Model Cox`a. Testowanie załozen o proporcjonalnym hazardzie.

Transkrypt

Wstep
˛
Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie
Analiza proporcjonalności w pakiecie R
Residua Schoenfeld’a
Skalowane residua Schoenfelda w R
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Model Cox’a.
Testowanie założeń o proporcjonalnym
hazardzie.
Marta Burawska i Marcin Kolankowski
Seminarium - Statystyka w medycynie
Model Cox’a. Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie.
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Plan
1
2
3
4
5
6
7
Wstep
˛
Model Cox’a - przypomnienie
Założenie proporcjonalnego hazardu
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Plan
1
2
3
4
5
6
7
Wstep
˛
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Funkcja Hazardu
λ(t, Z) = λ0 (t) exp(β T Z)
gdzie Z - wektor p zmiennych objaśniajacych,
˛
λ0 (t) - hazard bazowy,
β T - nieznany wektor współczynników
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Plan
1
2
3
4
5
6
7
Wstep
˛
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Założenie proporcjonalnego hazardu (1)
W modelu proporcjonalnego hazardu zakłada sie,
˛ że funkcja
hazardu dla jednostki (tzn. obserwacji w analizie) zależy od
wartości zmiennych objaśniajacych
˛
(ang. covariates) i wartości
hazardu bazowego.
Dla dwóch jednostek o określonych wartościach zmiennych
objaśniajacych
˛
stosunek estymowanych wartości hazardu w
czasie bedzie
˛
stały. Stad
˛ nazwa metody: model
proporcjonalnego hazardu.
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Założenie proporcjonalnego hazardu (2)
Załóżmy, że istnieje taki wektor funkcji od czasu g(t), że
λ(t, Z) = λ0 (t) exp([β + g(t)]T Z)
Wtedy proporcja (the hazard ratio) może zmieniać sie˛ w czasie.
W celu przetestowania założenia o proporcjonalnym hazardzie,
trzeba sprawdzić czy wektor funkcji g jest bliski zeru.
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Metoda wizualna
Przykłady
Plan
1
2
3
4
5
6
7
Wstep
˛
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Metoda wizualna
Przykłady
Wizualne testowanie założeń proporcjonalności
Dla dwóch grup (np osoby poddane terapii i osoby nie leczone),
gdy założenie proporcjonalnego hazardu jest spełnione, tzn:
λ(t,Z1 )
λ(t,Z2 )
=
λ0 (t) exp(β T Z1 )
λ0 (t) exp(β T Z2 )
=
exp(β T Z1 )
exp(β T Z2 )
=c
testowanie proporcjonalności możemy sprowadzić do
porównania przekształconych wykresów funkcji przeżycia.
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Metoda wizualna
Przykłady
Funkcja log(− log(S(t)) (1)
Niech λ(t, Zi ) = λi (t) dla i = 1, 2 Wiemy, że:
Rt
Si (t) = exp(− 0 λi (s)ds)
Dalej po przekształceniu otrzymujemy:
log(− log(Si (t))) = log(−λ0 (t) exp(β T Zi )) = log(λ0 (t)) + β T Zi
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Metoda wizualna
Przykłady
Funkcja log(− log(S(t)) (2)
Wykorzystujac
˛ założenie o proporcjonalnym hazardzie z
poprzedniego slajdu i przekształcajac
˛ mamy:
log(− log(S1 (t))) = log(λ0 (t)) + β T Z1 =
log(λ0 (t)) + log c + β t Z2 = log(− log(S2 (t))) + log c
Stad,
˛ gdy wykresy funkcji log(− log(S(t))) dla dwóch grup sa˛
przesuniete,
˛ założenie o proporcjonalności możemy uznać za
spełnione
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład 1
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład 2
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Metoda wizualna
Przykłady
Uwagi
Testowanie wizualne najlepiej sprawdza sie˛ w przypadku
dwóch wartości cechy użytej przy konstrukcji modelu
W przypadku cechy o wiekszej
˛
liczbie wartości lub cech o
wartościach ciagłych
˛
metody graficznej sie˛ nie stosuje
W wielu przypadkach wykres nie jest jednoznaczny
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład 3
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Plan
1
2
3
4
5
6
7
Wstep
˛
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Residua Schoenfeld’a (1)
P
j∈Ri
r̂i = Zi − P
Zj exp(β̂ T Zj )
j∈Ri
exp(β̂ T Zj )
czyli
r̂i = Zi − Ê(Zi | Ri )
gdzie Ri = {j : tj ≥ ti } - zbiór ryzyk do czasu ti ,
β̂ - estymator współczynników β
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wniosek
E(r̂i ) ' Vi g(ti )
gdzie
P
Vi =
j∈Ri
Zj ZjT exp(β T Zj )
exp(β T Zj )
P
T
T
Zj exp(β T Zj )
j∈Ri Zj exp(β Zj )
P
2
T
j∈Ri exp(β Zj )
P
j∈Ri
P
−
j∈Ri
czyli
Vi = E(Zi2 | Ri ) − E(Zi | Ri )2
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Jeśli założenie o proporcjonalnym hazardzie jest prawdziwe, to
E(r̂i ) ' 0
a plot r̂i wzgledem
˛
czasu bedzie
˛
położony blisko 0.
Zauważmy, że Vi ≥ 0.
Zatem znak E(r̂i ) zależy od g(t).
Zmiany w g(t) można zobrazować plotem r̂i wzgledem
˛
czasu.
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
NIech ri bedzie
˛
zdefiniowane podobnie jak r̂i , tylko z β, a nie β̂.
Niech Ui bedzie
˛
macierza˛ wymiaru p na p, której elementami
sa˛ pochodne czastkowe
˛
ri po β.
∂rik
Np. elementem (k,s) bedzie
˛
∂βs .
Niech U =
P
j∈Ri
Uj .
Wtedy możemy rozwinać
˛ r̂i wokół β, korzystajac
˛ ze wzoru
Taylora
1
r̂i = ri + Ui (β̂ − β) + op (n− 2 )
(1)
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wzór (1) można przekształcić do postaci
X
1
r̂i = ri + Ui U −1
rj + op (n− 2 )
Ponadto, można za pomoca˛ U i Ui , Uj zdefiniować korelacje˛ r̂i i
r̂j :
δij Ui − Ui U −1 Uj
Za pomoca˛ powyższego wzoru można również wyznaczyć
wariancje˛ r̂i .
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Przykład
Plan
1
2
3
4
5
6
7
Wstep
˛
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Przykład
Testowanie graficzne z użyciem skalowanych
residuów Schoenfelda
Do obliczania skalowanych residuów Schoenfelda służy
funkcja:
residuals(model, type= ”scaledsch”)
model - objekt typu coxph
type - rodzaj residuów wyliczanych przez funkcje.
Dostepne:
˛
”martingale”, ”deviance”, ”score”, ”schoenfeld”,
”dfbeta”, ”dfbetas”, ”scaledsch”,”partial”
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Przykład
Przykład 4
Dla danego modelu możemy narysować residua
>dane1 < − Surv(dane$czas.obserwacji,
dane$status)
>model < − coxph(dane1∼wiek.dawcy+wiek.biorcy,
data=dane)
>res=residuals(model, ”scaledsch”)
>time=as.numeric(unlist(dimnames(res)))
>plot(time, res[, 1], ylab=”residua dla
wiek.dawcy”)
>abline(0, 0, lty=2) >lines(smooth.spline(time,
res[, 1], spar=0.75), col=”black”)
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Przykład
Przykład 4 cd
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Przykład
Przykład 4 cd
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Przykład
Uwagi
Graficzne testowanie założeń o proporcjonalnym
hazardzie sprowadza sie˛ do badania, czy residua
Schoenfelda znajduja˛ sie˛ blisko 0
Przesłanka˛ za uznaniem proporcjonalności hazardu jest
wykres gładkiej funkcji (czerwona przerywana linia)
przypominajacy
˛ stała˛ prosta˛ bliska˛ 0
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Plan
1
2
3
4
5
6
7
Wstep
˛
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Co robi funkcja cox.zph
Aby móc powiedzieć, czy spełnione jest założenie o
proporcjonalnym hazardzie, używamy funkcji cox.zph.
Funkcja ta:
Testuje hipotez˛e zerowa˛ H0 o spełnieniu założeń
proporcjonalnego hazardu dla poszczególnych zmiennych
objaśniajacych
˛
Test polega na zastosowaniu przeskalowanych residuów
Schoenfelda i policzeniu testu chi-kwadrat
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Funkcja cox.zph
Składnia funkcji:
cox.zph(fit, transform, global)
fit - obiekt typu coxph, czyli obiekt wynikowy funkcji
coxph;
transform - parametr ten odpowiada za transformacje˛
czasu przeżycia, możliwe wartości: "km"dla danych
cenzorowanych prawostronnie, "rank", "identity", lub
dowolna funkcja jednoargumentowa;
global - czy ma być wykonany test chi-kwadrat dla
całego modelu
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wynikiem działania funkcji cox.zph jest objekt typu cox.zph.
Składa sie˛ on z nastepuj
˛ acych
˛
elementów:
$table - zestawienie wyników testu opianego wyżej,
szczegóły na nastepnym
˛
slajdzie
$x - przeskalowany czas, zależnie od opcji transform
użytej w funkcji cox.zph
$y - macierz przeskalowanych residuów Schoenfelda dla
każdej ze zmiennych objaśniajacych
˛
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wynik działania funkcji cox.zph
Po wywołaniu funkcji cox.zph dla naszego modelu
otrzymujemy
>test < − cox.zph(model)
rho
chisq
p
wiek.dawcy -0.107 0.278 0.5979
wiek.biorcy -0.433 4.324 0.0376
GLOBAL
NA
5.283 0.0712
rho - współczynnik korelacji Pearsona dla
przeskalowanych residuów Schoenfelda i czasu
chisq - wartość statystyki testowej chi-kwadrat
p - p-value dla testowania hipotezy zerowej o spełnieniu
Marta Burawska
i Marcin Kolankowski
Model
Cox’a. Testowanie
założeń o proporcjonalnym hazardzie.
założenia
o proporcjonalnym
hazardzie
dla modelu
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Rysowanie obiektów typu cox.zph
Wywołanie funkcji:
plot(cox.zph(model), se, df)
se - gdy wartość TRUE, na wykresie pojawiaja˛ sie˛
przerywane linie oznaczajace
˛ 2 x bład
˛ standardowy
df - liczba stopni swobody przy dopasowywaniu gładkiej
krzywej do residuów, dla df = 2 ostrzymujemy prosta˛
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
plot(cox.zph(model, transform=identity)[1], df=4, se=T)
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
plot(cox.zph(model, transform=identity)[1], df=2, se=F)
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Plan
1
2
3
4
5
6
7
Wstep
˛
Metoda wizualna
Przykłady
Przykład
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Wstep
˛
Funkcja cox.zph w R
Bibliografia
Bibliografia
D.Schoenfeld; ’Partial resduals for the proportional hazards
regression model’
A.Winnett; ’A note on scaled Schoenfeld residuals for the
proportional hazards model’
Terry M. Therneau, Patricia M. Grambsch; ’Modeling
Survival Data’ na http://books.google.pl

Model Cox`a. Testowanie załozen o proporcjonalnym hazardzie.

Transkrypt

Podobne dokumenty

Historia firmy

1 2 ∑ Pytania teoretyczne 1. Poka˙z, ˙ze w modelu ze stał ˛aTSS

Myśląc o koniu - OZHK Katowice

Inżynieria programowania – wykład i laboratorium Wykład 1. Modele