Matematyka Dyskretna – Elektronika 11.03.2016 Lista 3. Zliczanie

Matematyka Dyskretna – Elektronika
11.03.2016
Lista 3. Zliczanie – permutacje, kombinacje i rozmieszczenia.
1. Ile jest wszystkich permutacji zbioru {A, B, C, D, E }, które:
kończą CE; c) zaczynają się na AB lub kończą DE?
a) kończą się literami DE; b) zaczynają się na AC lub
2. Na ile sposobów można na szachownicy ustawić 8 wież tak, aby żadne dwie się nie biły, przy założeniu, że:
są nierozróżnialne; b) wszystkie wieże są różne?
a) wieże
3. Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole n kobiet i n mężczyzn w taki sposób, aby osoby tej samej płci
nie siedziały obok siebie?
4. Na ile sposobów można: a) 3 różne przedmioty podzielić pomiędzy n osób; b) n różnych przedmioty podzielić
pomiędzy 3 osoby? Dopuszczamy możliwość, że jedna osoba bierze wszystko.
5. Na ile sposobów można podzielić 10 różnych przedmiotów pomiędzy dwie osoby tak, aby każda dostała przynajmniej
jeden z nich? (∗) A pomiędzy trzy osoby?
6. Przyjmijmy, że kod PIN może być dowolnym układem czterech cyfr. Ile jest wszystkich PIN-ów? Czy więcej jest
PIN-ów o wszystkich cyfrach różnych, czy takich, w których jakaś się powtarza?
7. Rozważmy wszystkie ciągi długości n o wyrazach A, C, G oraz T. Ile jest:
a) wszystkich takich ciągów;
b) wszystkich takich ciągów, w których żadna litera nie występuje dwa razy pod rząd;
c) wszystkich takich ciągów, w których na dowolnych 4 kolejnych pozycjach występują wszystkie cztery litery?
8. Czy więcej jest podzbiorów zbioru {1, 2, . . . , n}, które zawierają jedynkę, czy też tych, które jej nie zawierają?
9. Na płaszczyźnie jest 12 punktów. Ile trójkątów wyznaczają te punkty, jeżeli:
B
a) żadne trzy punkty nie są współliniowe;
b) 5 puktów leży na jednej prostej, a poza tym żadne trzy nie są współliniowe?
10. Ile jest prostokątów na Rys.1?
A
Rys.1
11. Na ile sposobów można „przejść” po kracie z Rys.1 od wierzchołka A do B, poruszając się stale do góry albo na prawo?
12. Ile jest takich rozdań 52 kart pomiędzy 4 graczy, w których:
a) gracz 1 ma asa pik, gracz 2 ma asa kier, gracz 3 ma asa karo, a gracz 4 ma asa tref‌l;
b) każdy gracz ma po jednym asie;
c) każdy gracz ma po jednym asie, po jednym królu, . . . , po jednej dwójce?
13. Na ile sposobów można podzielić na grupy dwuosobowe 2n osób? Wynik przedstaw jako iloczyn liczb całkowitych.
14. Do n pokojów dwuosobowych przydzielamy 2n osób. Przyjmijmy trzy różne punkty widzenia – rozmieszczenia są
równoważne, gdy: a) każdy dostał ten sam pokój i to samo łóżko; b) każdy dostał ten sam pokój; c) każdy mieszka
z tą samą osobą. Ile klas abstrakcji wyznacza każda z tych równoważności?
15. Ile słów można utworzyć permutując litery słowa: a) ANAGRAM; b) TRATATATA?
16. Na ile sposobów można wybrać 10 monet spośród nieograniczenie wielu identycznych monet o nominałach 1, 2 i 5zł?
17. Ile rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych ma równanie x1 + x2 + . . . + x5 = 10?
18. Znajdź liczbę rozwiązań równania x1 + x2 + . . . + x8 = k w liczbach naturalnych dodatnich dla: a) k = 7; b) k = 8;
c) k = 9; d) k = 20.
19. Na ile sposobów można podzielić 25 jednakowych cukierków pomiędzy 10 dzieci tak, aby każde dostało przynajmniej:
a) jeden cukierek; b) dwa cukierki?
20. Na ile sposobów można ułożyć n książek, na k półkach? Oczywiście kolejność książek na półkach jest istotna.
21. Połączmy odcinkiem każde dwa spośród n punktów leżących na okręgu.
a) Ile jest tych odcinków?
b) Jaka jest (maksymalna) liczba puktów przecięcia tych odcinków? Wspólne punkty końcowe się nie liczą.
c) (∗) Jaka jest (maksymalna) liczba obszarów, na jakie dzielą koło te odcinki?
22. (∗) Ile rozwiązań ma równanie x1 + x2 + . . . + x5 = 20 w liczbach całkowitych spełniajacych warunek: 0 6 xi 6 5, dla
i = 1, . . . , 5?