Tekst Nieklasyczne rachunki zdań a metodologiczne schematy

Tekst Nieklasyczne rachunki zdań a metodologiczne schematy

S TUDIA
LOGICA
T o m X X -- 1967
ANDRZEJ
GRZEGORCZYK
NIEKLASYCZNE RACHUNKI ZDAlq A MET O E O L C G I C 2 N E S(I-~EMA'IY
BADANIA NAUKOWEGO I DEFINICJE P O ] t ~ ASl:R'I~/~Xl%]'(H
Spogr6d system6w logicznych r6~.nych od klasyczncgo lcgika intuicjcnistyczna stanowi najbardziej atrakcyjny przedmiot badafi. O ile i nne nie klzsyc~ne sysu rrJy lcgiczne
robi~ wra~,enie sztucznych twor6w, to logika intuicjonistyczna l:izy bliisz3m poznaniu
wydaje sit systemem dogd naturalnym w jakim~ trudn~m do sprecyzc~ania sensie.
T~ jej intuicyjn~ naturalno~d wielu autor6w pr6bowato rzcjcnalnie x~yth:mzczyd z klasycznego punktu widzenia, podaj~c szereg formahaych inteipretzcji rzchunku imcicjonistb'cznego, jak r6wnie2 usituj~c na wtasny spos6b opisad matcrratyczny sons intuicjonistycznych idei, jak to czynit np. jako jeden z pierwszych A. Kc!n:cgcIcw. J~ko gt6wne
interpretacje formalne rachunku inmicjonistycznego wymknid nak2y: 1. Mzt~yce Jagkowskiego [7]; 2. Interpretacj~ topologiczn~ Tarskiego [14] rczwiniCt~ Fdiniej wraz
z McYdnseyem [10] i rozszerzon~ na rachunek kwantyfikatcrdw przez R z s i c ~ i Sikorskiego [13]; 3. Rekurencyjmt reahzowalnogd Kleencgo [9]; 4. Interpretzcj~ w teorii
graf6w (poprzez drzewa) podan~ przez Betha [2] i om6wion~ szczcg6tc~vo pizcz Kripkego [11]; 5. Interpretacj~ GSdela [4] za pomoc~ funkcjonat6w rekurencyjnych wy2szych
typ6w; 6. Interpretacjq sugerowan~ przez pojqcie ~vymuszania, w [5] i [11], kt6r~
mam zamiar zaj~d sit nieco bli2ej. Warto mo2e od razu powiedzicd, 2e mimo du2ej
hczby wymienionych interpretacji dzisiaj zdajemy sobie spraw~ z pex~nych wyra2nych
zwi~zk6w miqdzy nimi. Interpretacje te rozpadaj~ sit na dwie grupy: I ~ inteIl~retacje
rekurencyjne (3. i 5.), oraz II ~ pozostate, gcigle z sob~ zwi~zane: matryce Jagko~skiego
mo2na mianowicie uwa2ad za pewnego rodzaju drzewa, l:cdcknie j~k i cstaw.i~ interpretacj~ 6, drzewa natomiast stanowi~ swoist~ przestrzefi tcpolcgic~n~, mcg~ wiqc byd
uznane za szczeg61ne przypadki interpretacji 2.
Po logice intuicjonistycznej r6wnie2 do~d namralnymi z lcgicznego lcwktu widzenia s~ nieklasyczne systemy implikacji ~cistej, kt6re prdbuj~ usun~d F~v,r_e intuicyjne
wady klasycznej implikacji. Logika modalna wydaje sit uspra~iedli~icr.a jako logika
implikacji ~cistej. Implikacja ~cista mo2e byd terminem pie~wotnsm lcgik rncdalnych
i interpretacje logiki modalnej s~ analogiczne do interpretacji lcgiki int~icjcnistycznej.
W pracy niniejszej nie roam zamiaru omawiad wszystkich ~ymienicnych interpretacji. Chcq sit skupid na ostatniej z nich i to bardziej nawet na filczcficznej, zni~.di
na matematycznej stronie owej interpretacji. Celem przcy jest cg61ncrnetcdclcgiczne
usprawiedliwienie logiki inmicjonistycznej i pewnego systemu lcgiki ~ciskj implikacji,
[ 117 ]
118
A. Grzegorczyk
[2]
jako opartych na interesuj~cej analizie wiedzy naukowej i ~cistych defmicjach pewnych
poj~d asertywnych. Czysto formalne wyniki cytowane w dalszym ci~gu s~ dowodzone
w pracach [5] i [6].
1. O N T O L O G I C Z N Y P U N K T WYJ~CIA W L O G I C E KLASYCZNEJ
Sledz~c wypowiedzi intuicjonist6w tatwo doj~ do wniosku, 2e zarzuty ich skierowane przeciwko klasycznemu rachunkowi logicznemu maj~ swe ~r6dio w nieufno~ci
intuicjonist6w do tego, co mo~.na by nazwad ontologicznym punktem wyj~cia klasycznej
logiki.
Rachunek ldasyczny jest uzasadniony w rozwa2aniach o ontologicznym nastawieniu,
czyli w rozwa2aniach, w kt6rych chcemy bezpo~rednio odpowiada~ na pytanie: ,,jaki
jest ~wiat?" bez wzgltdu na to, czy jest przez kogo~ poznawany i jak jest poznawany.
W ten spos6b mo~.na najnaturalniej odczytad twierdzenia rachunku ldasycznego. Swiat
jest taki, 2e p, lub nie jest taki, ~.e p. A ~i~c ~wiat jest taki, ~.e: p lub hie p. Swiat jest
witc taki, 2e spetnione jest w n i m prawo wyt~czonego ~rodka. Podobnie dla dowolnych
dw6ch stwierdzefi p i q, je~li ~wiat jest taki, 2e: je2eli p, to q, to ~wiat jest taki, 2e je2eli
hie q, to nie p. Np. je2eli ~wiat jest taM, 2e je~li kto~ zje truj~ce grzyby, to ma bole~ci
brzucha, to ~wiat jest taki, ~.e je~li kto~ hie ma bole~ci brzucha, to znaczy, • nie zjacll
truj~cych grzyb6w. Swiat jest witc taki, 2e: (p -+ q) -7 (~ q ~ ~ p).
W uzasadnieniu tego rodzaju nie interesujemy sit metodami i mo~.liwo~ciami naszego poznania. Przyjmujemy, 2e ~wiat jest jaki~ bez wzgltdu na to, czy mamy mo•
wo~ci sit o tym przekonad, czy nie. ,,Platon byt w Indiach, lub hie byi w Indiach"
uznajemy za prawd~, chocia2 nie mo2emy sit przekonad o prawdziwo~ci zdafi sktadowych wysttpuj~cych w tym zdaniu zio2onym. To lekcewa2enie problematyki epistemologicznej w uzasadnieniu tez logiki jest niedopuszczalne zdaniem intuicjonist6w.
W ujtciu klasycznym logika jest jakby najog61niejsz~ ontolegi~. Przyjmuje sit, ~.e
refleksja og61noontologiczna jest wcze~nkjsza logicznie od refleksji metodologicznej
czy teoriopoznawczej i stud jest od tej drugiej nieza10.na, jako 2e stanowi podstaw~
dla niej i dla catej nauki o ~wiecie. W uj~ciu intuicjonist6w logika jest zbiorem reguI
uzasadniania usprawiedliwionych naukowo, jest metod~ rozwi~tzywania problem6w,
przeprowadzania badafi my~lowych. Nic wiqc dziwnego, 2e przy tak r62nych ujtciach
rachunku logicznego r6~ne wzory wydaj~ sit godne uznania. Mo•
by twierdzid, 2e
oba systemy nie s~ konkurencyjne, bo ka2dy z nich dotyczy czego innego.
Logika klasyczna zostaje fflozoficznie uzasadniona przy powy~.ej naszkicowanym
ujtciu ontologicznym, albo poprzez tabelkowe okre~lenie sp6jnik6w logicznych, albo
poprzez ujtcie aksjomatyczne i intuicyjn~ analiz~ aksjomat6w. Warto tu mo2e zwr6ci6
uwag~, • je~li pragniemy obroni~ inmicyjny sens jakiego~ uktadu aksjomat6w klasycznego rachunku zdafi, to musimy w tym celu dobra6 taki zesp6i aksjomat6w, w kt6rym
nie wysttpuj~ tezy trudne do intuicyjnego ujtcia z ontologicznego punktu widzenia.
Nale2aloby witc w tym celu poszukiwa6, przeciwnie ni2 sit to dziaio w dotychczasowym
rozwoju logiki, hie tyle najkr6tszych uktad6w aksiomat6w, co raczej dhagich uktad6w,
[3]
119
Nieldasyczne rachunki zdafi
zawieraj~cych kilkana~cie, albo i kilkadziesi~t prostych tautologii, a rile zawieraj~cych
rip. prawa symplifikacji (p -+ (q -+ p)), kt6re jest bardzo nieintuicyjne z ontologicznego
punktu widzenia, a niestety wystgFuje w jakiej~ postaci w wigkszo~ci aksjomatyk rachtmku z dafi zar6,~no klasycznych, jak i intuicjonistycznych. Mam wra~.enie, ~e badania takie nie byty czynione, a dow6d niezale~.no~ci du2ego uktadu aksjomat6w jest
oczywi~cie znacznie trudniejszy.
2. METODOLOGICZlqY PUlqKT WYJ~CIA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ
Zdaniem inmicjonist6w ich logika dotyczy przeprowadzania dowolnych konstrukcji
myflowych. Podaje schematy my~lenia naukowego. Nie uznaj~ oni tego, ~e my~lenie
ontologiczne jest podstaw~ wszelkiej refleksji. Z ka~dym zdaniem wi~2~ nierozdzielnie
refleksjg had sposobem doj~cia do uznania tego zdania. Chc~c poda6 precyzyjn~ interpretacjg metodologiczn~ tak pojgtej logiki intuicjonistycznej hie mogg jednak zerwa6
z wtasn~ spontanicznie przyjmowan~ logik~ ldasyczn~. Interpretacja moja bgdzie wigc
na gruncie metalogiki, w kt6rej logika klasyczna jest przy/gtym narzgdziem wyra2ania
my~li i formutowania dowod6w. Mam wra2enie, ~e za pomoc~ tej aparatury podajg
do~6 wierny wizertmek my~li intuicjonistycznej.
Chc~c opisa6 logikg jako metodg naukowego dochodzenia do uznania pewnych
twierdzefi musimy rozwa~6 podstawowe schematy budowy nauki. Niestety zaraz na
wstgpie refleksji naukoznawczei spotykamy dwa konkurencyjne wyobra~enia budowy
nauki. Obu wyobra~eniom m o n a nada6 geometryczn~ formg drzewa. Wyobra~my
wigc sobie drzewo ~ci~te, kt6re spada na o~ czasu. Mo2e ono upa~6 albo pniem w strong
przeszto~ci a gatgziami w strong przyszto~ci i w6wczas mamy wyobra~enie wiedzy iako
rozwijaj~cej sit w czasie przez zdobywanie nowych twierdzefi, albo mo~.e upa~6 gattziami w strong przeszto~ci, a pniem w strong przyszlo~ci i w6wczas mamy wyobra2enie
nauki jako zawg~aj~cej pole mo~.liwych hipotez przez obalanie ismiej~cych. Z pierwszym
wyobra~eniem t~czy sit np. nazwisko R. Carnapa, z drugim K. Poppera.
IT
czas
I
Przyjmuj~c kt6r~kolwiek z tych dw6ch koncepcji nauki mo2na doj~d do uzasadnienia
rachunku intuicjonistycznego. Przy II koncepcji nauld znajduje r6wnie• usprawiedliwienie pewien system implikacji ~cistej. Obie koncepcje maj~ swoje wady, jak to przy
okazji hie omieszkamy zaznaczy6. Przy obu koncepcjach zbi6r formut logild intuicjonistycznej daje sit opisa6 jako zawieraj~cy te i tylko te schematy rachunku logicznego,
do kt6rych przyjgcia sklania kaY.de badanie naukowe. Wszellde inne formuty hie s~
120
A. Grzegorczyk
tak pewne (tak mr
[4]
potwierdzalne, przy koncepcji I, lub tak nieobalalne przy
koncepcji II), jak formuty rachunku intuicjonistycznego (lub formutyl rachunku
implikacji gcistej przy koncepcji II).
3. LOGIKA INTUICJONISTYCZNA
PRZY CARNAPOWSKIEJ KONCEPCJI BADANIA NAUKOWEGO
Podstaw~ wiedzy empirycznej przy koncepcji nazwanej tu umownie camapowsk~
jest gromadzenie zdafi opisowych przypisuj~cych pewnym przedmiotom pewne wtasno~ci. W stwierdzeniu tyro kryje sit pewna idealizacja postcpowania naukowego, kt6r~
sit systematycznie rozwija. Zakhdamy tu wicc, ~e wiedza jest sprowadzalna do zdafi
opisowych i rozw6j wiedzy polega przede wszystkim na powickszaniu sit zasobu zdafi
opisowych. Zdania t e z formalnego punktu widzenia maj~ postad zdafi atomicznych:
P1(a), P~(b), ..., P~(a, b), ... P](a, b, c), ... itd. Sktadaj~ sit z predykatu i nazw jednostkowych, desygnatom kt6rych przypisujemy dany predykat. Badanie naukowe operuje
pewn~ metod~, zgodnie z kt6r~ postqpuj~c uzyskuje sit coraz to nowe zdania atomiczne,
stanowi~ce nowe informacje naukowe. Informacje zdobywane w postcpowaniu naukowym nie s~ jednak przez metod~ badania jednoznacznie wyznaczone. Metoda badania
jest zadawaniem pytafi przyrodzie. Na pytania te przyroda mo~e odpowiedzied bardzo
rozmaicie. Stud zdobywanie informacji w post~powaniu naukowym daje sit przedstawid w formie grafu zwanego drzewem. Drzewo formalnie opisad mo~.na jako kompleks:
D -- < X, P, o > ; X = zbi6r punkt6w (rozgatcziefi); P jest funkcj~ okreglon~ na X
i przyjmuj~c~ jako wartogci podzbiory zbioru X: dla ~ e X, P ( , ) ( X; o jest punktem
wyjgciowym, pocz~tkiem drzewa. Drzewo zto~one z informacji naukowych mo2emy
nazwa~ badaniem naukowym. Badanie jest wicc kompleksem:
(1)
B = < XB, PB, os >
X s = zbi6r informacji, PB jest funkcj~ wskazuj~c~ nastcpne mo21iwe informacje;
oB jest informacj~ pocz~tkow~. ]'ako informacje bcdziemy traktowad jednak nie pojedyncze zdania atomiczne, ale ich skoficzone kompleksy. Xs jest wicc zbiorem opis6w
skoficzonych a = < A1, ..., A, > gdzie A~ s~ pojedynczymi zdaniami atomicznymi
postaci P~.(ah, ..., a~j). Funkcja PB przyporz~dkowuje informacji ~ = < A1, ..., A~ >
zbi6r Ps(a) ( X s zto2ony z informacji bcd~cych rozszerzeniami informacji a o howe
zdania atomiczne:
(2)
JeHi flr Ps(a) i c~ = < At, ..., A~ > ~- fl, to istniejq takie A~+~, ..., A~+k, :~e
[3 = < A~, ..., A~, A~+I, ..., A~+k > 9
Interpretacja funkcji PB jest nastqpuj~ca. ~e~li posiadamy ju2 informacj~ a, to
Ps(c~) jest zbiorem wszystkich mo21iwych informacji nastcpnych po informacji a , nastCpnych przy przyj~tej metodzie badania. Np. posiadaj~c informacjc ~ i postqpuj~c
zgodnie z metod~ przyjct~ w naszym badaniu B przypu~my, 2e dokonujem y pcmiaru
przedmiotu a i nastqpna informacja: fi c P~(a) zawiera opr6cz zdafi wchodz~cych
[5]
INieklasyczne rachunki zdali
121
w sldad informacji ~ jeszcze jedno zdanie przypisuj~ce przedmiotowi a pewn~ miarq.
lXlasza metoda badania hie determinuje oczywigcie jaka ma by~ miara przedmiotu a.
Miara ta zale~.y od przedmiotu a. Zale2y hie tylko od metody, ale te~. od rzeczywisto~ci.
Dlatego formalnie opisuj~c badanie musimy dopu~cid, ~.e jest wiele mo~.liwych informacji
/5 nastqpnych po informacji ~ i one tworz~ wlagnie zbi6r P~(o~). Zaldadamy jeszcze, ~e
Ps(~) jest zawsze zbiorem nie pustym. Badanie mo~,e byd skoficzone lub potencjalnie
nieskorlczone. P~(~) sldada sit albo z informacji nastqpnych, albo, jegli takowych hie
dostarcza nasza metoda badania, w6wczas przyjmujemy, ~e samo ~ jest jedynym elementem P~(c~).
Tak opisane schematycznie badanie naukowe jest kolejnym stwierdzaniem pewnych
fakt6w. Jegli badanie to traktujemy jako czynnog~ poznawcz~, w6wczas zmusza has ono
do uznawania pewnych zdafi. Zdania mog~ by~ atomiczne (przypisuj~ce pewnym
!
przedmiotom pewne wh~ciwo~ci) lub zto~.one (zawieraj~ce sp6jniki logiczne). Badanie
naukowe bezpo~rednio sldania has tylko do uznania zdafi atomicznych, tych kt6re
znajduj~ sit w aktualnym stanie informacji uzyskanym w naszym badaniu. Mimo to
twierdzimy cz~sto, ~e i zdania zto2one uznajemy w oparciu o badanie naukowe. Sens
zwrotu: stan o~ badania B z m u s z a nas do u z n a n i a z d a n i a ~ wymaga jedn~k w przypadku
zdafi zto~.onych specjalnej defmicji. Definicj~ tak~ zasugerowan~ przez teoriomnogo~ciowe poj~cie wymuszania podane przez Cohena [3] mam zamiar wta~nie przedstawid.
Zwr6dmy od razu uwag~ na nast~puj~cy szczeg6t. Badanie empiryczne dostarcza
ham jedynie stwierdzefi atomicznych pozytywnych, przypisuje pewnym przedmiotom
pewne whsno~ci. Stwierdzefi negatywnych nie traktujemy tu jako danych empirycznych.
lXlale2~ one do zdafi zto~onych i pojqcie wymuszania bqdzie dla nich okre~lone w deftnicji. Do~wiadczenie m6wi, ~.e cytryna jest 26ka, a nie m6wi nam, 2e hie jest niebieska.
To, 2e nie jest niebieska wynika z tego, ~e jest ~.6ka, ale w oparciu o pewne (by~ mo~.e
zastuguj~ce na nazwq analitycznego) zato~.enie, 2e 2aden przedmiot 26try nie jest niebieski. Gdyby nie to zato~.enie, to stwierdzenie 26ko~ci nie wykluczatoby niebiesko~ci,
tak jak nie wyklucza chropowatogci lub okr~gto~ci. A wiqc pewne stwierdzenie pozy-
122
A. Grzegorczyk
[6]
tywne zmusza nas do przyj~cia stwierdzenia negatywnego o postaci -~T, gdy ,,z natury" naszego badania i z namry owego stwierdzenia pozytywnego wynika, 2e ~aden
przyszty start badania hie mo2e zmusi6 nas do uznania T. Dla zdafi atomicznych przyjmujemy wi~c, 2e:
S t a n informacji ~x z m u s z a do uznania zdania P ( a , b), g d y zdanie to nale~y do informacji ~.
Natomiast dla negacji:
S t a n informacji e~ z m u s z a do u z n a n i a z d a n i a ~ T wtedy, g d y ~iaden p r z y s z t y stan
informacji nale~qcy do naszego badania i nast~pujqcy po o~ nie mo~e zmusid has do u z n a nia T .
Dla koniunkcji i alternatywy przyjmujemy naturaln~ defmicj~:
S t a n inforrnacji ~ z m u s z a do uznania koniunkcji T ,,\ ~ , g d y o~ z m u s z a do u z n a n i a T
i a zrnusza do uznania q); cx z m u s z a do uznania ~V~b, g d y o~ z m u s z a do u z n a n i a ~P,
lub c~ zrnusza do u z n a n i a r
Dla implikacji zn6w mamy specjaln~ formut~:
S t a n informacji ~ z m u s z a do uznania q) ~ T , g d y ka~dy p r z y s z t y stan badania naszego
ktdry z m u s z a d has br
do uznania qs, r6wnie~ z m u s i has do uznania ~ .
Uznanie implikacji w pewnym badaniu jest wi~c r6wnie~, podobnie jak uznanie
negacji cech~ nie samej rzeczywisto~ci, ale te2 i naszego badania.
Aby uwypukli6 formaln~ strukmr~ tej definicji indukcyjnej zapiszmy j~ przyjmuj~c
skr6t:
,,~ w B zmusza do ~rJ" zamiast ,,stzn informacji ,x w badaniu B zmusza do uznania
zdania T " .
1. Je~li A jest zdaniem atomicznym, w6wczas:
w B z m u s z a do A=- A r ~.
2. Dla zdafi zto2onych:
.x w B z m u s z a do [--q~/x T q = ( x w B z m u s z a do r /~ o: w B z m u s z a do T),
cx w B z m u s z a do F r ~/ T q - (.x w B z m u s z a do r V ~ w B z m u s z a do T),
a w B z m u s z a do V ~ T q
= A (cx J fl --,- ~ (fl w B z m u s z a do T ) ) ,
B
~x w B z m u s z a do r- r ~ T 7
= A (a ~ fl -+ (fl w B z m u s z a do r -+ fl w B z m u -
s z a do
:Przy tym relacja -' jest okre~lona nast~puj~co:
/3
0
/3
n+l
n
B
;,
-
V
n
Relacjq -~ mo2na rozumied nastqpuj~co: ~ ~ fl wtedy i tylko wtedy, gdy informaB
B~
cja fl jest mo~liwym rozszerzeniem informacji ~ w badaniu B
(rozszerzeniem uzyskanym
[7]
Nieklasyczne rachunki zdali
123
hie koniecznie W nasttpnym kroku naszego badania, ale po pewnej skoficzonej ilogci
krok6w). W definicji relacji zmuszania charakterystyczne s~ wanmki dotycz~ce negacji
i implikacji i raz jeszcze nad nimi sit skupimy.
Stan informacji c~ w badaniu B zmusza do uznania negacji: V~ 5v7 wtedy i tylko
wtedy, gdy 2adne rozszerzenie stanu informacji c~ w badaniu B hie zmusza do uznania
kg, czyli gdy: jakkolwiek dtugo btdziemy kontynuowad badanie B nigdy nie uzyskamy
informacji sldaniaj~cej nas do uznania 5v.
Stan informacji ~ w badaniu B sktania do uznania implikacji V# ~ k~7 wtedy
i tylko wtedy, gdy kaY.de rozszerzenie stanu 0% kt6re skiania do uznallia 4, sk6nia
r6wnie2 do uznania k~.
W warunkach tych jest podkreglone to, ~.e do uznania negacji sklania nas nie przypadkowy brak stwierdzenia pewnej cechy czy zjawiska, ale og6kla niemo2nogd stwierdzenia tej cechy, czy zjawiska w naszym badaniu, jegli ju~ uzyskali~my stan informacji o~.
Podobnie, do uznania implikacji sktania hie przypadkowa zbie~nc~d, ale og61na konieczno~d uznania k~ po uznaniu q~ w badaniu B, jegli ju2 doszli~my do stanu wiedzy ~.
Niemo21iwogd uznania zdania q~ w 2adnym dalszym etapie naszego badania B
wydaje sit cech~ nie tylko rzeczywistogci badanej, ale te2 i naszej metody badania.
Stud wszelka negacja jest czt~ciowo analityczna, mo2e lepiej nak~atcby rzec, aprioryczna, lub przynajmniej hie czysto empiryczna. Podobnie nie czysto empiryczn~
wydaje sit wszelka implikacja i pewn~ zalet~ tej inteIpretacji wydaje sit to, 2e uwypukla ten aprioryczny element formut zto~.onych z negacji i implikacji.
Czasem zmuszenie do uznania negacji mo2e wynikad ze struktury samego badania.
hip. badanie, kt6rego metody dotycz~ jedynie poznawania spokcznego 2ycia owad6w,
nie mo2e sktonid nas do uznania twierdzenia o strukturze atomu. Oczywigcie uznanie
negacji twierdzenia o strukrurze atomu w oparciu o to, 2e badanie spotecznego ~.ycia
owad6w nie daje nam mo21iwo~ci uznania tego twierdzenia, jest posttpowaniem nieopatrznym i zbyt pochopnym. Twierdzenie o strukturze atomu w og61e nie powinno
nale2ed do j~zyka informacji badafi entomologicznych, wykracza ono poza przedmiot
badafi. Je2eli jednak wyobrazimy sobie, 2e zbi6r wszystkich obecnych metod badania
stanowi przynajmniej w wyobra2ni naszej epoki uniwersaln~ metodt badania naukowego w danej dziedzinie, w6wczas mo•
zrozumied stanowisko ~.~daj~ce odrzucenia
tezy, kt6rej 2adne dalsze badanie nie mo2e potwierdzid. Stanowisko takie jest oczywi~cie
wyrazem zacie~nienia swego poznania do poznania jedynie za pomoc~ owej uniwersalnej
w naszym przekonaniu metody. Mam wra~.enie, 2e tego rodzaju za~t2enie sit monna
przypisad niekt6rym pozytywistom neguj~cym tezy metafizyczne, poniewa~, w ich przekonaniu 2adne badanie naukowe hie mo2e do nich doprowadzid.
Stud wydaje sit, ~e powy2sza definicja zmuszania do uznania negacji i implikacji
pasuje do og61nopozytywistycznych nastawiefi poznawczych. Warunki dotycz~ce zmuszania do uznania koniunkcji i alternatywy s~ zrozumiate same przez sit.
Przy przyjttej powy• i jak pr6bowalem pokazad dogd naturalnej definicji zmuszania do uznania nasuwa sit pytanie, czy s~ i jakie s~ og61ne schematy zdaniowe,
124
A. G r z e g o r c z y k
[8]
talde, 2e ka2de zdanie podpadaj~ce pod schemat jestegmy zmuszeni uznzd w oparciu
o ka2de badnnie naukowe. Okazuje sit, 2e jest to zbi6r formut logiki intuicjonistycznej
ISC. Wynik ten mo•
uj~d gcigle w postaci twierdzenia:
TWIERDZEN1E 1.
(3)
~elSC-
A A (x e XB ~ a w B zmusza do ~ )
13 c*
S t o w n i e : Formula ~ jest formut~ intuicjonistycznego rachunku zdafi wtedy i tylko
wtedy, gdy ka2dy stan informacji ka~dego badania naukowego zmusza nas do uznania
formuly 5rj. Prawo wyt~czonego grodka np. nie spetnia tego warunku. Jegli stan wyjgciowy naszego badania naukowego nie informuje nas o posiadaniu przez przedmiot a
wlasnogci P, a nast~pne stany informuj~ has ju2 o tym, 2e P(a), w6wczas start wyjgciowy
nie zmusza has do uznania, • P(a)V "" P(a). Prawo wyt~lczonego grodka monna by
witc uznad za twierdzenie ontologiczne wykraczaj~ce poza metod~ naukow~.
Dow6d r6wnowa•
(3) opiera sit na topologicznym badaniu drzew (patrz [5]
i [6]). Tutaj szkicujemy tylko mygl zasadnicz~. Z formalnego punktu widzenia interpretacja ta jest interpretacj~ na gruncie teorii graf6w. Rdwnowa~ne~d (3) jest konsekwencj~ r6wnowa~nogci m6wi~cej, ~.e:
jest formutq intuicjonistycznq wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka#dego drzewa i dla
ka2dego nadania wartofci zmiennym poprzez zbiory otwarte w drzewie, wartoiciq calego
wyra#enia ~ jest cate drzewo.
Sciglej i symbolicznie zdanie powy2sze mo~.emy zapisad nast~puj~co:
5v e ISC - A x, P, o , f ( ( ( X , P, o ) stanowi~t drzewo f A a (a jest zmienna zdaniow~ -+f(a) jest otwartym podzbiorem X ) -7 val~ 7j = X )
Przez zbiory otwarte w drzewie rozumie sit przy tym sumy otoczefi otwartych.
Otoczeniem otwartym p u n k m rozgat~zienia jest cata gate2, kt6ra odpada, gdy przepitujemy gate2 drzewa tu2 poni2ej owego punktu rozgattzienia. Wartogci dla formut
zt&.onych s~ przy tym okreglone indukcyjnie:
vale(a) =--f(a) dla formuty a b~d~cej zmienna zdaniow~,
valj ( ~ a) = Int (X -- val~ a),
val I (a V b) = val~ a w val~ b,
valj (a A b) = val s a m valj b,
val~ (a -+ b) = Int ((X -- val I a) w val I b),
gdzie X jest zbiorem wszystkich rozgat~ziefi, a Int (Y) oznacza wn~trze zbioru i1,
czyli najwi~kszy zbi6r otwarty zawarty w Y.
4. L O G I K A I N T U I C J O N I S T Y C Z N A
PRZY P O P P E R O W S K I E J K O N C E P C J I B A D A N I A N A U K O W E G O
Badanie naukowe w koncepcji, do kt6rej obecnie przechodz~ jest statym eliminowaniem hipotez. Okreglone badanie dotyczy pewnych przedmiot6w lub zjawisk oraz
[9]
Nieklasycznerachunki zdafi
125
pewnych ich cech. W terminach nazw tych przedmiot6w, zjawisk icech formutujemy
lub przynajmniej mo~emy sformutowad szereg hipotez dotycz~cych badanej dziedziny.
Charakterystycznym dla naszego badania jest zabieg falsyfikacji okreglony w ten spos6b, ~e pewne zabiegi eksperymentalne falsyfikuj~ nam proste zdania atomiczne naszej
teorii. W teorii np. gtoszona jest r6wno~6 dw6ch wielko~ci ~ i :3. Do~wiadczenie polega
na obserwacji wychylenia strzaiki pewnego przyrz~du pomiarowego, kt6ry oczywi~cie
podlega r6~nym niedoktadno~ciom i w og61e nie ma sensu m6wi6 o poto~eniu strzatki
w pewnym punkcie. Natomiast sformutowania teorii s~ pewnymi idealizacjami i m6wi~
o identyczno~ci dw6ch wielko~ci teoretycznych, np. dw6ch liczb rzeczywistych bqd~cych
miarami pewnych wielko~ci. Stud jest jasne, ~.e doldadne potwierdzenie r6wno~ci
F(c0 = :3 przez eksperyment jest niemo~.liwe. Mo~.emy jedynie powiedzie6, ~e np. poto2enie strzatki mi~dzy cyfr~ 5 i 10 rile obala naszej hipotezy, 2e F(~) =/3, natomiast
polo~enie strzatki poni2ej 5 lub powy~ej 10 ju~ obala hipotez~, ~.e c~ = ft. Je~li eksperyment nie obala hipotezy, to mo~emy m6wi6, ~.e j~ dopuszcza. W badaniu naszym
jest wi~c okre~lone kiedy pewien stan wiedzy eksperymentalnej dopuszcza pewn~ hipotez~ sformutowan~ w zdaniu atomicznym. To poj~cie dopuszczalnej hipotezy w pewnym stanie badania mo2emy teraz rozszerzy~ na zdania ztc~one naszej teorii. Zabieg
ten wymaga matego przygotowania. Musimy miano~icie opisa6 strukmr~ stan6w wiedzy
eksperymentatne) i jej zwi~zek z wiedz~ teoretyczn~. Ot6• w koncepcji obecnie rozwa2anej przyjmujemy, 2e punktem wyj~cia post~powania empirycznego s~ pewne zestawy
hipotez sformutowanych w atomicznych zdaniach teorii. Skupiamy sit na skoficzonym
ci~gu hipotez atomicznych:
< A~, ..., A~, An+~, ..., An+~ )
i nasza empiryczna metoda badania temu zespotowi hipotez przyporz~dkowuje pewien
zabieg badawczy, po przeprowadzeniu kt6rego pewne z hipotez np. An+l, ..., An+e
mog~ zosta~ wyeliminowane. Stud w nastqpnym momencie badania mamy do czynienia
z zestawem kr6tszym < A~, ..., A~ >, kt6remu z kol,_i przyporz~dkowany jest pewien
zabieg eksperymentalny eliminujr{cy jak~ z hipotez atomicznych ltd. Funkcja eliminacji zale~.y czqsto od indyr162
oceny eksperymentatora. Ten sam stan przyrz~du
pomiarowego mo~e jeden badacz uznad za dopuszczzj~cy zdanie atomiczne teorii
postaci F(~) =/3, drugi mo~.e ju~. uwa• za wyklucz,-.j~cy to zdanie. Powiemy wtedy,
~e ka~dy z nich uprawia inne badanie naukowe. Stan ~ bad:nia B jest wi~c scharakteryzowany przez ci~g atomicznych zdafi teorii dopuszczalnych w stanie ~ i monna go
z nim identyfikowad. Znajduj~c sit w stanie c~ mo~emy prz~j~d do nast~pnego stanu :3,
kt6ry polega na wykrc~leniu pewnej porcji zdafi atomicznych, kt6re okazaty sit niedopuszczalne po przeprowadzeniu do~wiadczcfi, kt6re badanie B nakazuje wykona6
w startle ~. Znaj~c metodq badania B mo2emy okr, ~lid, kt6re zdania atomiczne wystqpuj~ce jako dopuszczahae w stanie ~ mog~ zostvA ob:qone przez nastqpny eksperyment.
Punktem wyjgcia badania jest jeden z wklu ukDd6w dopuszczahaych przypuszczefi,
a przebieg badania polega na wykrc~l,.niu kel, jnych wyraz6w z wyj~ciowego ci~gu
hipotez atomicznych. Je~li wi~c stan wicdzy o~ jest nast~pnym krokiem po stanie wie-
126
A. Grzegorczyk
[10]
dzy fl w badaniu B, to er zawiera o kilka zdafi mniej ni~. ft. Oczywi~cie do danego stanu o~
mo~emy przej~d przez redukcjq wychodz~c od wielu r6~nych stan6w ft.
Je~li przez PB(a) oznaczymy zbi6r wszystkich stan6w wkdzy wcze~niejszych, kt6re
przez redukcj~ hipotez w jednym kroku eksperymentalnym prowadz~ do stanu wiedzy a,
to mieliby~my zwi~zek formalny:
(4)
J e i l i f l e PB(@ i o~ = ( A1, ..., A n )
~ fl, to istniejq takie An+l, ..., An+k,
~e fl = < A1, ..., A n , An+l, ..., An+~ ) .
Zwi~zek ten jest identyczny ze zwi~zkiem (2) opisuj~cym badanie w kenceFcji carnapowskiej, inny jest tylko kierunek czasu. Obecnie jcgli fle PB(cx), to fl jest ~czcgniejsze
od c~. Staid badanie naukowe mo~.emy traktowad jako kempkks B = ( X B , PB, oB )
b~d~cy formalnie drzewem inaczej tylko skiero~znym w czasie. Aby dla kieivnku
czasowego zachowad ten sam zwrot relacji -:, cbecnie relacj~ t~ (stan badania c~, poprzedza st_an badania fl) okreglimy nast~puj~co:
0
B
*n+l
n
B
0c
7
-
V
n
Indukcyjnej definicji dopuszczalnogci m ci{rry rrdrd (l:ecrie l:CS~d r ~ s ~ r j z , cR
Zdanie atomiczne A jest dopuszczalne w stanie c~ badania B, gdy A naleky do zdafi,
ktdrych stan badafi c, nie obala. W skr6cie:
w B dopuszcza A = A r
Uznanie negacji ~ 7' jest dopuszczalne w stanie e~ badania B , gdy ~aden ~czegniejszy start fl badania B hie dopuszcza! uznania 7":
(5)
~ w B dopuszcza
~ 7" -
/k (fl < o~ -4 ~ (fl w B dopuszcza 7"))
Uznanie implikacji 7" ~ ~ jest dopuszczalne w stanie a, gdy ka~dy wczegnicjszy
stan badania, kt6ry dopuszczat 7", r6wnie2 dopuszczat q~:
a w B dopuszcza 7" -~ ~ = /~ ((fi < ~ A fl w B dopuszcza u
~ fl w B dclz:s~cza q~)
3
Dla koniunkcji i alternatywy przyjmujemy zwyczajnie:
o~ w B dopuszcza 7"/x q) = ~ w B dopuszcza 7" i ~x w B dopztszcza ~ ;
o~ w B dopuszcza 7" V q~ - ~ w B dopuszcza 7", lub c~ w B dopuszcza ~.
Przy takiej definicji dopuszczalnogci otrzymujemy
TWIERDZENIE 2. Fortlzzlla q) jest tezq
ka~dego badania B dopuszcza uznanie ~.
logiki intuicjonistycznej
-
ka~dy stan e~
[11]
Nieklasyczne rachunki zdafi
127
Dow6d taki sam, jak twierdzenia 1, formalny opis badania dopuszczaj~cego uznahie jest bowiem taki sam, jak opis badania zmuszaj~cego do uznania, tylko drzewo
rozwa/ane jest skierowane koron~ ku przesztogci.
5. LOGIKA ~CISLEJ IMPLIKACJI
PRZY POPPEROWSKIEJ KONCEPCJI BADANIA NAUKOWEGO
Powy~.ej opisany schemat badania naukowego w ujtciu popperowskim nie jest
jednak ani jedynym opisem formalnym tego ujtcia, ani najbardziej przekonuj~cym.
Opisatem go jako pierwszy schemat ujtcia popperowskiego po to, ~eby pokazad przy
jakim rozumieniu tego ujtcia otrzymujemy r6wnie~ logikt intuicjonistyczn~. Jednak~.e
w opisie powy~szym pewne rzeczy budz~ zastrze#.enia i prowadz~ do zmian w definicji,
kt6rych konsekwencj~ jest uzasadnienie innego systemu logiki hie klasycznej. Przede
wszystkim defiificja dopuszczalno~ci uznania negacji wydaje sit zbyt ograniczona.
Zdanie (5) pozwala uznad negacjt ~ W, gdy od pocz~tku badania W byto niedopuszczaJ.ne, je~li zag dopiero po pewnym czasie (ha podstawie np. dziesi~tego etapu badania B) dopiero okazato sit ~ niedopuszczalne, w6wczas definicja (5) hie pozwala na
uznanie ~ .
Ta ostro~no~d w stwierdzeniach negatywnych hie jest przekonuj~ca.
Sprowadza sit w gmncie rzeczy do uznania aprioryczno~ci pewnych negacji.
Wydaje sit naturalniejszym, a~eby przyj@, ~.e w pierwszym momencie dopuszczalne
jest uznawanie wszelkich atomicznych przypuszczefl, a nasttpnie kolejne etapy badania
wylduczaj~ powoli r6#.ne przypuszczerda i dopuszczaj~ uznanie ich negacji. Przy tej
koncepcji mieliby~my nasttpuj~c~ indukcyjn~ defmicjt dopuszczalnogci, dla odr6•
nia nazwijmy przyzwalalnogciq:
(6)
c~ w B p r z y z w a l a
o~ w B p r z y z w a l a
o~ w B p r z y z w a l a
w B przyzwala
o~ w B p r z y z w a l a
A (atomiczne) -= A c ~;
~
- N (c~ w B p r z y z w a l a ~/J);
q)V ~ =- ~ w B p r z y z w a l a 0 lub c~ w B p r z y z w a l a ~ ;
0 A ~ = c~ w B p r z y z w a l a 0 i c~ w B p r z y z w a l a ~ ;
0 -+ gj =- A ((fl < c~ i fl w B p r z y z w a l a O) -~ fl w B p r z y 13
zwala ~).
Zwi~zek z poprzednimi eksperymentami pozostawiamy tylko w przypadku implikacji: pewien stan badafi przyzwala na uznanie implikacji, gdy lca~dy dotychczasowy
stan badari, kt6ry przyzwalat na uznanie poprzednika r6wnie~, przyzwalat na uznanie
nasttpnika. Tak pojtte przyzwalanie na uznanie implikacji nie m a w sobie nic z aprioryzmu. Podobnie w przyzwalaniu uznania negacji w obecnej wersji hie ma element6w
aprioryzmu, kt6re wysttpowaty w pojtciach dopuszczalnogci, a znacznie bardziej w wymuszaniu.
Powstaj~cy w oparciu o defmicjt (6) system logiki wydatoby sit naturalnym nazwad
systemem implikacji icistej. Jedyn~ cech~ rd~ni~c~ definicjt przyzwalania od definicji
spetniania jest bowiem definicja przyzwalania na uznanie negacji. Intuicja wyra2ona
w definicji (6) bllska jest intuicjom tw6rc6w implikacji gcistej i jak zobaczymy pro-
128
A. Grzegorczyk
[12]
wadzi do systemu btd~cego w bliskim zwi~zku z historycznie znanymi systemami
gcistej implikacji. Dla odr6~,nienia od innych system6w implikacji ~cistej system ten
n,zwijmy po prostu logikq p r z y z w a l a n i a . Twierdzeniami logiki przyzwalania nalo.y
nazwad zbi6r formul, na kt6rych uznanie przyzwala ka~,dy etap ka~dego badania naukowego. Oznaczaj~c logikt przyzwalania przez LP mamy witc formaln~ defmicjt:
(7)
~ r LP -=- A A (o~ w B p r z y z w a l a q~).
B
a,
Latwo sprawdzid, 2e do logiki przyzwalania nalo.~ formuty:
p -+p,
((p -+ q) A (q -+ r)) -+ (p -+ r),
(p
(q
r))
(p A q
r),
p Aq -+p,
p -+ ( p v q ) ,
((p ~ q) A (p -+ r)) ~ (p -+ q A r),
((p ~ q) A (r -+ q)) -+ (p V r ~ q),
(p A
q)
(p
q),
( ~ ( p A q ) A p ) -,- ~ q,
(p -+ ~ q) -+ (q -~- ~ p)
oraz wszelkie prawa klasyczne o postaci r6wnowa2nogci, po obu stronach kt6rej wysttpuj~ dowolne wyra2enia zawieraj~ce wyt~cznie znaki A, V, ~ . (Np. prawa De Morgana).
Natomiast hie s~ powszechnie przyzwolone nasttpuj~ce formuty:
p -+ (q -+ p),
( ~ p V q) -+ (p ~ q),
[(p A q) -~ r] ~ (p -+ (q -+ r)).
Okre~lenie badania, kt6re nie przyzwala na ich uznanie jest rzecz~ bardzo tatw~.
Powszechnie przyzwolona jest te2 nasttpuj~ca formula:
G.
{((Z-~ [] Y) ~ [] Y) A((~ Z - ~ [] Y) ~ [] Y)} ~ []Y
gdzie [] Y jest skr6tem wyra•
~ Y ~ Y.
Formula G nie jest twierdzeniem systemu ~cistej implikacji $4, hie jest ona r6wnie~
twierdzeniem systemu $5. Wszystkie aksjomaty systemu $4 s~ powszechnie przyzwolone. System logiki zdafi powszechnie przyzwolonych jest witc pewnym rozszerzeniem systemu $4 krzy2uj~cym sit z $5. Zagadnieniem otwartym jest: czy i za
pomoc~ jakich aksjomat6w aksjomatyzowalny jest system LP, oraz w jakim stopniu
aksjomatyka ta zale2ataby od pogl~du na strukturt relacji nasttpstwa czasowego.
Dow6d powszechnej przyzwalalno{ci formuly G nie jest trywialny. Opiera sit on
na spostrze2eniu, 2e relacja czasowego nast~pstwa -( w~r6d etap6w badania naukowego
jest czt{ciowym dobrym porz~dkiem. Wtasno~ci te relacji -< wynikaj~ z jej okre~lenia.
Nasttpnie stosujemy topologizacjt opisan~ w [6] i tam2e udowodnione twierdzenie 1.
[13]
Nieklasyczne rachunki zdafi
129
Dow6d w [6] opiera sit na topologicznej interpretacji systemu $4 i jego rozszerzefi
podanej przez McKinseya i Tarskiego oraz na spostrze2eniu, ~.e formula G charakteryzuje przestrzenie topologiczne zwi~zane z czt~ciowymi porz~dkami, mitdzy innymi
tego wta~nie typu, jak porz~dki reprezentowane przez relacjt -< mitdzy stanami wiedzy
przy popperowskiej koncepcji badania naukowego. Jednak2e formula G jest charakterystyczna dla witkszej klasy porz~dk6w, z kt6rymi zwia,zane przestrzenie mog~ byd
zanurzone w ldasie drzew. Je~li przyjmiemy, ~.e relacja nast~pstwa czasowego badafi
naukowych lub wszelkich naszych racjonalnych spostrze2efi jest cz~ciowym porz~dklein, tzn. jest samozwrotna (traktowana jako nieostra), przechodnia i siabo antysymetryczna tzn.:
(x<y A y < x ) - ~ x = y ,
oraz w ka2dym podzbiorze jest element najwcze~niejszy, w6wczas formula G jest
powszechnie potwierdzalna.
Systemy Lewisa mo2e hie najszcz~liwie j przedstawia sit zwykle jako oparte na pierwomych pojtciach mo21iwo~ci lub konieczno~ci. Pojtcia te hie maj~ dla wi..qu logik6w
wyra~nie okre~lonego sensu intuicyjnego. Naturalniejsze z logicznego punktu widzenia
jest przyj~cie pojtcia ~cistej implikacji za pojtcie pierwotne. Charakterystyka implikacii
w taki spos6b, aby wyeliminowa~ pewne paradoksy imp]ikacji klasycznej jest odczuwana przez wielu logik6w jako autentyczna potrzeba. Pojtcia mo21iwo~ci lub konieczno~ci s~ raczej logice obce. Z formalnego punktu widzenia pojtcia mo•
konieczno~ci i implikacji ~cistej na gruncie pozostatych (negacja, koniunkcja, akernatywa,
r6wnowa2no~) s~ wzajemnie defmiowalne. Jednak2e przyjtcie implikacji ~cistej jako
pierwotnego wydaje sit bardziej naturalne.
6. Z A K O l q C Z E N I E
Por6wnuj~c wymienione koncepcje nale~y powiedzied, 2e koncepcja pierwsza nazwana tu camapowsk~ daje dobry obraz nauld tylko w zastosowaniu do bardzo prostych
nauk Ilie wychodz~cych poza jtzyk codzielmego do~wiadczenia. Podstaw~ wiedzy jest
w jakimg sensie niew~tpliwie gromadzenie spostrze~.efi, jechaak~e opis w jtzyku eksperymemalnym hie jest gt6wnym celem opisu naukowego. Jest on tylko punktem wyjgcia.
Gt6wna cztgd wiedzy sformulowana jest w jtzyku teoretycznym za pomoc4 pojtd
teoretycznych. W koncepcji mo2e niestusznie nazwanej tu carnapowsk~ wszystkie
spostrze2enia naukowe byty rozumiane jako nale2~ce tylko do jtzyka empirycznego
Jest to oczywigcie wielkie zawt~enie obrazu nauld (kt6rego Camap wcale hie gtosi|).
lqauka operuje wi~cej mo~e nawet idealizacjami ani2eli pojtciami do~wiadczalnej natury.
Ot6~. charakterystycznym dla cato~ci badania naukowego, kt6re ma prowadzid do
ksztattowania naszej teorii, jest zwi~zek zdafi empirycznych z teoretycznymi i zwi~zek
ten w koncepcji popperowskiej jest opisany jako tego rodzaju, ~e pewne stany informacji
empirycznej wykluczaj~ pewne hipotezy, a nadal dopuszczaj~ inne. Ten opis wydaje
sit lepiej charakteryzowad fak~czny proces rozwoju nauld. Koncepcja pierwsza mo~.e
byd traktowana jako adekwatna tylko w stosunku do bardzo prostych nauk opisowych.
|
Studia Logica t. XX
130
A.
Grzegorczyk
[14]
Istomy dla badafi powy~szych wydaje si~ jednak hie tyle opis postr
naukowego (opis ten mo~.na bowiem poprawi6 na wiele sposob6w), co pr6ba zdefmiowania
pewnych rodzaj6w asercji w stosunku do zdafi zto~,onych. Uznanie zdania, w warunkach gdy si~ jest do tego zmuszonym przez przyj~cie pewnej metody badania jest to
pewien rodzaj przeL'ycia asercji. Podobnie uznanie zdania w warunkach gdy je mo2na
uznad (nie jest si~ zmuszonym do jego odrzucenia przez przyj~t~ metodr badania)
jest re2 pewn~ inn~ form~ asercji. Asercje s~ prze~,yciami cz~sto subiektywnymi, gdy
jednak opieramy si~ o pewn~ ustalon~ metod~ badania otrzymujemy pewn~ intersubiektywizacj~ tego prze2ycia. W pr6bach powy~szych zaldada si~, 2e oba rozwa•
rodzaje
asercji maj~ do~ wyra~nie okre~lony sens dla zdafi atomicznych, natomiast dla zdafi
zto2onych wymagaj~ defmicji i defmicje te nale2y poda~ w spos6b indukcyjny, bo asercja
zdania ztoionego musi zale2e6 od asercji zdafi skhdowych. Ciekawy wydaje si~ r6wnie2 zwi~zek pewnych asercji z nieldasycznymi systemami logiki. Mo21iwe jest, ~.e
mo~.na poda6 jeszcze inne, ciekawsze rodzaje asercji oparte na gt~bszej analizie pracy
badawczej i doj~d do innych jeszcze system6w logiki jako asertowanych w szczeg61ny
spos6b. Analiza logiczna l~czy si~ tu z teoriopoznawcz~ analiz~ rozumowafi naukowych i rozwa2ania powy2ej przedstawione monna uwa~ad za kontynuacjq rozwa~afi
K. Ajdukiewicza o uzasadnianiu, a nawet J. Lukasiewicza o rozumowaniach w nauce.
Wydaje siq, ~e badania w tym kierunku mog~ doprowadzid do wielu innych ciekawych spostrze2efi.
BIBLIOGRAFIA
[1] K. AJDUKIEWlCZ: Klasyfikacja rozumowah. Studia Logica 2 (1955)~ s. 278-300.
[2] E. W. BETH: The Foundations of Mathematics. Amsterdam 1959.
[3] P. COHEN: The Independence of the Continuum Hypothesis. Proc. Nat. Ac. S. U S A 50 (1964),
p. 1143-1148.
[4] K. G6DEL: Uber eine bisher noch nicht beniitzete Erweiterung des finiten Standpunkten. Dialectica
12 (1958), pp. 280-287.
[5] A. GRZEGORCZYK: A Philosophically'Plausible Formal Interpretation of Intuitionistic Logic. Indag.
Math. 26 (1964), pp. 596-601.
[6] A. GRZEGORCZYK: Relational Systems and Related Topological Spaces. Fund. Math. (w druku).
[7] S. JA~KOWSKI: Recherches sur le systeme de la logique intuitioniste. Actes du Congr6s Internat. de
Philosophie Sci. Paris 19365 part VI. 58-61.
[8] A. KOLIVIOGOROW:Zur Deutung der intuitionistischen Logik. Math. Zeitschrift 35 (1932), pp. 58-65.
[9] S. C. KLEENE, R. E. VESLEY: Foundations of Intuitionistic Mathematics. Amsterdam 1965.
[10] J. C. C. McKINsEv, A. TARSKI: Some Theorems About the Sentential Calculi of Lewis and Heyting.
Jour. Symb. Log. 13 (1948), pp. 1-15.
[11] S . A . KRIPKE: Semantical Analysis of lntuitionistic logic. I. W ksi~2ce: Formal Systems and Recursive
Functions. Amsterdam 1965.
[12] J. LUKASlEWICZ: O nauce. Poradnik dla samouk6w, Lw6w 1936.
[13] H. RASIOWA, R. SIKORSKI: The Mathematics of Metamathematics. Warszawa 1963.
[14] A. TARSKI: Der Aussagenkalk~l und die Topologie. Fund. Math. 31 (1938), pp. 103-138.
Allatum est die 21 Martii 1966
UNIWERSYTET WARSZAWSKI~WARSZAWA