prawdopodobieństwo,
że zmienna X przyjmuje wartości w otoczeniu m o promieniu a) σ, b) 2σ, c) 3σ.
(9.3) Wniosek (reguła trzech σ)
Prawie 100 % wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(m,σ) leży
w przedziale (m − 3σ, m + 3σ)
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
10. Wektory losowe
(Ω, Z , P) − przestrzeń probabilistyczna
n-wymiarowy wektor losowy (lub n-wymiarowa zmienna losowa) to
dowolne odwzorowanie mierzalne X : Ω → » n , tzn. takie, że
{ω∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ Z dla każdego B ∈ B ( » n )
(10.1)
(10.2) Twierdzenie
X : Ω → » n− dowolne odwzorowanie takie, że X(ω) = ( X 1 (ω),..., X n (ω) )
dla ω∈Ω
X jest wektorem losowym ⇔ X i : Ω → » jest zmienną losową dla
i = 1,…,n
(10.3) Wniosek
Warunkowi (10.1) równoważny jest warunek
{ω∈ Ω : X 1 (ω) < x1 ,..., X n (ω) < xn } ∈ Z dla każdego ( x1 ,..., x1 ) ∈ » n
Zmienne X1, X2 ,…, Xn to zmienne brzegowe
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Dystrybuanta wektora losowego
Oznaczenia
P ({ω∈ Ω : X 1 (ω) < x1 ,..., X n (ω) < x n }) ≡ P ( X 1 < x1 ,..., X n < x n )
P ({ω∈ Ω : X 1 (ω) = x1 ,..., X n (ω) = x n }) ≡ P ( X 1 = x1 ,..., X n = x n )
Dystrybuanta wektora losowego X = (X1,…, Xn)
(lub dystrybuanta łączna zmiennych losowych X1,…, Xn )
− funkcja FX = FX 1 ,..., X n : » n → » określona wzorem
(10.4) FX 1 ,..., X n ( x1 ,..., xn ) = P ( X 1 < x1 ,..., X n < xn ) dla ( x1 ,..., xn ) ∈ » n
Dla n = 2 dystrybuanta F : » 2 → » wektora losowego
(X, Y ) jest określona wzorem
(10.5)
F ( x, y ) = P ( X < x, Y < y ) dla ( x, y ) ∈ » 2
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Własności dystrybuanty wektora losowego
(X, Y )
(10.6) Własności
F – dystrybuanta wektora losowego (X, Y )
a)
monotoniczność
F – funkcja niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych , tzn.
∀ x1 , x2 , y∈» x1 < x 2 ⇒ F ( x1 , y ) ≤ F ( x 2 , y ),
∀ x , y1 , y2∈» y1 < y 2 ⇒ F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y 2 ).
b)
ciągłość
F – funkcja lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych , tzn.
∀ x0 , y0∈» lim− F ( x, y 0 ) = F ( x0 , y 0 )
x→ x0
∀ x0 , y0∈» lim− F ( x0 , y ) = F ( x0 , y 0 )
y→ y0
c)
d)
∀ y∈» lim F ( x, y ) = 0
x→−∞
∀ x∈» lim F ( x, y ) = 0
FX ( x) = lim F ( x, y ) dla x ∈ »
y→∞
lim F ( x, y) = 1
y→−∞
x→∞
y →∞
FY ( y) = lim F ( x, y) dla y ∈ »
x→∞
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Wektora losowy (X, Y ) typu skokowego
Wektor losowy (X, Y ) jest typu skokowego, jeżeli rozkład tego wektora
jest miarą atomową, tzn. istnieje przeliczalna liczba atomów ( xi , y j ) ∈ » 2 ,
takich, że
(10.7)
P ( X = xi , Y = y j ) = pij > 0 dla i, j = 1, 2,... i
∑
i, j
pij = 1
(10.8) Twierdzenie
Jeśli (X, Y ) jest wektorem losowym typu skokowego o rozkładzie
(10.7), to zmienne brzegowe X i Y też są typu skokowego o rozkładach
odpowiednio
P ( X = xi ) = ∑ j pij i P (Y = y j ) = ∑ j pij dla i, j = 1, 2,...
Ponadto
pij
pij
P ( X = xi / Y = y j ) =
i P(Y = y j / X = xi ) =
P(Y = y j )
P ( X = xi )
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Wektora losowy (X, Y ) typu skokowego
(10.9) Przykład
W urnie jest 8 kul białych i 2 czarne. Losujemy bez
zwracania dwie kule. Niech zmienna losowa X przyjmuje
wartości równe liczbie kul czarnych wśród wylosowanych,
zaś
1 gdy pierwsza wylosowana kula jest czarna
Y=
0 gdy pierwsza wylosowana kula jest biała
Wyznaczyć
{
a)
b)
c)
d)
rozkład wektora losowego (X, Y )
dystrybuantę wektora losowego (X, Y )
rozkłady brzegowe
rozkład warunkowy zmiennej X (warunek: Y = 0)
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Wektora losowy (X, Y ) typu ciągłego
Wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego, jeżeli dystrybuanta F tego wektora jest
postaci (por. rys.10.1)
x
y
F ( x, y ) = ∫ ∫ f (u, v)dvdu dla ( x, y ) ∈ » 2
(10.10)
−∞ −∞
2
gdzie f : » → » jest nieujemną funkcją taką, że
(10.11)
∞
∫ ∫
∞
−∞ −∞
f ( x, y )dxdy = 1
f ( x, y )
0
x0
x
y0
y
Rys.10.1. Wartość dystrybuanty wektora losowego w punkcie (x0, y0)
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Własności wektora losowego (X, Y ) typu
ciągłego
(10.12) Własność
Dla dowolnego zbioru borelowskiego B ⊂ B (» 2 )
W szczególności
P ( ( X , Y ) ∈ B ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy
B
b
d
P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d ) = ∫ ∫ f ( x, y )dydx
a c
dla a, b, c, d ∈ », a < b, c < d
(10.13) Twierdzenie
Jeżeli (X, Y ) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f, to zmienne brzegowe też
są typu ciągłego o gęstościach fX, fY określonych wzorami (por. rys.11.2)
f X ( x) = ∫
∞
fY ( y) = ∫
∞
−∞
−∞
f ( x, y )
f ( x, y )dy dla x ∈ »
f ( x, y )dx dla y ∈ »
f X ( x0 )
Rys.10.2. Wartość gęstości
rozkładu brzegowego X
0
x0
x
y
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Własności wektora losowego (X, Y ) typu
ciągłego
(10.14) Twierdzenie
Jeśli (X, Y ) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f, to gęstość
rozkładu warunkowego zmiennej losowej X przy warunku Y = y jest
określona wzorem
f ( x, y )
f ( x / y) =
dla x, y ∈ » ∧ f Y ( y ) ≠ 0
fY ( y)
zaś gęstość rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y przy warunku
X = x wzorem
f ( x, y )
f ( y / x) =
dla x, y ∈ » ∧ f X ( x) ≠ 0
f X ( x)
gdzie fX, fY są gęstościami rozkładów brzegowych
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Własności wektora losowego (X, Y ) typu
ciągłego
Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na ograniczonym zbiorze borelowskim
B ⊂ » 2 , jeśli funkcja gęstości ma postać (por. rys. 10.3)
 1

f ( x, y ) =  m ( B )
 0
gdzie m jest miarą Lebesgue’ga w »
dla ( x, y ) ∈ B
f ( x, y )
dla ( x, y ) ∉ B
1
m( B )
2
(10.5) Przykład
(X, Y ) jest wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym
na zbiorze K = {( x, y ) ∈ » 2 :| x | + | y | ≤ 1}
Wyznaczyć
a)
gęstość wektora (X, Y )
b)
gęstości rozkładów brzegowych i warunkowych
c)
gęstości rozkładów warunkowych
0 B 1
x
y
Rys.10.3. Wykres gęstości
rozkładu jednostajnego na
zbiorze B ⊂ » 2
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
1
Dziękuję za uwagę
Opracowała Joanna Banaś