c_9

FIZYKA - laboratorium
Ćwiczenie 9
MECHANICZNY MODEL ROZKŁADU NORMALNEGO – DESKA GALTONA
Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest badanie procesu stochastycznego z wykorzystaniem tzw. deski Galtona.
Zagadnienia teoretyczne
pojęcie procesu stochastycznego, występowanie rozkładów stochastycznych w przyrodzie, błądzenie przypadkowe, pojęcie
prawdopodobieństwa, zdarzenia niezależne, twierdzenie o prawdopodobieństwie iloczynu zdarzeń niezależnych, zmienna losowa,
rozkład normalny zmiennej losowej, rozkład dwumianowy, parametry rozkładu normalnego i dwumianowego, krzywa Gaussa,
deska Galtona, trójkąt Pascala.
Stanowisko pomiarowe:
Deska Galtona, stalowe kulki
Przeprowadzenie pomiarów
Przed przystąpieniem do pomiarów należy zapoznać się z budową deski Galtona oraz z pojęciami:
 Pojedynczy pomiar - przejście kulki przez rzędy prętów metalowych
 Błąd elementarny – każde zderzenie z prętem
 Wynik pomiaru – położenie przegrody, do której wpada kulka
 Wartość „dokładna” wielkości mierzonej – położenie szczeliny, do której wrzucane są kulki
1.
2.
3.
4.
Przechylić deskę i przesypać wszystkie kulki do lejka zsypowego.
Zbadać rozkład pierwszej serii 100 kulek, uwalniając kolejno kulkę za kulką (POJEDYNCZO!).
Zliczyć kulki w poszczególnych przegródkach deski.
Wyniki zapisać w tabeli 1 (ν𝑛 dla ν = 100).
𝑛
1
100
200
ν𝑛
𝑃𝑒𝑥𝑝 (𝑛) =
ν𝑛
𝑃𝑒𝑥𝑝 (𝑛) =
ν𝑛
𝑃𝑒𝑥𝑝 (𝑛) =
𝑛ν𝑛
ν
ν
300
2
3
4
5
6
7
8
9
ν𝑛
ν
ν𝑛
ν
ν𝑛
ν
𝑛ν
(𝑛 − 𝑛ν )2 ν𝑛
ν−1
𝜎ν
𝑃(𝑛)
Tabela 1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
FIZYKA - laboratorium
gdzie:
5.
6.
7.
ν - całkowita liczba kulek w kolejnym pomiarze: 100, 200, 300
ν𝑛 – liczba kulek w n-tym rowku, 𝑛 = 1, 2, 3, …, N,
N=20 – całkowita liczba rowków deski Galtona
Powtórzyć cykl pomiarów dla następnych serii po 100 kulek każda, zwiększając w ten sposób całkowitą liczbę kulek
do 200 w drugim i 300 w trzecim pomiarze. Wyniki zapisujemy w odpowiednich wierszach tabeli (ν𝑛 dla ν = 200, ν𝑛
dla ν = 300). Całkowita liczba kulek w drugiej serii pomiarów wynosi 200, w trzeciej 300.
Korzystając z zależności
ν𝑛
𝑃𝑒𝑥𝑝 (𝑛) =
ν
wyznaczyć eksperymentalne wartości prawdopodobieństwa wpadnięcia kulki do n-tego rowka dla trzech serii
ν =100, 200, 300 kulek.
Wyznaczyć prawdopodobieństwo 𝑃(𝑛) wpadnięcia kulki do n-tego rowka na podstawie rozkładu normalnego dla
ν =300 kulek

𝑃(𝑛) =
𝜑(𝑛)𝑑𝑛 = 𝜑(𝑛) ∙ ∆𝑛
n
gdzie ∆𝑛 = 1.
W tym celu należy obliczyć estymaty zmiennej losowej 𝑛 i odchylenia standardowego 𝜎 rozkładu Gaussa:
𝑁
𝑛ν = ∑
𝑛=1
𝑁
𝜎ν = (∑
𝑛=1
𝑛ν𝑛
ν
2
(𝑛 − 𝑛ν ) ν𝑛
)
ν−1
1
2
oraz gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego:
𝜑(𝑛) =
1
𝜎√2𝜋
exp (−
(𝑛 − 𝑛)2
)
2𝜎 2
Sporządzić wykresy słupkowe otrzymanych w doświadczeniu rozkładów dla całkowitej liczby ν =100, 200, 300 kulek
wykorzystując w tym celu wartości 𝑃𝑒𝑥𝑝 (𝑛) podane w tabeli.
9. Sporządzić wykres słupkowy rozkładu Gaussa dla ν =300 wyliczony w punkcie 7. Odpowiednie wartości 𝑃(𝑛)
zawarte są w ostatnim wierszu tabeli.
10. Obliczyć względną liczbę kulek, które znalazły się w rowkach deski Galtona zawartych w przedziale 𝑛 ± 𝜎 dla
całkowitej liczby 300 kulek. Wynik porównać z teoretyczną wartością prawdopodobieństwa znalezienia się kulek w
rowkach z tego samego przedziału, wynikającą z rozkładu Gaussa.
8.
Opracowanie wyników pomiarów
Deskę Galtona można traktować podobnie jak analogowe przyrządy pomiarowe, w przypadku których szerokość rowka
równa odległości między środkami kołków w każdym rzędzie jest najmniejszą działką. Przejście kulki przez rzędy prętów
odpowiada pojedynczemu pomiarowi. Wynikiem pomiaru jest wartość zmiennej losowej 𝑛 (numer przegrody, do której wpada
kulka). Odchylenie standardowe 𝜎 jest w tym przypadku miarą niepewności pojedynczego pomiaru. Zmienna losowa 𝑛 przyjmuje
wartości dyskretne, w związku z czym estymaty zmiennej losowej 𝑛 oraz odchylenia standardowego 𝜎 są liczbami całkowitymi.
Przeprowadzić rachunek błędów, dyskusję wyników i wyciągnąć odpowiednie wnioski. Wyniki obliczeń wartości
𝑃𝑒𝑥𝑝 (𝑛) i 𝑃(𝑛) należy podać z dokładnością do trzech cyfr znaczących.