Wykład 6 - pdf 224 KB

POLE MAGNETYCZNE
Prawo Ampera
r
Kierunek wektora B – reguła prawej ręki.
r
Cyrkulacją wektoraB po okręgu
r r
r
B
d
s
B
d
s
⋅
=
∫
∫ =
l
2I
2π r = µoI
2
4πε oc r
Można wykazać, że związek ten jest słuszny
dla konturu dowolnego kształtu obejmującego
przewodnik.
r
ds
ds,2,
Przewodnik
l
Rys. 6.1. Całkę krzywoliniową oblicza się po
zaznaczonym okręgu o promieniu r.
Zaznaczono element konturu całkowania
r
ds .
I
ds1,
,
,, ds2
ds1
ds 2
ds1
Rys.
6.2.
Dowolny
kontur
wokół
przewodnika z prądem skierowanym zza
płaszczyzny rysunku.
Widzimy, że
r
r
r
r
r'
r' '
r
B1 ⋅ ds1 = B1 ⋅ (ds1 + ds1 ) = B1 ⋅ ds1'
Podobnie
r
r
r r
r
r' r
r'
B1 ⋅ ds1 + B2 ⋅ ds2 = B1 ⋅ ds1 + B2 ⋅ ds2
r r
Ponieważ dla wszystkich łuków okręgów tworzących jednakowe kąty, wartości B ⋅ ds są jednakowe,
to
r r
∫ B ⋅ ds =
po konturze
r r
∫ B ⋅ ds = µ o I
po okręgu
Jeżeli dowolny kontur obejmuje n przewodników
r
r
r
r
B1 + B2 + ... + Bn ⋅ ds = µo (I1 + I2 + ... + In )
∫(
)
Stąd
r r
∫ B ⋅ ds = µ o Ic
(6.1)
C
Prawo Ampera: cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej jest równa sumie algebraicznej
natężeń prądów płynących wewnątrz konturu całkowania pomnożonych przez przenikalność
magnetyczną ośrodka.
W ogólnym przypadku przenikalność magnetyczna ośrodka
µ = µo µr
(6.2)
gdzie µρ jest względną przenikalnością magnetyczną.
W przypadku prądu niejednorodnego, prawo Ampera zapisujemy w postaci
r r
r r
∫ B ⋅ ds = µ o ∫ j ⋅ dS
C
(6.3)
S
gdzie powierzchnia S jest rozpięta na konturze C.
Pole elektrostatyczne jest zachowawcze co oznacza, że
r r
∫ E ⋅ ds = 0
C
r
Pole magnetyczne nie jest polem zachowawczym, ponieważ cyrkulacja wektora B po konturze
zamkniętym jest różna od zera. Pole takie nazywamy wirowym.
Strumień magnetyczny
Strumień magnetyczny
r r
Φ B = ∫ B ⋅ dS
(6.4)
S
Całka powyższa po dowolnej zamkniętej powierzchni jest równa zeru (do wnętrza powierzchni
wchodzi dokładnie taki sam strumień, jaki z niej wychodzi).
Jeżeli mamy n prądów to wytworzony przez nie strumień jest równy
r
r
r r
r
r
∫ B ⋅ dS = ∫ B1 ⋅ dS + ... + ∫ Bn ⋅ dS
r
gdzie Bi (i = 1, 2,...., n) pole magnetyczne wytworzone przez i-ty prąd. Ponieważ każdy człon prawej
części równania jest równy zeru, to mamy
r r
∫ B ⋅ dS = 0
(6.5)
Twierdzeniem Gaussa: Strumień magnetyczny przez dowolną zamkniętą powierzchnię równa
się zeru.
W przyrodzie nie występują ”ładunki” magnetyczne. Oznacza to, że pole magnetyczne jest
bezźródłowe. Jednostką strumienia jest weber; Wb = Tm2.
Prawo Biota-Savarta-Laplace’a
r
Element przewodnika
dl z prądem I daje
r
przyczynek dB do indukcji magnetycznej
z
określony wzorem
r µo µr I r r
dB =
dl × r
3
4π r
r
Natężenie pola
magnetycznego H związane
r
z indukcją B następującą zależnością
dl
ϕ
dB
x
(6.6)
r
r
B
H=
µo µ r
r
P
y
r
Rys.
6.3.
dB
jest
indukcją
pola
r
magnetycznego jakie wytwarza element dl
r
przewodnika z prądem w odległości r od
tego elementu.
(6.7)
Wzór ten jest słuszny dla przypadku
jednorodnego, rizotropowego ośrodka dla
którego
wektor H jest równoległy
do wektora
r
r
B . Natężenie pola H mierzymy w
jednostkach A/m.
Ze wzorów (6.6) i (6.7) wynika, że
r
dH =
r r
I
dl × r
3
4π r
(6.8)
r
r
Odpowiednikiem wektora
pola elektrycznego
E jest wektor indukcji magnetycznej B ponieważ
r
r
zarówno wielkość E jak i wielkość B określają dynamiczne oddziaływania tych pól i zależą od
właściwości ośrodka,
w którym wytwarzane są pola.
Z kolei odpowiednikiem wektora indukcji
r
r
elektrycznej D jest natężenie pola magnetycznego H .
r
Zgodnie z zasadą superpozycji, indukcja magnetyczna B w dowolnym punkcie pola
magnetycznego
przewodnika przez który płynie prąd I równa się sumie wektorowej indukcji
r
∆ Bi elementarnych pól magnetycznych wytwarzanych przez poszczególne odcinki ∆ l i tego
przewodnika
n
r
r
B = ∑ ∆ Bi
(6.9)
i =1
gdzie n oznacza ogólną liczbę odcinków, na jakie podzielony został przewodnik. W granicy, gdy n
dąży do nieskończoności
r
r
B = ∫ dB
l
(6.10)
Prostoliniowy przewodnik z prądem
Prawo Biota-Savarta-Laplace’a w postaci skalarnej
ma postać
M
dl
µ o µ r IdI sin φ
dB =
4π
r2
ϕ1
BD
Cϕ
E
r
gdzie
r ϕ oznacza kąt zawarty między wektorami dl
ir.
r
dϕ
ro
(6.11)
A
B
r
Wektor B jest równy bezwzględnej
algebraicznej
r
sumie modułów wektorów dB
B=
µo µr Idl sin φ µo µr dl sin φ
∫ 4π r 2 = 4π I ∫ r 2 (6.12)
Jak wynika z rys. 6.4
I
N
r =
ϕ2
ro
sin φ
dl =
oraz
CD
sin φ
Tymczasem CD = rdϕ, a stąd
Rys. 6.4. Pole magnetyczne prostoliniowego
przewodnika z prądem.
dl =
rdφ
sin φ
=
ro d φ
sin 2 φ
Podstawiając wyrażenie na r i dl do (6.12) uzyskamy
φ
µ µI
µo µ r 2
B=
I ∫ sin φdφ = o r (cos φ1 − cos φ2 )
4π ro φ1
4πro
gdzie ϕ1 i ϕ2 oznaczają wartości kąta ϕ dla skrajnych punktów M i N przewodnika.
Jeżeli przewodnik jest nieskończenie długi, wówczas ϕ1 = 0 i ϕ2 = π co prowadzi do wyniku
B=
µo µr 2I
4π ro
Potwierdziliśmy więc uprzednio uzyskane wyrażenie (5.24).
(6.13)
Solenoid
I
A
B
I
xo
D
C
Rys. 6.5. Solenoid. Prostokąt zaznaczony linią przerywaną jest konturem całkowania w prawie
Ampera.
Jeżeli zwoje solenoidu są rozmieszczone dostatecznie blisko siebie, wówczas solenoid można
rozpatrywać jako układ połączonych szeregowo prądów kołowych o jednakowym promieniu,
mających wspólną oś. Niech n oznacza ilość zwojów na jednostkę długości. Skorzystamy z prawa
Ampera dla prostokątnego konturu ABCD
r r
∫ B ⋅ ds = µo µr Ical
ABCD
W naszym przypadku Icał = nxoI, gdzie I jest natężeniem prądu płynącego przez solenoid. W związku
tym możemy dalej napisać
r
r
Bwew ∫ ds +
AB
∫
BC
r r r
r
B ⋅ ds + Bzew ∫ ds +
CD
r r
∫ B ⋅ ds = µo µr nxoI
DA
W wyrażeniu tym:
•
pierwsza całka jest równa Bx o ,
•
druga i czwarta całka są zerowe,
•
wartość trzeciej całki równa się zeru.
Tak więc
Bx o = µo µr nxoI
czyli
B = µo µr nI
(6.14)
Kształt linii sił pola magnetycznego solenoidu jest podobny do linii sił pola wokół magnesu stałego o
podobnym kształcie (rys. 6.6).
N
S
(a)
(b)
Rys. 6.6. Linie sił pola magnetycznego magnesu stałego (a) i solenoidu (b) o podobnym
kształcie.
Oddziaływanie przewodników z prądem
W oparciu o wzór
r
r r
Fmag = qv × B
r
obliczymy siłę która działa na element przewodnika dl .
r
Na ładunek dq poruszający się z prędkością v działa siła
r
r
r
r
dl r dq r r
dF = dqv × B = dq × B =
dl × B
dt
dt
czyli
r
r r
dF = Idl × B
(6.16)
Jest to wzór Ampera na siłę elektrodynamiczną. Aby policzyć
siłę działającą na cały przewodnik z
r
prądem, należy podzielić go na elementy o długości dl i zsumować wektorowo przyczynki dla
każdego elementu.
W elektrostatyce mamy do czynienia z siłami centralnymi. Tymczasem siła oddziaływania
elektromagnetycznego skierowana jest prostopadle do linii sił pola magnetycznego.
Oddziaływanie wzajemne równoległych prądów można wytłumaczyć uwzględniając fakt, że każdy z
przewodników wytwarza pole magnetyczne, oddziaływujące na drugi przewodnik z prądem.
I1
B2
F1
F2
B2
B1
B1
I1
F1
a
(a)
I2
a
F2
(b)
Rys. 6.8. Oddziaływanie między dwoma równoległymi przewodnikami z prądem.
Przewodnik 1 wytwarza pole B1 w odległości a od siebie
B1 =
µ o µ r 2I1
4π a
Pod wpływem tego pola na przewodnik 2 działa siła dF2
µ o µ r 2I1I 2
dF2 =
dl
4π
a
gdzie dl jest elementem drugiego przewodnika.
W sposób analogiczny można pokazać, że
µ o µ r 2I1I 2
dF1 =
dl
4π
a
Można zatem napisać
dF1 = dF2 = dF
r
Siła F działająca na odcinku przewodnika o skończonej długości l wynosi
µ o µ r 2I1I 2
F =
l,
4π
a
a z ostatniego wyrażenia mamy siłę działającą na jednostkę długości każdego z przewodników
F µ o µ r 2I1I 2
=
l
4π
a
(6.17)
Amper jest natężeniem prądu, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych,
nieskończenie długich przewodnikach o przekroju okrągłym, znikomo małym; umieszczonych
w odległości 1m jeden od drugiego, wywołałby między tymi przewodnikami siłę oddziaływania
2×10–7 N na każdy metr długości.
Efekt Halla
Zjawisko Halla polega na powstaniu w metalu
lub półprzewodniku, pola
r elektrycznego skierowanego
r
prostopadle do wektora magnetycznego B i wektora gęstości prądu j płynącego w próbce. Zjawisko
to zostało odkryte przez amerykańskiego fizyka Halla w 1879 r.
Pomiędzy dolną i górną powierzchnią powstaje
dodatkowe,
poprzeczne
pole
elektryczne
r
skierowane z dołu do góry. Kiedy natężenie E B
tego poprzecznego pola elektrycznego osiągnie
wielkość równoważącą działanie siły Lorentza, to
ustali się stacjonarny rozkład ładunków w
F
kierunku poprzecznym. Wówczas:
j
v
a
eE B = e
∆V
= evB
a
czyli
B
∆ V = vBa
Rys. 6.9. Efekt Halla
gdzie a jest szerokością płytki, a ∆V – poprzeczną hallowską różnicą potencjałów. Uwzględniając, że
natężenie prądu
I = jS = nevS,
otrzymujemy
∆V =
I Ba = 1 IB = R IB
H
nead
en d
d
(6.18)
We wzorze tym
RH =
1
en
nazwana jest stałą Halla.
Pomiar efektu Halla jest efektywną metodą badania typu i koncentracji nośników w metalach i
półprzewodnikach.
Magnetyzm
Zachowanie magnesu można opisać zakładając, że na jednym końcu znajduje się ładunek
magnetyczny qm, a na drugim końcu – ładunek magnetyczny –qm. Gdyby istniał ładunek
magnetyczny, to w polu magnetycznym działałaby na niego siła
r
r
F = qm ⋅ B
analogiczna do siły działającej na ładunek elektryczny w polu elektrycznym.
Chociaż w przyrodzie ładunki magnetyczne nie istnieją, pojęcie to wprowadza się ze względu na
wygodny matematyczny sposób opisania właściwości magnesów.
Moment sił działających na magnes wynosi
T = Fl sin α
F
czyli
l
+qm
B
α
F
-qm
T = q m Bl sin α
(6.19)
Iloczyn qml = µ określa się jako moment
magnetyczny. Wobec tego
T = µB sin α
a w zapisie wektorowym
Rys. 6.10. Magnes o długości l położony pod
r r r
r
kątem α do linii sił pola magnetycznego B .
T = µ ×B
(6.20)
W analogiczny sposób zachowuje się pętla z prądem (rys. 6.11).
r r
Obliczmy iloczyn wektorowy l × B dla każdego z
B
czterech boków ramki. Siły magnetyczne
przyłożone do dwóch przeciwległych boków o
długości l1 tworzą moment obrotowy
F
T = Fl 2 sin α
Ponieważ
F = Il 1B ,
F
stąd
T = (Il 1B )(l 2 sin α ) = Il 1l 2 B sin α = ISB sin α (6.21)
Rys. 6.11 Prostokątna ramka o powierzchni
l1 l2 w jednorodnym polu magnetycznym.
Siły przyłożone do dwóch stron ramki o długości l2
wzajemnie kompensują się.
Wynika z tego, że pętla z prądem wytwarza pole magnetyczne identycznie jak magnes. Przyrównując
prawe strony wyrażeń (6.19) i (6.21) znajdziemy moment magnetyczny pętli z prądem
µ = IS
(6.22)
(a)
(b)
+qm
-qm
-qm
+q m -qm
+qm
-qm
+qm
Rys. 6.12. (a) Magnes. (b) Magnes podzielony na trzy części.
•
•
•
•
Do chwili odkrycia elektronu i prądu elektronowego w metalach zachowanie magnesów w polach
magnetycznych wyjaśniano na podstawie hipotezy o ładunkach magnetycznych.
Do chwili obecnej nie udało się odkryć w przyrodzie izolowanego bieguna magnetycznego.
Właściwości magnesów można wyjaśnić zamkniętymi, wewnątrzatomowymi prądami. Hipotezę
tę wysunął Amper.
Obecnie wiemy, że te mikroprądy są spowodowane orbitalnym i spinowym ruchem elektronów.
Dowolny magnes stanowi jak gdyby solenoid, po powierzchni którego cyrkuluje prąd Ampera.
(a)
(b)
-qm
+qm
S
Rys. 6.13. (a) Magnes po którego powierzchni cyrkulują prądy Ampera. (b) Widok magnesu w
przekroju – pokazano prądy atomowe, wypadkowy prąd zaznaczono grubą linią.
Obliczmy wielkość tego prądu dla magnesu o ładunku magnetycznym qm.
Na każdy zwój solenoidu działa moment sił
T1 = ISB sin α .
Na solenoid zawierający N zwojów będzie działał moment sił
T = NISB sinα
Porównując te wyrażenia z (6.19) mamy
q m Bl sin α = NISB sin α
czyli
q m = N IS = n l IS
l
(6.23)
gdzie nll ma sens fizyczny prądu powierzchniowego. Wzór (6.23) potwierdza fakt, że solenoid o
prądzie powierzchniowym nll zachowuje się podobnie jak magnes o ładunku qm = nlIS.
r r
Wprowadziliśmy uprzednio dwie wielkości charakteryzujące pole magnetyczne B , H związane
relacją
r
r
B
H=
µo µ r
(6.7)
Pola magnetyczne
r wytworzone przez prądy płynące w przewodnikach określają natężenie pola
magnetycznego H . Tylko ta wielkość jest niezmiennicza przy otaczaniu przewodów z prądem kolejno
różnymi ośrodkami.
Jeżeli obszar w którym istnieje pole magnetyczne, wypełnia jakaś substancja, to okazuje się, że
wartość sił działających na przewodnik z prądem, a więc i indukcja magnetyczna, zależą od rodzaju
substancji. W celu wyjaśnienia tego faktu należy przyjąć, że ośrodek (substancja) ”magnesują się” w
pewien sposób.
Podobnie jak w dielektrykach, tak w magnetykach istnieją, lub też powstają pod wpływem pola
magnetycznego, momenty magnetyczne (dipole magnetyczne). Po przyłożeniu zewnętrznego
pola magnetycznego dipole te porządkują się w pewien sposób i ciało jako całość stanowi pewien
dipol magnetyczny. Ale dipol wytwarza pole własne, które może dodawać się lub odejmować od pola
zewnętrznego. Dlatego wypadkowe pola w ośrodkach będą na ogół różne od pola w próżni.
Wielkością charakteryzującą pole magnetyczne związane jedynie z magnetycznymi
właściwościami ośrodka jest magnetyzacja. Jest to wielkość wektorowa zdefiniowana jako
moment magnetyczny jednostki objętości.
r 1
J=
V
∑
r
pm
(6.24)
a więc iloraz wypadkowego momentu magnetycznego dowolnej objętości ciała V przez tę objętość.
Wypadkową indukcję
w ośrodku tworzą dwie składowe:
r
•
indukcja Bo związana jedynie z prądem makroskopowym wytwarzającym pole magnetyczne o
•
r
natężeniurH (składowa niezależna od ośrodka), i
indukcja BJ związana jedynie z prądami magnesującymi, które na ogół (z wyjątkiem magnesów
r
stałych) powstaje pod wpływem zewnętrznego pola H .
Mamy więc
r r
r
B = Bo + BJ
(6.25)
a każda ze składowych wiąże się z wielkością bezpośrednio odpowiedzialną za jej powstanie
r
r
Bo = µ o H
;
r
r
BJ = µ o J
(6.26)
r
Ponieważ magnetyzacja J zależy od natężenia pola magnetycznego
r
r
J = χH
(6.27)
gdzie χ jest wielkością bezwymiarową nazwaną podatnością magnetyczną, ze wzorów powyższych
otrzymujemy
r
r
r
B = µ o ( 1 + χ )H = µ o µ r H
(6.28)
Względna przenikalność magnetyczna ośrodka µ r określa ile razy pole magnetyczne makroprądów
r
H zwiększa się na skutek pola mikroprądów ośrodka.
r
Indukcja magnetyczna B w ośrodku może być co do modułu większa
r lub mniejsza niż
r
indukcja w próżni, zależnie od tego czy natężenie pola magnetycznego H i magnetyzacja J
mają te same zwroty czy też przeciwne. Z tego powodu wszystkie ciała można zaliczyć do jednej z
trzech podstawowych grup: diamagnetyków, paramagnetyków lub ferromagnetyków.
Właściwości magnetyczne ciał uwarunkowane są głównie orbitalnym i spinowym momentem
magnetycznym elektronów.