Wstęp do Logiki i Teorii Mnogości 1

dr Przemysław Szczepaniak
Wstęp do Logiki i Teorii Mnogości
1
Instytut Matematyki i Informatyki
2010/2011
ZDANIA
1. Udowodnij prawa rachunku zdań poznane na wykładzie.
2. Sprawdź, które z poniższych zdań są tautologiami:
(a) p ∨ q ∨ r −→ (¬p −→ (q ∨ r) ∧ ¬r).
(b) (p −→ q) ∧ (r −→ s) −→ (p ∧ s −→ q ∨ r).
(c) (p ∨ q −→ r) −→ (p −→ r) ∨ (q −→ r).
(d) (p −→ q) ←→ (p ∧ q ←→ p).
(e) (p ∨ q ←→ r ∨ s) −→ (p ←→ r) ∨ (q ←→ s).
(f ) (p ←→ q) ←→ (p −→ q) ∧ (q −→ p).
3. Zaneguj zdania z przykładów (a), (b), (c) poprzedniego zadania. Korzystając z praw de Morgana, przekształć je do postaci, w której negacja
występuje jedynie przed zmiennymi zdaniowymi.
4. Sprawdź metodą skróconą, które z poniższych zdań są tautologiami:
(a) p −→ (q −→ p).
(b) (p −→ (q −→ r)) −→ ((p −→ q) −→ (p −→ r)).
(c) (¬p −→ ¬q) −→ ((¬p −→ q) −→ p).
(d) ((p −→ q) ∧ (q −→ r)) −→ (p −→ r).
5. Oto fragment raportu policji, sporządzonego przez młodego aspiranta:
Świadek nie był zastraszony lub też, jeśli Henry popełnił samobójstwo, to testament odnaleziono. Jeśli świadek był zastraszony,
to Henry nie popełnił samobójstwa. Jeśli testament odnaleziono,
to Henry popełnił samobójstwo. Jeśli Henry nie popełnił samobójstwa, to testament odnaleziono.
Co komendant policji może wywnioskować z powyższego raportu, poza oczywistym faktem, że należy zwolnić aspiranta? Spróbuj odpowiedzieć na pytania: Czy świadek był zastraszony? Czy Henry popełnił samobójstwo? Czy
testament odnaleziono?.
Uwaga. Ćwiczenia nie są oznaczone, przy zadaniach jest symbol ⋄ , przy trudniejszych
zadaniach jest symbol ⋆ .
1
1
6. Sprawdź, czy poniższe rozumowania są poprawne:
(a) Jeżeli Jan ożeni się z Marią, to Piotr go znienawidzi. Jeżeli Piotr ożeni
się z Marią, to Jan go znienawidzi. Zatem Piotr znienawidzi Jana lub Jan
znienawidzi Piotra.
(b) Jeżeli występuje spięcie w przewodzie elektrycznym, to światło gaśnie.
Światło nie gaśnie. Zatem nie występuje spięcie w przewodzie elektrycznym.
(c) Jeśli jest zimno, to trzeba ubrać płaszcz. Jeśli pada deszcz, to trzeba
wziąć parasol. Więc jeśli jest zimno i pada deszcz, to trzeba ubrać płaszcz i
wziąć parasol.
(d) Jeśli pacjent ma zapalenie oskrzeli, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. Jeśli pacjent ma zapalenie płuc, to zastosowanie antybiotyków
przyniesie poprawę. Pacjent ma zapalenie oskrzeli lub zapalenie płuc. Zatem
zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę.
7.⋄ Podczas pewnej kampanii wyborczej Olek, Józek i Kazik wygłosili następujące oświadczenia:
Olek: Józek zawsze kłamie,
Józek: Kazik zawsze kłamie,
Kazik: Olek zawsze kłamie.
Pokaż, że co najmniej dwóch spośród nich nie miało racji.
8.⋄ Kreskę Shefera określamy następująco: p|q = (¬p ∨ ¬q). Wyraź negację,
koniunkcję, alternatywę, implikację i równoważność za pomocą tego spójnika.
ZBIORY
9. Udowodnij prawa rachunku zbiorów poznane na wykładzie.
10. Pokaż, że zbiór n-elementowy ma 2n wszystkich podzbiorów.
11. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:
(a) A ⊆ B ∧ B ⊆ C −→ A ⊆ C,
(b) A ⊆ C ∧ B ⊆ C −→ A ∪ B ⊆ C,
(c) A ⊆ B ∧ A ⊆ C −→ A ⊆ B ∩ C,
(d) A ⊆ B ∧ C ⊆ D −→ A ∪ C ⊆ B ∪ D,
(e) A ⊆ B ∧ C ⊆ D −→ A ∩ C ⊆ B ∩ D.
12. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów A, B poniższe warunki są równoważne:
1. A ⊆ B,
2. A ∩ B = A,
3. A ∪ B = B.
2
13. Pokaż, że A ∪ B jest najmniejszym w sensie inkluzji zbiorem zawierającym jednocześnie zbiory A i B. Sformułuj i udowodnij analogiczny fakt dla
przekroju dwóch zbiorów.
14. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów A, B, C:
(a) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),
(b) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
15. ⋄ Pokaż następujące prawa różnicy symetrycznej: A△∅ = A, A△A = ∅,
A△B = B△A, A△(B△C) = (A△B)△C.
16. Rozwiąż równanie [0, 1]△X = [−1, 12 ).
17. Czy iloczyn kartezjański jest operacją łączną?
18. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów A, B, C:
(a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C),
(b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).
19. Wyznacz zbiory P (∅), P (P (∅)), P ({1, 2, 3}).
20. Pokaż, że A ⊆ B wtedy i tylko wtedy, gdy P (A) ⊆ P (B).
21. Czy dla dowolnych zbiorów A, B:
(a) P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B),
(b) P (A) ∪ P (B) = P (A ∪ B)?
KWANTYFIKATORY
22. Udowodnij prawa rachunku kwantyfikatorów poznane na wykładzie.
23. Używając jedynie symboli kwantyfikatorów, nawiasów, spójników logicznych oraz =, ∈, <, ¬, +, ·, |, N, Z, R zapisz zdania:
(a) istnieje nieparzysta liczba naturalna,
(b) nie ma największej liczby naturalnej,
(c) niektóre liczby naturalne są pierwsze,
(d) każda liczba naturalna daje przy dzieleniu przez 2 resztę 0 lub 1,
(e) x jest najmniejszą liczbą naturalną,
(f ) wśród liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza,
(g) suma kwadratów dwóch liczb rzeczywistych jest zawsze nieujemna,
(h) równanie x2 + x + 4 = 0 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych,
(i) równanie x2 − x − 2 = 0 ma dwa rozwiązania całkowite,
3
(j) równanie 2x + a = 0 ma rozwiązanie całkowite dla dowolnego a ∈ Z,
(k) dla dwóch (różnych) liczb rzeczywistych dodatnich ich średnia arytmetyczna jest mniejsza niż średnia geometryczna,
(l) liczba z jest największym wspólnym dzielnikiem liczb x i y,
(m) każde dwie liczby naturalne mają najmniejszą wspólną wielokrotność,
(n) istnieje dokładnie jedna nieparzysta liczba naturalna.
24. Czy zdania z poprzedniego zadania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij.
25. Zaprzecz zdaniom z zadania 23.
26. Przedstaw graficznie zbiór {(x, y) ∈ R2 : ϕ(x, y)} jeśli ϕ(x, y) to formuła
x < y, x ¬ y, x · y < 1, |x · y| ¬ 1, |x + y| < 1, x · y ¬ 1 −→ x · y = 1.
DZIAŁANIA UOGÓLNIONE
S
T
∞
27. Znajdź ∞
n=1 An oraz
n=1 An jeśli
(a) An = {x ∈ R : x ¬ n},
(b) An = {x ∈ R : −n < x ¬ n1 },
(c) An = {x ∈ R : n1 ¬ x ¬ n},
(d) An = {x ∈ R : 1 − n1 < x < 3 − n1 },
(e) An = {x ∈ R : n < x ¬ n + 1},
(f ) An = {x ∈ R : n2 < x < n + 10},
n
(g) An = {x ∈ R : (−1)n < x < 2 + (−1)
}.
n
S
T
28. Znajdź {At : t ∈ R} oraz {At : t ∈ R} jeśli
(a) At = {(x, y) ∈ R2 : y = t · x},
(b) At = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ t2 }.
29. Wyznacz sumę oraz przekrój pustej rodziny podzbiorów zbioru R.
30. Udowodnij następujące własności działań uogólnionych:
T
S
(a) ( t∈T At )c = t∈T Act ,
S
T
(b) ( t∈T At )c = t∈T Act ,
T
T
T
(c) t∈T (At ∩ Bt ) = ( t∈T At ) ∩ ( t∈T Bt ),
S
S
S
(d) t∈T (At ∪ Bt ) = ( t∈T At ) ∪ ( t∈T Bt ),
S
S
S
(e) t∈T (At ∩ Bt ) ⊆ ( t∈T At ) ∩ ( t∈T Bt ),
T
T
T
(f ) t∈T (At ∪ Bt ) ⊇ ( t∈T At ) ∪ ( t∈T Bt ).
W podpunktach (e) i (f ) pokaż, że inkluzji nie można zastąpić równością.
4
RELACJE
31. Zbadaj, czy poniższe relacje są zwrotne, przeciwzwrotne, symetryczne,
słabo antysymetryczne, antysymetryczne, przechodnie, spójne:
(a) xRy ←→ x jest tej samej płci co y,
(b) xRy ←→ x jest bratem y,
(c) xRy ←→ x < y, na R,
(d) xRy ←→ x ¬ y, na R,
(e) xRy ←→ x|y, na N,
(f ) xRy ←→ x|y, na Z,
(g) xRy ←→ x ⊆ y, na P (Ω),
(h) xRy ←→ x ∩ y = ∅, na P (Ω),
(i) xRy ←→ 2|x + y, na N,
(j) xRy ←→ |x| < |y|, na R,
(k) xRy ←→ x + y ­ 2, na R.
32. Czy każdą relację R na X można rozszerzyć do relacji (a) zwrotnej na
X, (b) przeciwzwrotnej na X, (c) symetrycznej na X, (d) słabo antysymetrycznej na X, (e) antysymetrycznej na X, (f ) przechodniej na X, (g)
spójnej na X?
33. Podaj przykład relacji która
(a) jest zwrotna, symetryczna i nie jest przechodnia,
(b) jest zwrotna, słabo antysymetryczna i nie jest przechodnia,
(c) jest symetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna,
(d) jest słabo antysymetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna.
34. ⋄ Ile na zbiorze n-elementowym jest relacji (a) zwrotnych, (b) symetrycznych, (c) zwrotnych i symetrycznych, (d) antysymetrycznych, (e) słabo
antysymetrycznych?
FUNKCJE
35. Niech f : N2 −→ N będzie funkcją określoną wzorem f (n, k) = nk.
(a) Czy f jest różnowartościowa?
(b) Czy f jest „na”?
(c) Znajdź f [{2, 4} × {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}].
(d) Znajdź f [{2} × {2n : n ∈ N}].
(e) Znajdź f −1 [{4, 5}].
5
36. Niech f : R2 −→ R2 będzie funkcją o wzorze f (x, y) = (x + y, x − y).
(a) Czy f jest różnowartościowa?
(b) Czy f jest „na”?
(c) Znajdź f [R × {0}].
(d) Znajdź f −1 [{(1, 1)}].
(e) Znajdź f [L] oraz f −1 [L], gdzie L jest prostą o równaniu y = x + 1.
37. Niech f (x) = |x + 1|, g(x) = 3x − 6, h(x) = −x2 . Napisz wzory złożeń
(a) h◦g ◦f , (b) f ◦g ◦h, (c) g ◦f ◦f ◦f , (d) h◦g ◦f ◦g ◦g, (e) f ◦g ◦f ◦h◦h.
38. Niech f : X −→ Y oraz A, A1 , A2 ⊆ X i B, B1 , B2 ⊆ Y . Pokaż, że
(a) f [A1 ∪ A2 ] = f [A1 ] ∪ f [A2 ],
(b) f [A1 ∩ A2 ] ⊆ f [A1 ] ∩ f [A2 ],
(c) f [A1 \ A2 ] ⊇ f [A1 ] \ f [A2 ],
(d) f −1 [B1 ∪ B2 ] = f −1 [B1 ] ∪ f −1 [B2 ],
(e) f −1 [B1 ∩ B2 ] = f −1 [B1 ] ∩ f −1 [B2 ],
(f ) f −1 [B1 \ B2 ] = f −1 [B1 ] \ f −1 [B2 ],
(g)⋄ A ⊆ f −1 [f [A]],
(h)⋄ B ⊇ f [f −1 [B]].
39. Znajdź przykłady pokazujące, że zawierania w podpunktach poprzedniego zadania nie można zastąpić równością.
40.⋄ Pokaż, że jeśli f : X −→ Y , g : Y −→ Z są funkcjami takimi, że g ◦ f
jest różnowartościowa, a f jest „na”, to g jest funkcją różnowartościową. Czy
założenie, że f jest „na” jest istotne?
41. ⋄ Pokaż, że f jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy
f [A ∩ B] = f [A] ∩ f [B] dla dowolnych zbiorów A i B.
RÓWNOWAŻNOŚCI
42. Pokaż, że ≡ jest relacją równoważności na zbiorze Z, jeśli
(a) n ≡ k ←→ 3|n + 2k,
(b) n ≡ k ←→ 5|n2 − k 2 .
43. Pokaż, że ≃ jest relacją równoważności na X oraz wyznacz przestrzeń
ilorazową X/≃ , jeśli
(a) (n, k) ≃ (n′ , k ′ ) ←→ max{n, k} = max{n′ , k ′ }, X = {0, 1, 2, 3, 4}2 ,
(b) x ≃ y ←→ (∃α > 0)(α · x = y), X = R,
(c) u ≃ v ←→ (∃α 6= 0)(α · u = v), X = R2 .
6
44. Ile jest relacji równoważności na zbiorze {1, 2, 3}?
45. Podaj przykład relacji równoważności na N, która ma jedną 1-elementową,
dwie 2009-elementowe i dwie nieskończone klasy abstrakcji.
PORZĄDKI
46. Podaj za pomocą diagramów Hassego przykłady częściowych porządków
w których
(a) są dwa 3-elementowe łańcuchy i jeden 3-elementowy antyłańcuch,
(b) jest element najmniejszy, są dokładnie dwa elementy maksymalne oraz
4-elementowy łańcuch i 3-elementowy antyłańcuch,
(c) jest nieskończony łańcuch i nieskończony antyłańcuch,
(d) jest dokładnie jeden element minimalny i nie ma elementu najmniejszego.
47. Wskaż w porządku (P (N) \ {∅}, ⊆) elementy wyróżnione.
48. Pokaż, że (N \ {0}, |), (N \ {0, 1}, |) są częściowymi porządkami. Znajdź
w każdym z nich elementy wyróżnione, o ile takie elementy istnieją.
49. Pokaż, że jeśli w częściowym porządku istnieje element największy, to
jest on jedynym elementem największym. Pokaż, że element największy jest
jednocześnie maksymalny.
50. Pokaż, że jeśli X jest zbiorem skończonym, to w częściowym porządku
(X, ) istnieje co najmniej jeden element maksymalny.
51. Pokaż, że jeśli X jest zbiorem skończonym i w częściowym porządku
(X, ) istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to jest on elementem
największym. Czy założenie skończoności zbioru X jest istotne?
52. ⋄ Pokaż, że jeśli R i S są relacjami częściowo porządkującymi, to R ∩ S
też jest relacją częściowo porządkującą. Czy wtedy R ∪ S też jest relacją
częściowo porządkującą?
53. Pokaż, że jeśli liniowo porządkuje skończony zbiór X, to dobrze
porządkuje X. Podaj przykład pokazujący, że założenie skończoności zbioru
X jest istotne.
7
TEORIA MOCY
54. Pokaż, wskazując odpowiednią bijekcję, że (a) (0, 1) ∼ (1, 4), (b) (0, ∞) ∼
R, (c) (−1, 1) ∼ R, (d) Z ∼ N, (e)⋆ [0, ∞) ∼ (0, ∞).
55.⋄ Pokaż, że
(a) A ∪ B ∼ C ∪ D, jeśli A ∼ C, B ∼ D, A ∩ B = ∅ i C ∩ D = ∅,
(b) A × B ∼ C × D, jeśli A ∼ C i B ∼ D,
(c) P (A) ∼ P (B), jeśli A ∼ B,
(d) P (A) ∼ {0, 1}A .
56. Jakiej mocy jest zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych wymiernych?
57. Pokaż, że R \ Q jest zbiorem nieprzeliczalnym.
58.⋆ Pokaż, że |R \ Q| = c.
59. Pokaż, że dowolna rodzina parami rozłącznych niezdegenerowanych (tzn.
niepustych i niejednoelementowych) przedziałów na prostej jest przeliczalna.
60. Czy zbiór, którego każdy właściwy podzbiór jest przeliczalny, sam jest
przeliczalny?
61. Czy istnieje zbiór X taki, że |P (X)| = ℵ0 ?
62.⋄ Czy rozważana w dowodzie faktu (0, 1) × (0, 1) ∼ (0, 1) funkcja jest na
zbiór (0, 1)?
63. Pokaż, że
(a) |{X ⊆ N : |X| < ℵ0 }| = ℵ0 ,
(b) |{X ⊆ Z : |X ∩ N| < ℵ0 }| = c,
(c) |{X ⊆ R : |X| < ℵ0 }| = c.
64. ⋄ Pokaż, że (a) ℵℵ0 0 = c, (b) cℵ0 = c, (c) c + c = c, (d) ℵ0 + c = c, (e)
ℵ0 · c = c, (f ) cc > c.
65.⋄ Jaka jest moc zbioru wszystkich ciągów liczb rzeczywistych zbieżnych do
zera? A moc zbioru wszystkich ciągów liczb całkowitych zbieżnych do zera?
8