Modele ARIMA w prognozowaniu cen wyrobów hutniczych

Modele ARIMA w prognozowaniu cen wyrobów hutniczych

Bogdan Rębiasz
Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Zarządzania
Modele ARIMA w prognozowaniu cen wyrobów hutniczych
Decyzje dotyczące działalności gospodarczej przedsiębiorstwa moŜna zdecydowanie
poprawić, jeśli wybór będzie oparty na wiarygodnych prognozach. Wśród wielu prognoz w
zarządzaniu przedsiębiorstwem szczególnie waŜną rolę odgrywają prognozy sprzedaŜy.
Rozmiary sprzedaŜy są bowiem podstawą podejmowania decyzji dotyczących produkcji,
zaopatrzenia, finansów, siły roboczej itp. Prognozy sprzedaŜy mogą być wyraŜane zarówno
ilościowo, jak i wartościowo. Prognozowanie wartości sprzedaŜy wymaga z jednej strony
prognozowania ilości sprzedaŜy, a z drugiej strony prognozowania cen wyrobów. Do
prognozowania cen stosuje się zarówno metody ilościowe, jak i heurystyczne.
Krajowa literatura dotycząca prognozowania cen stalowych wyrobów hutniczych nie
jest zbyt bogata. Nieliczne publikacje z tego zakresu przedstawiają zmiany cen stalowych
wyrobów hutniczych w wybranych przedziałach czasu1. Podkreśla się znaczne wahania cen
na stalowe wyroby hutnicze. Wahania te są widoczne, zarówno kiedy analizuje się średnie
ceny roczne, jak i średnie ceny miesięczne. Wahania cen wywołują wśród producentów
stalowych wyrobów hutniczych niepewność odnośnie do przychodów, wśród odbiorców tych
wyrobów – odnośnie do kosztów, a wśród dystrybutorów – co do osiąganych marŜ.
Efektywne planowanie finansowe realizowane przez te podmioty wymaga trafnego
prognozowania cen stalowych wyrobów hutniczych. Nie podejmowano dotychczas prób
modelowania cen stalowych wyrobów hutniczych i wykorzystania tych modeli do
prognozowania. Krajowi producenci stalowych wyrobów hutniczych prognozują ceny,
wykorzystując metody heurystyczne (głównie opinie handlowców) lub korzystając ze źródeł
wtórnych. Poprawę trafności prognoz cen stalowych wyrobów hutniczych moŜna by uzyskać
dzięki zastosowaniu metod prognozowania na podstawie szeregów czasowych.
Dostępna literatura zagraniczna przedstawia wiele przykładów modelowania cen
metali nieŜelaznych. WiąŜe się to zapewne z faktem dostępności dostatecznie długich
szeregów czasowych dla tych cen. Pochodzą one zazwyczaj z notowań LMN (London Metal
Exchange). W artykule przedstawia się próbę wykorzystania prezentowanych w literaturze
metod modelowania i prognozowania cen metali nieŜelaznych do prognozowania cen
1
B. Garbarz, A. Maciosowski, J. Wojtas, J. Marcisz, B. Rębiasz, Identyfikacja aplikacyjnych wymagań rynku na
wyroby hutnicze. „Prace Instytutu Metalurgii śelaza im St. Staszica” 2000, nr 4 (54).
1
stalowych wyrobów hutniczych. Zastosowano tutaj głównie modele autoregresji i średniej
ruchomej.
Modelowanie cen wyrobów hutniczych
Prekursorami modelowania cen wyrobów hutniczych byli W.C. Labys, C. Elliot i H.
Rees2. Wykorzystując analizę spektralną, wskazali oni na regularności w kształtowaniu się
cen metali. Do analizy cykliczności cen wyrobów z metali nieŜelaznych wykorzystali średnie
ceny
miesięczne.
ZaleŜność
pomiędzy
cyklami
cen
róŜnych
metali
a
cyklami
koniunkturalnymi badali m.in.: T. Teyssiere, C.L. Gilbert i C. Brunetti3, N. Davuyan i M.
Roberts4 oraz M. Slade5.
Autorzy wskazują, Ŝe w kształtowaniu się cen wyrobów z metali nieŜelaznych moŜna
wyróŜnić dwa typy wahań cyklicznych. Pierwszy ma zwykle okres krótszy niŜ rok, podczas
gdy drugi ma okres znacznie dłuŜszy niŜ rok. Drugi z tych cykli ma charakter stochastyczny i
jest zmienny w czasie. JednakŜe długość cykli wyznaczana przez róŜnych autorów jest róŜna.
I tak np. W.C. Labys i inni określili cykl dla miedzi na ok. 3 lata, podczas gdy N. Davutyan i
M. Roberts6 określili ten cykl na 12 lat, a M. Slade7 na 10 lat. Podobne róŜnice występują dla
innych metali. W przypadku cynku to 4, 13 i 11 lat, dla cyny – 7, 18 i 13 lat. MoŜna
przypuszczać, Ŝe wskazane róŜnice wynikają z tego, autorzy korzystali z róŜnych danych.
Mianowicie N. Davutyan i M. Roberts oraz M. Slade korzystali ze średnich cen rocznych.
W.C. Labys, J.B. Lesourd i D. Badillo8 przedstawiają kształtowanie się cen na
wybrane metale w postaci modeli, w których wyróŜniono stochastyczny trend i składnik
cykliczny.
W pracy Metal prices and the business cycle9 autorzy analizują wspólne tendencje w
kształtowaniu się cen na wybrane metale. Wykorzystują w tym celu analizę czynnikową.
2
W.C. Labys, C. Elliot, H. Rees, Cooper Price Behavior and the London Metal Exchange, “Applied
Economics” 1971, No 3, pp. 99-113.
3
T. Teyssiere, C.L. Gilbert, C. Brunetti, Non-ferrous Metals Prices Volatility. A Fractionally Integrated
Process. In: Managing Metals Prices Risk. Risk Books, London 1997.
4
N. Davutyan, M. Roberts, Cyclicality in Metal Prices. “Resources Policy” 1994, No 20, pp. 49-57.
5
M. Slade, Cycles in Natural Resource Commodity Prices: An Analysis of the Frequency Domain. “Journal of
Environment Economics and Management” 1981, No 9, pp. 138-148.
6
N. Davutyan, M. Roberts, Cyclicality..., jw.
7
M. Slade, Cycles in Natural Resource..., jw.
8
W.C. Labys, J.B. Lesourd, D. Badillo, The Existence of Metal Price Cycles. “Resources Policy”1998, No 3, pp.
147-155.
9
W.C. Labys, A. Achouch, M. Terraza, Metal Prices and the Business Cycle. “Resources Policy” 1999, No 25,
pp. 229-238.
2
Analizują ceny aluminium, miedzi, cyny, ołowiu i cynku. Część wariancji cen wyjaśniana
przez czynnik główny była róŜna dla róŜnych metali i wahała się w granicach 71% dla miedzi
i 16% dla cyny. Dalej autorzy stwierdzają, Ŝe zasadniczy wpływ na kształtowanie się
czynnika głównego ma wielkość produkcji przemysłowej. Wpływ innych czynników
makroekonomicznych jest znacznie mniejszy.
K. Albertson i J. Aylen10 analizują kształtowanie się cen na złom stalowy na rynku
amerykańskim. Do analizy cen wykorzystują średnie kwartalne ceny złomu. Wskazują, Ŝe
ceny złomu reprezentują niestacjonarny szereg czasowy. W długim okresie średni roczny
wzrost cen złomu moŜna szacować na 2,5%. Jednocześnie stwierdzają, iŜ ceny złomu
wykazują wahania sezonowe. Autorzy porównują błędy prognoz wygasłych uzyskanych
dzięki zastosowaniu róŜnych modeli prognozowania. Stwierdzają, Ŝe wykorzystanie modeli
autoregresyjnych wyŜszych rzędów daje w efekcie prognozy z mniejszymi błędami. Ponadto
uwzględnienie w tych modelach zmiennych sztucznych dla wyraŜenia sezonowości w
kształtowaniu się cen złomu poprawia trafność prognoz. Tak więc model ARIMAd (12,1,7),
czyli model ARIMA (12,1,7) ze zmiennymi sztucznymi, dawał prognozy o najmniejszym
błędzie, szczególnie dla okresów dłuŜszych niŜ trzy lata.
Interesującą metodę prognozowania cen złomu dla rynku angielskiego przedstawiają
K. Albertson i J. Aylen w pracy Forecasting Using a Periodic Transfer Function: with an
Application to the UK Price of Ferrous Scrap11. Autorzy na wstępie stwierdzają, Ŝe ceny
złomu na rynkach lokalnych w długim okresie zmieniają się podobnie jak światowe ceny
złomu. Jedynie okresowo, na skutek lokalnych warunków, moŜe następować odchylenie cen
na rynku lokalnym od trendów światowych. Autorzy zakładają dalej, Ŝe ceny na rynku
amerykańskim, z uwagi na jego rozmiary, moŜna traktować jako ceny światowe. Przyjmują
więc, Ŝe zmiany cen na rynku angielskim są wywoływane są przez zmiany cen na rynku
amerykańskim. Cel swoich badań formułują następująco: mając daną prognozę cen dla rynku
amerykańskiego, opracować prognozę cen dla rynku angielskiego. Tak sformułowany cel
realizują, budując model funkcji przenoszenia. Autorzy estymują pięć róŜnych modeli, które
opisują trend i wahania sezonowe cen złomu na rynku angielskim. Wskazują, Ŝe
uwzględnienie w modelach wahań sezonowych ma znaczenie przede wszystkim dla prognoz
długookresowych, zwiększając istotnie ich trafność.
10
K. Albertson, J. Aylen, Modelling the Great Lakes Freeze: Forecasting and Seasonality in the Market for
Ferrous Scrap. “International Journal of Forecasting” 1996, No 12, pp. 345-359.
11
K. Albertson, J. Aylen, Forecasting Using a Periodic Transfer Function: with an Application to the UK Price
of Ferrous Scrap. International Journal of Forecasting 1999, 15, 409-419
3
Zapotrzebowanie na profesjonalnie opracowane prognozy cen wyrobów hutniczych
jest aktualnie na tyle duŜe, iŜ powstały wyspecjalizowane ośrodki badawcze zajmujące się
komercyjnie prognozowaniem cen metali. Jednym z nich jest np. Bloomsbery Minerals
Economics z Londynu12, które udostępnia odpłatnie wieloletnie prognozy cen na wybrane
metale.
Modele szeregów czasowych
Szereg czasowy jest zbiorem obserwacji następujących po sobie w czasie13. Do
modelowania stacjonarnych szeregów czasowych lub szeregów niestacjonarnych dających się
sprowadzić do stacjonarnych najczęściej są stosowane modele autoregresji i średniej
ruchomej. Szereg stacjonarny to taki, w którym występują jedynie wahania losowe wokół
średniej. Szereg niestacjonarny moŜe być przekształcony w szereg stacjonarny przez operację
róŜnicowania. Polega ona na d-krotnym obliczeniu róŜnic sąsiednich wyrazów. Budowa
modeli autoregresji i średniej ruchomej opiera się na zjawisku autokorelacji. Autokorelacja to
korelacja wartości zmiennej prognozowanej z jej wartościami opóźnionymi w czasie. Modele
autoregresji i średniej ruchomej ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) mają
postać:
yt = φ1 y t −1 + φ 2 y t − 2 + L + φ p y t − p + et + Θo − Θ1 et −1 − Θ2 et − 2 − L − Θq et − q ,
gdzie:
yt , y t −1 , y t − 2 , K , y t − p – wartości zmiennej y w czasie t, t-1, t-2,.., t-p;
φ1 , φ 2 ,L , φ p , Θ0 ,Θ1 ,L ,Θ p – parametry modelu;
et , et −1 , L , et − q – błąd (reszta) modelu w czasie t, t-1, t-2,.., t-q;
p, q – wielkość opóźnienia.
W modelu tym zakłada się więc, Ŝe wartość zmiennej y w okresie t zaleŜy od
przeszłych jej wartości oraz od róŜnic między przeszłymi wartościami rzeczywistymi
zmiennej prognozowanej a jej wartościami uzyskanymi z modelu. Modele autoregresji i
średniej ruchomej opisuje się za pomocą umownej notacji ARIMA (p ,d, q). W notacji tej p
oznacza rząd autoregresji (wielkość opóźnienia), d – krotność róŜnicowania, q – liczbę
parametrów Θi (wielkość opóźnienia) średniej ruchomej.
12
13
http://www.bloomsburyminerals.com .
G.E.P. Box, G.M. Jenkins, Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i sterowanie. PWN, Warszawa 1983.
4
Estymacja parametrów modeli ARIMA jest zadaniem trudnym. Obecnie na rynku jest
dostępnych wiele pakietów statystycznych wyposaŜonych w moduły analizy szeregów
czasowych, które ułatwiają przeprowadzenie identyfikacji, estymacji i sprawdzenia
diagnostycznego tych modeli. Prezentowane poniŜej obliczenia wykonano, wykorzystując
Statgraphics Plus 5.1. Program ten umoŜliwia uŜytkownikowi wybór kilku typów modeli
szeregów czasowych, w tym modelu ARIMA. Dla tych modeli są estymowane parametry i
obliczane kryteria jakości. Kryteria te pozwalają wybrać odpowiedni model. W przypadku
modeli ARIMA jest deklarowana maksymalna wartość p . Program analizuje wszystkie
warianty modelu dla p = 1,2 L , p i q = p − 1 . MoŜna równieŜ indywidualnie zadeklarować
parametry modelu. Program oblicza równieŜ wiele statystyk pozwalających zweryfikować
adekwatność modelu. Podstawowym testem adekwatności modelu jest test Box-Pierce, który
umoŜliwia weryfikację hipotezy o braku korelacji reszt modelu. Do weryfikacji tej hipotezy
wykorzystuje się fakt, iŜ statystyka:
K
Q = n ∑ rk2
k =1
ma w przybliŜeniu rozkład χ 2 (K − p − q ) , gdzie n=N-d jest liczbą elementów szeregu
czasowego wykorzystanych przy estymacji modelu, N jest liczbą elementów szeregu
czasowego a rk2 oznacza autokorelację reszt modelu dla odstępu k. Test hipotezy o braku
korelacji reszt modelu jest przeprowadzany przez porównanie zaobserwowanych wartości Q z
tablicą rozkładu χ 2 . Ponadto w procesie sprawdzania diagnostycznego modeli Statgraphics
realizuje następujące testy dotyczące reszt modelu:
− test losowości dodatnich i ujemnych odchyleń reszt od ich mediany,
− test losowości wzrostów i zmniejszania się reszt modelu,
− test istotności róŜnic pomiędzy średnimi reszt dla pierwszej i drugiej połowy szeregu,
− test istotności róŜnic pomiędzy wariancjami reszt dla pierwszej i drugiej połowy
szeregu.
Statgraphics generuje równieŜ prognozy dla zadanego wyprzedzenia, wykorzystując
wybrany model.
Modelowanie cen stalowych wyrobów hutniczych
Do modelowania cen wykorzystano średnie roczne ceny prętów stalowych na rynku
amerykańskim oraz średnie miesięczne ceny blach stalowych walcowanych na gorąco na
5
rynku angielskim. W pierwszym przypadku estymowany model pozwala prognozować ceny
prętów stalowych na koleje lata. W drugim przypadku – ceny blach w kolejnych miesiącach.
Dane dotyczące cen prętów stalowych pochodziły ze źródeł internetowych14. Prezentowane
tam średnie roczne ceny bieŜące przeliczono na ceny wyraŜone w dolarach z 2004 r., stosując
wskaźnik CPI (consumer price index). Dane te obejmują lata 1900-2004. Średnie miesięczne
ceny blach walcowanych na gorąco15 wyraŜono w dolarach z czerwca 2004 r. Obejmują one
okres od stycznia 1982 r. do paźdzernika 2004 r.
Do estymacji modeli wykorzystano szeregi czasowe cen po ich logarytmowaniu.
Zgodnie z procedurą dostępną w programie Statgraphics estymowano dla kaŜdego szeregu
kilka modeli. Wyboru modelu dokonano na podstawie kryterium AIC (Akaike’s Information
Criterion).
Rysunek 1 pokazuje rzeczywiste ceny prętów stalowych oraz ceny prognozowane
przez model ARIMA (2,0,1). Na wykresie naniesiono teŜ prognozę cen tych prętów na 6 lat.
W tabeli 1 przedstawiono parametry modelu wraz z ich błędami standardowymi oraz
podstawowe miary dopasowania modelu do danych rzeczywistych.
Rysunek 1
Rzeczywiste i prognozowane na podstawie modelu ARIMA (2,0,1) ceny prętów stalowych
1200
1000
Cena, USD/t
800
600
400
200
2008
2004
2000
1996
1992
1988
1984
1980
1976
1972
1968
1964
1960
1956
1952
1948
1944
1940
1936
1932
1928
1924
1920
1916
1912
1908
1904
1900
0
Rok
Dane rzeczywiste
14
15
Prognoza
Dolna granica przedziału ufności
Górna granica przedziału ufnosci
http://minerals.usgs.gov/minerals/pubs/commodity/iron_&_steel/350798.pdf, http://www.meps.co.uk .
Źródło danych: http://www.meps.co.uk, http://www.steelonthenet.com/frameTRE.html .
6
Tabela 1
Parametry modelu ARIMA dla rocznych cen prętów walcowanych na gorąco
φ1
Parametr
φ2
Θ1
Θ0
Oszacowanie
0,612391
0,201355
-0,770459
Błąd standardowy
0,154400
0,090892
0,105542
Miara dopasowania
RMSPEa (%)
MAPEb (%)
11,55
7,79
Wartość
a
1,182200
Pierwiastek z procentowego błędu średniokwadratowego (Root Mean Squared Percentage
Error), b Średni bezględny błąd procentowy (Mean Absolute Percentage Error).
Rysunek 2 przedstawia autokorelacje reszt modelu. Naniesiono tam równieŜ linie
wyznaczające granice przedziału ufności dla autokorelacji dla poziomu ufności 95%.
Wszystkie wymienione wcześniej testy zastosowane do prezentowanego modelu nie
wykazały jego nieadekwatności. Przedstawiony na rysunku 2 wykres autokorelacji reszt oraz
wspomniany wynik testów statystycznych pozwalają przyjąć, iŜ reszty modelu są procesem
białego szumu i moŜe on być wykorzystywany do prognozowania.
Rysunek 2
Autokorelacje reszt modelu ARIMA (2,0,1) dla średnich rocznych cen prętów stalowych
1,00
0,80
Autokorelacje
0,60
0,40
0,20
0,00
-0,20
-0,40
-0,60
-0,80
-1,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Odstęp
W celu oszacowania błędów prognoz wygasłych wydzielono w zbiorze danych 8
obserwacji na końcu szeregu i estymowano model dla pozostałych danych. Prognozy
7
uzyskane z tego modelu porównano z rzeczywistymi danymi. Porównanie uzyskanych miar
dopasowania dla okresu, dla którego estymowano model, i dla wydzielonego okresu
weryfikacji przedstawia tabela 2.
Tabela 2
Porównanie miar dopasowania modelu dla okresu estymacji i dla okresu weryfikacji modelu
Miara dopasowania
RMSPE (%)
MAPE (%)
Dla okresu estymacji
11,43
7,44
Dla okresu weryfikacji
12,77
8,24
Rysunek 3 przedstawia rzeczywiste ceny blach walcowanych na gorąco oraz ceny
prognozowane przez model ARIMA (3,0,2). Na wykresie naniesiono teŜ prognozę cen tych
blach na 6 miesięcy. W tablicy 3 przedstawiono parametry modelu wraz z ich błędami
standardowymi oraz podstawowe miary dopasowania modelu do danych rzeczywistych.
Tablica 3
Parametry modelu ARIMA dla średnich miesięcznych cen blach walcowanych na gorąco
Parametr
φ1
φ2
φ3
Θ1
Θ2
Θ0
Oszacowanie
1,06370
0,64357
-0,67396
-0,27647
0,33149
Błąd standardowy
0,23193
0,23127
0,21620
0,12198
0,15975
Miara dopasowania
Wartość
0,138109
RMSPE ( %)
MAPE (%)
3,52
2,49
Rysunek 4 przedstawia autokorelacje reszt modelu. Na rysunku tym naniesiono takŜe
linie wyznaczające granice przedziału ufności dla autokorelacji na poziomie ufności 95%.
śaden z wymienionych testów zastosowanych do sprawdzenia prezentowanego modelu nie
wykazał jego nieadekwatności. Przedstawiony na rysunku 4 wykres autokorelacji reszt oraz
wspomniany wynik testów statystycznych pozwalają przyjąć, iŜ reszty modelu są procesem
białego szumu i moŜe on być wykorzystywany do prognozowania.
Rysunek 3
Rzeczywiste i prognozowane na podstawie modelu ARIMA (3,0,2) ceny blach arkuszowych
walcowanych na gorąco
8
800
700
Cena, USD/t
600
500
400
300
200
100
sty-05
sty-04
sty-03
sty-02
sty-01
sty-00
sty-99
sty-98
sty-97
sty-96
sty-95
sty-94
sty-93
sty-92
sty-91
sty-90
sty-89
sty-88
sty-87
sty-86
sty-85
sty-84
sty-83
sty-82
0
Rok, miesiąc
Dane rzeczywiste
Prognoza
Dolna granica przedziału ufności
Górna granica przedziału ufności
Rysunek 4
Autokorelacje reszt modelu ARIMA (3,0,2) dla średnich miesięcznych cen blach arkuszowych
walcowanych na gorąco
Autokorelacje
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
-0,20
-0,40
-0,60
-0,80
-1,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Odstęp
W celu oszacowania błędów prognoz wygasłych wydzielono w zbiorze danych 8
obserwacji na końcu szeregu i estymowano model dla pozostałych danych. Prognozy
uzyskane z tego modelu porównano z rzeczywistymi danymi. Porównanie uzyskanych miar
dopasowania dla okresu, dla którego estymowano model, i dla wydzielonego okresu
weryfikacji przedstawia tablica 4.
9
Tablica 4
Porównanie miar dopasowania modelu dla okresu estymacji i dla okresu
weryfikacji modelu
Miara dopasowanie
RMSPE (%)
MAPE (%)
Dla okresu estymacji
3,14
2,19
Dla okresu weryfikacji
3,52
2,61
Przedstawione modele dobrze opisują zmiany cen analizowanych wyrobów
hutniczych. Model opisujący zmiany ceny blach walcowanych na gorąco charakteryzuje się
znacznie niŜszymi wartościami miar RMSPE i MAPE, co świadczy o lepszym dopasowaniu
wartości estymowanych do danych rzeczywistych. Przyczyną takiego stanu rzeczy jest
zapewne fakt, iŜ szereg czasowy do estymacji modelu dla blach walcowanych na gorąco był
bardziej liczny niŜ szereg dla prętów stalowych. Przede wszystkim naleŜy jednak wziąć tutaj
pod uwagę fakt, Ŝe dane dla prętów obejmują bardzo długi okres. Są to bowiem średnie
roczne wielkości. Mechanizmy rynkowe kształtujące ceny w tak długim okresie mogą ulegać
pewnym zmianom Ponadto okres ten obejmuje wiele wyjątkowych zjawisk (takich, jak np.
wojny), które istotnie wpływały na kształtowanie się cen wyrobów hutniczych.
Wnioski
Udoskonalenie metod prognozowania cen wyrobów hutniczych ma podstawowe
znaczenie dla poprawy trafności prognoz finansowych w hutnictwie. Obecnie większość
przedsiębiorstw hutniczych wykorzystuje głównie heurystyczne metody prognozowania
(opinie handlowców) lub teŜ korzysta ze źródeł wtórnych. Nie podejmowano dotychczas prób
modelowania cen stalowych wyrobów hutniczych.
Wiele zagranicznych publikacji wskazuje na skuteczność zastosowania modeli
autoregresji i średniej ruchomej do prognozowania cen wyrobów hutniczych. Przedstawiono
szereg przykładów skutecznego ich zastosowania do modelowania cen wybranych metali
nieŜelaznych. Estymacja parametrów modeli ARIMA jest zadaniem trudnym. Obecnie na
rynku są dostępne pakiety statystyczne wyposaŜone w moduły analizy szeregów czasowych.
Ułatwiają one przeprowadzenie identyfikacji, estymacji i sprawdzenia diagnostycznego
modeli słuŜących do prognozowania cen.
Zaprezentowane w artykule modele prognozowania średnich rocznych cen prętów
stalowych i średnich miesięcznych cen blach walcowanych na gorąco wskazują na potrzebę i
10
zasadność stosowania modeli autoregresji i średniej ruchomej do prognozowania cen
stalowych wyrobów hutniczych. Uzyskano dobre dopasowanie modeli do danych
rzeczywistych, a błędy prognoz wygasłych są na zadowalającym poziomie.
Podejście ilościowe do prognozowania cen wyrobów hutniczych moŜe poprawić
trafność prognoz finansowych w hutach i wzbogacić obecnie stosowany zbiór metod
prognozowania cen. Połączenie metod ilościowych i jakościowych jest – jak się wydaje –
najefektywniejszym podejściem do prognozowania cen wyrobów hutniczych.
11