Zadanie 1 Prędkości 10 cząstek są równe (w m/s) odpowiednio: 0, 1

Zadanie 1
Prędkości 10 cząstek są równe (w m/s) odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Oblicz: (a)
prędkość średnią, (b) prędkość średnią kwadratową (c) odchylenie standardowe od wartości
średniej
Zadanie 2
Rozkład prędkości cząstek dla próbki gazu zawierającej N cząsteczek ma postać
/
( )=4
exp −
2
2kT
Oblicz prędkość średnią cząstek oraz prędkość najbardziej prawdopodobną.
Wskazówka:
1
=
2
Zadanie 3
W hipotetycznym gazie o N cząstkach rozkład prędkości jest taki jak na rysunku poniżej.
(a) Wyraź parametr a przez N i V0, (b) Znajdź liczbę cząstek o prędkościach pomiędzy 1,5V0 i
2.0 V0 (c) Znajdź średnią prędkość cząstek.
N
a
V0
2V0
V
Zadanie 4
Rozważmy układ momentów magnetycznych w polu magnetycznym, które wyróżnia
kierunek „do góry” z prawdopodobieństwem p=0.51 i na „dół”z prawdopodobieństwem
q=0.49. Dla układu N momentów magnetycznych oblicz średni moment magnetyczny M
względem kierunku do góry oraz wariancje ΔM2 momentu magnetycznego cząstki i jego
odchylenie standardowe ΔM. Jak stosunek ΔM/M zależy od liczby momentów
magnetycznych w układzie.
Zadanie 5
Rozważmy prosty model paramagnetyka, w postaci atomów o spinie ½. Korzystając z funkcji
rozdziału wyprowadź prawo Curie dla takiego układu, które mówi, że podatność magnetyczna
paramagnetyka jest odwrotnie proporcjonalne do temperatury. Skorzystaj z rozkładu
Boltzmanna
Zadanie 6 (Równanie dyfuzji)
Rozpatrzmy układ N cząstek wykonujących tzn błądzenie przypadkowe („random walk”).
Załóżmy, że n(x,t) oznacza gęstość cząstek w punkcie x w chwili czasu t, zaś p+ (p-) to
odpowiednio prawdopodobieństwa przeskoku cząstki o dx w prawo (lewo).
a) Napisz równanie określające gęstość cząstek n(x,t) w punkcie x w chwili czasu t w funkcji
gęstości cząstek w chwili czasu t-dt
b) Rozwiń powyższe równanie w szereg Taylora względem dx i dt uwzględniając wyrazy do
rzędu O(dx2) oraz O(dt)
c) Korzystając z punku (b) wyprowadź równanie dyfuzji.