Zbigniew PERKOWSKI Metoda wyznaczania dyfuzyjności cieplnej

ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ – ZESZYT 10/2010
Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach
METODA WYZNACZANIA DYFUZYJNOŚCI CIEPLNEJ
NA PODSTAWIE POMIARÓW TERMOWIZYJNYCH.
PODSTWY TEORETYCZNE.
Zbigniew PERKOWSKI
Politechnika Opolska, Opole
1. Wprowadzenie
Wyznaczanie dyfuzyjności cieplnej materiałów jest zagadnieniem rozwijanym od wielu
lat, jednak problematyka ta jest wciąż aktualna naukowo, gdyż, z oczywistych względów
znajomość tej właściwości materiałów inżynierskich jest niezbędna przy projektowaniu
i diagnostyce produktów technicznych oraz kontroli wielu procesów technologicznych.
W szczególności, ocena zmian w czasie charakterystyk cieplnych elementów ustrojów
inżynierskich ma coraz większe znaczenie w ich diagnostyce (np. [1,2,8]). Ponieważ
dyfuzyjność cieplna jest zależna od współczynnika przewodzenia ciepła, ciepła właściwego
i gęstości materiału (a=λ/ρc) to jest ona bardzo „pojemna informacyjnie”. Np., wraz ze
zmianą właściwości materiału z powodu zmiany jego składu chemicznego czy struktury,
zmieniać się muszą wspomniane parametry i, w efekcie finalnym, także dyfuzyjnyść
cieplna.
W literaturze przedmiotu spotkać można wiele prac poświęconych sposobom
wyznaczania dyfuzyjności cieplnej materiału, z czego w większości są to prace opisujące
techniki laboratoryjne, np.: metody nieustalonego nagrzewania lub chłodzenia [4,6,11],
metody polegające na zadawaniu na brzegu próbek periodycznie zmieniającej się
temperatury [9], laserowe metody impulsowe [7]. Ich wspólnym mianownikiem jest
to, że dla określonych warunków początkowo-brzegowych ciała znane jest ścisłe
rozwiązanie równania przewodnictwa, a które to warunki następnie próbuje się odtworzyć
w laboratorium i dokonać pomiarów pola temperatury tak, by na podstawie rozwiązania
ścisłego wyliczyć dyfuzyjność cieplną. Jednak z uwagi na ich specyfikę, sposób
przygotowania próbek i zadawania warunków początkowo-brzegowych ograniczone lub
niemożliwe jest ich zastosowanie w badaniach diagnostycznych „in situ”. Z kolei badania
diagnostyczne w tej dziedzinie polegają w chwili obecnej głównie na wykorzystaniu kamer
IR i specjalistycznego sprzętu do wywoływania impulsu cieplnego (np. [1]). Z reguły
ograniczone są one do konkretnego przypadku, w jakim autorzy metody ją stosują z uwagi
na panujące podczas badań warunki brzegowe.
Stąd głównym celem pracy jest przedstawienie autorskiej prostej metody,
w perspektywie służącej do wyznaczania „in situ” dyfuzyjności cieplnej szerokiej gamy
materiałów w celach diagnostycznych. Przedstawiony sposób dalej postępowania polega na
analizie zapisanego kamerą IR filmu pola temperatury na powierzchni badanego ciała, która
72
została pobudzona punktowym impulsem cieplnym o niskiej mocy, przy wykorzystaniu
ogólnych właściwości rozwiązania ścisłego równania przewodnictwa cieplnego
w przypadku ciała znajdującego się w warunkach jednorodnych III rodzaju.
2. Podstawy teoretyczne metody
Rozważmy przypadek jednorodnego, izotropowego ciała zajmującego obszar V w R3
i ograniczonego powierzchnią A bez źródeł ciepła, w chwili początkowej znajdującego się
w stałej temperaturze. W pierwszym etapie jest ono poddane ogrzaniu na spójnym wycinku
jego powierzchni zewnętrznej przy zachowaniu warunków brzegowych pierwszego rodzaju,
przy czym na pozostałej części powierzchni obowiązują jednorodne warunki brzegowe
trzeciego rodzaju. Po pewnym, ustalonym czasie ogrzewanie zostaje „wyłączone” i na całej
powierzchni zewnętrznej ciało wymiana ciepło (ochładza się) z zachowaniem jednorodnych
warunków trzeciego rodzaju, wg prawa Newtona (np. w [5]). Pole temperatury wyznaczyć
można w tym przypadku na podstawie równania przewodnictwa cieplnego w przypadku
bezźródłowym
∂T
− a ∇ 2T = 0 .
∂t
(1)
Z kolei warunki początkowo-brzegowe można dla poszczególnych etapów rozpisać
następująco:
warunek począocząt : T V ,t =0 = T0 V ,t =0 ,
(
 ∂T 
warunek brzegowy - etap 1 dla t ∈ (0,t1 ) : λ 
 =α T
 ∂n  A1
A1
)
− Te , T
A2
~
=T
A2
(2)
warunek zszycia etapów : T V ,t =t − = T V ,t =t + ,
1
,
1
(
 ∂T 
warunek brzegowy - etap 2 dla t ∈ (t1 , ∞ ) : λ 
 =α T
 ∂n  A
A
)
− Te ,
~
gdzie: A1∪A2=A; T , T0 – znane funkcje; t1 – czas trwania pierwszego etapu oraz Te=const,
~
T0=const i T > T0 na całej A2. Wtedy ogólne rozwiązanie równania przewodnictwa (1)
w trakcie drugiego etapu procesu (chłodzenia) wyrażone będzie następująco [5]
∆T =
∞
∑ A ( A cos (K x ) + B
i , j ,k =1
ijk
i
i
i
(
(
)
(
sin (K i x )) C j cos M j y + D j sin M j y
( (
× (E k cos ( N k z ) + Fk sin ( N k z )) ⋅ exp − K + M + N
2
i
2
j
2
k
) at ) ,
))
(3)
gdzie: ∆T=T–Te; Aijk,Ai,Bi,Cj,Dj,Ek,Fk,Ki,Mj,Nk– stałe współczynniki zależne od warunków
brzegowo-początkowych i kształtu ciała. Pokazany nieskończony szereg jest szybko
zbieżny i, z reguły, przy liczbie Fouriera Fo>0,3 [3] dochodzi do tzw. uporządkowanych
73
warunków wymiany ciepła z otoczeniem i wystarcza z dużą dokładnością uwzględniać tylko
pierwszy jego wyraz. W tym wypadku, w pewnym przybliżeniu, słuszne będą zapisy:
∆T ~
∂ 2T
∂ 2T
∂ 2T
, ∆T ~ 2 , ∆T ~ 2 .
2
∂x
∂y
∂z
(4)
Dalej załóżmy, że ciało posiada taki kształt, że część jego brzegu A3 jest prostopadła do osi
z. Zawierać on musi wycinek powierzchni A2. Wtedy, jeśli zajdą warunki, o jakich jest
powyżej mowa, równanie przewodnictwa (1) może być rozpisane dla punktów leżących
na tej powierzchni w następujący sposób:
1 ∂T
a ∂t
+ bT
A3
A3
+c = f
A3
,
∂ 2T ∂ 2T
c
f = 2 + 2 , A2 ⊂ A3 ⊂ A , Te = − ,
b
∂x
∂y
(5)
gdzie: c,b – stałe. W równaniu (5) ∂T/∂t, T i f można wyznaczyć podczas badań
z termogramów próbki sporządzonych kamerą IR, wobec czego nieznanymi w nim
wielkościami są tylko odwrotność współczynnika wyrównywania temperatury 1/a oraz stałe
b i c. Obliczyć je można wprost z następującego układu równań
 1 ∂T (x1 , t 2 )
+ bT (x1 , t 2 ) + c = f (x1 , t 2 ),
a
∂t

 1 ∂T (x 2 , t 2 )
+ bT (x 2 , t 2 ) + c = f (x 2 , t 2 ),

∂t
a
 1 ∂T (x 3 , t 2 )
+ bT (x 3 , t 2 ) + c = f (x 3 , t 2 ),

∂t
a
x1 , x 2 , x 3 ∈ A3 , t 2 > t1 ,
(6)
gdzie: t2 – chwila, przy której liczba Fouriera Fo jest na tyle duża, że obowiązuje warunek
(4)3. Sprawdzenia, czy Fo jest dość duże w celu sensownego rozwiązania układu (6), można
dokonać ustalając, czy w przedziale czasu, zawierającym chwilę t2, w punktach x1,x2 i x3,
funkcja ln(∆T ) będzie proporcjonalna do czasu t, co wynika wprost z równania (3), jeśli
uwzględnimy tylko pierwszy składnik szeregu. Na podstawie układu równań (6) uzyskamy
następujące wyrażenie na współczynnik wyrównywania temperatury
a=
g
,
h
(7)
74
gdzie:
g=
T&( x3 ) − T&( x1 ) T&( x3 ) − T&( x 2 )
f (x 3 ) − f (x1 ) f (x 3 ) − f (x 2 )
−
, h=
−
,
T ( x3 ) − T ( x1 ) T ( x3 ) − T ( x 2 )
T (x 3 ) − T (x1 ) T (x 3 ) − T (x 2 )
(8)
dla t = t 2
Wyrażenie g jest, w istocie, różnicą współczynników kierunkowych siecznych funkcji
∂T/∂t(T), łączących takie jej punkty, które odpowiadają punktom przestrzennym x1,x3 i x2,x3.
Takie same znaczenie ma wyrażenie h względem funkcji f (T ) . Wobec tego, w realnych
warunkach pomiarowych, kiedy mierzone temperatury obarczone są błędami, dobór
punktów x1,x2 i x3 do układu równań (6) powinien być taki, by odległości pomiędzy nimi
były możliwie jak największe. Skutkowałoby to wyznaczeniem współczynników
kierunkowych siecznych zawartych w wyrażeniach g i h z jak najmniejszym błędem.
3. Zakończenie
W pracy przedstawiono podstawy teoretyczne metody umożliwiającej bezinwazyjny
pomiar dyfuzyjności cieplnej. Z uwagi na fakt, że metoda wymaga precyzyjnego zmierzenia
temperatury i jej pochodnych przestrzennych oraz pochodnej czasowej w wybranych
punktach próbki, to wymaga ona zastosowania kamer termowizyjnych o podwyższonej
dokładności. Ponieważ, w istocie, obraz kamery termowizyjnej mierzy dyskretnie funkcję
temperatury na ortogonalnej siatce punktów o kroku odpowiadającym odległościom
pomiędzy pikselami obrazu i jest on nagrywany co określony przez użytkownika kamery
interwał czasowy, to obliczenie pochodnych można przeprowadzić wykorzystując wzory
na różnice skończone funkcji. W tym celu, aby podnieść dokładność obliczeń, należy
zastosować procedury „wygładzające” mierzoną funkcję temperatury i eliminujące szum
pomiarowy. Konieczność wymienionych działań stanowi wadę proponowanej metody.
Do zalet metody należy zaliczyć możliwość stosunkowo prostej realizacji samego pomiaru,
która sprowadza się do „nagrania” kamerą termowizyjną filmu rozpływu temperatury na
powierzchni próbki pobudzonej impulsem „o tzw. niskiej mocy”, np. poprzez krótkie
zetknięcie jej z innym ciałem o wyższej temperaturze. Także, z uwagi na strukturę wzoru
(7) do wyznaczania dyfuzyjności cieplnej, metoda niewrażliwa jest na błędy pomiarowe
kamery, które mogą być wywołane niedokładnymi jej ustawieniami mającymi na celu
eliminację wpływu, tzw. „nieczarności” ciała [10]. Ponieważ temperatura skorygowana,
w takim wypadku, może być obliczana ze wzoru typu Tskorygowane=k⋅ Tzmierzone [10], gdzie
k jest współczynnikiem korekcyjnym zależnym od emisyjności ciała, to wzór (7) pozwala
na jego eliminację z rozważań.
Oznaczenia symboli
a
k
n
– dyfuzyjność cieplna (współczynnik wyrównywania temperatury),
thermal diffusivity, [m2/s],
– współczynnik korekcyjny emisyjności nieczarnego ciała, correction factor
of non- black body radiation, [-] ,
– wektor normalny do A, normal vector to A,
75
t
– czas, time, [s],
t1, t2 – chwile czasowe, moments of time, [s],
x1, x2, x3
– punkty w R3, points in R3,
A
– powierzchnia ograniczająca ciało w R3, surface restricting body in R3, [m2],
A 1, A 2, A 3
– spójne wycinki A, connected sectors of A, [m2],
Fo – liczba Fouriera, Fourier number, [-],
T
– temperatura, temperature, [K],
Te – temperatura otoczenia, temperature of surroundings, [K],
∆T – przyrost temperatury względem Te, temperature increment to Te, [K],
V
– obszar zajmowany przez ciało w R3, area occupied by body in R3, [m3],
α – współczynnik przejmowania ciepła przez otoczenie, surface film conductance,
[J/(s⋅m2⋅K)],
λ – współczynnik przewodzenia ciepła, thermal conductivity, [J/(s⋅m⋅K)],
ρ – gęstość masy, mass density, [kg/m3],
∇2 – laplasjan, Laplacian, [1/m2].
Literatura
[1] Bison P. G., Cernuschi F., Grinzato E., Marinetti S., D. Robba, Ageing evaluation of
thermal barrier coatings by thermal diffusivity, Infrared Physics & Technology, 49,
2007, 286-291.
[2] Dudzik S., A simple method for defect area detection using activate thermography,
Opto-electronics Review, 17, 4, 338-344.
[3] Fodemski T.R. (red.), Pomiary cieplne, Cz. I, Podstawowe pomiary cieplne,
Podręczniki akademckie, Mechanika, WNT, Warszawa, 1993, 2001.
[4] Gi-Won N., Cheol-Won K., Yeong-Moo Y., Akira O., Thermal diffusivity
measurement of BMS 10-102 thermal insulation material in a vaccum condition using
a cyclic heating method, Thermochimica Acta, 494, 2009, 123-128.
[5] Kącki E., Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i techniki, WNT,
Warszawa, 1989.
[6] Laskar J.M., Bagavathiappan M., Sardar M., Jaykumar J. P., Baldev R., Measurement
of thermal diffusivity of solids using infrared thermography, Materials Letters, 62,
2008, 2740-2742.
[7] Martinsons C. D., Levick A. P., Edwards G. J., Measurement of the thermal diffusivity
of solids with an improved accuracy, Int. J. Thermophysics, 24, 4, 2003, 1171-1183.
[8] Mróz Z., Thermographic identification of defects in structures, Proc. CISM –
Advanced School on Parameter Identification of Materials and Structures, Udine, 2003.
[9] Muscio A., Bison P.G., Marinetti S., Grinzato E., Thermal diffusivity measurement in
slabs using harmonic and one-dimensional propagation of thermal waves, Int. Journal
of Thermal Sciences, 43, 2004, 453-463.
[10] Piotrowski J. (red.), Czujniki i metody pomiarowe wybranych wielkości fizycznych
i składu chemicznego, Pomiary, WNT, Warszawa, 2009.
[11] Ukrainczyk N., Thermal diffusivity estimation using numerical inverse solution for 1D
heat conduction, Int. J. Heat and Mass Transfer, 52, 2009, 5675-5681.
76
A METHOD OF DETERMINING OF THERMAL DIFFUSIVITY BASED
ON THERMOGRAPHIC MEASUREMENTS.
THEORETICAL BACKGROUND.
Summary
A theoretical background of new method for thermal diffusivity measurements
is presented in the work. It employs thermograms form a IR camera and consist
in a determination of thermal diffusivity directly from the classical heat equation in the
sourceless case. It utilises an assumption that temperature may be described as the Fourier
series in a body during cooling in the homogeneous boundary conditions described by the
Newton law and only the first summand in the series is meaningful for sufficiently big
Fourier number (Fo>0.3). Thanks to it temperature measurements on the plane surface
of investigated body made by a IR camera are sufficient for the method because the second
partial derivative of temperature function in the direction perpendicular to the surface
of body may be expressed as a linear function of temperature. In such situation all
temperature quantities in the heat equation of the points on the external surface of the body
may be calculated (with use of proper formulas on the finite differences) at basing on the
data recorded by a IR camera during the cooling process. Finally the thermal diffusivity and
factors form the introduced linear dependence between temperature and the second partial
derivative of temperature in the perpendicular direction to the surface of body may
be determined form system of equations obtained from the modified heat equation given
at three different points on the surface.