Sprawdzian 1 grupa I 1. Na loterii jest 50 losów, z których 5 wygrywa

Sprawdzian 1
grupa I
1. Na loterii jest 50 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 3 kupionych losów
a) dokładnie dwa losy wygrywają,
b) co najmniej 1 los wygrywa?
2. Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 czarnych losujemy jedną kulę i następnie zwracamy ją do urny i dokładamy
3 kule tego koloru co wybrana kula. Z nowego zestawu kul w urnie losujemy dwie kule.
a) Jakie jest p-stwo, że wybrane za drugim razem kule są czarne?
b) Wylosowano dwie czarne kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dołożono trzy kule białe?
3. Sprawdzamy kolejno niezawodność 3 przyrządów, przy czym sprawdzanie zostanie przerwane po napotkaniu
pierwszego niesprawnego przyrządu. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y równej liczbie sprawdzonych przy4
rządów, jeśli prawdopodobieństwo, że dowolny przyrząd poddany sprawdzeniu okaże się sprawny wynosi .
5
Wyznaczyć rozkład, dystrybuantę, EY oraz P (Y ∈ (1, 3i).
4. Znaleźć rozkład zmiennej losowej 4X − 2, jeśli zmienna losowa X ma gęstość:


 0, x < 1
f (x) =

 2 , x > 1.
x3
5. Niech zmienna losowa X opisuje czas świecenia żarówki. Obliczyć, jaki procent żarówek będzie służyć co
najmniej 18 miesięcy, jeśli X ma rozkład N (12, 3).
Sprawdzian 1
grupa II
1. W skrzynce znajduje się 100 żarówek, w tym 3 wadliwe. Ze skrzynki wyjęto 10 żarówek. Oblicz p-stwo
zdarzenia, że:
a) pomiędzy wyjętymi żarówkami będą dokładnie dwie wadliwe,
b) wylosujemy co najmniej 1 żarówkę wadliwą.
2. W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 5 czarnych. Z pierwszej urny
przenosimy jedną kulę do drugiej urny. Z drugiej urny losujemy dwie kule.
a) Oblicz p-stwo wylosowania dwóch kul białych z drugiej urny.
b) Wylosowano 2 kule białe z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeniesiono kulę czarną z
pierwszej urny do drugiej?
3. Sprawdzamy kolejno niezawodność 3 przyrządów, przy czym sprawdzanie zostanie przerwane po napotkaniu
pierwszego niesprawnego przyrządu. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y równej liczbie sprawdzonych przy2
rządów, jeśli prawdopodobieństwo, że dowolny przyrząd poddany sprawdzeniu okaże się sprawny wynosi .
3
Wyznaczyć rozkład, dystrybuantę, EY oraz P (Y ∈ h1, 3)).
4. Znaleźć rozkład zmiennej losowyej −3X + 2, jeśli zmienna losowa X ma gęstość:
 2
x


, 06x63
9
f (x) =


0, wpw.
5. Niech zmienna losowa X opisuje średni czas sprawności akumulatora w miesiącach. Jaki procent akumulatorów ma sprawność od 24 do 36 miesięcy, jeśli X ma rozkład N (30, 5)?
Sprawdzian 1
grupa III
1. W skrzynce znajduje się 50 żarówek, w tym 4 wadliwe. Ze skrzynki wyjęto 3 żarówki. Oblicz p-stwo zdarzenia,
że:
a) pomiędzy wyjętymi żarówkami będzie dokładnie 1 wadliwa,
b) wylosujemy co najmniej 1 żarówkę sprawną.
2. Z urny zawierającej 2 kule białe i 4 kule czarne przełożono dwie wyciągnięte losowo kule do urny zawierającej
4 białe i 4 czarne kule.
a) Obliczyć p-stwo wyciągnięcia białej kuli z drugiej urny.
b) Wylosowano kulę białą z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeniesiono 2 kule czarne z
pierwszej urny do drugiej?
3. W urnie są 3 kule białe i 4 czarne. Z urny losujemy bez zwracania 3 dowolne kule. Niech zmienna losowa
X będzie liczbą wylosowanych kul czarnych. Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej, wartość oczekiwaną,
dystrybuantę oraz P (X ∈ h1, 3)).
4. Znaleźć rozkład zmiennej losowyej 2X − 5, jeśli zmienna losowa X ma gęstość:

1

 2 , x 6 −1
x
f (x) =


0, x > −1;
5. Niech zmienna losowa X opisuje czas świecenia żarówki w miesiącach. Obliczyć, jaki procent żarówek będzie
służyć od 12 do 18 miesięcy, jeśli X ma rozkład N (12, 3).
Sprawdzian 1
grupa IV
1. Z talii 52 kart wyciągamy 5 kart. Oblicz p-stwo, że
a) pomiędzy wyjętymi kartami będą dokładnie trzy czarne,
b) wylosujemy co najwyżej 4 karty czarne.
2. Z urny zawierającej 5 kul białych i 4 czarne losujemy jedną kulę i następnie zwracamy ją do urny i dokładamy
2 kule tego koloru co wybrana kula. Z nowego zestawu kul w urnie losujemy dwie kule.
a) Oblicz p-stwo wylosowania dwóch kul białych w drugim losowaniu.
b) Wylosowano 2 kule białe w drugim losowaniu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem
wylosowano kulę czarną (czyli dołożono dwie kule czarne)?
3. Z urny zawierającej 4 kule oznaczone liczbami: -1, 0, 1, 2 losujemy 2 kule. Suma liczb na wylosowanych
kulach jest zmienną losową. Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej, wartość oczekiwaną, dystrybuantę oraz
P (X ∈ h0, 2)).
4. Znaleźć rozkład zmiennej losowej −4X + 2, jeśli zmienna losowa X ma gęstość:

 x + 1, −1 6 x 6 0
−x + 1, 0 6 x 6 1
f (x) =

0,
|x| > 1;
5. Niech zmienna losowa X opisuje średni czas sprawności akumulatora w miesiącach. Jaki procent akumulatorów ma sprawność od 14 do 24 miesięcy, jeśli X ma rozkład N (14, 5)?