Tableaux Younga i ich zastosowania w teorii reprezentacji

Uniwersytet Warszawski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Piotr Achinger
Nr albumu: 235886
Tableaux Younga i ich zastosowania
w teorii reprezentacji
Praca licencjacka
na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem
dr Agnieszki Bojanowskiej–Jackowskiej
Instytut Matematyki
Wrzesień 2008
Oświadczenie kierującego pracą
Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i
kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
Data
Podpis kierującego pracą
Oświadczenie autora (autorów) pracy
Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa
została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób
niezgodny z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem
procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektroniczną.
Data
Podpis autora (autorów) pracy
Streszczenie
W niniejszej pracy wprowadzone zostają podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii tableaux
Younga oraz ich wybrane zastosowania: dla teorii funkcji symetrycznych (wielomiany Schura),
teorii reprezentacji grup skończonych (wzór Frobeniusa) oraz teorii reprezentacji grup Liego
(funktory Schura, konstrukcja Weyla).
Słowa kluczowe
diagram Younga, diagram Ferrersa, tableau Younga, wielomiany Schura, wzór Frobeniusa,
funktory Schura, konstrukcja Weyla
Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus)
11.1 Matematyka
Klasyfikacja tematyczna
20 Group theory and generalisations
20C Representation theory of groups
20C30 Representations of finite symmetric groups
05 Combinatorics
05E Algebraic combinatorics
05E05 Symmetric functions
05E10 Tableaux, representations of the symmetric group
Tytuł pracy w języku angielskim
Young Tableaux and their applications in Representation Theory
Spis treści
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Teoria tableaux Younga . . . . . . .
1.1. Operacje na tableaux . . . . . . . .
1.2. Fundamentalny fakt teorii tableaux
1.3. Wnioski. Pierścień tableaux . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
10
12
2. Funkcje symetryczne i wielomiany Schura . . . . . . .
2.1. Funkcje symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ważne przykłady baz Λ, indeksowanych podziałami λ
2.3. Wielomiany Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Algebraiczna postać wielomianów Schura. . . . . . . .
Q
2.5. Rozwinięcia iloczynu (1 − xi yj )−1 . . . . . . . . . . .
2.6. Λ jako przestrzeń z iloczynem skalarnym . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
16
17
19
20
3. Reprezentacje grup symetrycznych i wzór Frobeniusa
3.1. Charakter Mλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Pierścień reprezentacji grup symetrycznych . . . . . . .
3.3. Pierścień reprezentacji a pierścień funkcji symetrycznych
3.4. Charakter Sλ — wzór Frobeniusa. . . . . . . . . . . . .
3.5. Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
24
25
26
27
27
4. Funktory Schura i konstrukcja Weyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Funktory Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Charaktery funktorów Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
30
A. Reprezentacje nieprzywiedlne grup symetrycznych . . . . . . . . . . . . . .
33
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
Wprowadzenie
Niniejsza praca ma na celu ukazanie zastosowań kombinatorycznych obiektów zwanych tableaux Younga w teorii funkcji symetrycznych i teorii reprezentacji.
Pierwsza część wprowadza pojęcie diagramu oraz tableaux Younga oraz ich podstawowe
własności. Głównym jej wynikiem jest zdefiniowanie operacji łącznego mnożenia tableaux, a
co za tym idzie pierścienia formalnych sum tableaux.
W drugiej części pracy badamy własności wielomianów Schura sλ , zdefiniowanych przy
pomocy homomorfizmu z pierścienia tableaux w pierścień wielomianów, które okazują się
być wielomianami symetrycznymi. W szczególności udowodnione zostaje przedstawienie ich
jako ilorazów pewnych wyznaczników wielomianowych. Definiujemy pierścień funkcji symetrycznych i znajdujemy jego podstawowe bazy (jedną z nich stanowią wielomiany Schura),
badamy zależności pomiędzy tymi bazami i wprowadzamy iloczyn skalarny tak, aby wielomiany Schura stanowiły bazę ortonormalną.
Dodatek A (logicznie stanowiący trzecią część) stanowi zbiór faktów dotyczących reprezentacji grup symetrycznych Sn . Podane zostają (bez dowodu) metody kontrukcji nieprzywiedlnych reprezentacji Sλ odpowiadających poszczególnym klasom sprzężoności λ w Sn .
Przedostatnia część to wyprowadzenie wzoru Frobeniusa na charakter reprezentacji Sλ :
definiujemy pierścień reprezentacji grup symetrycznych i dowodzimy jego izometrycznego
izomorfizmu z pierścieniem funkcji symetrycznych. Izomorfizm ten przeprowadza sλ , stanowiące ortonormalną bazę funkcji symetrycznych, na Sλ . Na końcu podajemy kilka wniosków
płynących ze wzoru Frobeniusa.
W ostatniej części pokazuję zastosowanie teorii tableaux Younga w teorii reprezentacji
grup macierzy. Zdefiniowane zostają funktory Schura i pokazana zostaje konstrukcja Weyla
nieprzywiedlnych reprezentacji grupy GLn .
5
Rozdział 1
Teoria tableaux Younga
Przez diagram Younga (lub diagram Ferrersa) rozumiemy graficzną ilustrację podziału
liczby całkowitej n > 0 na sumę liczb całkowitych nieujemnych, z dokładnością do kolejności.
Np. dla podziału 12 = 1 + 3 + 5 + 3 otrzymujemy diagram
Mówiąc ściślej, dla podziału n = λ1 + . . . + λk , λ1 ­ λ2 ­ . . . ­ λk ­ 0, w i-tym wierszu
diagramu rysujemy λi kwadratów.
Nierówności pomiędzy podziałami. Mając dane podziały λ = (λ1 , λ2 , . . .) oraz
µ = (µ1 , µ2 , . . .) (liczby w nawiasach piszemy w kolejności nierosnącej), definiujemy
relacje porządkujące:
(1)
(2)
(3)
µ ¬ λ – porządek leksykograficzny,
µ λ, jeśli µ1 + . . . + µi ¬ λ1 + . . . + λi dla i = 1, 2, . . . – porządek dominacji,
µ ⊂ λ, jeśli µi ¬ λi dla i = 1, 2, . . . – porządek zawierania,
i zauważamy, że µ ⊂ λ ⇒ µ λ ⇒ µ ¬ λ, zaś porządek leksykograficzny jest
porządkiem liniowym.
Definicja 1. Przez tableau Younga (l. mn. tableaux) rozumiemy diagram Younga ze
wpisanymi liczbami całkowitymi dodatnimi we wszystkie jego pola tak, aby czytane od
lewej do prawej w każdym wierszu tworzyły one ciąg niemalejący, zaś czytane z góry
na dół w każdej kolumnie tworzyły ciąg rosnący.
Przykład 1.1. Oto przykład tableau na powyższym diagramie:
1 1 2 3 4
2 4 4
4 6 6
8
Definicja 2. Jeżeli λ = (λ1 , . . . , λk ) jest podziałem, mówimy, że tableau T jest typu
(lub kształtu) λ (ozn. T : λ), jeśli po usunięciu zeń liczb otrzymujemy diagram Younga
odpowiadający λ.
7
1.1. Operacje na tableaux
Na tableau możemy patrzeć jak na „strukturę danych” przechowującą mulitzbiór liczb całkowitych dodatnich. Poniżej zdefiniujemy podstawowe operacje dla takiej struktury: dodawanie
elementu do zbioru, usuwanie elementu ze zbioru, sumę rozłączną zbiorów.
Dodawanie (Row Bumping). Mając tableau T oraz liczbę całkowitą dodatnią x, konstruujemy nowe tableau T 0 według następującego algorytmu:
Listing 1.1: algorytm „Row Bumping” Schensteda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
i := 1
while ( i−ty wiersz T jest niepusty ) and
( ostatnia liczba w i−tym wierszu T ) > x do
begin
j := ( numer pierwszego pola w i−tym wierszu U
zawierajacego liczbe > x )
{ zamiana }
x : = : ( liczba w j−tym polu i−tego wiersza T )
i := i + 1
end
dopisz x na koniec i−tego wiersza T
wynik := T
Pisząc obrazowo, staramy się dopisać x na koniec pierwszego wiersza T . Jeżeli się to nie
uda (gdyż x jest mniejszy od ostatniej liczby w tym wierszu), wkładamy x na ostatnie miejsce
na którym możemy go umieścić, a znajdującą się tam liczbę y wyjmujemy i próbujemy z nią
tych samych operacji na następnym wierszu.
Oto wynik dodania liczby 2 do powyższego tableau:
1 1 2 2 4
2 3 4
4 4 6
6
8
Warto zaznaczyć, że ten algorytm jest w pewnym sensie odwracalny, tj. znając końcową
wartość i (czyli pole dodane do diagramu) możemy odwrócić kolejne kroki, otrzymując z
powrotem T oraz x. Ta obserwacja przyda nam się później.
Wynik dodania liczby x do tableau T oznaczamy przez T ← x
Usuwanie (Sliding). Mając tableau T , wybieramy któreś z jego pól do usunięcia. Chcąc załatać powstałą lukę, wsuwamy na jej miejsce mniejszą z dwóch liczb, stojących bezpośrednio
poniżej oraz po prawej od dziury. Jeżeli poniżej oraz po prawej nie ma żadnych pól, algorytm
8
się kończy. Jeżeli jest tylko jedno pole (np. jest poniżej, a nie ma po prawej), wybieramy to
pole do przesunięcia. Jeżeli są oba i wpisano w nie równe liczby, musimy wybrać tę poniżej,
inaczej dostalibyśmy dwie równe liczby w jednej kolumnie.
Oto ilustracja procedury usuwania liczby 2 z powyższego tableau:
1 1 2 2 4
3 4
4 4 6
6
8
1 1 2 2 4
3
4
4 4 6
6
8
1 1 2 2 4
3 4 4
4
6
6
8
1 1 2 2 4
3 4 4
4 6
6
8
Łączenie 1. Mając dwa tableaux U i T , przez T ◦ U oznaczamy ich złączenie otrzymane w
następujący sposób:
(1) czytamy po kolei wiersze U od ostatniego, każdy wiersz czytamy od lewej do prawej,
(2) w wyniku tego otrzymujemy ciąg x1 , x2 , x3 , ..., x|U| ,
(3) kolejno wstawiamy liczby z tego ciągu do T algorytmem bumping,
(4) to, co otrzymamy w wyniku, oznaczamy przez T ◦ U.
Przykład 2.1. W wyniku pomnożenia naszego pierwszego przykładu tableau przez tableau
1 2
3
otrzymamy
1
2
4
6
8
1 1 2 3
2 3 4
4 4
6
Rektyfikacja. Przez skośny (skew) diagram Younga λ/µ, dla µ ⊂ λ (co oznacza, że µi ¬ λi )
rozumiemy diagram λ z usuniętymi polami diagramu µ. Oto przykład λ/µ dla λ = (5, 3, 3, 1)
oraz µ = (2, 1, 1, 1):
∗ ∗
∗
∗
∗
gdzie ∗ oznacza usunięte pola.
Rozszerzamy definicję tableau na skośne diagramy. Mówimy, że tableau (zwykłe) U jest
rektyfikacją skośnego tableau T , jeśli po wykonywaniu algorytmu sliding dla pustych pól w
T (w dowolnej kolejności, za każdym razem biorąc puste pole, które nie ma pustego pola
poniżej i po prawej) otrzymamy tableau U. Jest to forma „normalizacji” skośnego tableau
do zwykłego tableau. Czy jest ona jednoznaczna? Okazuje się, że tak – dowód tego faktu
znajduje się w kolejnym podrozdziale.
9
Przykładowo, kolejnymi krokami rektyfikacji tableau skośnego
1
2
1 3
mogą być
1
2
1 3
1
1
1 2
3
1 2
3
1
1 2
3
1 1
2
3
1 1
2
3
.
Łączenie 2. Mając dwa tableaux T i U, rysujemy je obok siebie tak, aby prawy górny róg
T zetknął się z lewym dolnym rogiem U. Otrzymujemy skośne tableau, którego rektyfikację
oznaczamy przez T ∗ U. Przykładowo, powyżej policzyliśmy złączenie dla tableaux
1 3
1
2
oraz
natomiast skośne tableau dla tableaux z przykładu Łączenia 1 wygląda następująco:
1 2
3
1 1 2 3 4
2 4 4
4 6 6
8
i po rektyfikacji dostaniemy
1
2
4
6
8
1 1 2 3
2 3 4
4 4
6
1.2. Fundamentalny fakt teorii tableaux
Prawdziwy jest następujący
Fundamentalny Fakt. T ◦ U = T ∗ U, niezależnie od sposobu rektyfikacji.
Dowód tego faktu, pochodzący od Donalda Knutha, znajdzie Czytelnik w rozdziałach 1
i 2 w książce [Ful].
Schemat tego dowodu można opisać następująco. Danemu tableau T przypisujemy pewS
i
ne słowo w(T ) ∈ N∗ , gdzie N∗ = ∞
i=0 N to półgrupa wolna z jedynką o zbiorze wolnych
generatorów N. W N∗ wprowadzamy kongruencję ≡K równoważności słów w sensie Knutha,
spełniającą warunek w(T ← x) ≡K w(T ) · x. Następnie dowodzimy dwóch faktów.
Pierwszy z nich to zgodność algorytmu sliding z relacją ≡K : wykonywane przesunięcia
nie zmieniają klasy równoważności w(T ) (gdzie T jest dziurawym tableau).
Drugi fakt stwierdza, że dla dowolnego słowa w ∈ N∗ istnieje dokładnie jedno tableau
T = T (w) takie, że w ≡K w(T ).
W końcu wnioskujemy, że w(U ◦ V) ≡K w(U) · w(V) ≡K w(U ∗ V), co na mocy drugiej
obserwacji daje U ◦ V = U ∗ V.
10
Definicja 3. Słowem tableau T nazywamy ciąg wpisanych weń liczb powstały z przeczytania kolejno wierszy T od dołu do góry.
Przykład 3.1. Słowem tableau
1 1 2 3 4
2 4 4
4 6 6
8
jest 8 4 6 6 2 4 4 1 1 2 3 4.
Definicja 4. Relacja ≡K równoważności słów w sensie Knutha to najmniejsza kongruencja rozszerzająca relacje
yzx ≡ yxz
dla x < y ¬ z,
xzy ≡ zxy
dla x ¬ y < z,
Obserwacja. w(T ← x) ≡K w(T ) · x.
Dowód (szkic). Należy dokonać analizy poszczególnych kroków algorytmu Schensteda. Pierwsza relacja powyżej odpowiada za „przepychanie” x przez pierwszy wiersz aż do pierwszej
liczby nie większej niż x, druga zaś pozwala liczbę wybitą przez x (tutaj: z) przesuwać dalej
w lewo na początek wiersza.
Fakt 4.1. Jeżeli T jest tableau z wyrzuconą pewną liczbą pól, zaś R jego rektyfikacją,
wówczas w(T ) ≡K w(R).
Dowód (szkic). Analogicznie jak powyżej, dokonuje się analizy poszczególnych ruchów algorytmu sliding. Poziome ruchy są bardziej lokalne jeśli chodzi o ich wpływ na słowo tableau i
dowód ich zgodności z ≡K jest łatwiejszy, zaś poradzenie sobie z ruchami w pionie wymaga
odrobiny sprytu.
Fakt 4.2. Dla dowolnego słowa w ∈ N∗ istnieje dokładnie jedno tableau T = T (w) takie,
że w ≡K w(T ).
Zanim przejdziemy do dowodu, potrzebna będzie nam
Definicja 5. Dla w ∈ N∗ , k = 1, 2, . . . oznaczmy przez L(w, k) maksymalną łączną długość k rozłącznych niemalejących podciągów w.
Dowód faktu 2. polega na dwóch obserwacjach
1. jeśli w ≡K v to L(w, ∗) = L(v, ∗),
2. jeśli w = w(T ), T : λ, λ = (λ1 , λ2 , . . .), wówczas
L(w, k) = λ1 + λ2 + . . . + λk .
11
Pierwszej obserwacji dowodzi się oczywiście dla w, v różniących się jedną z zamian w definicji
≡K . Bierze się optymalne ciągi dla w i dla nich konstruuje się równie dobre ciągi dla v oraz
na odwrót.
Dowód drugiej obserwacji wynika z faktu, że jeżeli podciąg słowa tableau T jest niemalejący, to w każdej kolumnie T jest co najwyżej jeden wyraz tego ciągu.
Na koniec pozostaje nam udowodnić, że dla w ∈ N∗ istnieje jakiekolwiek tableau T spełniające w ≡K w(T ). Oczywiście kształt λ tego tableau musi spełniać
λk = L(w, k) − L(w, k − 1).
Dowód istnienia odpowiedniego tableau przebiega przez indukcję względem na długość słowa.
1.3. Wnioski. Pierścień tableaux
W niniejszym paragrafie ukazane zostaną bardzo ważne wnioski z równoważności obu sposobów mnożenia tableaux. Pozwolą one na stworzenie bardziej algebraicznego podejścia do
teorii tableaux.
Wniosek 5.1. Wynik rektyfikacji nie zależy od sposobu wybierania narożnych pól.
Dowód. Niezależnie od kolejności, wynik będzie identyczny z wynikiem Łączenia 1.
Wniosek 5.2. Mnożenie (oznaczane TU := T ◦ U = T ∗ U) jest łączne.
Dowód. Istotnie, operacja tworzenia niezrektyfikowanego tableau dla T ∗ U opisana powyżej
jest łączna, a rektyfikacja, jako niezależna od kolejności usuwania, zachowuje tę łączność.
To prowadzi do zdefiniowania pierścienia tableaux R w następujący sposób:
X
R={
aT · T : aT ∈ Q, aT 6= 0 dla skonczenie wielu T },
T −tableau
tj. R jest przestrzenią liniową nad Q rozpiętą przez wszystkie tableaux, z mnożeniem określonym na bazie poprzez mnożenie tableaux zdefiniowane uprzednio.
Potrzebny nam będzie jeszcze jeden fakt dotyczący algorytmu bumping:
Lemat („Bumping lemma”). Do danego tableau T wstawiamy kolejno liczby x oraz
x 0 , gdzie x ¬ x 0 , i rozważamy dwa dodane pola P i P 0 . Wówczas P jest na lewo od P 0
oraz nie wyżej niż P 0 .
Dowód (szkic). Jeżeli x trafia na koniec pierwszego wiersza T , to x 0 również, co dowodzi
tezy. Przypuśćmy, że x zostaje zamienione z pewną liczbą y z pierwszego wiersza. Jeżeli x 0
trafia na koniec pierwszego wiersza T , to P 0 jest wyżej niż P oraz na prawo od P. Jeśli x 0
zostaje zamienione z pewną liczbą y 0 z pierwszego wiersza, stosujemy indukcyjnie te same
argumenty dla T bez pierwszego wiersza oraz x = y, x 0 = y 0 .
Wniosek 5.3. Dla danego tableau T : µ oraz liczby p istnieje bijekcja pomiedzy zbiorem
rozwiązań UV = T takich, że V jest typu (p) (czyli ma kształt diagramu o jednym wierszu
długości p) a zbiorem podziałów λ takich, że λ ⊂ µ oraz µ/λ ma p komórek, z czego
żadne dwie nie leżą w jednej kolumnie.
12
Dowód. Mając T = UV, V : (p), wiemy, że V zawiera niemalejący ciąg liczb x1 ¬ x2 ¬ . . . ¬
xp , oraz że T powstaje z wstawienia do U kolejnych liczb tego ciągu. Z lematu wiemy, że
dodane pola ułożą się tak, że żadne dwa nie będą w jednej kolumnie, oraz że ich kolejność
będzie odpowiadała kolejności liczb xi . Algorytm wstawiania jest odwracalny, możemy zatem
mając wybranych w T p pól, z których żadne dwa nie leżą w jednej kolumnie, po kolei
wyjmować je od lewej do prawej, otrzymując z powrotem V : (p) oraz rozkład UV = T .
Ustalmy n oraz zdefiniujmy dla dowolnego podziału λ elementy Sλ ∈ R następującym
wzorem:
X
T,
Sλ :=
T :λ
gdzie T przebiega wszystkie tableaux typu λ, ale nie zawierające liczb większych niż n.
Wniosek 5.4 (Wzór Pieriego). W R zachodzi dla dowolnych p, λ następująca tożsamość,
zwana wzorem Pieriego:
X
Sλ · S(p) =
Sµ ,
µ
gdzie suma obejmuje wszystkie podziały µ takie, że λ ⊂ µ oraz µ/λ ma p pól, z czego
żadne dwa nie są w jednej kolumnie.
Definicja 6. Przez zawartość danego tableau T rozumiemy ciąg µi = liczba wystapien i w T .
Mając podział λ oraz ciąg µ, definiujemy
Kλµ = #(tableaux T : λ o zawartosci µ).
Przez wielokrotne zastosowanie wzoru Pieriego, otrzymujemy:
Wniosek 6.1. W R zachodzi dla dowolnych µi następująca tożsamość:
X
S(µ1 ) · S(µ2 ) · . . . · S(µk ) =
Kλµ · Sλ .
λ
Zauważmy, że jeżeli uporządkujemy podziały leksykograficznie, to dla µ > λ będzie Kλµ = 0,
oraz Kλλ = 1. To świadczy o tym że „macierz” Kλµ jest górnotrójkątna z jedynkami na
przekątnej, zatem jest odwracalna nad Z. Później skorzystamy z tej obserwacji.
13
Rozdział 2
Funkcje symetryczne i wielomiany
Schura
Niech Rn = Q[x1 , x2 , . . . , xn ]. Grupa permutacji Sn działa na Rn w naturalny sposób, tj.
σ·xi = xσ(i) . Wielomianem symetrycznym n zmiennych nazywamy punkt stały tego działania.
Oznaczmy przez Λn = RSnn zbiór tych punktów stałych.
2.1. Funkcje symetryczne
Naszym zadaniem chwilowo będzie pozbycie się niewygodnego ograniczenia, jakim jest liczba
zmiennych.
Niech ρk : Λk+1 → Λk , ρ(w)(x1 , . . . , xk ) := w(x1 , . . . , xk , 0). Mamy zatem nieskończony
ciąg:
Λ0 ← Λ1 ← Λ2 ← . . .
Oznaczmy przez Λ granicę odwrotną tego ciągu (tj. taki pierścień wraz z odwzorowaniami
pi : Λ → Λi , że pi = ρi ◦ pi+1 oraz dla dowolnego Λ 0 wraz z odwzorowaniami pi0 : Λ 0 → Λi
0
takimi, że pi0 = ρi ◦ pi+1
istnieje dokładnie jedno odwzorowanie φ : Λ 0 → Λ takie, że
0
pi · φ = pi ). Elementy tego pierścienia nazywamy funkcjami symetrycznymi. Czytelnik
nie zaznajomiony z teorią kategorii może utożsamiać funkcję symetryczną ω z ciągiem
wielomianów ωi ∈ Λi takich, że ρi (ωi+1 ) = ωi . Funkcja symetryczna jest uogólnieniem
wielomianu symetrycznego na dowolną liczbę zmiennych.
2.2. Ważne przykłady baz Λ, indeksowanych podziałami λ
(1) Elementarne wielomiany symetryczne eλ . Są to wielomiany pojawiające się we
wzorach Viete’a. Definiujemy je wpierw dla λ = (n):
en (x1 , . . . , xk ) =
X
xi1 xi2 . . . xin ,
i1 <i2 <...<in
albo przez funkcję tworzącą:
Y
(1 + txi ) =
15
X
en tn .
Znane twierdzenie, mówiące o tym, że każdy wielomian symetryczny da się wyrazić w postaci
pewnego wielomianu od en mówi nam, że wielomiany
eλ := eλ1 eλ2 . . . eλk
gdzie λ = (λ1 , . . . , λk ) przebiega wszystkie podziały, tworzą bazę Λ.
(2) Zupełne wielomiany symetryczne hλ . Można je uznać za dualne do eλ . Definiujemy
je wpierw dla λ = (n):
X
xi11 xi22 . . . xikk ,
hn (x1 , . . . , xk ) =
i1 +i2 +...+ik =n
albo przez funkcję tworzącą:
Y
X
1
=
hn tn .
1 − txi
Analogicznie jak dla eλ , rozszerzamy definicję na dowolne podziały λ wzorem
hλ := hλ1 hλ2 . . . hλk .
(3) Wielomiany potęgowe pλ . Znowu zaczynamy od definicji dla λ = (n):
X
pn (x1 , . . . , xk ) =
xn
i,
i
Analogicznie jak dla eλ i hλ , rozszerzamy definicję na dowolne podziały λ wzorem
pλ := pλ1 pλ2 . . . pλk .
(4) Wielomiany jednomienne mλ . Z jednomianem xa1 1 . . . xak k wiążemy podział λ powstały z uporządkowania ciągu ai niemalejąco. Mając dane λ, definiujemy mλ jako sumę
wszystkich jednomianów związanych w ten sposób z λ:
mλ (x1 , x2 , . . . , xk ) =
X
λ
λ
λ
x1 σ(1) x2 σ(2) . . . xkσ(k) ,
σ
gdzie sumujemy po wszystkich permutacjach k elementów.
Powyższe rodziny wielomianów (funkcji) symetrycznych, z wyjątkiem wielomianów pλ ,
stanowią w istocie bazy Λ czy Rn nad Z. Wielomiany pλ stanowią bazę Λ nad Q. Dowody
tych własności znajdują się w pierwszym rozdziale książki [Mac].
2.3. Wielomiany Schura
Ostatnią, najważniejszą dla nas bazą Λ, są
(5) Wielomiany Schura sλ . Wielomiany te wiążą teorię tableaux Younga z teorią funkcji symetrycznych i teorią reprezentacji grup. Mimo to, wcale nie jest oczywiste, że są one
symetryczne.
16
Zdefiniujmy homomorfizm φ : R → Q[x1 , x2 , . . .] tak, aby
φ( i ) = xi ,
czyli jeżeli tableau T ma zawartość µ, to φ(T ) = xµ := xµ1 1 xµ2 2 . . ..
Ustalamy n i definiujemy Sλ ∈ R jak przy wzorze Pieriego, tj. jako sumę wszystkich
tableaux T : λ o wyrazach ¬ n. Definiujemy teraz wielomiany Schura:
sλ (x1 , . . . , xn ) := φ(Sλ ).
Jak zostało to wcześniej zaznaczone, nie widać od razu, że są one symetryczne. Jednak wprost
z definicji wynika, że s(p) = h(p) .
Ponadto, z tożsamości Pieriego (wniosek 5.4) wynika analogiczna tożsamość dla wielomianów Schura:
X
sλ h(p) =
sµ ,
µ
gdzie suma przebiega wszystkie λ ⊂ µ takie, że µ/λ ma p pól, z czego żadne dwa nie są w
jednej kolumnie.
Wniosek 6.1 również przenosi się na wielomiany Schura, w następującej formie:
X
hµ =
Kλµ sλ .
λ
0 , że
Wiemy już, że macierz Kλµ jest odwracalna nad Z, tj. istnieją takie liczby całkowite Kµλ
sµ =
X
0
Kλµ
hλ ,
λ
wyraziliśmy więc wielomiany Schura poprzez wielomiany symetryczne hλ . Płyną stąd następujące wnioski:
Wniosek 6.2. Wielomiany sλ są funkcjami symetrycznymi i tworzą bazę Λ.
Wniosek 6.3. Liczby Kλµ nie zależą od porządku wyrazów µ.
P
Wniosek 6.4. Jeżeli wielomiany zλ spełniają tożsamość Pieriego zλ ·h(p) = µ zµ , gdzie
suma przebiega wszystkie µ ⊃ λ takie, że µ/λ ma p pól, z czego żadne dwa nie leżą w
jednej kolumnie, to zλ = sλ .
2.4. Algebraiczna postać wielomianów Schura.
Oprzemy się na wniosku 6.4, aby wyrazić wielomiany Schura w bardziej algebraicznej formie.
Dla l = (l1 , . . . , lk ) (niekoniecznie podziału) definiujemy
l
al (x1 , . . . , xk ) = det[xij ]ki,j=1 .
Jest to uogólnienie wyznacznika Vandermonde’a, ponieważ dla δ = (k − 1, k − 2, . . . , 0) mamy
Y
aδ (x1 , . . . , xk ) = det[xj−1
(xi − xj ).
i ]=
i<j
17
Twierdzenie 6.1. Zachodzi tożsamość:
λ +k−j
sλ =
det[xi j
det[xk−j
i ]
]
.
Dowód. Niech
λ +k−j
zλ =
det[xi j
]
aλ+δ
=
.
k−j
aδ
det[xi ]
zλ na pewno jest wielomianem na mocy twierdzenia Bezout.
P
Na mocy wniosku 6.4, wystarczy udowodnić tożsamość Pieriego zλ h(p) = µ zµ , którą
przepisujemy w postaci
X
aλ+δ
xi11 . . . xikk =
X
aµ+δ ,
µ
i1 +...+ik =p
gdzie sumujemy po wszystkich λ ⊂ µ takich, że µ/λ ma p pól, z czego żadne dwa nie leżą w
jednej kolumnie. Sumując po wszystkich p otrzymamy równoważną tożsamość
a(l1 ,...,lk )
Y
1
=
1 − xi
X
a(m1 ,...,mk ) ,
(m1 ,...,mk )
gdzie li = λi + k − i, mi = µi + k − i, a warunek na µ oznacza branie po prawej stronie sumy
po wszystkich (m1 , . . . , mk ) takich, że m1 ­ l1 > m2 ­ l2 > . . . > mk ­ lk . Wzoru tego
dowodzimy przez indukcję po k, rozwijając wyznaczniki względem wierszy z l1 lub n1 :
a(l1 ,...,k ) (x)
Y
i
1
=
1 − xi
Y
X
(−1)α xlα1 a(l2 ,...,k ) (x(α) )
!
α
i
1
=
1 − xi
(gdzie x = (x1 , . . . , xk ) oraz x(α) = (x1 , . . . , xα−1 , xα+1 , . . . , xk ))
=
X
(−1)α
α
Y 1
xlα1
a(l2 ,...,k ) (x(α) )
=
1 − xα
1 − xi
i6=α
z założenia indukcyjnego:
=
X
α
(−1)α
xlα1
1 − xα
X
X
X
1
(−1)α (
xn
α )
α
=
X
X
n1 ­l1 n2 ­l2 >n3 ­...
n1 ­l1
X
a(n2 ,...,nk ) (x(α) ) =
n2 ­l2 >n3 ­...
X
a(n2 ,...,nk ) (x(α) ) =
n2 ­l2 >n3 ­...
!
1
(−1)α xn
α a(n2 ,...,nk ) (x(α) )
α
=
X
X
a(n1 ,n2 ,...,nk ) (x),
n1 ­l1 n2 ­l2 >n3 ­...
a biorąc pod uwagę, że dla n2 ­ l1 składniki a(n1 ,n2 ,...,nk ) oraz a(n2 ,n1 ,...,nk ) występują po
prawej stronie i się redukują, możemy dodać do tej sumy warunek l1 > n2 , co pozwala na
złączenie obu sum i zakończenie dowodu.
18
2.5. Rozwinięcia iloczynu
Q
(1 − xi yj )−1 .
Rozwiniemy teraz wspomniany iloczyn na trzy sposoby, co skłoni nas do wprowadzenia szczególnego iloczynu skalarnego na Λ.
(1) Wychodzimy od tożsamości Cauchy’ego:
"
1
det
xi + yj
Y
#k
(xi + yj ) = aδ (x1 , . . . , xk ) · aδ (y1 , . . . , yk ).
i,j=1 i,j
Aby ją udowodnić, zauważamy, że obie strony są jednorodnymi wielomianami zmiennych
x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yk stopnia n2 − n. Lewa strona z kolei jest antysymetryczna ze względu
na x-y oraz na y-ki, wobec czego jest podzielna przez wyznaczniki Vandermonde’a aδ (x),
aδ (y). Tożsamość zachodzi zatem z dokładnością do pomnożenia którejś ze stron przez stałą,
którą wyznaczamy eksperymentalnie, porównując współczynniki przy xδ yδ , równe po obu
stronach.
Przekształcając tę równość, łatwo otrzymamy następującą jej postać:
Y
"
#
1
1
1
=
det
.
1 − x i yj
aδ (x)aδ (y)
1 − x i yj
Wyznacznik po prawej stronie po rozpisaniu daje nam:
Y X X
1
i
det
xi i yσ(i)
,
=
(−1)σ
1 − x i yj
σ ,...,
"
#
1
k
(rozwijamy każdy wyraz macierzy w szereg geometryczny, σ odpowiada wybranemu wyrazowi
wyznacznika, zaś i mówi, który wyraz szeregu bierzemy w i-tym wierszu)
X
=
1 ,...,k
=
X
det[xi i yj i ] =
x · det[yj i ] =
1 ,...,k
XX
λ
λ
xσ(λ) det[yj σ(i) ] =
σ
XX
X
X
( (−1)σ xσ(λ) )aλ (y) =
aλ (x)aλ (y) =
aλ+δ (x)aλ+δ (y).
λ
σ
λ
λ
Przejście od sumy po wszystkich i ­ 0 do sumy po wszystkich podziałach λ o co najwyżej
k składnikach oraz po permutacjach σ bierze się z posortowania ciągu epsilonów (tak, aby
= σ(λ)). Ostatnia równość bierze się stąd, że jeżeli λ zawiera dwa równe składniki, to
aλ = 0, a jeśli nie zawiera, to λ = λ 0 + δ dla unikalnego λ 0 .
Udowodniliśmy zatem, na mocy tożsamości sλ = aλ+δ /aδ , rozwinięcie
Y
X
1
=
sλ (x)sλ (y).
1 − xi yj
λ
(2) Z drugiej strony, mamy:
Y
i,j
Y X
1
=
hn (x)yn
,
j
1 − x i yj
n
!
j
19
co po wymnożeniu i zgrupowaniu wyrazów o takich samych wykładnikach przy y z dokładnością do permutacji daje nam
X
hλ (x)mλ (y).
=
λ
(3) Z jeszcze innej strony, mamy następującą tożsamość
X
hn (x)tn =
Y
n
i
= exp
Y
X X (xi t)r
1
=
=
exp(− log(1 − xi t)) = exp 
1 − xi t
r
r


i
X pr (x)tr
r
r
=
=
Y
pr (x)tr Y X (pr (x)tr )mr
=
=
r
mr !rmr
r m
exp
r
r
X
λ
1
λ1
!1λ1 λ
2
!2λ2
. . . λk !kλk
pλ (x)t|λ| .
Niech z(λ) = λ1 !1λ1 λ2 !2λ2 . . . λk !kλk . Zwróćmy uwagę, że moc klasy sprzężoności permutacji
o rozkładzie na cykle λ (to znaczy mającej cykle długości λ1 , λ2 , . . .), czyli po prostu liczba
permutacji o takim rozkładzie w Sn , jest równa n!/z(λ) (prosta kombinatoryka). Wobec
powyższego otrzymaliśmy wzór
X 1
pλ .
hn =
z(λ)
|λ|=n
Weżmy teraz
k2
zmiennych zij = xi yj . Zauważmy, że mamy
pn (z) =
X
X
X


n

xn
i yj =

xn
i
i,j
i

 = pn (x)pn (y),
yn
j
j
skąd wynika, że pλ (z) = pλ (x)pλ (y). Mamy zatem dla t = 1:
Y
i,j
Y
X
X 1
X 1
1
1
=
=
pλ (z) =
pλ (x)pλ (y).
hn (z)tn =
1 − txi yj
1 − tzij
z(λ)
z(λ)
n
i,j
λ
λ
Wypiszmy teraz te wzory obok siebie:
Y
i,j
X
X
X 1
1
=
sλ (x)sλ (y) =
hλ (x)mλ (y) =
pλ (x)pλ (y).
1 − xi yj
z(λ)
λ
λ
λ
2.6. Λ jako przestrzeń z iloczynem skalarnym
Wprowadźmy iloczyn skalarny na Λ tak, aby hsλ , sµ i = [λ = µ] (gdzie [φ] = 1 gdy φ, 0 w
p.p.), czyli tak, aby wielomiany Schura tworzyły bazę ortonormalną. Z powyższych wzorów
P
P
wynika, że jeśli rozpiszemy hλ (x) = µ Aλµ sµ (x) oraz mλ (y) = µ Bλµ sµ (y), to macierze
Aλµ oraz Bµλ będą do siebie odwrotne:
X
XX
hλ (x)mλ (y) =
Aλµ Bλν sµ (x)sν (y)
λ
λ
X X

=

µ,ν
µ,ν

Aλµ Bλν  sµ (x)sν (y) =
X
µ,ν
λ
20
[µ = ν]sµ (x)sν (y).
P
Zatem z liniowej niezależności sµ (x)sν (y) (baza iloczynu tensorowego) mamy λ Aλµ Bλν =
[ν = µ]. Macierze A i B są więc macierzami przekształceń wzajemnie sprzężonych, czyli hλ
oraz mλ stanowią bazy dualne, wobec czego
hhλ , mµ i = [λ = µ].
Tak samo robimy dla pλ (x), pλ (y) i otrzymujemy w rezultacie
1
[λ = µ].
z(λ)
hpλ , pµ i =
Zdefiniujmy liczby χλµ oraz ξλµ jako współczynniki w rozwinięciach pµ w bazach odpowiednio
s oraz m przy sλ oraz mλ , tj.
X
X
ξλµ mλ .
χλµ sλ =
pµ =
λ
λ
Wobec powyższych rozważań na temat baz dualnych i ortogonalnych, otrzymujemy równoważne wzory
X 1
X 1
sλ =
χλµ pµ ; hλ =
ξλµ pµ .
z(µ)
z(λ)
µ
µ
Współczynniki χλµ okażą się ważne w dalszych rozważaniach dotyczących charakterów
reprezentacji, dlatego pokusimy się o ładniejsze ich wyrażenie:
pµ (x1 , . . . , xk ) =
X
χλµ sλ (x1 , . . . , xk ) =
X
λ
χλµ
aλ+δ (x1 , . . . , xk )
,
aδ (x1 , . . . , xk )
Q
co po pomnożeniu obu stron przez aδ (x1 , . . . , xk ) = (xi − xj ) i wymnożeniu wyznacznika
po prawej da nam
Y
X X
(xi − xj )pµ =
χλµ
(−1)σ xσ(λ+δ) .
i<j
λ
σ
Po porównaniu współczynników przy xλ+δ otrzymujemy finalnie
Y
Y µ
χλµ = wspolczynnik przy xλ1 1 +k−1 x2λ2 +k−2 . . . xkλk +k−k w
(xi − xj )
(x1 i + . . . + xµk i ),
i<j
gdzie k jest nie mniejsze niż liczba składników λ oraz µ.
21
i
Rozdział 3
Reprezentacje grup symetrycznych
i wzór Frobeniusa
Przechodzimy do analizy charakterów nieprzywiedlnych reprezentacji grup symetrycznych.
Opis tych reprezentacji znajduje się w Dodatku A. Wprowadzimy teraz nieco większe (czyli
już przywiedlne), ale prostsze w opisie reprezentacje Mλ .
Przez ponumerowanie diagramu Younga podziału λ liczby n rozumiemy wpisanie w jego
pola liczb 1, 2, . . . , n. Grupa Sn działa na zbiorze ponumerowań danego diagramu, zamieniając
wpisane liczby na ich obraz przy wybranej permutacji. Ustalmy λ. W zbiorze ponumerowań
diagramu Younga λ wprowadzamy relację równoważności utożsamiającą ponumerowania mające takie same liczby w każdym wierszu, z dokładnością do kolejności w tym wierszu. Klasę
abstrakcji tej relacji nazywamy tabloidem. Tabloid możemy zilustrować, rysując ponumerowany diagram (dla wybranego ponumerowania z klasy abstrakcji) oraz zmazując pionowe
linie, co podkreśla, że kolejność w wierszu nie jest istotna. Działanie Sn jest zgodne z naszą relacją, toteż działanie Sn na ponumerowaniach indukuje działanie na zbiorze tabloidów.
Ono z kolei indukuje reprezentację grupy permutacji: za bazę przestrzeni tej reprezentacji
przyjmiemy przestrzeń liniową, której bazą są tabloidy, z kolei działanie grupy na zbiorze
tabloidów zada nam reprezentację na wspomnianej bazie. Opisaną reprezentację nazwiemy
Mλ .
Równoważnie, jeśli λ = (λ1 , . . . , λk ), to Mλ jest reprezentacją indukowaną z trywialnej
reprezentacji podgrupy Sλ1 × . . . × Sλk ⊂ Sn .
Lemat 6.1. Niech T i T 0 będą ponumerowaniami diagramów Younga podziałów λ oraz
λ 0 takich, że λ nie dominuje λ 0 . Wówczas zachodzi dokładnie jeden z warunków:
(i) istnieją dwie liczby znajdujące się w jednym wierszu T oraz w jednej kolumnie T 0 .
(ii)
λ = λ 0 oraz istnieje zachowująca wiersze T permutacja p 0 oraz zachowująca kolumny T 0 permutacja q takie, że p 0 T 0 = qT .
Dowód powyższego lematu znajduje się w pracy [Ful] w rozdziale 7. Przypominamy, że
w C[Sd ] mamy dla każdego ponumerowania pewnego diagramu o n polach elementy
X
X
aT =
p, bT =
(−1)q q, cT = bT aT
p∈R(T )
q∈C(T )
gdzie R(T ) oraz C(T ) to podgrupy zachowujące odpowiednio wiersze i kolumny T . Oznaczmy
chwilowo przez [T ] tabloid odpowiadający ponumerowaniu T . Wówczas z Lematu 6.1 jako
wniosek otrzymujemy następujący
23
Lemat 6.2. Założenia jak w Lemacie 1, wówczas jeśli zachodzi (i), to bT [T 0 ] = 0, a jeśli
P
(2), wówczas bT [T 0 ] = ± q∈C(T ) (−1)q [qT ] = ±bT [T ].
Dowód. (i) Niech t będzie transpozycją wspomnianych dwu liczb, wtedy bT t = −bT , bo
t ∈ C(T ) oraz t[T 0 ] = [T 0 ], gdyż t ∈ R(T 0 ), zatem
bT [T 0 ] = bT (t[T 0 ]) = (bT t)[T 0 ] = −bT [T 0 ].
(ii) Niech p 0 , q jak w poprzednim lemacie, wówczas
X
bT [T 0 ] = bT [p 0 T 0 ] = bT [qT ] = (bT q)[T ] = (sgn(q)bT )[T ] = sgn(q)
(−1)σ [qT ].
σ∈C(T )
Następnym naszym celem będzie odkrycie w reprezentacji Mλ reprezentacji nieprzywiedlnych Sλ (opisanych w dodatku A). Były to lewostronne ideały C[Sn ] · cT dla dowolnego
ponumerowania T kształtu λ. Zdefiniujmy wpierw przekształcenie ψT : Mλ → C[Sn ] · aT
wzorem ψT ([σT ]) = σaT . Zauważmy, że [σT ] = [τT ] wtedy i tylko wtedy, gdy στ−1 ∈ R(T ) i
tak samo dla σaT , wobec czego przekształcenie to jest izomorfizmem reprezentacji. Sprawdźmy zatem, co przechodzi na Sλ , czyli jaki jest przeciwobraz elementów σcT = σbT aT =
P
( q∈C(T ) σ(−1)q )aT . Widzimy od razu, że musi to być element vσ−1 Tσ ∈ Mλ , gdzie
vT :=
X
(−1)q [qT ] = bT [T ].
q∈C(T )
Wobec tego, elementy vT rozpinają w Mλ podprzestrzeń Sn -niezmienniczą, stanowiącą reprezentację izomorficzną z Sλ .
Wobec powyższego, otrzymujemy kolejny lemat, dotyczący obecności Sλ w Mλ :
Lemat 6.3. φ : Mλ → Mλ 0 – morfizm reprezentacji, Sλ nie jest zawarte w jądrze φ.
Wówczas λ 0 λ.
Dowód. Weźmy dowolne ponumerowanie T o kształcie λ. Mamy 0 =
6 φ(vT ) = bT φ([T ]),
0
wobec czego bT Mλ 0 6= 0, zatem dla pewnego tabloidu [T ] kształtu λ 0 mamy bT [T 0 ] 6= 0.
Jeżeli λ = λ 0 to λ 0 λ (porządek jest „słaby”), co kończy dowód, jeżeli zaś są różne, to
wówczas zachodzi (i) z Lematu 2, co przeczy temu, że bT [T 0 ] 6= 0.
3.1. Charakter Mλ .
Obliczymy teraz charakter reprezentacji Mλ . Dla reprezentacji indukowanych z działań grup,
wartość charakteru na elemencie jest równa liczbie punktów stałych działania tego elementu
na zbiorze. Mamy zatem
χMλ (σ) = # (T − tabloid ksztaltu λ : σT = T ) =
= # (T − tabloid ksztaltu λ : kazdy cykl σ zawarty jest w pewnym wierszu T ) .
Niech σ ma cykle długości µ = (µ1 , . . . , µk ). Niech mq oznacza liczbę cykli długości q w
σ. Chcąc wybrać tabloid T kształtu λ taki, że każdy cykl σ zawarty jest w pewnym wierszu
24
T , postępujemy następująco: niech r(p, q) będzie liczbą cykli σ długości q w p-tym wierszu
T . Wtedy oczywiście musi być
X
X
r(i, q) = mq .
ir(p, i) = λp
oraz
i
i
Jeżeli ustalimy liczby r(p, q), wówczas liczba szukanych tabloidów, spełniających te dodatkowe warunki, będzie równa
m1 !
m2 !
mn !
·
· ... ·
,
r(1, 1)! . . . r(n, 1)! r(1, 2)! . . . r(n, 2)!
r(1, n)! . . . r(n, n)!
gdyż dla każdego q musimy wybrać, które cykle długości q pójdą do których wierszy tabloidu, czyli musimy rozdysponować mq obiektów do n przegródek tak, aby w i-tej przegródce znalazło się dokładnie r(i, q) przedmiotów, co możemy zrobić na dokładnie mq !/
r(1, q)!r(2, q)! . . . r(n, q)! sposobów.
Z drugiej strony, z uogólnionego wzoru dwumianowego otrzymujemy:
pq (x1 , . . . , xn )mq =
X
P
(rpq ): i iriq =mq
mq !
qr
qr
qr
x 1q x2 2q . . . xn nq ,
r1q ! . . . rnq ! 1
mn
1
skąd, jako że pµ = pm
1 . . . pn , wnioskujemy, że szukana liczba jest równa współczynnikowi
przy xλ w pµ .
Współczynnik ten jest oczywiście współczynnikiem przy mλ w rozkładzie pµ w bazie m,
czyli jest to liczba ξλµ zdefiniowana pod koniec poprzedniego rozdziału.
3.2. Pierścień reprezentacji grup symetrycznych
Niech Rn oznacza grupę abelową, której generatorami są reprezentacje Sn , i w której dodawanie zadane jest przez sumę prostą reprezentacji (tzn. bierzemy zbiór skończonych kombinacji
formalnych takich reprezentacji o współczynnikach całkowitych i utożsamiamy zwykłą sumę i
L
sumę prostą reprezentacji: V +W = V ⊕W). Niech R = n Rn będzie pierścieniem z gradacją
z mnożeniem zadanym następująco:
V ∈ Rn , W ∈ Rm −→ V · W := IndSSn+m
V ⊗ W ∈ Rn+m ,
n ×Sm
gdzie Ind oznacza reprezentację indukowaną, a V ⊗ W – przestrzeń V ⊗ W z działaniem
Sn × Sm zadanym przez (σ, τ)(v ⊗ w) = (σv) ⊗ (τw), czyli reprezentację Sn × Sm .
Jest to pierścień wszystkich reprezentacji grup symetrycznych. Wprowadzimy w nim iloczyn skalarny żądając, aby reprezentacje nieprzywiedlne tworzyły bazę ortonormalną (tak,
jak tworzą ją ich charaktery). Czyli
hSλ , Sµ i = [λ = µ],
a z teorii charakterów wynika, że jeśli V, W ∈ Rn ⊂ R, wówczas
hV, Wi =
X 1
1 X
1 X
χV (σ)χW (σ−1 ) =
|C(µ)|χV (Cµ )χW (Cµ ) =
χV (Cµ )χW (Cµ )
n! σ
n! µ
|C(µ)|
µ
25
Pierwsza równość mówi, że iloczyn skalarny reprezentacji jest równy iloczynowi skalarnemu charakterów, druga zamienia sumowanie po elementach grupy na sumowanie po klasach
sprzężoności (charaktery są stałe na klasach sprzężoności), gdzie klasa sprzężoności permutacji o rozkładzie na cykle µ oznaczana jest C(µ). Pamiętając z poprzedniego rozdziału, że
|C(µ)| = n!/z(µ) = n!/µ1 !1µ1 . . . µn !nµn , zapisujemy to w postaci
hV, Wi =
X 1
χV (Cµ )χW (Cµ ).
z(µ)
µ
P 00
Wiemy, że Sλ (|λ| = n) stanowią bazę Rn nad Z, zatem Mλ = µ Kλµ
Sµ , dla pewnych całko00 . Z Lematu 3 wynika, że K 00 = 0, gdy λ nie dominuje µ, oraz że K 00 = 1. Wobec
witych Kλµ
λµ
λλ
tego (znowu stosujemy argument z macierzą górnotrójkątną z jedynkami na przekątnej) Mλ
także stanowią bazę Rn nad Z.
3.3. Pierścień reprezentacji a pierścień funkcji symetrycznych
Powyższe rozważania skłaniają nas do zdefiniowania homomorfizmu
φ : Λ → R,
φ(hλ ) = Mλ .
Jest to w istocie homomorfizm, gdyż
hλ = hλ1 hλ2 . . . hλk
oraz
Mλ = Mλ1 Mλ2 . . . Mλk ,
a nawet izomorfizm, bowiem Mλ jest bazą R.
Zastanówmy się teraz nad izomorfizmem odwrotnym. Musiałby on spełniać ψ(Mλ ) = hλ ,
czyli na mocy poprzednich rozważań dotyczących rozwinięcia pµ w bazach h oraz m, a także
charakteru Mλ :
ψ(Mλ ) = hλ =
X 1
X 1
ξλµ pµ =
χMλ (C(µ))pµ .
z(µ)
z(µ)
µ
µ
Zatem dla dowolnej reprezentacji V mamy
ψ(V) =
X 1
χV (C(µ))pµ .
z(µ)
µ
Zauważmy teraz, że na mocy ortogonalności wielomianów pλ :
hψ(V), ψ(W)i =
X 1
z(µ)χV (C(λ))χW (Cµ ) hpλ , pµ i =
z(λ)
µ,λ
=
X 1
χV (C(µ))χW (Cµ ) = hV, Wi ,
z(µ)
µ
zatem φ oraz ψ są izometriami i ustanawiają pełen izomorfizm Λ oraz R.
26
3.4. Charakter Sλ — wzór Frobeniusa.
P 00
P
Wiemy, że Mλ = Sλ + Kλµ
Sµ oraz że hλ = sλ + Kλµ sµ , obie sumy po µ ściśle zdominowaP
nych przez λ. Ponieważ φ(hλ ) = Mλ , mamy φ(sλ ) = Sλ + mλµ sµ dla pewnych całkowitych
mλµ , ale jako, że φ jest izometrią, to
X
1 = hsλ , sλ i = hφ(sλ ), φ(sλ )i = 1 +
(mµλ )2 ,
zatem
φ(sλ ) = Sλ .
Widzimy teraz, że z jednej strony
ψ(Sλ ) =
X 1
χS (C(µ))pµ ,
z(µ) λ
µ
z drugiej zaś, na mocy ostatnich rachunków z poprzedniego rozdziału
ψ(Sλ ) = sλ =
X 1
χλµ pµ ,
z(µ)
µ
wobec czego χSλ (C(µ)) = χλµ , udowodniliśmy więc
Wzór Frobeniusa. Wartość charakteru reprezentacji Sλ na klasie sprzężoności C(µ)
jest równa współczynnikowi przy xλ1 1 +n−1 x2λ2 +n−2 . . . xλnn +n−n w wielomianie
Y
Y
(xi − xj )
(xi1 + . . . + xik )µi .
i<j
i
3.5. Wnioski
Obliczymy teraz ze wzoru Frobeniusa wymiar reprezentacji Sλ . Oczywiście
dim Sλ = χSλ (id) = χSλ (id) = χSλ (C(µ)),
gdzie µ = (n). Mamy zatem obliczyć współczynnik przy x1λ1 +n−1 x2λ2 +n−2 . . . xλnn +n−n w wielomianie
Y
w(x1 , . . . , xk ) =
(xi − xj )(x1 + . . . + xk )n =
i<j
X
= det[xj−1
i ]·
r1 +r2 +...+rk
=
X
σ
σ(1)−1
(−1)σ xk
σ(k)−1
. . . x1
·
n!
xr11 xr22 . . . xrkk
r
!r
!
.
.
.
r
!
k
=n 1 2
X
r1 +r2 +...+rk
n!
xr11 xr22 . . . xrkk
r
!r
!
.
.
.
r
!
k
=n 1 2
Aby w iloczynie pojawił się składnik x1λ1 +n−1 x2λ2 +n−2 . . . xλnn +n−n , indeksy σ i r muszą spełniać warunki λi + n − i = ri + σ(k − i) − 1, więc jeżeli ustalimy σ, to ri = li + 1 − σ(i) ­ 0,
co oznacza, że σ musi spełniać warunek i > σ(i) (co skrótowo oznaczmy σ < l). Szukany
wspołczynnik jest zatem równy
X
σ<l
X
Y
(−1)σ n!
n!
=
(−1)σ
li (li − 1) . . . (li − (σ(i) − 2))
(l1 − σ(1) + 1)! . . . (lk − σ(k) + 1)!
l1 ! . . . lk !
k
σ<l
27
i=1
Y
X
n!
qiσ(i) ,
(−1)σ
l1 ! . . . l k !
k
=
i=1
σ<l
gdzie qij = li (li − 1) . . . (li − (j − 2)) (j − 1 czynników, dla j = 1 przyjmujemy qij = 1).
Za pomocą operacji na kolumnach możemy sprowadzić macierz [qij ] do macierzy [lj−1
i ], gdyż
qij jest wielomianem unormowanym od li stopnia j − 1. Jest to wyznacznik Vandermonde’a,
zatem dostajemy
Y
n!
dim Sλ =
(li − lj ).
l1 ! . . . lk !
i<j
Zauważmy teraz, że dla λ = (1, 1, . . . , 1), Mλ jest reprezentacją regularną grupy Sd , czyli
indukowaną z działania tej grupy na sobie przez mnożenie z lewej strony. Wiadomo, że wymiar
reprezentacji nieprzywiedlnej Sλ jest równy jej krotności w rozkładzie reprezentacji regularnej
na reprezentacje nieprzywiedlne. Jednak skoro w Λ zachodzi równość
X
hµ =
Kλµ sλ ,
λ
to w pierścieniu reprezentacji R musi być prawdziwy rozkład
Mµ =
M
(Sλ )Kλµ .
λ
Podstawiając µ = (1, 1, . . . , 1) otrzymujemy dim Sλ = Kλ(1,...,1) . Ta liczba, oznaczana zwykle
przez fλ , jest oczywiście równa liczbie tableaux o kształcie λ z wpisanymi liczbami 1, 2, . . . , |λ|,
czyli tzw. tableaux standardowych. Otrzymaliśmy więc drogą niezbyt elementarną równość
czysto kombinatoryczną1 :
fλ =
Y
n!
(li − lj )
l1 ! . . . l k !
(li = λi + j − i).
i<j
Teoria reprezentacji daje nam również wzór, którego kombinatoryczną interpretację w postaci
bijekcji znalazł Schensted:
X
X
n! = |Sn | =
(dim Sλ )2 =
(fλ )2 .
λ
λ
1
Prosty dowód tego wzoru, nie odwołujący się do teorii reprezentacji, znajduje się w pracy [GNH]. Inny
dowód, polegający na konstrukcji stosownej bijekcji, znajduje się w książce [Sag]. Podane dowody opieraja cię
na innej postaci prawej strony powyższego wzoru (tzw. Hook Length Formula), przejście od jednej postaci
do drugiej jest podane choćby w [FH], rozdział 4., ćwiczenie 4.13.
28
Rozdział 4
Funktory Schura i konstrukcja
Weyla
Niech V będzie przestrzenią skończonego wymiaru, d zaś ustaloną liczbą całkowitą dodatnią.
Rozpatrzmy V ⊗d jako prawostronny C[Sd ]-moduł z działaniem
v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ vk · σ = vσ(1) ⊗ vσ(2) ⊗ . . . ⊗ vσ(k)
oraz jednocześnie jako lewostronny End(V)-moduł z działaniem
A · v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ vk = (Av1 ) ⊗ (Av2 ) ⊗ . . . ⊗ (Avk ).
Zauważmy, że działania te komutują. Wobec tego End(V) zanurza się w EndC[Sd ] V ⊗d , czyli
komutant V ⊗d jako C[Sd ]-modułu. I w istocie go rozpina, gdyż
EndC[Sd ] V ⊗d = A ∈ End(V ⊗d ) : ∀σ Aσ = σA = A ∈ End(V ⊗d ) : ∀σ A = σAσ−1 ,
EndC[Sd ] V
⊗d
=
A=
End(V ⊗d ) = (V ⊗d ) ⊗ (V ⊗d )∗ = End(V)⊗d ,
X
A1i
⊗
A2i
⊗ ... ⊗
Adi
∈ End(V
i
⊗d
) : ∀σ
X
σ(1)
Ai
⊗
σ(2)
Ai
⊗ ... ⊗
σ(d)
Ai
i
= Symd End(V),
zaś Symd End(V) jest rozpinane przez A ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A (A ∈ End(V)).
Teoria modułów pozwala na charakteryzację B = EndA U-modułów prostych (U = V ⊗d ),
jeśli znane są A = C[Sd ]-moduły proste. Te zaś, jak już wiemy, odpowiadają reprezentacjom
nieprzywiedlnym Sλ (|λ| = d).
A-moduły proste (przynajmniej, gdy A jest algebrą grupową nad C skończonego wymiaru)
zawsze są generowane przez elementy idempotentne w A, tj. są postaci A · c dla pewnych
c ∈ A spełniających c2 = αc, α ∈ C. U nas c = cλ to symetryzatory Younga.
4.1. Funktory Schura
Teoria modułów orzeka, że wszystkie B-moduły proste są postaci U·c dla tych samych idempotentów c. Zostało to pokrótce wyjaśnione w rozdziale 6 [FH], obszerniejsze studium modułów
29
znajduje się w ksiązce [CR]. Stosując ten fakt do naszych A, B, U otrzymujemy charakteryzację EndC[Sd ] V ⊗d -modułów prostych, a co za tym idzie, End(V)-modułów prostych czy
GL(V)-reprezentacji nieprzywiedlnych. Uogólniają one znane funktory potęg symetrycznych
i antysymetrycznych:
λ = (d) ⇒ V ⊗d · cλ = Symd V,
⇒
λ = (1d )
V ⊗d · cλ = Λd V.
Definicja 7. Dla przestrzeni liniowej V i podziału λ liczby d > 0 określamy
Sλ V = V ⊗d · cλ .
Tak określone przyporządkowanie jest funktorialne i nazywane jest funktorem Schura.
Obserwacja. S(d) = Symd , S(1d ) = Λd .
Wniosek 7.1. Sλ V są nieprzywiedlnymi GL(V)-reprezentacjami.
Wniosek 7.2. Na mocy twierdzenia Wedderburna otrzymujemy rozkład
V ⊗d =
M
λ
Sλ V f ,
λ
gdzie fλ = dim Sλ .
4.2. Charaktery funktorów Schura
Obliczymy teraz ślad A ∈ End(V) na Sλ V. Zauważmy wpierw, że dla A = diag(x1 , x2 , . . . , xk )
oraz λ = (d) mamy
D
E
X
⊗ik
⊗i1
⊗i2
⊗ik
1 ⊗i2
TrSλ V A = TrSymd V A =
e⊗i
e
⊗
.
.
.
⊗
e
,
(Ae
)
⊗
(Ae
)
⊗
.
.
.
⊗
(Ae
1
2
k
1
2
k
i1 +i2 +...+ik =d
=
X
xi11 xi22 . . . xikk = hd (x1 , x2 , . . . , xk ).
i1 +i2 +...+ik =d
Widzimy teraz, że skoro w pierścieniu tableaux R mamy tożsamość (wniosek z tożsamości
Pieriego):
X
S(λ1 ) · S(λ2 ) · . . . · S(λm ) =
Kµλ Sλ ,
µ
to zachodzi analogiczna tożsamość w pierścieniu Λ:
s(λ1 ) · s(λ2 ) · . . . · s(λm ) =
X
Kµλ sλ ,
µ
zaś na mocy izomorfizmu pierścienia Λ z pierścieniem reprezentacji grup symetrycznych,
prawdziwy jest rozkład reprezentacji
S(λ1 ) ⊗ S(λ2 ) ⊗ . . . ⊗ S(λm ) =
M ⊕Kµλ
Sλ
,
µ
zatem na mocy powyższych rozważań na temat modułów, otrzymujemy rozkład dla funktorów
Schura:
M
S(λ1 ) V ⊗ S(λ2 ) V ⊗ . . . ⊗ S(λm ) V =
(Sλ V)⊕Kµλ ,
µ
30
skąd otrzymujemy z kolei równość dla śladów A = diag(x1 , x2 , . . . , xk ):
X
hλ (x1 , x2 , . . . , xk ) = hλ1 (x1 , x2 , . . . , xk ) . . . hλm (x1 , x2 , . . . , xk ) =
Kµλ χSµ V (A).
µ
Stosując analogiczne rozumowanie, jak przy dowodzie symetryczności sλ , otrzymujemy
X
0
χSµ V (A) =
Kµλ
hλ (x1 , x2 , . . . , xk ) = sλ (x1 , x2 , . . . , xk ).
µ
Charaktery funktorów Schura są zatem wielomianami Schura od wartości własnych macierzy.
Zostało to właśnie dowiedzione dla macierzy diagonalizowalnych, ale skoro są one gęste w
End(V), tożsamość ta musi zachodzić dla wszystkich macierzy.
Na koniec obliczymy dim Sλ V. Oczywiście
dim Sλ V = χSλ V (I) = sλ (1, 1, . . . , 1).
Niestety, tożsamość
λ +k−j
sλ (x1 , . . . , xk ) =
det[xi j
]
det[xk−j
i ]
nie działa w przypadku gdy xi = 1. Możemy jednak wyrazić sλ (1, 1, . . . 1) za jej pomocą w
postaci granicy:
det[xi(λj +k−j) ]
.
x→1 det[xi(k−j) ]
dim Sλ V = lim sλ (1, x, x2 , . . . , xk−1 ) = lim
x→1
Teraz licznik i mianownik są wyznacznikami Vandermonde’a, skąd otrzymujemy
sλ (1, x, x2 , . . . , xk−1 ) = xk
Y xλi −λj +j−i − 1
xj−i − 1
i po przejściu z x do 1 otrzymujemy w granicy
dim Sλ V = sλ (1, 1, 12 , . . . , 1k−1 ) =
31
Y λi + λj + j − i
j−i
.
Dodatek A
Reprezentacje nieprzywiedlne grup
symetrycznych
Przez Sn rozumiemy grupę permutacji n elementów. Poniżej pokrótce opisane zostaną reprezentacje Sλ tej grupy, indeksowane podziałami λ liczby n. Ustalmy diagram Younga T : λ o
n polach i ponumerujmy je w dowolny sposób. Grupa Sn , działa na zbiorze ponumerowań T .
Oznaczmy przez R(T ) oraz C(T ) podgrupy Sn zachowujące odpowiednio wiersze i kolumny
T . Zdefiniujmy elementy aT , bT , cT ∈ C[Sn ] następująco:
X
X
aT =
σ, bT =
(−1)σ σ, cT = bT · aT .
σ∈R(T )
σ∈C(T )
Element cT nazywamy symetryzatorem Younga. Możemy teraz zdefiniować reprezentację
nieprzywiedlną Sλ :
Sλ = ·C[Sn ] · cT .
Dowodzi się, że te reprezentacje są nieprzywiedlne i parami nieizomorficzne, wskutek czego
stanowią komplet reprezentacji nieprzywiedlnych Sn . Jeżeli cT zdefiniujemy jako aT · bT ,
otrzymane reprezentacje będą izomorficzne ([Ful]).
33
Bibliografia
[FH] Fulton W., Harris J., Representation Theory, rozdziały 4, 6 oraz dodatek A.
[Ful] Fulton W., Young Tableaux With Applications, rozdziały 1-7.
[Mac] Macdonald, I. G., Symmetric Functions and Hall Polynomials, rozdział 1.
[Knu] Knuth, D., The Art of Computer Programming, vol. 3, rozdział 5.1.4.
[Sag] Sagan, B. E., The Symmetric Group. Representations, Combinatorial Algorithms,
and Symmetric Functions, rozdziały 2-4.
[GNH] Greene, C., Nijenhuis, A., Wilf, H.S., A probabilistic proof of a formula for the
number of Young tableaux of given shape, Adv. Math. 31, 104-109 (1979).
[CR] C.W.Curtis, I.Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras.
35