Funkcje - Maciej Bendkowski

Metody Formalne Informatyki: Zestaw 6
Semestr zimowy 2016/2017
MFI
Kraków
14 listopada 2016
Funkcje
Zadanie 1. Niech dana będzie skończona rodzina zbiorów {A1 , . . . , An }. Wykaż, że A1 ÷
. . . ÷ An składa się z elementów, które występują w nieparzystej ilości różnych Ai .
Zadanie 2. (?) Dana jest przestrzeń X oraz A1 , . . . , An ⊆ X. Wykaż, że używając
n
∩, ∪ oraz operacji dopełnienia można skonstruować co najwyżej 22 różnych zbiorów z
A1 , . . . , A n .
Zadanie 3. Wykaż, że:
(i) Złożenie funkcji z X w Y z funkcją z Y w Z jest funkcją z X w Z,
(ii) Złożenie dwóch funkcji częściowych jest funkcją częściową.
Zadanie 4. Czy na każdym zbiorze X istnieje relacja równoważności, która jest funkcją
z X w X? Podaj dowód lub podaj kontrprzykład.
Zadanie 5. Zbadaj, która z poniższych relacji jest funkcją:
(i) R ⊆ R × R taka, że (x, y) ∈ R ↔ x2 = y 2 ,
(ii) R ⊆ R+ × R+ taka, że (x, y) ∈ R ↔ x2 = y 2 ,
(iii) R ⊆ N × Z taka, że (x, y) ∈ R ↔ x2 = y 3 ,
(iv) R ⊆ N × Z taka, że (x, y) ∈ R ↔ x3 = y 2 .
Zadanie 6. Pokaż, że dla dowolnej funkcji f :
(i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
S
(ii) f (
i∈I
Ai ) =
S
i∈I
f (Ai ),
(iii) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B),
T
(iv) f (
i∈I
Ai ) ⊆
T
i∈I
f (Ai ),
(v) jeśli A ⊆ B, to f (A) ⊆ f (B),
(vi) f (A) = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ Dom(f ) = ∅,
(vii) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B),
(viii) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B),
(ix) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B),
(x) jeśli A ⊆ B, to f −1 (A) ⊆ f −1 (B),
(xi) f −1 (A) = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ Im(f ) = ∅.
(
Zadanie 7. Niech f : R → R będzie funkcją zadaną wzorem f (x) =
x
x60
.
2
x +1 x>0
Wyznacz f ([−1, 1) ∪ {2}).
Strona 1/3
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 6
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
14 listopada 2016
Zadanie 8. Niech ϕ : R3 → R3 będzie funkcją zadaną wzorem ϕ(x) = x × [0, 0, 1], gdzie
× oznacza iloczyn wektorowy.
(i) Czy ϕ jest surjekcją?
(ii) Czy ϕ jest iniekcją?
(iii) Wyznacz ϕ({[0, t, 0] ∈ R3 : t ∈ R}).
(iv) Wyznacz ϕ−1 ({[0, 0, 0]}).
(v) Wyznacz ϕ−1 ({[0, 0, t] : t ∈ R \ {0}}).
Zadanie 9. Pokaż, że funkcja f : A → A jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy
f n (n > 1) jest różnowartościowa.
Zadanie 10. (?) Udowodnij, że funkcja parująca Cantora f : N2 → N zadana wzorem
f (x, y) =
(x + y + 1)(x + y)
+x
2
jest różnowartościowa.
Zadanie 11. (?) Podaj przykład funkcji f, g : N → N, dla których zachodzą wszystkie
poniższe warunki:
(i) ∀x g(x) 6= x,
(ii) g ◦ g jest identycznością na N,
(iii) f ◦ g = f ,
(iv) f jest surjekcją,
(v) obrazem zbioru liczb parzystych w odwzorowaniu g jest jest zbiór liczb nieparzystych.
Zadanie 12. Czy dla każdej bijekcji f : A → A istnieje n ∈ N takie, że f n jest identycznością na A, gdy:
(i) A jest skończony,
(ii) (?) A = N.
Zadanie 13. Podaj przykłady punktów stałych funkcji:
(i) f : R 3 x 7→ bxc ∈ N,
(ii) f : P(P(X)) 3 x 7→ { x,
S
T
x} ∈ P(P(X)),
(iii) f : P(X 2 ) 3 R 7→ R−1 ∈ P(X 2 ),
(iv) f : P(X 2 ) 3 R 7→ (R−1 ◦ R) ∪ 1R ∈ P(X 2 ).
Zadanie 14. Pokaż, że dla dowolnego niepustego zbioru X nie istnieje punkt stały funkcji
f : P(X) 3 A 7→ X \ A ∈ P(X).
Strona 2/3
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 6
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
14 listopada 2016
Zadanie 15. Wskaż przykład funkcji monotonicznej f : P(X) → P(X), dla której istnieje
zbiór A ⊆ X taki, że A 6⊆ f (A).
Zadanie 16. Sprawdź, czy istnieje największy lub najmniejszy (w sensie inkluzji) punkt
stały funkcji
\
f : P(P(X)) 3 A 7→ { A} ∈ P(P(X)).
Zadanie 17. Niech funkcja F : P(N)N → P(N) dana będzie wzorem
F (x) =
[
{x(i) : i ∈ N}.
(i) Czy funkcja F jest iniekcją?
(ii) Czy funkcja F jest surjekcją na P(N)?
(iii) Czy istnieje zbiór A ⊆ N taki, że F −1 ({A}) jest jednoelementowy?
(iv) Czy istnieje zbiór A ⊆ N taki, że F −1 ({A}) jest czteroelemetowy?
Zadanie 18. Niech F : NN → P(N)P(N) będzie zdefiniowana wzorem F (f )(A) = f (A) dla
f : N → N. Czy F jest surjekcją? Czy F jest bijekcją?
Zadanie 19. Niech F : NN → P(N)P(N) będzie zdefiniowana wzorem F (f )(A) = f −1 (A)
dla f : N → N.
(i) Czy F jest surjekcją?
(ii) Czy F jest bijekcją?
(iii) Wyznacz F −1 ({1P(N) }).
(iv) Czy istnieje funkcja f ∈ F (NN ), która jest różnowartościowa?
(v) Czy każda funkcja f ∈ F (NN ) jest różnowartościowa?
Zadanie 20. Niech X będzie zbiorem induktywnym. Definiujemy funkcję f : P(X) →
P(X) w następujący sposób: f (A) = A ∪ {x ∪ {x} : x ∈ A} ∪ {∅}.
(i) Pokaż, że f jest monotoniczna.
(ii) Wyznacz najmniejszy i największy punkt stały funkcji f .
Strona 3/3