część 2

Marcin Studniarski
Wyk÷
ady z analizy portfelowej, cze¾ść II
(semestr letni 2011/12)
1
Pojecie
¾ krótkiej sprzedaz·y
Przyk÷
ad 1. Inwestor I przewiduje, z·e cena akcji spó÷
ki A – obecnie 100$
za sztuke¾ – pod koniec roku spadnie do poziomu 95$ (wartość oczekiwana).
Ponadto I spodziewa sie¾ wtedy wyp÷
aty dywidendy w wysokości 3$ za jedna¾
akcje.
¾ Zatem zakup przez I jednej akcji spó÷
ki A pociagnie
¾
za soba¾ nastepuj
¾ ace
¾
przep÷
ywy gotówki:
Czas:
Zakup akcji:
Dywidenda:
Sprzedaz· akcji:
Suma przep÷
ywów:
obecnie
100
100
koniec roku
+3
+95
+98
W tej sytuacji inwestor I nie zechce trzymać akcji spó÷
ki A w swoim portfelu.
Co wiecej,
¾
najchetniej
¾
posiada÷
by on ujemna¾ liczbe¾ takich akcji. Jak moz·e tego
dokonać?
Przypuśćmy, z·e inny inwestor J równiez· posiada akcje spó÷
ki A, ale nie chce
ich sprzedawać. Inwestor I moz·e poz·yczyć akcje¾ A od J , zapewniajac
¾ mu jednocześnie, z·e nie straci on z·adnych korzyści wynikajacych
¾
z posiadania akcji.
I sprzedaje teraz akcje¾ A i otrzymuje 100$, z których 3$ przekazuje J na
zrekompensowanie niezrealizowanej wyp÷
aty dywidendy. Ani I ani J nie posiadaja¾ teraz akcji A – faktyczna¾ dywidende¾ otrzymuje jej aktualny w÷
aściciel.
Pod koniec roku I kupuje akcje¾ A za 95$ i zwraca pierwotnemu w÷
aścicielowi
J . Przep÷
ywy gotówki dla I wygladaj
¾ a¾ teraz tak:
Czas:
Sprzedaz· akcji:
Dywidenda:
Zakup akcji:
Suma przep÷
ywów:
obecnie
+100
+100
koniec roku
3
95
98
2
Ekstrema warunkowe – regu÷
a mnoz·ników Lagrange’a
Niech G bedzie
¾
podzbiorem otwartym przestrzeni Rn i niech 1 k n. Niech
f : G ! R i ' : G ! Rk bed
¾ a¾ danymi funkcjami. Określamy zbiór
S := fx 2 G : '(x) = 0g:
Zak÷
adamy, z·e S 6= ;.
(1)
Mówimy, z·e funkcja f ma w punkcie x 2 S lokalne minimum [maksimum]
warunkowe (na zbiorze S ), jez·eli istnieje takie otoczenie U punktu x (U
G),
z·e f (x) f (x) [ f (x) f (x) ] dla kaz·dego x 2 S \ U .
Mówimy, z·e funkcja f ma w punkcie x 2 S ścis÷
e lokalne minimum [maksimum] warunkowe (na zbiorze S ), jez·eli istnieje takie otoczenie U punktu x
(U
G), z·e f (x) < f (x) [ f (x) > f (x) ] dla kaz·dego x 2 S \ U nfxg.
Twierdzenie 1. Za÷
ó·
zmy, ·
ze w pewnym otoczeniu U punktu x 2 S funkcje f
i ' maja¾ciag÷
¾ e pierwsze pochodne czastkowe
¾
oraz rf (x) 6= 0 i Rank '0(x) =
k.
(a) (warunki konieczne) Je·
zeli f ma w punkcie x lokalne ekstremum warunkowe, to istnieja¾ liczby rzeczywiste 1; :::; k takie, ·
ze funkcja Lagrange’a
L : U Rk ! R okre´slona wzorem
L(x; ) := f (x) +
k
X
i ' i ( x)
(2)
i=1
spe÷
nia warunek
@L
(x; ) = 0, j = 1; :::; n.
@xj
(3)
(b) (warunki dostateczne) Niech x 2 S bedzie
¾
punktem spe÷
niajacym
¾
warunki
konieczne (3). Za÷
ó·
zmy dodatkowo, ·
ze f i ' maja¾ ciag÷
¾ e drugie pochodne
czastkowe.
¾
Je·
zeli
hr2L(x;
)hT
n
X
@ 2L
hi hj
=
(x; ) > 0
@x
@x
i j
i;j=1
(4)
dla ka·
zdego wektora h = (h1; :::; hn) ró·
znego od zera i spe÷
niajacego
¾
warunek
hr'i(x); hi =
n
X
@'i
j=1 @xj
(x)hj = 0, i = 1; :::; k;
(5)
to f ma w punkcie x ´scis÷
e lokalne minimum warunkowe. Je·
zeli
hr2L(x; )hT < 0
(6)
dla ka·
zdego wektora h ró·
znego od zera i spe÷
niajacego
¾
warunek (5), to f ma
w punkcie x ´scis÷
e lokalne maksimum warunkowe.
Je·
zeli hr2L(x; )hT przyjmuje zarówno warto´sci dodatnie jak i ujemne dla h
spe÷
niajacych
¾
(5), to f nie ma lokalnego ekstremum warunkowego w punkcie
x.
Uwaga. Ze wzoru (2) wynika, z·e dla dowolnego i 2 f1; :::; kg pochodna
@L (x; ) nie zalezy od wektora
czastkowa
¾
i jest równa 'i(x). Stad
¾ i z (1)
·
@ i
otrzymujemy
(
)
@L
S := x 2 G :
(x) = 0, i = 1; :::; k :
@ i
(7)
3
Wyznaczanie portfela minimalnego ryzyka przy
dopuszczalnej krótkiej sprzedaz·y
3.1
Przypadek zadanej oczekiwanej stopy zysku
Niech u = (u1; :::; um) bedzie
¾
wektorem, którego wspó÷
rzednymi
¾
sa¾ udzia÷
y
akcji 1; :::; m w portfelu. Poniewaz· dopuszczamy moz·liwość krótkiej sprzedaz·y,
udzia÷
y te nie musza¾ być nieujemne. Zatem u nalez·y do zbioru
Pm :=
8
<
u = (u1; :::; um) 2 Rm :
:
m
X
j=1
9
=
uj = 1 :
;
(8)
Niech 0 bedzie
¾
zadana¾ oczekiwana¾ stopa¾ zysku portfela u. Rozwaz·amy nastepu¾
jace
¾ zadanie optymalizacji:
8
>
R(u) = uCuT ! min;
< Var
Pm
i=1 ui = 1;
>
P
:
m u
i=1 i i = 0 ;
(9)
gdzie C jest macierza¾ kowariancji wektora stóp zysku akcji 1; :::; m, a
=
( 1; :::; m) – wektorem oczekiwanych stóp zysku tych akcji. Celem zadania
(9) jest znalezienie portfela minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zysku
0.
Do rozwiazania
¾
zadania (9) zastosujemy metode¾ mnoz·ników Lagrange’a. Najpierw tworzymy funkcje¾ Lagrange’a:
L(u; ) =
m
X
i;j=1
0
cij uiuj + 1 @
m
X
i=1
ui
1
0
1A + 2 @
m
X
i=1
ui i
0
1
A;
(10)
a nastepnie
¾
róz·niczkujemy ja¾ kolejno wzgledem
¾
zmiennych u1; :::; um, korzystajac
¾ z symetrii macierzy C :
8
>
>
<
@L (u;
@u1
) = 2(c11u1 + ::: + c1mum) + 1 + 2 1;
...
>
>
: @L (u; ) = 2(c u + ::: + c
mmum) + 1 + 2 m:
m1 1
@um
(11)
Teraz róz·niczkujemy L wzgledem
¾
1 i 2:
m
X
@L
ui 1 ;
(u; ) =
@ 1
i=1
m
X
@L
(u; ) =
ui i
0:
@ 2
i=1
(12)
(13)
Tak obliczone pochodne przyrównujemy do zera, uzyskujac
¾ w ten sposób uk÷
ad
równań
8
T
T
T = 0;
>
< 2Cu + 11k + 2
T = 1;
1
u
k
>
:
uT = 0 ;
(14)
który w postaci macierzowo-blokowej moz·na zapisać jako
2
6
4
2C
1k
1Tk
0
0
T
32
76
0 54
0
uT
3
2
3
0k
7
6
7
=
1
5
4
5;
1
2
0
(15)
gdzie 1k = (1; :::; 1) 2 Rk oraz 0k = (0; :::; 0) 2 Rk . Uwzgledniaj
¾
ac
¾ wzór
(128), cz. I, moz·na uk÷
ad (15) zapisać nastepuj
¾ aco:
¾
2
2 21
1 2 12
2 1 2 12
6
2
6 2
2
2
6
.
.
..
..
6
6
6 2
6
1 m 1m 2 2 m 2m
6
4
1
1
1
2
2 1 m 1m
2 2 m 2m
...
...
2 2m
1
m
1
1
...
1
0
0
32
3
2
3
u1
0
76
7
6
7
7
6
7
6
7
u
0
2 76 2 7
6
... 7 6 ... 7 6 ... 7
7
76
7=6
7
76 u 7
6 0 7:
6 m 7
6
7
m 7
76
7
6
7
0 54 1 5 4 1 5
0
2
0
1
(16)
Oznaczajac
¾ przez A macierz kwadratowa¾ wystepuj
¾ ac
¾ a¾ w (16), a przez z i b
odpowiednie wektory kolumnowe, zapisujemy (16) w postaci
Az = b:
(17)
Moz·na wykazać, z·e jez·eli macierz kowariancji C jest nieosobliwa, to takz·e
macierz A jest nieosobliwa. Wtedy rozwiazanie
¾
uk÷
adu (17) jest dane wzorem
z = A 1b:
(18)
3.2
Przypadek dowolnej oczekiwanej stopy zysku
Teraz poszukujemy portfela minimalnego ryzyka przy wszystkich moz·liwych
oczekiwanych stopach zysku. Wówczas zamiast zadania optymalizacji (9) mamy
jego uproszczona¾ wersje¾
(
Var R(u) = uCuT ! min;
Pm
i=1 ui = 1;
(19)
w której nie wystepuje
¾
ograniczenie na oczekiwana¾ stope¾ zysku portfela. W
tym przypadku mamy tylko jeden mnoz·nik Lagrange’a 1 zwiazany
¾
z jednym
ograniczeniem typu równości. Postepuj
¾ ac
¾ analogicznie jak w poprzednim przypadku, dochodzimy do nastepuj
¾ acego
¾
uk÷
adu równań, bed
¾ acego
¾
uproszczona¾
wersja¾ (16):
2
2 21
1 2 12
6
6 2
6
6
6
6
4 2 1
2 1 2 12
2 22
...
...
m 1m 2 2 m 2m
1
1
2 1 m 1m
2 2 m 2m
...
...
2 2m
1
1
1
1
...
1
0
32
3
2
u
0
76 1 7
6
7 6 u2 7
6 0
76 . 7
6
7 6 .. 7 = 6 ...
7
76
6
76 u 7
6 0
54 m 5
4
1
1
3
7
7
7
7 : (20)
7
7
5
Uwagi dotyczace
¾ rozwiazania
¾
tego uk÷
adu sa¾ takie same jak poprzednio.
4
Portfele zawierajace
¾ papier wartościowy pozbawiony ryzyka
4.1
Rozszerzenie modelu podstawowego Markowitza
Rozwaz·amy sytuacje,
¾ gdy w portfelu papierów wartościowych oprócz akcji ponumerowanych od 1 do m znajduje sie¾ dodatkowy papier wartościowy pozbawiony
ryzyka (np. obligacja skarbowa o sta÷
ym oprocentowaniu lub bon skarbowy),
oznaczony numerem 0. Tworzymy nowy zbiór portfeli papierów wartościowych
^ m+1 :=
P
8
<
u
^ = (u0; u1; :::; um) 2 Rm+1 : ui
:
0; i = 0; 1; :::; m;
m
X
9
=
uj = 1 ;
j=0
(21)
;
na którym określone jest rozszerzenie odwzorowania Markowitza nastepuj
¾ aco:
¾
^ m+1:
^ (^
M
u) := ( (^
u); ER(^
u)), u
^2P
(22)
Dla m akcji mamy wektor = ( 1; :::; m) oczekiwanych stóp zysku, gdzie
i := E (Ri) (i = 1; :::; m), natomiast przez 0 oznaczamy ustalona¾ (niezalez·na¾ od sytuacji losowej) stope¾ zysku papieru pozbawionego ryzyka. Oczywiście sensowne jest rozwaz·anie sytuacji, gdy 0 > 0. Macierz kowariancji stóp
zysku dla nowego modelu ma postać
2
6
^=6
C
6
4
0 0
0 c11
...
...
0 cm1
0
c1m
...
...
cmm
3
7
7
7:
5
(23)
^ dla modelu Markowitza rozszerzonego
Stwierdzenie 1. Zbiór mo·
zliwo´sci M
o papier warto´sciowy pozbawiony ryzyka ma posta´c
^ m+1 =
^ =M
^ P
M
[
(24)
[(0; 0); (x; y )];
(x;y)2M
zliwo´sci dla modelu podstawowego Markowitza, zagdzie M jest zbiorem mo·
wierajacego
¾
akcje od 1 do m.
^ m+1, u
Dowód. „ ”: Niech u
^ = (u0; u1; :::; um) 2 P
^ 6= (1; 0; :::; 0).
Pm
Oznaczmy u := (u1; :::; um), C := [cij ]m
,
:=
i=1 ui, wówczas
i;j=1
u0 = 1
, 2 (0; 1]. Uwzgledniaj
¾
ac
¾ (23) oraz fakt, z·e u= 2 Pm, moz·emy
wyrazić ryzyko rozszerzonego portfela u
^ za pomoca¾ ryzyka portfela akcji u:
(^
u) =
q
^u
u
^C
^T =
p
uCuT
=
s
u
C
u T
=
u
:
(25)
Obliczmy teraz oczekiwana¾ stope¾ zysku portfela u
^:
ER(^
u) =
m
X
ui i = (1
) 0+
i=0
m
X
ui
i = (1
i=1
) 0 + ER
u
: (26)
Ze wzorów (25) i (26) otrzymujemy
^ (^
M
u) = ( (^
u); ER(^
u)) = (1
= (1
)(0; 0) +
u
)(0; 0) + M
:
u
; ER
u
(27)
^ (^
Zatem punkt M
u) lez·y na odcinku ((0; 0); M (u= )], gdzie M (u= ) 2
^ (^
M, a wiec
¾ M
u) nalez·y do prawej strony (24). Pozostaje jeszcze zauwaz·yć,
^ m+1, z÷
z·e obraz portfela (1; 0; :::; 0) 2 P
oz·onego tylko z papieru o zerowym
ryzyku, takz·e nalez·y do prawej strony (24), poniewaz·
^ ((1; 0; :::; 0)) = (0; 0):
M
(28)
„ ”: Kaz·dy punkt zbioru po prawej stronie (24) jest postaci
(1
)(0; 0) + M (w)
(29)
dla pewnych
2 [0; 1], w 2 Pm. Jeśli
> 0, to przyjmujac
¾ u := w,
otrzymujemy postać z końca wzoru (27). Przechodzac
¾ przez wszystkie równości
pierwszej cześci
¾ dowodu w odwrotnej kolejności, wnioskujemy, z·e punkt (29)
^ m+1. Jeśli = 0, to punkt (29) jest
^ (^
jest równy M
u) dla pewnego u
^ 2 P
postaci (28).
4.2
Wykorzystanie portfela rynkowego
Obecnie przedstawimy prostszy od poprzedniego model portfela zawierajacego
¾
akcje oraz papier wartościowy pozbawiony ryzyka. Rozwaz·amy portfel dwusk÷
adnikowy, w którym pierwszy sk÷
adnik stanowia¾ papiery wartościowe o zerowym
ryzyku (zak÷
adamy, z·e maja¾ one te¾ sama¾ sta÷
a¾ stope¾ zysku, zwana¾ stopa¾ zysku
wolna¾ od ryzyka), a drugi sk÷
adnik to portfel efektywny zawierajacy
¾ akcje.
Wprowadzamy oznaczenia:
ERe – oczekiwana stopa zysku portfela efektywnego,
Rf – stopa zysku wolna od ryzyka (poprzednio oznaczana 0),
e
– ryzyko portfela efektywnego,
wf – udzia÷papierów wolnych od ryzyka w portfelu dwusk÷
adnikowym (wf 2
[0; 1]). Wówczas 1 wf jest udzia÷
em portfela efektywnego akcji w portfelu
dwusk÷
adnikowym.
Rozwaz·any portfel dwusk÷
adnikowy moz·na utoz·samiać z wektorem udzia÷
ów
w = (wf ; 1 wf ). Jego oczekiwana stopa zysku dana jest wzorem
ER(w) = wf Rf + (1
wf )ERe:
(30)
Ze wzorów (128) i (129), cz. I, wynika, z·e ryzyko portfela u wynosi
(w) = (1
wf ) e :
(31)
Poszukiwanie optymalnych portfeli dwusk÷
adnikowych wyz·ej opisanego typu
sprowadza sie¾ do poszukiwania takiej pó÷
prostej wychodzacej
¾ z punktu (0; Rf ) i
przecinajacej
¾ granice¾ efektywna¾ F zbioru moz·liwości M, która posiada najwiek¾
szy wspó÷
czynnik katowy.
¾
Najlepsza¾ pó÷
prosta¾ jest zatem styczna do zbioru F
– ma ona z tym zbiorem jeden punkt wspólny, odpowiadajacy
¾ tzw. portfelowi
rynkowemu (market portfolio), który oznaczamy uM . Optymalne portfele zawierajace
¾ akcje i papiery wolne od ryzyka lez·a¾ na odcinku [(0; Rf ); M (uM )],
który jest cześci
¾ a¾ prostej o równaniu
y=
Rf
ERM
M
x + Rf ;
(32)
gdzie M (uM ) = ( M ; ERM ) (pierwsza wspó÷
rzedna
¾
jest ryzykiem, a druga
oczekiwana¾ stopa¾ zysku portfela rynkowego). Prosta (32) nazywa sie¾ linia¾
rynku kapita÷
owego (CML – capital market line).
5
Formy kwadratowe i ich określoność
Funkcje¾ F : Rn ! R określona¾ wzorem
F (x) :=
n X
n
X
aij xixj ;
(33)
i=1 j=1
gdzie aij 2 R, aij = aji oraz x = (x1; :::; xn), nazywamy forma¾ kwadratowa¾
na Rn. Forme¾ kwadratowa¾ (33) moz·na tez· zapisać w postaci
F (x) = xAxT ;
(34)
gdzie A = [aij ]n
i;j=1 . Macierz A nazywamy macierza¾ formy kwadratowej.
Kaz·da symetryczna macierz kwadratowa jest macierza¾ pewnej formy kwadratowej.
Forme¾ kwadratowa¾ F nazywamy (macierz A nazywamy)
(a) dodatnio [ujemnie] określona,
¾ jez·eli F (x) > 0 [ F (x) < 0 ] dla kaz·dego
x 2 Rnnf0g,
(b) dodatnio [ujemnie] pó÷
określona¾lub nieujemnie [niedodatnio] określona,
¾ jez·eli F (x) 0 [ F (x) 0 ] dla kaz·dego x 2 Rn,
(c) nieokreślona,
¾ jez·eli istnieja¾ takie x1, x2 2 Rn, z·e F (x1) > 0 i F (x2) < 0.
Oznaczmy przez Mi; i = 1; :::; n nastepuj
¾ ace
¾ wyznaczniki:
M1 := ja11j ;
M2 :=
a11 a12
;
a21 a22
:::;
Mn = jAnj :
(35)
Wyznaczniki (35) nazywamy (wiodacymi)
¾
minorami g÷
ównymi macierzy A.
Nastepuj
¾ ace
¾ twierdzenie jest przydatne do sprawdzania warunków dostatecznych
minimum lub maksimum lokalnego funkcji wielu zmiennych.
Twierdzenie 2 (Sylwestera).
(a) Jez·eli
M k > 0;
k = 1; :::; n;
(36)
to forma F jest dodatnio określona.
(b) Jez·eli
( 1)k Mk > 0;
to forma F jest ujemnie określona.
k = 1; :::; n;
(37)
(c) Jez·eli
Mk
0;
k = 1; :::; n
1;
Mn = 0 ;
(38)
to forma F jest dodatnio pó÷
określona.
(d) Jez·eli
( 1)k Mk
0;
k = 1; :::; n
1;
Mn = 0 ;
(39)
to forma F jest ujemnie pó÷
określona.
(e) Jez·eli nie jest spe÷
niony z·aden z warunków (36)–(39), to forma F jest
nieokreślona.
6
Metoda najmniejszych kwadratów
Przypuśćmy, z·e interesuje nas zalez·ność miedzy
¾ pewnymi obserwowanymi wielkościami x i y . Za÷
óz·my, z·e dysponujemy danymi statystycznymi w postaci zbioru
punktów na p÷
aszczyźnie
( xi ; y i ) ;
i = 1; :::; n;
(40)
które wskazuja,
¾ z·e zalez·ność te¾ moz·na w przybliz·eniu opisać funkcja¾ liniowa¾
y = ax + b:
(41)
Zadanie polega na znalezieniu takich parametrów a i b prostej (41), aby ta
prosta by÷
a jak najlepiej dopasowana do wyników obserwacji (40).
Jako kryterium dopasowania przyjmujemy sume¾ kwadratów odchyleń punktów
(xi; yi) od prostej, mierzonych w kierunku równoleg÷
ym do osi pionowej. Zatem
poszukujemy takich liczb a i b, dla których suma
S (a; b) :=
n
X
(yi
axi
b)2
(42)
i=1
jest najmniejsza. Zak÷
adamy, z·e
n > 1 i co najmniej dwie wartości xi sa¾ róz·ne.
W dalszym ciagu
¾ sume¾
(43)
Pn
P
b
edziemy
¾
oznaczać
krótko
przez
.
i=1
W celu wyznaczenia minimum funkcji S rozwia¾z·emy uk÷
ad równań
X
@S
(a; b) = 2 (yi
@a
X
@S
(a; b) = 2 (yi
@b
axi
b)( xi) = 0;
(44)
axi
b)( 1) = 0;
(45)
który jest równowaz·ny uk÷
adowi
a
X
Wprowadźmy oznaczenia
x2i + b
X
a
xi
X
xi =
+ bn =
X
X
xi y i ;
(46)
yi :
(47)
1X
1X
x :=
xi; y :=
yi :
n
n
Dzielac
¾ równanie (47) przez n, otrzymujemy ax + b = y , skad
¾ b=y
Stad
¾ i z (46)
a
czyli
X
a
x2i
X
+ (y
xi ( xi
a x)
X
x) =
xi =
X
X
xi ( y i
(48)
a x.
xi y i ;
y ):
(49)
Zauwaz·my, z·e
X
( xi
x) 2
=
=
=
X
X
X
( xi
x)(xi
xi ( xi
xi ( xi
x) =
X
x)
x
x)
nx2
X
xi ( xi
xi + nx2
+ nx2
=
Podobnie dowodzimy, z·e
X
( xi
x)(yi
y) =
X
xi ( y i
x)
X
xi ( xi
X
x( xi
x)
x) :
(50)
y ):
(51)
Z równości (49)–(51) otrzymujemy wzory na parametry szukanej prostej:
a=
P
( xi
x)(yi y )
;
P
2
( xi x)
przy czym z za÷
oz·enia (43) wynika, z·e
P
( xi
b=y
ax;
x)2 6= 0.
(52)
Dla wykazania, z·e punkt o wspó÷
rzednych
¾
(52) jest na pewno punktem minimum funkcji S , sprawdzimy jeszcze warunki dostateczne. Obliczmy drugie
pochodne czastkowe
¾
S:
X
@ 2S
@ 2S
2
(a; b) = 2
xi ;
(a; b) = 2n;
@a2
@b2
X
@ 2S
@ 2S
(a; b) =
(a; b) = 2
xi :
@a@b
@b@a
Zatem macierz Hessego funkcji S w dowolnym ustalonym punkcie (a; b) jest
postaci
r2S (a; b) =
"
#
P 2
P
2 xi 2 xi
P
:
2 xi
2n
(53)
Z Twierdzenia 1(b) (dla przypadku zadania minimalizacji bez ograniczeń) wynika,
z·e S osiaga
¾ minimum lokalne w punkcie krytycznym (a; b) (tj. spe÷
niajacym
¾
warunki konieczne (44)–(45)), jez·eli forma kwadratowa h 7! hr2S (a; b)hT
jest dodatnio określona, gdzie h = (h1; h2) (lub, co jest równowaz·ne, macierz
(53) jest dodatnio określona). Aby to wykazać, w nierówności Schwarza
hx; yi2 < hx; xi hy; yi ; dla x; y 2 Rn; x 6= y;
2 R;
podstawmy y = (1; :::; 1) 2 Rn. Otrzymujemy
X
xi
2
<n
X
x2i ;
co oznacza, z·e wyznacznik macierzy (53) jest dodatni. To wraz z nierównościa¾
P 2
2 xi > 0 daje dodatnia¾ określoność tej macierzy. Poniewaz· istnieje tylko
jeden punkt krytyczny, wiec
¾ minimum jest globalne.
7
Model jednowskaźnikowy Sharpe’a
Jest to model upraszczajacy
¾ klasyczna¾ teorie¾ portfela. Opiera sie¾ na za÷
oz·eniu,
z·e kszta÷
towanie sie¾ stóp zysku akcji jest zdeterminowane dzia÷
aniem czynnika
odzwierciedlajacego
¾
zmiany na rynku kapita÷
owym. Z obserwacji wynika, z·e na
wielu rynkach kapita÷
owych stopy zysku wiekszości
¾
akcji sa¾ zwiazane
¾
ze stopa¾
zwrotu indeksu rynku (lub gie÷
dy). Indeks ten spe÷
nia m.in. nastepuj
¾ ace
¾
funkcje:
1) w sposób syntetyczny informuje o sytuacji na rynku,
2) jest instrumentem pierwotnym dla instrumentów pochodnych (opcji, kontraktów futures i forward),
3) stanowi punkt odniesienia przy ocenie efektywności inwestowania,
4) moz·e być traktowany jako substytut portfela rynkowego.
Zalez·ność stopy zysku pojedynczej akcji A od stopy zysku indeksu rynku dana
jest równaniem regresji
RA = A + ARM + eA;
(54)
gdzie:
RA – stopa zysku akcji A,
RM – stopa zysku indeksu rynku,
A;
A
– wspó÷
czynnik alfa i wspó÷
czynnik beta akcji A,
eA – sk÷
adnik losowy równania (zwiazany
¾
z akcja¾ A). Zak÷
ada sie,
¾ z·e eA jest
zmienna¾ losowa¾ o wartości oczekiwanej 0.
W praktyce do prognozowania stopy zysku akcji A uz·ywa sie¾ modelu przybliz·onego, w którym pomija sie¾ sk÷
adnik losowy:
RA = A + A RM :
(55)
Jest to równanie prostej, która¾ nazywa sie¾ linia¾ charakterystyczna¾ akcji (lub
ogólniej – papieru wartościowego).
Wspó÷
czynnik beta akcji wskazuje, w jakim stopniu stopa zysku akcji reaguje
na zmiany stopy zysku indeksu rynku. W szczególności:
0 < A < 1 oznacza, z·e stopa zysku akcji A w ma÷
ym stopniu reaguje na
zmiany zachodzace
¾ na rynku; taka akcja nazywana jest akcja¾ defensywna;
¾
1 oznacza, z·e stopa zysku akcji A w duz·ym stopniu reaguje na zmiany
zachodzace
¾ na rynku; taka akcja nazywana jest akcja¾ agresywna;
¾
A >
= 1 oznacza, z·e stopa zysku akcji A zmienia sie¾ w takim samym stopniu
jak stopa zysku rynku;
A
A <
0 oznacza, z·e stopa zysku akcji A reaguje na zmiany odwrotnie niz·
rynek.
Przypuśćmy, z·e chcemy oszacować linie¾ charakterystyczna¾ akcji na podstawie
danych z przesz÷
ości. Za÷
óz·my, z·e dysponujemy danymi z n okresów. Oznaczmy:
RA;i – stopa zysku akcji A w i-tym okresie,
RM;i – stopa zysku indeksu rynku w i-tym okresie,
RA –średnia arytmetyczna stóp zysku akcji A,
RM –średnia arytmetyczna stóp zysku indeksu rynku.
¾
faktycznie osiagni
¾ et
¾ a¾ stopa¾ zysku akcji A w i-tym
Wówczas róz·nica miedzy
okresie a stopa¾ zysku wynikajac
¾ a¾ z równania (55) bedzie
¾
wynosi÷
a
i
:= eA;i = RA;i
A
(56)
ARM;i;
gdzie eA;i oznacza wartość sk÷
adnika losowego wystepuj
¾ ac
¾ a¾ w i-tym okresie.
Liczba i reprezentuje b÷
ad
¾ wynikajacy
¾ z zastosowania modelu jednowskaźnikowego do przewidzenia stopy zysku akcji A w i-tym okresie. Sensowny jest taki
edy
¾ i (i = 1; :::; n) sa¾ moz·liwie
wybór wspó÷
czynników A i A, przy którym b÷
najmniejsze (co do wartości bezwzglednej).
¾
Aby to uzyskać, wybieramy takie
wartości A i A, dla których osiagni
¾ ete
¾ jest minimum funkcji
n
X
i=1
2
i
=
n
X
i=1
RA;i
A
ARM;i
2
:
(57)
Jest to szczególny przypadek zadania minimalizacji funkcji (42) (metoda najmniejszych kwadratów). Stosujac
¾ wzory (52) dla xi = RM;i, yi = RA;i,
otrzymujemy
Pn
RM )(RA;i RA)
i=1 (RM;i
;
Pn
A=
2
(
R
R
)
M
i=1 M;i
A
= RA
A RM :
(58)
Powróćmy teraz do modelu (54). Z równania tego wynika nastepuj
¾ aca
¾ zalez·ność pomiedzy
¾
oczekiwanymi stopami zysku indeksu rynku oraz akcji A:
(59)
ERA = A + AERM
(w dowodzie wykorzystujemy za÷
oz·enie, z·e EeA = 0).
Za÷
óz·my teraz dodatkowo, z·e zmienne losowe eA i RM sa¾ nieskorelowane, to
znaczy
Cov(eA; RM ) = E [(eA
0) (RM
ERM )] = 0:
(60)
Brak korelacji pomiedzy
¾
eA i RM oznacza, z·e dok÷
adność, z jaka¾ równanie
(54) opisuje stope¾ zysku dowolnej akcji A, jest niezalez·na od zmian stopy
zysku indeksu rynku. Przy tym za÷
oz·eniu z (54) wynika nastepuj
¾ acy
¾ wzór na
wariancje¾ stopy zysku akcji A:
Var RA = 2A Var RM + Var eA
(61)
(w dowodzie wykorzystujemy (60) oraz Twierdzenie 4 o wariancji sumy zmiennych losowych z cz. I wyk÷
adu). Zalez·ność (61) pokazuje, z·e ryzyko akcji A
(mierzone za pomoca¾ wariancji), tzw. ryzyko ca÷
kowite, jest suma¾ nastepuj
¾ a¾
cych dwóch sk÷
adników:
2 Var R
M
A
– ryzyko systematyczne (lub rynkowe) – zalez·y od ryzyka indeksu rynku oraz od wspó÷
czynnika beta, określajacego,
¾
w jakim stopniu stopa
zysku akcji A reaguje na zmiany stopy zysku indeksu rynku;
Var eA – ryzyko specy…czne (lub niesystematyczne) – jest to cześć
¾ ryzyka
zwiazana
¾
tylko z dana¾ akcja¾ i nie zalez·aca
¾ od rynku.
8
Zadanie optymalizacji wielokryterialnej
Niech S bedzie
¾
niepustym podzbiorem Rn i niech f : S ! Rp bedzie
¾
dana¾
funkcja¾ wektorowa.
¾ Zak÷
adamy, z·e przestrzeń Rp jest cześciowo
¾
uporzad¾
kowana w naturalny sposób, tzn. określona jest relacja (dla w; v 2 Rp)
(w
v ) , (w i
vi; i = 1; :::; p) ;
(62)
która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Rozwaz·amy zadanie
optymalizacji wielokryterialnej w ogólnej postaci:
(
f (x) ! min;
x 2 S:
(63)
W praktyce zbiór S jest zwykle zde…niowany za pomoca¾ pewnego uk÷
adu równań i/lub nierówności.
Mówimy, z·e punkt x 2 S jest punktem optymalnym w sensie Pareto (lub
punktem efektywnym, lub punktem niezdominowanym) dla zadania (63),
jez·eli nie istnieje x 2 S taki, z·e
f i ( x)
fi(x); i = 1; :::; p
(64)
oraz
(65)
f (x) 6= f (x):
Uwaga. Jez·eli spe÷
nione sa¾ nierówności (64), to warunek (65) oznacza, z·e
przynajmniej jedna z tych nierówności jest ostra.
Sformu÷
ujemy teraz warunek równowaz·ny optymalności w sensie Pareto. Niech
T
Rp bedzie
¾
dowolnym niepustym zbiorem. Punkt y 2 T nazywamy punktem minimalnym zbioru T , jez·eli
8y 2 T : y
y)y
y:
(66)
Stwierdzenie 2. Punkt x 2 S jest optymalny w sensie Pareto dla zadania
(63) wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) jest punktem minimalnym zbioru f (S ).
Omówimy teraz wybrane metody numeryczne rozwiazywania
¾
zadania (63), z
uwzglednieniem
¾
ich moz·liwych zastosowań w analizie portfelowej.
9
Metoda Polaka dla zadania dwukryterialnego
Celem tej metody jest skonstruowanie dyskretnej aproksymacji zbioru punktów optymalnych w sensie Pareto dla zadania (63) w przypadku, gdy p = 2.
Zak÷
adamy, z·e zbiór S jest zwarty, a funkcja f jest ciag÷
¾ a.
Krok 1. Wyznaczyć liczby
a := minff1(x) : x 2 Sg;
b := f1(x);
(67)
gdzie x jest punktem w S spe÷
niajacym
¾
warunek
f2(x) = minff2(x) : x 2 Sg
(68)
(jeśli takich punktów jest wiecej
¾ niz· jeden, to jako x przyjmujemy dowolny z
nich).
Krok 2. Dla dowolnie wybranego r 2 N wyznaczyć punkty dyskretyzacji
(k)
y1
:= a + k
b
a
r
;
k = 0; 1; :::; r:
(69)
(k)
Krok 3. Dla kaz·dego punktu dyskretyzacji y1 (k = 0; 1; :::; r) obliczyć
rozwiazanie
¾
x(k) zadania optymalizacji z ograniczeniami
8
>
>
< f2(x) ! min;
x 2 S;
(70)
>
>
: f (x) = y (k);
1
1
po czym przyjać
¾
(k)
y2
:= f2(x(k));
(0)
(1)
(71)
k = 0; 1; :::; r:
(r)
(j)
Krok 4. Z ciagu
¾ liczb y2 ; y2 ; :::; y2 usunać
¾ te liczby y2 (j = 1; :::; r), dla
(j)
(j 1)
których y2
y2
. Wówczas pozosta÷
e liczby utworza¾ ciag
¾ ściśle malejacy
¾
(k0 )
y2
(k1 )
> y2
(k2 )
> y2
> :::
(72)
Krok 5. Utworzyć zbiór skończony
n
x(k0); x(k1); x(k2); :::
o
(73)
z÷
oz·ony z punktów x(k) zwiazanych
¾
wzorem (71) z wybranymi liczbami (72).
Zbiór ten jest szukana¾ aproksymacja¾ zbioru punktów optymalnych w sensie
Pareto dla zadania (63). Natomiast zbiór punktów na p÷
aszczyźnie
(k0 )
y1
(k0 )
; y2
(k1 )
; y1
(k1 )
; y2
(k2 )
; y1
(k2 )
; y2
:::
jest aproksymacja¾ zbioru wszystkich punktów minimalnych obrazu f (S ).
(74)
Uwagi. (a) Im wieksza
¾
jest liczba r wybrana w kroku 2, tzn. im wiecej
¾
jest punktów dyskretyzacji, tym dok÷
adniejsza jest aproksymacja uzyskana w
kroku 5. W przypadku, gdy rozwiazania
¾
zadań (70) nie sa¾ jednoznaczne, zbiór
(73) moz·e nie pokrywać (z dok÷
adnościa¾ odpowiednia¾ do dyskretyzacji) ca÷
ego
zbioru punktów optymalnych w sensie Pareto, ale mimo to zbiór (74) pokrywa
z ta¾ dok÷
adnościa¾ zbiór punktów minimalnych f (S ). Tak wiec,
¾ chociaz· pewne
punkty optymalne w sensie Pareto moga¾ zostać pominiete,
¾ to jednak zbiór (73)
pozwala na dokonanie wyboru spośród wszystkich interesujacych
¾
dla uz·ytkownika kombinacji wartości obu kryteriów optymalności.
(b) W krokach 1 i 3 nalez·y rozwiazać
¾
pewne zadania optymalizacji globalnej
z pojedynczymi (skalarnymi) kryteriami optymalności. Istnienie rozwiazań
¾
tych
zadań wynika z przyjetych
¾
za÷
oz·eń zwartości S i ciag÷
¾ ości f . Pewna¾ przeszkoda¾
moz·e być fakt, z·e powszechnie stosowane metody optymalizacji wykorzystujace
¾
pochodne sa¾ zbiez·ne do punktów krytycznych, które niekoniecznie sa¾ rozwiaza¾
niami globalnymi (moga¾ być lub nawet nie być rozwiazaniami
¾
lokalnymi). W÷
aściwym sposobem postepowania
¾
w tej sytuacji jest albo stosowanie specjalnych
metod optymalizacji globalnej (metody takie istnieja,
¾ ale sa¾ na ogó÷mniej
znane), albo wykorzystanie szczególnych w÷
asności zbioru S i funkcji f w
konkretnym zadaniu, co wyjaśnimy za chwile¾ na przyk÷
adzie modelu Markowitza.
9.1
Zastosowanie w analizie portfelowej
Obecnie pokaz·emy, jak moz·na zastosować metode¾ Polaka do aproksymacji
zbioru portfeli efektywnych w modelu podstawowym Markowitza (bez krótkiej
sprzedaz·y). Poniewaz· w modelu tym minimalizujemy jedno kryterium (ryzyko)
i maksymalizujemy drugie (oczekiwana¾ stope¾ zysku), wiec
¾ algorytm Polaka
trzeba dostosować do tej sytuacji. Z drugiej strony, przyjete
¾ za÷
oz·enia dotyczace
¾ modelu pozwalaja¾ na uproszczenie algorytmu.
Bedziemy
¾
pos÷
ugiwać sie¾ oznaczeniami wprowadzonymi w cz. I wyk÷
adu (§§
29, 31, 38 i 39). W szczególności, odwzorowanie Markowitza określone wzorem
M (u) := ( (u); ER(u)) przekszta÷
ca zbiór Pm Rm w przestrzeń R2, której
elementy bedziemy
¾
oznaczać (x; y ). W tym przypadku zamiast relacji (62)
rozwaz·amy w R2 relacje¾
[(x; y )
(^
x; y^)] , [(x
x
^ ) ^ (y
y^)];
(75)
bed
¾ ac
¾ a¾ odpowiednikiem relacji Markowitza w zbiorze Pm. Jednak w odróz·nieniu od relacji Markowitza, relacja (75) jest antysymetryczna, a wiec
¾ wprowadza
w R2 cześciowy
¾
porzadek.
¾
Zatem zbiór M 1(F ) portfeli efektywnych jest
równy zbiorowi punktów optymalnych w sensie Pareto dla zadania dwukryterialnego postaci (63), gdzie S = Pm, a funkcja f : S ! R2 jest określona
wzorem f (u) := ( (u); ER(u)).
Przedstawimy teraz mody…kacje¾ algorytmu Polaka, która konstruuje dyskretna¾
aproksymacje¾ zbioru F .
Krok 1. Wyznaczyć liczby
a := ER(u);
b := maxfER(u) : u 2 Pmg;
(76)
gdzie u jest portfelem minimalnego ryzyka, tj. spe÷
nia warunek
(u) = minf (u) : u 2 Pmg:
(77)
(jeśli takich portfeli jest wiecej
¾ niz· jeden, to jako u przyjmujemy ten, dla którego
liczba a jest najwieksza).
¾
Krok 2. Dla dowolnie wybranego r 2 N wyznaczyć punkty dyskretyzacji
y (k) := a + k
b
a
r
;
k = 0; 1; :::; r:
(78)
Krok 3. Dla kaz·dego punktu dyskretyzacji y (k) (k = 0; 1; :::; r) obliczyć
rozwiazanie
¾
u(k) zadania optymalizacji z ograniczeniami
8
>
<
(u) ! min;
u 2 Pm ;
>
:
ER(u) = y (k);
(79)
czyli znaleźć portfel minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zysku y (k), po
czym przyjać
¾
x(k) := (u(k));
k = 0; 1; :::; r:
(80)
Zbiór skończony
n
u(0); u(1); :::; u(r)
o
jest aproksymacja¾ zbioru portfeli efektywnych M 1(F )
czony
n
(x(0); y (0)); (x(1); y (1)); :::; (x(r); y (r))
jest aproksymacja¾ jego obrazu F
R2 .
(81)
Rm, a zbiór skońo
(82)
Uwagi. (a) Ze Stwierdzenia 14, cz. I, wynika, z·e przy za÷
oz·eniu dodatniej
określoności macierzy kowariancji wektora stóp zysku, zadania optymalizacyjne
(77) i (79) maja¾ jednoznaczne rozwiazania,
¾
a zatem do ich pe÷
nego rozwiazania
¾
wystarczy wyznaczenie minimów lokalnych. Podobnie, jeśli spe÷
nione jest za÷
oz·enie Stwierdzenia 16(c), cz. I (istnieje dok÷
adnie jedno i 2 f1; :::; mg takie,
z·e i = yu), to zadanie maksymalizacji wystepuj
¾ ace
¾ w (76) ma jednoznaczne
rozwiazanie.
¾
(b) Ze Stwierdzenia 18(b), cz. I, oraz z zawartej w jego dowodzie uwagi, z·e
fmin jest ściśle rosnaca
¾ na [y 0; yu], wynika, z·e
x(0) < x(1) < ::: < x(r);
a zatem moz·na pominać
¾ krok 4 ogólnej wersji algorytmu.
(83)
10
Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych w analizie portfelowej
10.1
Relacje cześciowo
¾
porzadkuj
¾
ace
¾
Niech F bedzie
¾
dowolnym zbiorem. Relacje¾ określona¾ dla par elementów
zbioru F nazywamy relacja¾ cześciowo
¾
porzadkuj
¾
ac
¾ a¾ (zbiór F ), jeśli jest ona
(a) zwrotna: 8x 2 F : x
x,
(b) antysymetryczna: 8x; y 2 F : (x
y^y
x) ) (x = y ),
(c) przechodnia: 8x; y; z 2 F : (x
Wówczas pare¾ (F;
y^y
z ) ) (x
z ).
) nazywamy zbiorem cześciowo
¾
uporzadkowanym.
¾
Relacje¾
określona¾ dla par elementów zbioru F nazywamy relacja¾ ściśle
cześciowo
¾
porzadkuj
¾
ac
¾ a¾ (zbiór F ), jeśli jest ona
(a) przeciwzwrotna: 8x 2 F : x
x,
(b) przeciwsymetryczna: 8x; y 2 F : (x
(c) przechodnia: 8x; y; z 2 F : (x
y ) ) (y
y^y
Uwaga. ×atwo sprawdzić, z·e jeśli relacja
to jest przeciwsymetryczna.
z ) ) (x
x),
z ).
jest przeciwzwrotna i przechodnia,
Stwierdzenie 3. Je·
zeli
okre´slona wzorem
(x
jest relacja¾ cze¾´sciowo porzadkuj
¾
ac
¾ a,¾ to relacja
y ) : , (x
y ^ x 6= y )
(84)
jest relacja¾´sci´sle cze¾´sciowo porzadkuj
¾
ac
¾ a.¾
Jez·eli x; y 2 F i x y , to mówimy, z·e x dominuje nad y . Dwa róz·ne punkty
x; y 2 F nazywamy porównywalnymi, jez·eli x
y albo y
x. W przeciwnym przypadku punkty te nazywamy nieporównywalnymi, co oznaczamy
x k y.
Jez·eli kaz·da para róz·nych punktów zbioru cześciowo
¾
uporzadkowanego
¾
(F; )
jest porównywalna, to (F; ) nazywamy zbiorem liniowo uporzadkowanym
¾
lub ÷
ańcuchem. Jez·eli kaz·da para róz·nych punktów zbioru cześciowo
¾
uporzad¾
kowanego (F; ) jest nieporównywalna, to (F; ) nazywamy anty÷
ańcuchem.
Element x 2 F nazywamy elementem minimalnym zbioru cześciowo
¾
uporzad¾
kowanego (F; ), jez·eli nie istnieje takie x 2 F , z·e x x . Zbiór wszystkich
elementów minimalnych oznaczamy Min(F; ). Zbiór Min(F; ) nazywamy
zupe÷
nym, jez·eli dla kaz·dego x 2 F istnieje takie x 2 Min(F; ), z·e x
x.
Stwierdzenie 4. (a) Min(F;
) jest anty÷
a´ncuchem.
(b) Je·
zeli F jest sko´nczony, to Min(F;
) jest zupe÷
ny.
Dowód. (a) Niech x; y 2 Min(F; ), x 6= y . Przypuśćmy, z·e x i y sa¾
porównywalne, np. x y . Jest to sprzeczne z za÷
oz·eniem, z·e y jest elementem
minimalnym zbioru cześciowo
¾
uporzadkowanego
¾
(F; ). Zatem x k y , co
dowodzi, z·e Min(F; ) jest anty÷
ańcuchem.
Niech (F; ) bedzie
¾
zbiorem cześciowo
¾
uporzadkowanym,
¾
G dowolnym zbiorem
i niech f : G ! F . Dla kaz·dego zbioru A G zbiór
Minf (A;
) := fa 2 A : f (a) 2 Min(f (A);
)g
(85)
zawiera te elementy ze zbioru A, których obrazy sa¾ elementami minimalnymi
w przestrzeni obrazów f (A) = ff (a) : a 2 Ag.
10.2
Skończone ÷
ańcuchy Markowa
Ciag
¾ zmiennych losowych fXtgt2N0 (gdzie N0 := N [ f0g) określonych
na tej samej przestrzeni probabilistycznej ( ; F ; P ), o wartościach w skończonym zbiorze S (przestrzeni stanów) nazywamy (skończonym) ÷
ańcuchem
Markowa, jez·eli dla kaz·dego t 2 N i kaz·dego ciagu
¾ s0; s1; :::; st 2 S spe÷
niony
jest warunek
P (Xt = stj Xt 1 = st 1; :::; X1 = s1; X0 = s0)
= P (Xt = stj Xt 1 = st 1) ;
o ile P (Xt 1 = st 1; :::; X1 = s1; X0 = s0) > 0.
(86)
Macierz P = [pij ]i;j2S nazywamy macierza¾ (wierszowo) stochastyczna,
¾
jez·eli wszystkie jej wyrazy sa¾ nieujemne oraz suma kaz·dego wiersza wynosi 1:
pij
0 (8i; j 2 S ),
X
j2S
pij = 1 (8i 2 S ):
(87)
Macierz stochastyczna¾ (t) = [ ij (t)]i;j2S nazywamy macierza¾ przejścia
÷
ańcucha Markowa fXtgt2N0 w t-tym kroku, t 1, jez·eli
ij (t)
(88)
= P (Xt = jj Xt 1 = i)
dla wszystkich j takich, z·e P (Xt 1 = j ) > 0.
ańcuchem Markowa, to rozk÷
ad zmiennej losowej X0
Jez·eli fXtgt2N0 jest ÷
nazywamy rozk÷
adem poczatkowym.
¾
×ańcuch Markowa nazywamy jednorodnym (w czasie), gdy istnieje macierz
= [ ij ]i;j2S bed
¾ aca
¾ dla kaz·dego t
jego macierza¾ przejścia w t-tym kroku.
Wektor wierszowy
w(t) = (wj (t))j2S ;
gdzie wj (t) := P (Xt = j );
określa rozk÷
ad prawdopodobieństwa ÷
ańcucha Markowa w kroku t
(89)
0.
Stwierdzenie 5. Dla jednorodnego ÷
a´ncucha Markowa, przy t
równo´sci
w(t) = w(t
1)
= w(0) t:
Dowód. Oznaczajac
¾ j -ta¾ wspó÷
rzedn
¾ a¾ wektora w(t
oraz uwzgledniaj
¾
ac
¾ (88) i (89), otrzymujemy
(w (t
1) )j =
=
=
X
i2S
X
i2S
X
i2S
w i (t
1 zachodza¾
1)
(90)
przez (w(t
1) )j
1) ij
P (Xt 1 = i)P (Xt = jj Xt 1 = i)
P (Xt = j ^ Xt 1 = i) = P (Xt = j ) = wj (t);
co dowodzi pierwszej równości w (90). Druga¾ równość otrzymujemy z pierwszej
przez indukcje.
¾
Z (90) wynika, z·e jednorodny ÷
ańcuch Markowa jest ca÷
kowicie wyznaczony
przez swój rozk÷
ad poczatkowy
¾
i macierz przejścia.
Macierz stochastyczna¾
nazywamy nieredukowalna,
¾ jez·eli
(t)
8i; j 2 S; 9t 2 N : ij > 0;
gdzie
t
(t)
= [ ij ]i;j2S :
(91)
Twierdzenie 3. Jednorodny sko´nczony ÷
a´ncuch Markowa z nieredukowalna¾
macierza¾przej´scia odwiedza ka·
zdy stan niesko´nczenie wiele razy z prawdopodobie´nstwem 1, niezale·
znie od rozk÷
adu poczatkowego.
¾
10.3
Odleg÷
ość miedzy
¾
podzbiorami zbioru skończonego
Stwierdzenie 6. Je·
zeli G jest zbiorem sko´nczonym, to funkcja
d(A; B ) := jA [ Bj
jA \ Bj
dla A; B
G;
(92)
gdzie j j oznacza liczbe¾ elementów zbioru, jest metryka¾ w 2G.
Dowód. Niech G = fg1; g2; :::; gN g i niech a = (a1; a2; :::; aN ) bedzie
¾
wektorem wskaźnikowym zbioru A, tzn.
ai :=
(
1; jez·eli gi 2 A;
0; jez·eli gi 2
=A
(podobnie dla zbioru B ). Poniewaz·
jA \ Bj =
N
X
i=1
aibi
oraz
jA [ Bj =
N
X
i=1
(ai + bi
aibi);
wiec
¾
d(A; B ) =
=
=
N
X
i=1
N
X
i=1
N
X
i=1
(a i
2aibi + bi)
[(1
bi)ai + (1
jai
bij = ka
ai)bi]
bk1 :
Wykazaliśmy w ten sposób, z·e d(A; B ) jest równe tzw. odleg÷
ości Hamminga
pomiedzy
¾
wektorami a i b, która, co ÷
atwo sprawdzić, jest metryka.
¾
10.4
Wprowadzenie do algorytmów genetycznych
Algorytmy genetyczne naśladuja¾ procesy ewolucyjne obserwowane w przyrodzie.
Konstrukcja tych algorytmów opiera sie¾ na sa¾ dwóch za÷
oz·eniach przyjetych
¾
w
teorii ewolucji:
1. W procesie rozmnaz·ania sie¾ z·ywych organizmów nastepuje
¾
wymiana informacji genetycznych.
2. Od czasu do czasu, w wyniku zachodzacych
¾
mutacji, pojawiaja¾ sie¾ w przyrodzie z·ywe organizmy o cechach genetycznych istotnie róz·nych od cech
pozosta÷
ych (z·yjacych
¾
wcześniej) organizmów.
W klasycznym algorytmie genetycznym (zwanym takz·e prostym algorytmem
genetycznym) osobniki (chromosomy) zakodowane sa¾ w postaci ÷
ańcuchów binarnych (tj. skończonych ciagów
¾
o ustalonej d÷
ugości z÷
oz·onych z zer i jedynek). Wiadomo, z·e w komputerze moz·na reprezentować tylko skończony
podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Zatem algorytm genetyczny zawsze dzia÷
a
na pewnym skończonym zbiorze osobników, zwanym przestrzenia¾ poszukiwa´n,
który oznaczamy symbolem . Zak÷
adamy, z·e na
jest określona funkcja
przystosowania f : ! R spe÷
niajaca
¾ warunek
f (x) > 0 dla kaz·dego x 2
:
(93)
Jeśli warunek (93) nie jest spe÷
niony, a funkcja f jest ograniczona z do÷
u,
to spe÷
nienie tego za÷
oz·enia moz·na osiagn
¾ ać
¾ dodajac
¾ do f pewna¾ sta÷
a.
¾ W
przypadku zadania minimalizacji moz·na jako funkcje¾ przystosowania wziać
¾ f
(z dodana¾ ewentualnie pewna¾ sta÷
a).
¾
Parametrami algorytmu sa¾ prawdopodobieństwo krzyz·owania pc oraz prawdopodobieństwo mutacji pm, bed
¾ ace
¾ liczbami z przedzia÷
u [0; 1].
Poczatkow
¾
a¾ populacje¾ r osobników tworzymy w sposób losowy, tzn. losujemy
kolejne bity kolejnych osobników. Osobniki (chromosomy) znajdujace
¾ sie¾ w
aktualnej populacji oznaczamy v1; v2; :::; vr .
Kolejne kroki klasycznego algorytmu genetycznego przedstawiaja¾ sie¾ nastepu¾
jaco
¾ (por. Z. Michalewicz, Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution
Programs, Springer-Verlag, Berlin, 1992, str. 32–33).
1. (ocena populacji) Wyznaczyć wartości funkcji przystosowania dla wszystkich chromosomów:
eval(vj ) := f (vj );
j = 1; :::; r:
(94)
2. Obliczyć ca÷
kowite przystosowanie populacji, wyraz·ajace
¾ sie¾ wzorem:
F :=
r
X
eval(vj ):
(95)
j=1
3. Obliczyć prawdopodobieństwo wyboru pj dla kaz·dego chromosomu vj
(j = 1; :::; r) ze wzoru:
pj :=
eval(vj )
:
F
(96)
4. Obliczyć prawdopodobieństwo skumulowane qj dla kaz·dego chromosomu
vj (j = 1; :::; r) ze wzoru:
qj :=
j
X
l=1
pl :
(97)
5. (proces selekcji polegajacy
¾ na r-krotnym uruchomieniu „ko÷
a ruletki”)
Wykonać r razy nastepuj
¾ ace
¾ czynności: (a) Wygenerować losowa¾ liczbe¾
zmiennopozycyjna¾ z 2 [0; 1]. (b). Jeśli z
q1, to wybrać pierwszy
chromosom v1. W przeciwnym razie, jeśli qj 1 < z qj , przy czym 2
j
r, to wybrać chromosom vj . [Uwaga. Prawdopodobieństwo wyboru
osobnika jest proporcjonalne do jego przystosowania. Te same osobniki
moga¾ być wybierane wielokrotnie. Otrzymana¾ w ten sposób populacje¾
nazywamy populacja¾ po´srednia.]
¾
6. (wybór chromosomów do krzyz·owania) Dla kaz·dego chromosomu z
populacji pośredniej wykonać nastepuj
¾ ace
¾ czynności: (a) Wygenerować
losowa¾ liczbe¾ zmiennopozycyjna¾ z 2 [0; 1]. (b) Jeśli z
pc, to wybrać
dany chromosom do krzyz·owania. [Uwaga. Oczekiwana ilość chromosomów wybranych w ten sposób wynosi rpc.]
7. Jeśli ilość chromosomów wybranych w kroku 6 jest parzysta, to po÷
aczyć
¾
je losowo w pary. W przeciwnym razie do÷
aczyć
¾
losowo jeden chromosom
do grupy wybranych lub usunać
¾ losowo jeden chromosom.
8. (krzyz·owanie) Dla kaz·dej pary chromosomów otrzymanej w kroku 7 wygenerować losowa¾ liczbe¾ ca÷
kowita¾ s 2 f1; ::m 1g. Liczba ta wskazuje
pozycje¾ punktu krzyz·owania. Nastepnie
¾
wykonać krzyz·owanie zgodnie z
regu÷
a:
¾
(a1:::asas+1:::am)
(a1:::asbs+1:::bm)
!
(b1:::bsbs+1:::bm)
(b1:::bsas+1:::am)
(98)
9. (mutacja) Dla kaz·dego chromosomu w aktualnej populacji po krzyz·owaniu
i dla kaz·dego bitu w chromosomie wykonać nastepuj
¾ ace
¾ czynności: (a)
Wygenerować losowa¾ liczbe¾ zmiennopozycyjna¾ z 2 [0; 1]. (b) jeśli z
pm, to zmutować dany bit (tzn. zmienić 0 na 1 lub odwrotnie). [Uwaga.
Oczekiwana ilość zmutowanych bitów w pojedynczym chromosomie wynosi
rmpm.]
10. Jeśli nie jest spe÷
nione kryterium zatrzymania, to przejść do kroku 1.
[Uwaga. Kryterium zatrzymania moz·e mieć róz·ne formy, np. moz·e być
to ustalona z góry ilość iteracji albo pewne kryterium probabilistyczne.]
10.5
Algorytm van Veldhuizena
Niech G bedzie
¾
skończona¾ przestrzenia¾ poszukiwań i niech f : G ! F bedzie
¾
minimalizowana¾ funkcja,
¾ przy czym F = ff (x) : x 2 Gg oraz (F; ) jest
zbiorem cześciowo
¾
uporzadkowanym.
¾
Celem poszukiwania ewolucyjnego jest
wykrycie moz·liwie najwiekszej
¾
ilości elementów zbioru Min(F; ). Zak÷
ada sie,
¾
z·e przedstawiony poniz·ej algorytm zawiera procedure¾ o nazwie nowa_populacja,
która przekszta÷
ca skończony podzbiór zbioru G w inny jego skończony podzbiór.
Procedura ta moz·e być niedeterministyczna i moz·e wykorzystywać operatory
genetyczne (jak krzyz·owanie i mutacja), a takz·e selekcje¾ pewnych elementów na podstawie wartości funkcji f osiaganych
¾
na tych elementach.
Algorytm VV
Wybrać losowo populacje¾ poczatkow
¾
a¾ B0 2 Gn
A0 := Minf (B0;
)
t := 0
repeat
Bt+1 := nowa_populacja (Bt)
At+1 := Minf (At [ Bt+1;
t
t+1
until (warunek zatrzymania)
)
Niech Z; Z0; Z1; ::: bed
¾ a¾ zmiennymi losowymi o wartościach rzeczywistych
określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej ( ; F ; P ). Mówimy, z·e
ciag
¾ fZtgt2N0 jest zbiez·ny z prawdopodobieństwem 1 do zmiennej losowej
Z , jez·eli
P
lim jZt
t!1
Zj = 0 = 1:
(99)
Sformu÷
ujemy teraz twierdzenie o zbiez·ności algorytmu VV.
Twierdzenie 4. Niech F := Min(F; ). Je·
zeli ciag
¾ fBtgt2N0 jest jednorodnym sko´nczonym ÷
a´ncuchem Markowa z nieredukowalna¾ macierza¾ przej´scia, to
d(f (At); F ) ! 0 z prawdopodobie´nstwem jeden przy t ! 1.
10.6
Algorytm Agapie i Rudolpha
Algorytm VV ma te¾ wade,
¾ z·e rozmiar zbiorów At rośnie wraz z t az· do osiagni
¾ ecia
¾ rozmiaru zbioru wszystkich elementów minimalnych. Jeśli ten ostatni
rozmiar jest bardzo duz·y, to algorytmu VV nie daje sie¾ stosować w praktyce.
Poniz·ej przedstawimy mody…kacje¾ algorytmu VV pozbawiona¾ tej wady. Tutaj
r = jBtj jest sta÷
ym rozmiarem populacji, a m oznacza maksymalny rozmiar
zbiorów At, przy czym m r. Funkcja draw(k; C ) zwraca zbiór co najwyz·ej
k róz·nych elementów zbioru C , wylosowanych dowolna¾ metoda.
¾
Algorytm AR.
Wybrać losowo populacje¾ poczatkow
¾
a¾ B0 2 Gr
A0 := Minf (B0;
)
t := 0
repeat
Bt+1 := nowa_populacja (Bt)
Bt+1 := Minf (Bt+1;
Ct := ;
)
for_each b 2 Bt+1 do
Db := fa 2 At : f (b)
if Db 6= ; then At
f (a )g
(AtnDb) [ fbg
if 8a 2 At : f (a) k f (b) then Ct
end_for
k := minfm
jAtj ; jCtjg
At+1 := At [ draw(k; Ct)
t
t+1
until (warunek zatrzymania)
Ct [ fbg
Dla dowolnych zbiorów skończonych A; B
B (A)
:= jAj
F de…niujemy funkcje¾
jA \ Bj :
Funkcja ta podaje ilość tych elementów zbioru A, które nie nalez·a¾ do B . Podane poniz·ej twierdzenie o zbiez·ności algorytmu AR wykorzystuje te¾ funkcje.
¾
Twierdzenie 5. Niech F := Min(F; ). Je·
zeli ciag
¾ fBtgt2N0 jest jednorodnym sko´nczonym ÷
a´ncuchem Markowa z nieredukowalna¾ macierza¾ przej´scia, to
F (f (At)) ! 0 oraz jAtj ! min fm; jF jg z prawdopodobie´nstwem jeden
przy t ! 1.
10.7
Wartość zagroz·ona
Wartość zagroz·ona jest jedna¾ z miar ryzyka portfela inwestycyjnego. Dla zmiennej losowej X : ! R na przestrzeni probabilistycznej ( ; F ; P ) de…niujemy
wartość zagroz·ona¾ (value at risk) na poziomie 2 (0; 1) nastepuj
¾ aco:
¾
VaR (X ) := inf fm 2 R : P (X + m < 0)
g:
(100)
Interpretacja tego wzoru jest nastepuj
¾ aca:
¾
jez·eli X jest wartościa¾ zysku z
portfela inwestycyjnego (nie stopa¾ zysku, ale wartościa¾ bezwzgledn
¾ a¾ zysku, tj.
róz·nica¾ Kk Kp miedzy
¾ kapita÷
em końcowym a poczatkowym),
¾
a ma÷
a¾ liczba,
¾
to VaR (X ) jest najmniejsza¾ wielkościa¾ dodatkowego kapita÷
u, jaki musimy
przyjać
¾ jako zabezpieczenie tego portfela, aby mieć zagwarantowane z prawdopodobieństwem 1
, z·e zabezpieczenie pokryje nam strate¾ (tzn. strata
z portfela, równa X , nie przekroczy m). Liczbe¾ nazywamy poziomem
tolerancji, a liczbe¾ 1
poziomem ufności.
Inaczej mówiac,
¾ VaR jest to najmniejsza strata wartości taka, z·e prawdopodobieństwo jej przekroczenia w danym okresie jest nie wieksze
¾
niz· zadany poziom
tolerancji .
Przyk÷
ad 2. (przybliz·one wyznaczanie VaR na podstawie danych historycznych).
Za÷
óz·my, z·e inwestor posiada 20 000 $ zainwestowane w fundusz indeksu S&P
500, zatem jego zyski bed
¾ a¾ zyskami tego funduszu. Potrzebne jest oszacowanie
VaR dla okresu 24 godzin i poziomu ufności 95% (tzn. dla = 0; 05). Do
oszacowania VaR uz·yto 1000 codziennych notowań stopy zysku indeksu S&P
500 dla okresu kończacego
¾
sie¾ 4.03.2003 r. Poniewaz· 5% z liczby 1000 wynosi
50, wiec
¾ do przybliz·enia liczby VaR0;05 moz·e pos÷
uz·yć 50-ta od do÷
u dzienna
stopa zysku, która wynosi 0; 0227. Inaczej mówiac,
¾ dzienna stopa zysku
0; 0227 lub mniejsza wystapi÷
¾ a w 5% przypadków w danych historycznych,
zatem moz·emy oszacować, z·e jest szansa 5% na zysk tej wielkości lub mniejszy
w ciagu
¾ nastepnej
¾
doby. Zysk o stopie 0; 0227 z kapita÷
u 20 000 $ daje ujemny
dochód 454 $, zatem oszacowana wartość zagroz·ona wynosi VaR0;05 = 454
$.
Ogólnie, VaR przybliz·a sie¾ poprzez dolny -kwantyl z próby danych historycznych. Za÷
óz·my, z·e próba ta sk÷
ada sie¾ z n notowań stóp zysku R1; :::; Rn.
Niech k bedzie
¾
liczba¾ n zaokraglon
¾
a¾ do najbliz·szej liczby naturalnej. Uporzad¾
kujmy liczby R1; :::; Rn w kolejności rosnacej:
¾
R1:n
R2:n
:::
Rn:n:
(101)
Wówczas dolnym -kwantylem z próby (R1; :::; Rn) nazywamy k-ty najmniejszy zysk, czyli Rk:n. Liczbe¾ te¾ nazywamy takz·e statystyka¾ porzadkow
¾
a¾
k-tego rzedu
¾ z próby (R1; :::; Rn) i oznaczamy R(k). Wówczas, jeśli S jest
zainwestowanym kapita÷
em poczatkowym,
¾
to
VaR =
S R(k):
(102)
Przyk÷
ad 3. Dwie korporacje C1 i C2 sprzedaja¾ obligacje. Dla kaz·dej z tych korporacji prawdopodobieństwo jej bankructwa w rozpatrywanym okresie wynosi
0; 04. Bankructwo jednej korporacji jest niezalez·ne od bankructwa drugiej.
Stopa zysku z inwestycji w obligacje korporacji Ci wynosi
Ri =
(
0;
gdy Ci nie zbankrutuje,
1; gdy Ci zbankrutuje.
W drugim przypadku tracimy ca÷
a¾ zainwestowana¾ kwote¾ (jest to model uproszczony, nie uwzgledniaj
¾
acy
¾ dochodu z odsetek z obligacji). Niech Y bedzie
¾
zmienna¾ losowa,
¾ której wartościa¾ jest ilość korporacji, które zbankrutowa÷
yw
rozwaz·anym okresie. Dla wyznaczenia rozk÷
adu tej zmiennej pos÷
uz·ymy sie¾
schematem Bernoulliego przy n = 2 (liczba prób) z prawdopodobieństwami
„sukcesu” (bankructwo) p = 0; 04 i „poraz·ki” (brak bankructwa) q = 0; 96:
2
(0; 04)0(0; 96)2 = 0; 9216;
0
2
P (Y = 1) =
(0; 04)1(0; 96)1 = 0; 0768;
1
2
P (Y = 2) =
(0; 04)2(0; 96)0 = 0; 0016:
2
Niech Pi bedzie
¾
portfelem obligacji korporacji Ci o wartości poczatkowej
¾
1000
$ (i = 1; 2). Za÷
óz·my, z·e wymagany poziom tolerancji wynosi
= 0; 05.
Wykaz·emy, z·e
P (Y = 0) =
VaR (P1 + P2) = 1000:
(103)
Istotnie, niech X bedzie
¾
zyskiem z portfela P1 + P2. Dla m = 1000, mamy
P (X + 1000 < 0) = P (X <
1000) = P (Y = 2) = 0; 0016 < :
Natomiast dla dowolnej wartości m < 1000 mamy
P (X + m < 0) = P (X < m) = P (Y = 1) + P (Y = 2)
= 0; 0768 + 0; 0016 = 0; 0784 > :
Stad
¾ na podstawie (100) otrzymujemy (103). Tymczasem
VaR (Pi) = 0, i = 1; 2;
(104)
poniewaz· prawdopodobieństwo bankructwa pojedynczej korporacji jest mniejsze
od . Z równości (103) i (104) otrzymujemy
VaR (P1 + P2) > VaR (P1) + VaR (P2);
(105)
co dowodzi, ze funkcja VaR nie jest subaddytywna. Subaddytywność mia÷
aby
miejsce, gdyby w warunku (105) zachodzi÷
a nierówność “ ”. Subaddytywność
jest w÷
asnościa,
¾ która umoz·liwia decentralizacje¾ zarzadzania
¾
ryzykiem: np. jeśli
poszczególne sk÷
adniki portfela inwestycyjnego sa¾ zarzadzane
¾
przez róz·ne oddzia÷
y tego samego banku, to mamy gwarancje,
¾ z·e ryzyko ca÷
ego portfela nie
przekroczy sumy ryzyk poszczególnych sk÷
adników.
10.8
Problem wielokryterialny zwiazany
¾
z ryzykiem banku
Informacje zawarte w tym podrozdziale pochodza¾ z pracy: F. Schlottmann, A.
Mitschele, D. Seese, A multi-objective approach to integrated risk management,
EMO 2005, LNCS 3410 (2005), 692–706.
Rodzaje ryzyka, z którym ma do czynienia bank:
1. Ryzyko rynkowe, wynikajace
¾ z ruchu cen instrumentów …nansowych,
np. zmian stopy procentowej, cen akcji lub kursów walut. Charakteryzuje
sie¾ krótkim horyzontem czasowym (np. 1 dzień).
2. Ryzyko kredytowe –ryzyko utraty dochodów przez bank z powodu niewyp÷
acalności d÷
uz·ników (…rm lub osób prywatnych zaciagaj
¾ acych
¾
kredyty). Charakteryzuje sie¾ d÷
ugim horyzontem czasowym (np. 1 rok).
3. Ryzyko operacyjne – ryzyko strat wywo÷
anych niew÷
aściwymi procedurami stosowanymi przez bank, b÷
edami
¾
ludzi i systemów informatycznych oraz
zewnetrznymi
¾
przypadkami losowymi.
Sformu÷
owanie problemu. Rozwaz·amy przestrzeń poszukiwań (tzw. uniwersum) z÷
oz·ona¾ z n 2 N moz·liwości inwestowania (sa¾ to instrumenty …nansowe
lub ich klasy). Kaz·dy portfel sk÷
adajacy
¾ sie¾ z podzbioru tych moz·liwości jest
reprezentowany przez wektor n-wymiarowy
(106)
x = (x1; x2; :::; xn)
spe÷
niajacy
¾ warunki
xi 2 [0; 1] (8i 2 f1; :::; ng);
n
X
xi = 1 :
(107)
i=1
Kaz·da zmienna decyzyjna xi reprezentuje udzia÷procentowy aktualnego kapita÷
u banku, który jest inwestowany w instrument …nansowy i.
W rozwaz·anym problemie wielokryterialnym wystepuj
¾ a¾ 4 kryteria optymalności
(funkcje celu):
1. Oczekiwana stopa zysku portfela, dana wzorem
ret(x) :=
n
X
xi r i ;
(108)
i=1
gdzie ri jest oczekiwana¾ stopa¾ zysku z inwestycji w instrument i.
2. Ryzyko rynkowe portfela (Market Value at Risk):
mr(x) := MVaR(x):
(109)
3. Ryzyko kredytowe portfela (Credit Value at Risk):
cr(x) := CVaR(x):
(110)
4. Ryzyko operacyjne
or(x) :=
n
X
xi i ;
(111)
i=1
gdzie i jest wartościa¾ specy…czna¾ dla danego rodzaju inwestycji.
Kryterium 1 jest maksymalizowane, podczas gdy kryteria 2–4 sa¾ minimalizowane. Do rozwiazania
¾
tego problemu zastosowano algorytm opisany w
nastepnym
¾
podrozdziale.
10.9
Algorytm genetyczny NSGA-II
Pe÷
na nazwa tego algorytmu to Nondominated Sorting Genetic Algorithm II.
Autorami sa¾ K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal i T. Meyarivan (2000 r.) Celem
algorytmu jest rozwiazanie
¾
zadania optymalizacji wielokryterialnej (63). Algorytm moz·na podzielić na kilka procedur, które opiszemy oddzielnie.
Procedura szybkiego niezdominowanego sortowania populacji
Procedura FNDS(P ) (skrót pochodzi od Fast NonDominated Sorting) sortuje
skończony (cześciowo
¾
uporzadkowany
¾
przez relacje¾ ) zbiór elementów, przydzielajac
¾ elementy do kolejnych niezdominowanych frontów Fi, i = 1; 2; :::
Do pierwszego frontu F1 zalicza sie¾ niezdominowane elementy zbioru P –otrzymuja¾ one range¾ (ang. rank) równa¾ 1. Do drugiego frontu F2 zalicza sie¾ niezdominowane elementy zbioru P nF1 – otrzymuja¾ one range¾ 2, itd.
Dla kaz·dego elementu p 2 P procedura oblicza:
1) licznik niezdominowania np – ilość elementów zbioru P , które dominuja¾
nad p;
2) zbiór Sp z÷
oz·ony z elementów zbioru P zdominowanych przez p.
Opis procedury FNDS(P ):
F1 := ;
dla kaz·dego p 2 P
Sp := ;, np := 0
dla kaz·dego q 2 P
jez·eli p
q to Sp := Sp [ fqg
w przeciwnym przypadku
jez·eli q
p to np := np + 1
jez·eli np = 0 to prank := 1, F1 := F1 [ fpg
i := 1
jez·eli Fi 6= ; to
Q := ;
dla kaz·dego p 2 Fi
dla kaz·dego q 2 Sp
nq := nq
1
jez·eli nq = 0 to qrank := i + 1, Q := Q [ fqg
i := i + 1, Fi := Q
Procedura przypisywania odleg÷
ości st÷
oczenia
Aby otrzymać oszacowanie gestości
¾
rozwiazań
¾
nalez·acych
¾
do danego niezdominowanego frontu (w pobliz·u ustalonego rozwiazania),
¾
oblicza sie¾ tzw. odleg÷
ość
st÷
oczenia (crowding distance) dla danego rozwiazania.
¾
Jest to odleg÷
ość punktów sasiednich,
¾
po÷
oz·onych najbliz·ej danego rozwiazania.
¾
Odleg÷
ość ta jest
wyraz·ona jako suma odleg÷
ości liczonych wzd÷
uz· poszczególnych osi wspó÷
rzed¾
nych w przestrzeni obrazów. Odleg÷
ość wzd÷
uz· m-tej osi jest proporcjonalna do
róz·nicy wartości m-tego kryterium optymalności. Procedura CDA(F ) (Crowding Distance Assignment) oblicza wspomniane odleg÷
ości dla wszystkich elementów danego frontu F . Celem jest eliminacja niektórych rozwiazań
¾
nalez·a¾
cych do F , po÷
oz·onych tam, gdzie sa¾ one bardziej zageszczone.
¾
W zwiazku
¾
z
tym rozwiazania
¾
o wyz·szej wartości odleg÷
ości st÷
oczenia maja¾ wieksze
¾
prawdopodobieństwo przejścia do nastepnej
¾
populacji. Rozwiazania
¾
krańcowe (tj.
pierwsze i ostatnie w sensie ustalonego kryterium) otrzymuja¾ odleg÷
ość +1 po
to, aby by÷
y zawsze wybierane.
Opis procedury CDA(F ):
l := jF j
(ilość elementów zbioru F )
dla kaz·dego i 2 f1; :::; lg
F [i]dist := 0
(inicjalizacja odleg÷
ości)
dla kaz·dego kryterium m 2 f1; :::; pg
F := Sort(F; m)
(sortowanie w kolejności rosnacych
¾
wartości fm)
F [1]dist = F [l]dist := +1
dla kaz·dego i 2 f2; :::; l
1g
fm(F [i + 1])
F [i]dist := F [i]dist +
fm(F [l])
fm(F [i 1])
fm(F [1])
Procedura tworzenia nowej populacji
Procedura MNP(P ) (Make New Population) tworzy nowa¾ populacje¾ Q (o tym
samym rozmiarze N ) z populacji P , uz·ywajac
¾ operacji selekcji turniejowej,
krzyz·owania i mutacji. Krzyz·owanie i mutacja dzia÷
aja¾ tak samo jak w klasycznym algorytmie genetycznym.
Selekcja turniejowa dzia÷
a nastepuj
¾ aco.
¾ Za÷
óz·my, z·e kaz·dy element i populacji
P posiada dwa atrybuty:
1) range¾ niezdominowania irank
2) odleg÷
ość st÷
oczenia idist
Wówczas de…niujemy relacje¾
nastepuj
¾ aco:
¾
j , (irank < jrank) _ [(irank = jrank) ^ (idist > jdist)]
Selekcja turniejowa polega na wylosowaniu dwóch elementów i; j 2 P i porównaniu ich za pomoca¾ relacji
. Jeśli i
j , to element i wygrywa turniej i
przechodzi do populacji pośredniej, która nastepnie
¾
poddawana jest krzyz·owaniu i mutacji. Jeśli relacja zachodzi w druga¾ strone,
¾ to turniej wygrywa element
j . Jeśli relacja nie zachodzi w z·adna¾ strone¾ (tzn. elementy sa¾ nieporównywalne), to zwyciezca
¾
turnieju jest losowany. Proces selekcji powtarzamy tak
d÷
ugo, az· wype÷
ni sie¾ populacja pośrednia.
i
Opis algorytmu NSGA-II
1. t := 0
2. Rt := Pt [ Qt
3. F := FNDS(Rt)
(F = (F1; F2; :::))
4. Pt+1 := ;, i := 1
5. jez·eli jPt+1j + jFij < N to
CDA(Fi)
Pt+1 := Pt+1 [ Fi, i := i + 1
6. Fi := Sort(Fi;
)
(sortowanie w kolejności malejacej
¾ wed÷
ug
7. Pt+1 := Pt+1 [ Fi[1 : (N
jPt+1j) elementów Fi)
jPt+1j)]
)
(do÷
aczenie
¾
pierwszych (N
8. Qt+1 :=MNP(Pt+1), t := t + 1
9. Jeśli nie jest spe÷
nione kryterium zatrzymania, to przejść do kroku 2.
Uwaga. Dla t = 0 krok 2 wykonywany jest nastepuj
¾ aco.
¾
Najpierw tworzona
jest losowo poczatkowa
¾
populacja rodziców P0. Nastepnie
¾
jest ona sortowana
pod wzgledem
¾
niezdominowania (tzn. wykonuje sie¾ procedure¾ FNDS(P0)).
Później generuje sie¾ populacje¾ potomków Q0 za pomoca¾ selekcji turniejowej. W
odróz·nieniu od nastepnych
¾
kroków, tutaj przy selekcji turniejowej wykorzystuje
sie¾ tylko range¾ niezdominowania, poniewaz· odleg÷
ości st÷
oczenia nie sa¾ jeszcze
wyznaczone.
11
Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja negatywna)
Jeśli ryzyko rozwaz·ane jest w kategoriach zagroz·enia, to pod uwage¾ bierze
sie¾ tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zysku. Wówczas zamiast
wariancji rozwaz·a sie¾ semiwariancje¾ stopy zysku określona¾ nastepuj
¾ aco:
¾
SV :=
n
X
pid2i ;
i=1
gdzie
di :=
(
Ri
0;
ER; gdy Ri
gdy Ri
ER < 0;
ER 0;
Ri – stopa zysku wystepuj
¾ aca
¾ w i-tej sytuacji, pi – prawdopodobieństwo wystapienia
¾
i-tej sytuacji, ER –oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem
P
ER := n
i=1 piRi.
Odpowiednikiem odchylenia standardowego jest semiodchylenie standardowe
stopy zysku:
p
s := SV :