SSgh ct ρ = S S
Transkrypt
SSgh ct ρ = S S
ZADANIE 1 W cylindrycznym naczyniu o polu przekroju poprzecznego S1 znajduje się ciecz nielepka o gęstości ρ, wypełniająca naczynie do wysokości h. W dnie naczynia znajduje się otwór o powierzchni S2, przez który ciecz wypływa. Oszacować czas wypływu cieczy z naczynia. ODPOWIEDŹ Ponieważ wypływ odbywa się pod wpływem siły ciężkości, dlatego czas wypływu - oprócz wielkości występujących w treści zadania - będzie zależał od przyśpieszenia grawitacyjnego g. Zatem β δ ε t =c ⋅ ρ ⋅ h ⋅ g ⋅ S ⋅ S α γ 1 2 Równanie to zapisane za pomocą jednostek miar przyjmie postać: β T ( M ⋅ L −3) ⋅ L ⋅ ( L ⋅T −2) α = γ ⋅ ( ) (L ) δ L2 ⋅ 2 ε Jest to równoważne następującemu kładowi równań T: M: L: Jak łatwo sprawdzić 1 = −2 ⋅ γ 0=α 0 = −3 ⋅ α + β + γ + 2 ⋅ δ + 2 ⋅ ε α=0 γ = −1 / 2 czyli czas wypływu nie zależy od gęstości. Trzech pozostałych wykładników nie można obliczyć nie czyniąc dodatkowych założeń. Zróbmy więc następujące założenie: prędkość wypływu nie zależy od powierzchni otworu. Oznacz to, że czas wypływu jest odwrotnie proporcjonalny do powierzchni otworu S2 ( ε= −1 ), oraz że jest on wprost proporcjonalny do ilości cieczy w naczyniu, co dla ustalonego h oznacza, że także do S1 ( δ=1 ). To założenie umożliwia obliczenie ostatniego wykładnika. Dostajemy, że β=1/2. Zatem ostatecznie: t = c⋅ h g ⋅ S1 S2 [zadanie oraz odpowiedź zostały zaczerpnięte ze strony domowej dr hab. Janusza Typka z Instytut Fizyki ZUT w Szczecinie {\tt www.typjan.ps.pl/zz1.doc}] ZADANIE 3 W cieczy o gęstości ρ i współczynniku lepkości η wypływa pęcherzyk zapełniony gazem o pomijalnej gęstości i promieniu r. Jaka ustali się prędkość v wypływu tego pęcherzyka ? ODPOWIEDŹ Ponieważ ruch pęcherzyka odbywa się w polu grawitacyjnym, to oprócz wielkości wymienionych w zadaniu, rozpatrzyć także trzeba zależność prędkości od przyśpieszenia grawitacyjne g. Zatem v= c ⋅ r ⋅ g ⋅ρ ⋅ η β α γ δ Równanie powyższe przepisane dla podstawowych jednostek miar przyjmie postać L⋅T −1 = ( L ) ⋅ ( L⋅T −2) ⋅ ( M α β ⋅L −3) ⋅ ( M ⋅L −1⋅T −1) γ δ Jak łatwo zauważyć mamy cztery niewiadome wykładniki potęgowe i jedynie trzy równania ( dla M, T, i L ) z których możemy je wyznaczyć. Spróbujmy zwiększyć ilość równań wprowadzając dodatkową jednostkę miary - siłę. Oznaczmy jednostkę tej miary jako F. Wtedy równanie (10) przybierze postać L⋅T −1 = (L ) ( α ⋅ ) (M ) ( T ⋅F ⋅ L ) β γ F ⋅ M −1 ⋅ ⋅ L −3 ⋅ −2 δ Rozpisując je dla poszczególnych jednostek miar dostaniemy − 1= δ 0 = −β + γ T: M: 1= α − 3⋅ γ − 2⋅δ L: 0 =β+δ F: Rozwiązując układ (11) otrzymamy α=2 β=1 γ =1 δ = −1 Zatem dla prędkości wypływu pęcherzyka uzyskaliśmy następujące równanie c⋅ g⋅ρ⋅r = v η 2 . [zadanie oraz odpowiedź zostały zaczerpnięte ze strony domowej dr hab. Janusza Typka z Instytut Fizyki ZUT w Szczecinie {\tt www.typjan.ps.pl/zz1.doc}] ZADANIE 4 Śmigłowiec i jego model w skali 1:10 wykonane są z tych samych materiałów. Jaką moc musi mieć silnik zdolny utrzymać w powietrzu śmigłowiec, jeżeli model utrzymywany jest w powietrzu przez silnik o mocy Pm=10 W ? ODPOWIEDŹ Śmigłowiec utrzymuje się w powietrzu dzięki temu, że odrzuca w dół pewną masę powietrza. Jeżeli w czasie ∆t śmigło zakreśli powierzchnię S, nadając powietrzu prędkość v, to uzyska ono pęd ∆p równy ∆p=∆m⋅v=∆V⋅ρ⋅v=S⋅v⋅∆t⋅ρ⋅v=v2⋅S⋅ρ⋅∆t Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona powietrze nada przeciwnie skierowany pęd śmigłowcu. Zatem siła, z jaką powietrze działa na śmigłowiec jest równa F=(∆p/∆t)=v2⋅S⋅ρ Aby śmigłowiec utrzymał się w powietrzu, siła ta musi być równa sile grawitacji działającej na niego v2⋅S⋅ρ=Μ⋅g gdzie M jest masą śmigłowca. Z powyższego równania możemy wyznaczyć prędkość v strumienia powietrza: M ⋅g S⋅ρ v= Moc silnika śmigłowca obliczymy z równania P=F⋅v. Dlatego ( M ⋅ g) 3 P=v3⋅S⋅ρ= S⋅ρ Oznaczając indeksem m wielkości dotyczące modelu śmigłowca dostajemy 3 3 M Sm V S P = ⋅ = ⋅ m Pm Mm S Vm S Zwiększając n razy rozmiar L powodujemy zwiększenie powierzchni n 2 razy oraz zwiększenie objętości n3 razy. Dlatego 9 2 2 L Lm P 1 ⋅ = = n9 ⋅ = n7 / 2 Pm n Lm L W naszym przypadku n=10. Dla wartości podanych w zadaniu P=30⋅107/2=94,868 kW. [zadanie oraz odpowiedź zostały zaczerpnięte ze strony domowej dr hab. Janusza Typka z Instytut Fizyki ZUT w Szczecinie {\tt www.typjan.ps.pl/zz1.doc}]