2(12)252()35 3( SS a

Nie panikuj!!!
10 przykładowych zadań, na których widok przeciętny maturzysta dostaje oczopląsu,
a które rozwiązuje się w kilku linijkach.
Zadanie 1. Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych parzystych jest
podzielna przez 4 i nie jest podzielna przez 8.
Rozwiązanie.
Przyjmijmy, że n ∈ N . Dwie kolejne liczby naturalne parzyste to: 2n oraz 2n + 2 .
(2n )2 + (2n + 2)2 = 4n 2 + 4n 2 + 8n + 4 = 8n 2 + 8n + 4 = 4 ⋅ 2n 2 + 2n + 1
(
)
Otrzymane wyrażenie dzieli się przez 4. Z kolei liczby 2n 2 , 2n , 1 to kolejno liczby parzysta,
parzysta, nieparzysta, wobec czego ich suma jest liczbą nieparzystą – nie dzieli się przez 2.
Iloczyn 4 ⋅ 2n 2 + 2n + 1 nie dzieli się przez 8.
......................................................................................................................................................
3
1
1
Zadanie 2. Dana jest funkcja f  x +  = 2x − . Wyznacz wzór funkcji f.
2
2
2
Rozwiązanie.
Rozwiązanie zadania opiera się na spostrzeżeniu, że np. wzory f (t ) = 4t − 5 i f (n ) = 4n − 5
1
3
opisują tę samą funkcję. Jeżeli więc mamy podane równanie, to wystarczy w miejsce x +
2
2
1
3
wstawić np. t: t = x + .
2
2
1
3
Z tego równania wyliczymy x: x = t − ⇔ x = 2t − 3 .
2
2
Otrzymane wartości wstawiamy do równania wyjściowego.
1
1
f ( t ) = 2 ⋅ ( 2t − 3 ) −
⇔ f ( t ) = 4t − 6 .
2
2
Wystarczy teraz wrócić do najczęściej stosowanej litery x:
1
f ( x ) = 4x − 6 , co jest rozwiązaniem zadania.
2
......................................................................................................................................................
Zadanie 3. Napisz 3 początkowe wyrazy ciągu wiedząc, że suma n początkowych wyrazów
ciągu jest równa S n = n 3 − 5n .
Rozwiązanie.
Wiadomo, że S n = a 1 + a 2 + ... + a n .
Wobec tego S 1 = a 1 , S 2 = a 1 + a 2 , S 3 = a 1 + a 2 + a 3
Mamy więc:
a 1 = S 1 = 1 3 − 5 ⋅ 1 = −4
(
)
a 2 = S 2 − S 1 = 2 3 − 5 ⋅ 2 − ( −4) = −2 + 4 = 2
a 3 = S 3 − S 2 = ( 3 3 − 5 ⋅ 3) − ( 2 3 − 5 ⋅ 2) = 12 − ( −2) = 14
......................................................................................................................................................
Zadanie 4. Pole powierzchni wielościanu opisanego na kuli o promieniu R jest równe S.
Oblicz objętość wielościanu.
Rozwiązanie.
Jeżeli wielościan jest opisany na kuli o promieniu R, to każda ściana wielościanu jest styczna
do powierzchni kuli. Wobec tego promień kuli poprowadzony z punktu styczności jest
prostopadły do takiej ściany wielościanu, czyli jest wysokością ostrosłupa, którego podstawą
jest ściana wielościanu, a wierzchołek jest środkiem kuli.
Cały wielościan jest sumą utworzonych w ten sposób ostrosłupów i objętość wielościanu
można obliczyć jako sumę objętości tych ostrosłupów.
Oznaczmy: S 1 , S 2 , ... S n pola ścian wielościanu.
Wiemy, że S 1 + S 2 + ... + S n = S
Liczymy objętość wielościanu:
1
1
1
R
RS
V = S 1 R + S 2 R + ... + S n R = (S 1 + S 2 + ... + S n ) =
3
3
3
3
3
......................................................................................................................................................
Zadanie 5. Wanna napełnia się całkowicie wodą w ciągu 10 minut, a opróżnia w ciągu 15
minut. Jak długo będzie trwało napełnianie wanny, jeżeli jednocześnie odkręcimy kran i
otworzymy odpływ?
Rozwiązanie.
1
1
Wanna napełnia się z „prędkością”
wanny na minutę, a opróżnia z prędkością
wanny
10
15
na minutę. Przy jednoczesnym odkręceniu kranu i otworzeniu odpływu, w ciągu x minut:
1
• Naleje się x ⋅
objętości wanny
10
1
• Odpłynie x ⋅
objętości wanny
15
W efekcie mamy otrzymać 1, czyli jedną objętość wanny, co można zapisać równaniem:
x
x
3x − 2x
−
=1 ⇔
= 1 ⇔ x = 30 , co jest rozwiązaniem zadania.
10 15
30
......................................................................................................................................................
Zadanie 6. Niech n będzie dodatnią liczbą naturalną parzystą. Ile różnych rozwiązań ma
równanie postaci: x n +1 − x n − 64x + 64 = 0 ?
Rozwiązanie.
x n +1 − x n − 64x + 64 = 0
x n (x − 1) − 64(x − 1) = 0
(x − 1) x n − 64 = 0
(
)
Stąd x 1 = 1 lub x n = 64
(
)
n jest parzyste, więc x n = 64 ⇔ x 2 = n 64 lub x 3 = − n 64
Równanie ma zawsze 3 różne rozwiązania.
......................................................................................................................................................
Zadanie 7. W ciągu (1 ⋅ 2, 2 ⋅ 3, 3 ⋅ 4, 4 ⋅ 5, 5 ⋅ 6, ...) znajdź kolejne dwa wyrazy różniące się o
2000.
Rozwiązanie.
Ciąg dany jest wzorem: a n = n ⋅ (n + 1) . Należy obliczyć, dla jakiego n: a n + 1 − a n = 2000 .
a n + 1 = (n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2) − n(n + 1) = 2000
(n + 1)(n + 2 − n ) = 2000
2(n + 1) = 2000
n + 1 = 1000, czyli n = 999 .
Szukane dwa kolejne wyrazy to: 999 ⋅ 1000 i 1000 ⋅ 1001 .
......................................................................................................................................................
Zadanie 8. Rozstrzygnij, czy istnieje trójkąt, którego wysokości mają długości 1, 2 i 3.
Rozwiązanie.
Gdyby taki trójkąt istniał, to jego pole można byłoby wyliczyć na trzy sposoby:
1
1
1
P = a ⋅ 1 = b ⋅ 2 = c ⋅ 3 , gdzie a,b,c są długościami boków trójkąta.
2
2
2
a
 =b
Można to zapisać w postaci układu równań:  2
a 3
 = c
2 2
Ponieważ trójkącie suma długości dwóch boków musi być większa od długości trzeciego
boku, mamy: b + c > a
a
a
Z układu równań: b = i c = .
2
3
a a
3a + 2a
5
Stąd: b + c > a ⇔ + > a ⇔
> a ⇔ a > a , a to jest nieprawda.
2 3
6
6
Taki trójkąt nie istnieje.
......................................................................................................................................................
2
3
Zadanie 9. Rozwiąż równanie: x + 8 = 9x
Rozwiązanie.
1
3
2
3
Patrząc na równanie widzimy pierwiastki: x = x
3
2
1
3
i x =3 x.
2
1
 1
Ale:  x 3  + 8 = 9x 3 . Co teraz widzimy? Równanie kwadratowe!
 
1
Podstawmy x 3 = t : t 2 + 8 = 9t .
Rozwiązując to równanie otrzymujemy: t 1 = 1 , t 2 = 8 .
Wracamy do starej niewiadomej:
1
3
1
3
x = 1 lub x = 8 , czyli inaczej 3 x = 1 lub 3 x = 8 , co daje x = 1 lub x = 8 3 .
......................................................................................................................................................
Zadanie 10. Pierwiastki trójmianu kwadratowego y = 4x 2 − 8x + c są nieujemnymi liczbami
całkowitymi. Oblicz c.
Rozwiązanie.
Z tematu zadania wynika, że ∆ > 0 .
Korzystając ze wzorów Viete’y otrzymujemy:
8
c
x 1 + x 2 = = 2 oraz x 1 ⋅ x 2 = .
4
4
Jeżeli x 1 , x 2 są różnymi, nieujemnymi liczbami całkowitymi, oraz x 1 + x 2 = 2 , to muszą to
być liczby 0 oraz 2.
c
Stąd x 1 ⋅ x 2 = 0 ⋅ 2 = 0 = , czyli c = 0 .
4