Geometria Elementarna 2016/17 Zestaw ćwiczeń 10, na dzień 19
Transkrypt
Geometria Elementarna 2016/17 Zestaw ćwiczeń 10, na dzień 19
Geometria Elementarna 2016/17 Zestaw ćwiczeń 10, na dzień 19 grudnia 2016r. Niech 4ABC będzie dowolnym trójkątem, a l prostą przecinającą pr BC i pr AC odpowiednio w punktach P i Q, różnych od wierzchołków trójkąta. Prostą l nazywamy antyrównoległą trójkąta 4ABC względem boku AB wtedy i tylko wtedy, gdy ∠) QP C = ∠) BAC. Wtedy również ∠) P QC = ∠) ABC. C Zadanie 47 Niech prosta pr P Q będzie antyrównoległą trójkąta 4ABC względem boku AB (rysunek obok). Wykazać, że symediana pr CD tego trójkąta przechodzi przez środek M odcinka P Q. Q M P B D A C Zadanie 48 Punkty A1 , A2 , B1 , B2 i C1 , C2 leżą na bokach trójkąta 4ABC jak na rysunku obok. Proste pr A1 B2 , pr B1 C2 i pr C1 A2 przecinają się w punkcie L i są antyrównoległymi tego trójkąta odpowiednio względem boków AB, BC i AC. Wykazać, że jeśli L jest punktem Lemoine’a 4ABC (patrz: zadanie 45), to punkty A1 , A2 , B1 , B2 , C1 i C2 leżą na jednym okręgu, którego środkiem jest L (okrąg Lemoine’a). A2 B1 B2 L A1 C1 C2 A Zadanie 49 1. Wykazać, że (a) jeśli punkt Q nie leży na prostej l, to złożenie symetrii osiowej z symetrią środkową SQ ◦ Sl (oraz Sl ◦ SQ ) jest symetrią z poślizgiem. Wskazać oś tej symetrii oraz jej wektor translacji; (b) jeśli punkt Q ∈ l, to SQ ◦Sl (oraz Sl ◦SQ ) jest symetrią osiową o osi prostopadłej do l przechodzącej przez punkt Q. 2. Rozważmy punkt Q = (0, 1) i prostą l określoną równaniem x − y = 0. Przedstawić SQ ◦ Sl i Sl ◦ SQ jako złożenie symetrii osiowej z translacją. Wyznaczyć obraz okręgu O(θ, 1) względem SQ ◦ Sl . B Zadanie 50 1. Proste l1 i l2 są równoległe (i różne), a prosta l3 jest do nich prostopadła. Wykazać, że złożenie Sli ◦ Slj ◦ Slk , gdzie {i, j, k} = {1, 2, 3}, jest symetrią z poślizgiem. 2. Rozważmy proste l1 , l2 i l3 określone odpowiednio równaniami y + 1 = 0, x − 1 = 0 i x − y = 0. Przedstawić złożenie Sl1 ◦ Sl3 ◦ Sl2 w postaci macierzowej. Zadanie 51 1. Czy prawdziwe jest twierdzenie ”każde dwa kwadraty są podobne”? Jeśli tak, to określić ilość podobieństw przekształcających jeden kwadrat na drugi i podać ich skale. 2. Wyznaczyć skalę podobieństwa okręgu opisanego na danym trójkącie ostrokątnym 4ABC i okręgu opisanego na spodkach wysokości tego trójkata. Zadanie 52 Niech O1 = O(θ, 1) i O2 = O(S2 , 2), gdzie S2 = (10, 0). Wyznaczyć wszystkie jednokładności przekształcające okrąg O1 na O2 . http://szemberg.up.krakow.pl/Geometria Elementarna -- 2016-17.html